SỬ DỤNG TAM THỨC BẬC HAI ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Giáo viên: Thân Văn Dự Bất đẳng thức là một vấn đề khá cổ điển của toán học sơ cấp đang ngày càng phát triển . Đây cũng là một trong những phần toán sơ cấp đẹp và thú vị nhất. Điểm ấn tượng của bất đẳng thức trong toán sơ cấp đó là có rất nhiều bài toán khó, thậm chí là rất khó luôn có thể giải được bẳng những kiến thức cơ sở và việc hoàn thành được những chứng minh như vậy là một niềm vui thực sự. Trong bài viết nay giới thiệu với các ban một phương pháp để chứng minh bất đẳng thức khá hiệu quả đó là dùng tam thức bậc hai. A. Kiên thức cơ bản 1. Định nghĩa tam thức bậc hai Tam thức bấc hai đối với x là biểu thức có dạng ( ) 2 ax x f bx c , trong đó a, b, c là những hằng số và 0a 2. Định lý dâu của tam thức bậc hai Cho ( ) 2 ax x f bx c ( 0a ), 2 4b ac Nếu  < 0 thì f (x) luôn cùng dấu với hệ số a với xR Nếu  = 0 thì f (x) luôn cùng dấu với hệ số a với \ 2 b xR a Nếu  > 0 thì f (x) luôn cùng dấu với hệ số a khi 1 xx hoặc 2 xx , trái dấu với hệ số a khi 12 x x x trong đó 1 2 1 2 , ( )x x x x là hai nghiệm của f (x) . 3. Định lý đảo định lý dấu của tam thức bậc hai. Cho ( ) 2 ax x f bx c ( 0a ) Nếu tồn tại sao cho () af 0 thì phương trình () 0 x f có hai nghiệm 1 2 1 2 ,x x saochox x Hệ quả Nếu tồn tại ( ) ( ) , . 0R saocho f f thì phương trình () 0 x f có nghiệm trong khoảng ; B. Sử dụng tam thức bậc hai để chứng minh bất đẳng thức 1. Sử dụng định lý thuận của tam tức bậc hai để chứng minh bất đẳng thức 1.1 Bài toán 1 Cho bất đẳng thức () 0 x f (1) Trong đó ()x f là tam thức bậc hai đối với x. Hãy chứng minh bất đẳng thức (1) đúng với mọi x Phương pháp giải: Theo đinh lý thuận về dấu của tam thức bậc hai do ()x f là tam thức bậc hai ta chỉ cần chứng minh () () 0 0 x x f f a  (*) Chú ý: Nếu trong bất đẳng thức (1) chỉ có bất đẳng thức ( không có dấu đẳng thức ) thì trong điều kiện (*) đối với ()x f  cũng chỉ có bất đẳng thức ( không có dấu “=” ). Ví dụ Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác thì bất đẳng thức sau đúng với mọi x. 2 2 2 2 2 2 ( ) 0b x b c a x c (1) Giải: Đặt () (1) x VT f Ta thấy x f là một tam thức bậc hai đối với x có hệ số a là b 2 > 0 do đó để chứng minh bài toán ta chỉ cần chứng minh 0, x . Thật vậy 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 ( ) 4. . 2. . . osA 4. . 4. . . 0, b c a b c bc c b c b c Sin A x  Vậy 2 2 2 2 2 2 ( ) 0,b x b c a x c x 1.2 Bài toán 2 Cho bất đẳng thức ( , ) 0 xy f (2) Trong đó ( , )xy f là tam thức bậc hai đối với một trong hai biến số x và y. Chứng minh (2) đúng với mọi x và mọi y. Phương pháp giải: Ta giả sử hàm ( , )xy f là tam thức bậc hai đối với x gọi tam thức bậc hai đó là ()x P Ta cần chứng minh () 0 x P với mọi x và mọi y. Để chứng minh () 0 x P với mọi x theo bài toán 1 ta cần chứng minh () () 0 0 x x P P a  (*) Suy ra để chứng minh () 0, x P x y ta cần chứng minh hệ (*) đúng với mọi y. Ví dụ Cho b > c > d. Hãy chứng minh bất đẳng thức: ( a + b + c ) 2 > 8( ac + bd ) (1) đúng với mọi a Giải: 2 22 (1) ( ) 8( ) 0 2( 3 ) ( ) 8 0 a b c ac bd a b d c a b c d bd Đặt VT(2) = ()a f ()a f là một tam thức bậc hai ẩn a có hệ số ()x f a =1. Do vậy để chứng minh (1) ta chỉ cẩn chứng minh , () 0 fa  . Thật vậy () () , 2 2 , ( 3 ) ( ) 8 8 ( ) 8 8( )( ) 0, 0 0 a a f f b d c b c d bd c b c d bd b c c d Dob d c b c c d   Suy ra đpcm. 2. Dùng định lý đảo của định lý dấu của tam thức bậc hai để chứng minh bất đẳng thức 1.1 Bài toán 1 Chứng minh rằng B 2 – 4AC 0 ( hoặc B 2 – AC 0 ) Phương pháp giải: Để chứng minh B 2 – 4AC 0 ta đi chứng minh PT Ax 2 + Bx + c =0 ( hoặc PT Ax 2 – Bx +C = 0 ) có nghiệm ( Chứng minh B 2 – AC 0 ta chứng minh PT Ax 2 + 2Bx + c =0 hoặc PT Ax 2 - 2Bx + c =0 có nghiệm ). Ví dụ Cho a, b thỏa mãn điều kiện a 2 + b 2 1 Hãy chứng minh rằng: ( ac + bd – 1 ) 2 ( a 2 + b 2 – 1 )( c 2 + d 2 – 1 ) (*) Giải: Khi a 2 + b 2 = 1 (*) hiển nhiên đúng Khi a 2 + b 2 < 1 a 2 + b 2 – 1 < 0 Đặt ac + bd – 1 = B a 2 + b 2 – 1 = A < 0 c 2 + d 2 – 1 = C 2 (*) 0B AC Ta lập tam thức bậc hai: ( ) 2 2 x f Ax Bx C Để chứng minh 2 0B AC ta chỉ cần chứng minh ()x f có nghiệm Thật vậy ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 1) 2( 1) ( 1) (ax- c) ( ) ( 1) x f a b x ac bd x c d bx d x 1 ta có ( ) (1) 2 2 (1) ( ) ( ) 0 . 0f f a c b d A f Theo định lý đảo của định lý về dấu của tam thức bậc hai 0 () () , 0 : 0 0 a x f xf  đpcm. 1.2 Bài toán 2 Chứng minh rằng B 2 – 4AC 0 ( hoặc B 2 – AC 0 ) Phương pháp giải: Để chứng minh rằng B 2 – 4AC 0 ( hoặc B 2 – AC 0 ) ta chứng minh A. () 0 x fx trong đó ( ) 2 2 x f Ax Bx C ( hoặc ( ) 2 2 x f Ax Bx C hoặc ( ) 2x f Ax Bx C hoặc ( ) 2x f Ax Bx C ) Ví dụ Cho 1 2 1 2 , , , ; , , , nn a a a b b b là hai bộ n số thực. Chứng minh bất đẳng thức 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 ( ) ( )( ) n n n n a b a b a b a a a b b b và dấu đẳng thức xảy ra khi 12 12 n n b bb a a a ( Bất đẳng thức Bunhiacôpki ) Giải: Đặt 22 1 1 1 ,, n n n i i i i i i i a b B a A b C ta cần chứng minh B 2 AC 2 0B AC Ta coi B 2 – AC là biệt thức ,  của tam thức bâc hai ( ) 2 .2 x f A x Bx c Để chứng minh 2 B AC ta cần chứng minh () 0 x fx . Ta có ( ) 2 2 2 1 1 1 2 2 2 i i i 1 2 1 , 2 2 2 2 1 1 1 ( ) ( ) ( 2a b x +b ) ( ) 0 0 ( ) ( ) .( ) n n n x i i i i i i i n i i n ii i n n n i i i i i i i f a x a b x b ax a x b a b a b Dấu đẳng thức xẩy ra khi 12 12 0 1, n ii n b bb a x b i n a a a . khoảng ; B. Sử dụng tam thức bậc hai để chứng minh bất đẳng thức 1. Sử dụng định lý thuận của tam tức bậc hai để chứng minh bất đẳng thức 1.1 Bài toán 1 Cho bất đẳng thức () 0 x f (1). một phương pháp để chứng minh bất đẳng thức khá hiệu quả đó là dùng tam thức bậc hai. A. Kiên thức cơ bản 1. Định nghĩa tam thức bậc hai Tam thức bấc hai đối với x là biểu thức có dạng (. là tam thức bậc hai đối với x. Hãy chứng minh bất đẳng thức (1) đúng với mọi x Phương pháp giải: Theo đinh lý thuận về dấu của tam thức bậc hai do ()x f là tam thức bậc hai ta chỉ cần chứng