TRẦN SĨ TÙNG ›š & ›š BÀI TẬP GIẢI TÍCH 12 TẬP ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT & ĐẠI HỌC Năm 2009 Số phức Trần Só Tùng CHƯƠNG IV SỐ PHỨC I SỐ PHỨC Khái niệm số phức · Tập hợp số phức: C · Số phức (dạng đại số) : z = a + bi (a, bỴ R , a phần thực, b phần ảo, i đơn vị ảo, i2 = –1) · z số thực Û phần ảo z (b = 0) z ảo Û phần thực z (a = 0) Số vừa số thực vừa số ảo ìa = a ' · Hai số phức nhau: a + bi = a’ + b’i Û í (a, b, a ', b ' Ỵ R) ỵb = b ' Biểu diễn hình học: Số phức z = a + bi (a, b Ỵ R) biểu diễn điểm M(a; b) hay r u = (a; b) mp(Oxy) (mp phức) Cộng trừ số phức: · ( a + bi ) + ( a’ + b’i ) = ( a + a’) + ( b + b’) i · ( a + bi ) - ( a’ + b’i ) = ( a - a’) + ( b - b’) i · Số đối z = a + bi –z = –a – bi r r r r r r · u biểu diễn z, u ' biểu diễn z' u + u ' biểu diễn z + z’ u - u ' biểu diễn z – z’ Nhân hai số phức : · ( a + bi )( a '+ b ' i ) = ( aa’ – bb’) + ( ab’ + ba’) i · k (a + bi ) = ka + kbi (k Ỵ R) Số phức liên hợp số phức z = a + bi z = a - bi ỉz z · z = z ; z ± z ' = z ± z ' ; z.z ' = z.z '; ỗ ữ = ; è z2 ø z2 · z số thực Û z = z ; z số ảo Û z = - z z z = a2 + b2 Môđun số phức : z = a + bi uuuu r · z = a2 + b2 = zz = OM · z ³ 0, "z Ỵ C , z =0Ûz=0 · z.z ' = z z ' Chia hai số phức: · z -1 = z (z ¹ 0) z · z z = z' z' · · z - z' £ z ± z' £ z + z' z' z '.z z ' z = z ' z -1 = = z z.z z Trang 102 · z' = w Û z ' = wz z Trần Só Tùng Số phức Căn bậc hai số phức: ì · z = x + yi bậc hai số phức w = a + bi Û z2 = w Û í x - y = a ỵ xy = b · w = có bậc hai z = · w ¹ có hai bậc hai đối · Hai bậc hai a > ± a · Hai bậc hai a < ± - a i Phương trình bậc hai Az2 + Bz + C = (*) (A, B, C số phức cho trước, A ¹ ) D = B - AC -B ± d , ( d bậc hai cuûa D) 2A B · D = : (*) có nghiệm kép: z1 = z2 = 2A Chú ý: Nếu z0 Ỵ C nghiệm (*) z0 nghiệm (*) · D ¹ : (*) có hai nghiệm phân biệt z1,2 = 10 Dạng lượng giác số phức: · z = r (cos j + i sin j) (r > 0) dạng lương giác z = a + bi (z ¹ 0) ì ïr = a2 + b2 ï a ï Û ícos j = r ï b ïsin j = ï ỵ r · j acgumen cuûa z, j = (Ox , OM ) · z = Û z = cos j + i sin j (j Ỵ R) 11 Nhân, chia số phức dạng lượng giác Cho z = r (cos j + i sin j) , z ' = r '(cos j '+ i sin j ') : · z.z ' = rr ' [ cos(j + j ') + i sin(j + j ')] · z r = [ cos(j - j ') + i sin(j - j ')] z' r ' 12 Công thức Moa–vrơ: n · [r (cos j + i sin j)] = r n (cos nj + i sin nj) , ( n Ỵ N* ) n · ( cos j + i sin j ) = cos nj + i sin nj 13 Căn bậc hai số phức dạng lượng giác: · Số phức z = r (cosj + i sin j ) (r > 0) có hai bậc hai là: ỉ j jử r ỗ cos + i sin ữ ố 2ø é ỉj ỉ ỉj ứ j jư vaứ - r ỗ cos + i sin ữ = r cos ỗ + p ữ + i sin ç + p ÷ ú è 2ø ø è2 øû ë è2 · Mở rộng: Số phức z = r (cosj + i sin j ) (r > 0) có n bậc n là: j + k 2p j + k 2p n ổ r ỗ cos + i sin ÷ , k = 0,1, , n - n n è ø Trang 103 Số phức Trần Só Tùng VẤN ĐỀ 1: Thực phép toán cộng – trừ – nhân – chia Áp dụng quy tắc cộng, trừ, nhân, chia hai số phức, bậc hai số phức Chú ý tính chất giao hoán, kết hợp phép toán cộng nhân Bài Tìm phần thực phần ảo số phức sau: a) ( – i ) + ( + 3i ) – ( + i ) ỉ1 b) - i + ỗ - 2i ữ ố3 ứ ổ3 ổ e) ỗ + i ữ - ç - + i ÷ è4 ø è ø ỉ ỉ d) ç - i ÷ + ç - + 2i ÷ - i ø è è ø -i -i h) g) 1+ i i + 2i m a+i a l) k) i m a-i a 1+ i a+i b o) p) 2-i i a Bài Thực phép toán sau: a) (1 + i ) - (1 – i ) ổ1 d) ỗ - 3i ữ ố2 ứ 1+ i 1- i m) (1 + 2i) - (1 - i) (3 + 2i) - (2 + i ) 3+ i (1 - 2i )(1 + i ) q) e) f) ( - 3i )( + i ) i) b) ( + i ) - ( - i ) ỉ2 c) ( - 3i ) - ỗ - i ữ ố3 ứ - 3i + 5i c) ( + 4i ) f) ( - i ) g) (-1 + i )3 - (2i )3 h) (1 - i)100 i) (3 + 3i )5 Bài Cho số phức z = x + yi Tìm phần thực phần ảo số phức sau: z+i iz - Bài Phân tích thành nhân tử, với a, b, c Ỵ R: a) z2 - z + 4i b) a) a2 + b) 2a2 + c) 4a + 9b2 d) 3a2 + 5b g) a3 + h) a4 + a2 + b) + 5i c) -1 - 6i d) -5 + 12i f) - 24i g) -40 + 42i h) 11 + 3.i k) -5 + 12i l) + 6i m) 33 - 56i e) a4 + 16 f) a3 - 27 Bài Tìm bậc hai số phức: a) -1 + 3i e) - - i 2 i) + i VẤN ĐỀ 2: Giải phương trình tập số phức Giả sử z = x + yi Giải phương trình ẩn z tìm x, y thoả mãn phương trình Bài Giải phương trình sau (ẩn z): a) z + z = b) z + z = c) z + z = - 4i e) z - z = -1 - 8i d) z - z = f) ( - 5i ) z = + i Trang 104 Traàn Sú Tuứng Soỏ phửực ổ z+iử g) ỗ ữ =1 è z -iø h) i) z - 3z = - 12i k) ( - 2i ) l) [(2 - i ) z + + i ](iz + o) + 5i = - 4i z ( )( 2+i - + 3i z= 1- i 2+i ( z + i ) = 3i ổ m) z ỗ - i ÷ = + i ø è )=0 2i ( ) p) ( z + 3i ) z2 - z + = ) q) z2 + z2 - z + = r) z3 - 3z2 + 5z + 3i - = Bài Giải phương trình sau (aån x): a) x - 3.x + = b) x - 3.x + = c) x - ( - i ) x + - 3i = d) 3i.x - x - + i = e) 3x - x + = g) 3x - 24 = f) i x + 2i x - = h) x + 16 = i) ( x + 2)5 + = k) x + = l) x + (1 + i ) x + + 2i = m) x - ( - i ) x + 18 + 4i = o) ix + x + - i = p) x + ( - 3i ) x = Baøi Tìm hai số biết tổng tích chúng là: a) + 3i - + 3i b) 2i vaø - + 4i Baøi Tìm phương trình bậc hai với hệ số thực nhận a làm nghiệm: a) a = + 4i b) a = - i d) a = -2 - i c) a = - 5i e) a = - i f) a = -i 5+i h) a = i 51 + 2i80 + 3i 45 + 4i 38 i) a = g) a = (2 + i )(3 - i ) 2-i Baøi Tìm tham số m để phương trình sau có hai nghiệm z1, z2 thoả mãn điều kiện ra: 2 a) z2 - mz + m + = 0, ñk : z1 + z2 = z1z2 + 2 c) x + mx + 3i = 0, ñk : z1 + z2 = 3 b) z2 - 3mz + 5i = 0, ñk : z1 + z2 = 18 ( ) ( ) Baøi Cho z1 , z2 laø hai nghiệm phương trình + i z2 - + 2i z + - i = Tính giá trị biểu thức sau: 2 a) A = z1 + z2 2 b) B = z1 z2 + z1z2 c) C = z1 z2 + z2 z1 Bài Giải hệ phương trình sau: ì z1 + z = + i a) í 2 ỵ z1 + z = - 2i ì z1 z = -5 - 5.i b) í 2 ỵ z1 + z = -5 + 2.i ì z13 + z = ï c) í ï z1 ( z2 ) = ỵ ì z1 + z2 + z3 = ï d) í z1 + z2 + z3 = ï z z z = ỵ ì ï ï e) í ï ï ỵ ì ï ï f) í ï ï ỵ z - 12 = z - 8i z-4 =1 z -8 Trang 105 z -1 =1 z -i z - 3i =1 z +i Số phức ì z + z = + 2i ï g) í ïz1 + z2 = - i ỵ Trần Só Tùng ì ï z - 2i = z ï z - i = z -1 ỵ h) í ìz + z + z z = ï1 2 z1 + z2 = 2i ï ỵ i) í Bài Giải hệ phương trình sau: ì1 1 ï + = - i d) í x y 2 ï x + y = - 2i ỵ ìx + y = - i b) í 2 ỵ x + y = - 8i ì x + y = -6 ï e) í 1 ïx + y = ỵ ìx + y = - i g) í 2 ỵ x + y = + 2i ìx + y = h) í 3 ỵ x + y = -2 - 3i ì x + y = - 2i a) í ỵx + y = - i ìx + y = c) í ỵ xy = + 4i ì x + y = + 2i ï f) í 1 17 + = + i ï x y 26 26 ỵ VẤN ĐỀ 3: Tập hợp điểm Giả sử số phức z = x + yi biểu diển điểm M(x; y) Tìm tập hợp điểm M tìm hệ thức x y Bài Xác định tập hợp điểm M mặt phẳng phức biểu diễn số z thỏa mãn điều kiện sau: a) z + z + = b) z - z + - i = c) z - z + 2i = z - i d) 2i.z - = z + e) 2i - z = z - f) z + = g) z + i = z - - 3i h) k) + z = i - z l) z + < z - 3i =1 z+i i) z - + i = m) < z - i < Bài Xác định tập hợp điểm M mặt phẳng phức biểu diễn số z thỏa mãn điều kiện sau: a) z + 2i số thực b) z - + i số ảo c) z z = VẤN ĐỀ 4: Dạng lượng giác số phức Sử dụng phép toán số phức dạng lượng giác Bài Tìm acgumen số phức sau: a) - + 3.i b) – 4i p p p p d) cos - i sin e) - sin - i cos 4 8 Bài Thực phép tính sau: a) ( cos 20o + i sin 20o )( cos 25o + i sin 25o ) c) ( cos120o + i sin120o )( cos 45o + i sin 45o ) c) - 3.i f) (1 - i )(1 + i) æ p pử ổ p pử b) ỗ cos + i.sin ữ ỗ cos + i.sin ữ ố 6ứ è 4ø p pư ỉ p pư ỉ d) ỗ cos + i sin ữ ỗ cos + i sin ÷ 6ø è 4ø è Trang 106 Trần Só Tùng Số phức e) g) cos85o + i sin 85o cos 40o + i sin 40o 2(cos 45o + i sin 45o ) h) 3(cos15o + i sin15o ) ( cos18o + i sin18o )( cos 72o + i sin 72o ) (cos 45 + i sin 45 ) (cos15 + i sin 15 ) f) 2p 2p ö 2p 2p ổ + i sin ỗ cos + i sin ) ÷ 3 ø è 3 i) k) p p p pư ỉ 2(cos + i sin ) ỗ cos + i sin ữ 2 2ø è Bài Viết dạng lượng giác số phức sau: a) - i b) + i c) (1 - i )(1 + i ) d) 2.i.( - i) (cos e) 1- i 1+ i f) k) i) + i + 2i 3-i g) sin j + i cos j h) l) + 0i m) tan +i Bài Viết dạng đại số số phức sau: p pư ỉ b) ỗ cos + i sin ữ 6ứ ố 3+i e) (1 + i )(1 - 2i ) a) cos 45o + i sin 45o d) (2 + i)6 1+ i g) 2i + h) ( -1 + i ) ỉ 3p 3p k) + i sin ỗ cos ữ 4 ứ 2ố ổ1+ i l) ỗ ữ ố 1- i ứ 60 100 5p +i c) ( cos120o + i sin120o ) f) i ỉ 1+ i i) (2 - 2i )7 ỗ ữ ố 1- i ứ ổ p pử ỗ cos + i sin ÷ m) è 4ø 40 ( 17 - i) Bài Tính: a) ( cos12o + i sin12o ) d) é ( cos30 + i sin 30 ) ù ë û 21 16 b) (1 + i ) æ + 3i ữ g) ỗ ỗ - 2i ÷ è ø p p k) (cos - i sin )i (1 + 3i )7 3 c) ( - i ) e) (cos15o + i sin15o )5 f) (1 + i )2008 + (1 - i )2008 12 ổ1 3ử ữ h) ỗ + i i) ç2 ÷ è ø 1 l) z2008 + , biết z + = 2008 z z ỉ i + 1ử ỗ ữ ố i ứ 2008 Baứi Chứng minh: a) sin 5t = 16sin5 t - 20sin3 t + 5sin t b) cos 5t = 16 cos5 t - 20 cos3 t + cos t c) sin 3t = 3cos2 t - sin3 t d) cos3t = cos3 t - cos t Trang 107 Số phức Trần Só Tùng II ÔN TẬP SỐ PHỨC Bài Thực phép tính sau: æ -1 + i ö æ - i b) ỗ ữ +ỗ ữ ố ứ è ø a) (2 - i )(-3 + 2i)(5 - 4i ) 16 ỉ1+ i ỉ1- i c) ỗ ữ +ỗ ữ ố 1- i ứ ố1+ i ø d) + 7i - 8i + + 3i - 3i e) (2 - 4i)(5 + 2i) + (3 + 4i )(-6 - i ) f) + i + i2 + i3 + + i2009 g) i 2000 + i1999 + i 201 + i82 + i 47 h) + i + i + + i n , (n ³ 1) i) i.i i i 2000 k) i -5 (-i )-7 + (-i)13 + i -100 + (-i)94 Bài Cho số phức z1 = + 2i, z2 = -2 + 3i, z3 = - i Tính: a) z1 + z2 + z3 b) z1z2 + z2 z3 + z3 z1 d) z12 + z22 + z32 e) z1 z2 z3 + + z2 z3 z1 c) z1z2 z3 f) z12 + z2 z2 + z32 Bài Rút gọn biểu thức sau: a) A = z4 + iz3 - (1 + 2i)z2 + 3z + + 3i, với z = + 3i b) B = ( z - z2 + z3 )(2 - z + z2 ), với z = ( - i) Bài Tìm số thực x, y cho: x -3 y -3 b) + =i a) (1 - 2i ) x + (1 + y )i = + i 3+i 3-i c) (4 - 3i ) x + (3 + 2i ) xy = y - x + (3 xy - y )i Bài Tìm bậc hai số phức sau: b) + 4i c) + i a) + 6i ổ1+ i e) ỗ ữ ố 1- i ứ i) -i ổ1- i f) ỗ ữ ỗ -i ữ ố ứ k) + g) i 2 l) -2 (1 + i ) i 1+ i 2 Bài Tìm bậc ba số phức sau: a) -i b) –27 c) + 2i Bài Tìm bậc bốn số phức sau: a) - i 12 b) + i Bài Giải phương trình sau: a) z3 - 125 = c) -2i b) z + 16 = d) - 24i h) i, –i m) 1 + 1+ i 1- i d) 18 + 6i d) -7 + 24i c) z3 + 64i = d) z3 - 27i = e) z7 - 2iz4 - iz3 - = f) z6 + iz3 + i - = g) z10 + (-2 + i)z5 - 2i = Baøi Gọi u1; u2 hai bậc hai z1 = + 4i vaø v1; v2 laø hai bậc hai z2 = - 4i Tính u1 + u2 + v1 + v2 ? Trang 108 Trần Só Tùng Số phức Bài 10 Giải phương trình sau tập số phức: a) z2 + = b) z2 + z + = c) z2 + z + 10 = d) z2 - 5z + = e) -2 z2 + 3z - = f) 3z2 - z + = g) ( z + z )( z - z ) = h) z2 + z + = i) z2 = z + k) z + 3z = + 3i l) ( z + 2i ) +2 ( z + 2i ) - = m) z3 = z 2 n) z2 + z = o) iz2 + (1 + 2i)z + = Bài 11 Giải phương trình sau tập số phức: ỉ 4z + i 4z + i a) ỗ +6 = ữ -5 z-i è z -i ø p) (1 + i )z2 + + 11i = b) ( z + 5i )( z - ) ( z2 + z + 3) = c) ( z2 + z ) - ( z2 + z ) - 16 = d) z3 - (1 + i ) z2 + ( + i ) z - 3i = e) ( z + i ) ( z2 - z + ) = f) z2 - 2iz + 2i - = g) z2 - ( - 14i ) z - (12 + 5i ) = h) z2 - 80 z + 4099 - 100i = i) ( z + - i ) - ( z + - i ) + 13 = k) z2 - ( cos j + i sin j ) z + i cos j sin j = Bài 12 Giải phương trình sau tập số phức: a) x - ( + 4i ) x + 5i - = b) x + (1 + i ) x - - i = c) x + x + = d) x + x + = e) x - = Bài 13 Giải phương trình sau biết chúng có nghiệm ảo: a) z3 - iz2 - 2iz - = ( b) z3 + ( i - ) z2 + ( - 4i ) z - + 4i = ) Bài 14 Tìm m để phương trình sau: ( z + i ) z2 - 2mz + m - 2m = a) Chỉ có nghiệm phức c) Có ba nghiệm phức b) Chỉ có nghiệm thực Bài 15 Tìm m để phương trình sau: z3 + (3 + i )z2 - 3z - (m + i ) = có nghiệm thực Bài 16 Tìm tất số phức z cho ( z - 2)( z + i ) số thực Bài 17 Giải phương trình trùng phương: a) z - (1 - i ) z2 + 63 - 16i = b) z - 24 (1 - i ) z2 + 308 - 144i = c) z + 6(1 + i )z2 + + 6i = ( ) Baøi 18 Cho z1 , z2 laø hai nghiệm phương trình: z2 - + i z + - 3i = Tính giá trị biểu thức sau: 2 a) z1 + z2 2 b) z1 z2 + z1z2 æ1 ổ1 2ử 2ử 3 d) z1 ỗ + ữ + z2 ỗ + ữ e) z2 z1 + z1z2 çz ÷ çz ÷ è z1 ø è z2 ø 3 c) z1 + z2 f) z1 z2 + z2 z1 Baøi 19 Cho z1 , z2 hai nghiệm phương trình: x - x + = Tính giá trị biểu thức sau: 2000 2000 a) x1 + x2 1999 b) x1 + x1999 n n c) x1 + x2 , n Ỵ N Bài 20 Tìm tập hợp điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức thoả mãn hệ thức sau: Trang 109 Số phức a) Trần Só Tùng z =3 z -i b) z2 + z = 1 z c) z = Bài 21 Hãy tính tổng S = + z + z2 + z3 + z n -1 biết z = cos Bài 22 Viết dạng lượng giác số phức sau: a) i + i + i + i + b) (1 - i )(2 + i) c) ỉ p p pư e) -3 ỗ cos + i sin ữ ố 6ø p g) sin a + i(1 - cos a ), < a < Bài 23 Tìm môđun acgumen số phức sau: d) - sin a + i cos a , < a < a) (2 + 2i ) + (1 - i )6 (1 + i )6 a) + 2i ) + (1 - i )6 - 2i ) 10 (1 + i )6 b) (2 ( f) cot a + i, p < a < + 2+i 1- i p n n n c) (1 + i ) + (1 - i ) n ( + 2i ) - i) p p p p e) cos - i sin f) -2 + 3i d) - sin + i cos 8 4 p + cos a + i sin a p h) ,