Gi¸o ¸n m«n: Lý ThuyÕt §å ThÞ NguyÔn Minh §øc - §HQG Hµ Néi 13 v1 v2 v4 v3 v3 v2 v1 Chương 2 CÁC PH ƯƠNG PHÁP BIỂU DIỄN ĐỒ THN (6 tiết) 2.1 Biểu diễn bằng hình học Cho đồ thị G = (V, E), khi đó ta có thể biểu diễn G bằng phương pháp hình học như sau: Mỗi v ∈V ta đặt tương ứng với một điểm trong mặt phẳng, điểm đó gọi là đỉnh của đồ thị. a) Trường hợp G là đồ thị vô hướng, nếu e = (u,v) ∈ V thì trong mặt phẳng, các đỉnh u, v được nối với nhau bởi một cạnh không có hướng. Nếu e = (u,u) ∈ V thì tại đỉnh u sẽ có một khuyên. b) Trường hợp G là đồ thị có hướng, Nếu e = (u,v) ∈V thì trong mặt phẳng sẽ có một cung có hướng đi từ u đến v. Nếu u = v thì tại đỉnh u sẽ có một khuyên có hướng vào chính nó. Ví dụ 1: Đồ thị vô hướng G = ({v 1 , v 2 , v 3 , v 4 }, {(v 1 ,v 2 ), (v 2 ,v 3 ), (v 2 ,v 4 ), (v 3 ,v 4 ), (v 4 ,v 4 )}) được biểu diễn hình học như sau: Đồ thị có hướng G = ({v 1 , v 2 , v 3 }, {(v 1 ,v 1 ), (v 1 ,v 2 ), (v 2 ,v 3 ), (v 3 ,v 1 ), (v 3 , v 2 )}) được biểu diễn hình học như sau: Biểu diễn đồ thị bằng hình học là một cách biểu diễn đơn giản, trực quan nhưng không có nhiều ý nghĩa trong việc xử lý bằng máy tính. 2.2 Biểu diễn bằng ma trận kề (liền kề), ma trận trọng số Xét đơn đồ thị vô hướng G = (V,E), với tập đỉnh V = {v 1 , v 2 , ,v n }, tập cạnh E = {e 1 , e 2 , , e m }. Ta gọi ma trận kề của đồ thị G là ma trận: A = {a ij : i,j = 1,2, ,n} với các phần tử aij được xác định theo quy tắc sau: a ij = 1 nếu (v i ,v j )∈E a ij = 0 nếu (v i ,v j ) ∉ E , i,j = 1, 2, , n Ví dụ 2: Cho đồ thị vô hướng G = ({v 1 , v 2 , v 3 },{(v 1 ,v 1 ), (v 1 ,v 2 ), (v 1 ,v 3 ), (v 2 ,v 3 )}) Ma trận kề của G là Gi¸o ¸n m«n: Lý ThuyÕt §å ThÞ NguyÔn Minh §øc - §HQG Hµ Néi 14 2 1 4 3 5 1 3 2 V1 v2 v3 v1 1 1 1 v2 1 0 1 v3 1 1 0 Ví dụ 3: Cho đồ thị vô hướng G như sau: Ma trận kề của G là 1 2 3 4 5 1 0 1 0 1 0 2 1 0 1 0 1 3 0 1 0 1 0 4 1 0 1 0 1 5 0 1 0 1 0 Chú ý: Ma trận kề của một đồ thị tuỳ thuộc vào thứ tự liệt kê các đỉnh. Do vậy có tới n! ma trận kề khác nhau của một đồ thị n đỉnh vì có n! cách sắp xếp n đỉnh. Các tính chất của ma trận kề của đồ thị đơn vô hướng: a) Ma trận kề của đơn đồ thị vô hướng n đỉnh là một ma trân vuông đối xứng cấp nxn. b) Tổng các phần tử trên hàng i (cột j) của ma trận kề chính bằng bậc của đỉnh i (đỉnh j). c) Nếu kí hiệu njia p ij , ,2,1,, = là các phần tử của ma trận tích 321 p p AAAA = Khi đó njia p ij , ,2,1,, = cho ta số đường đi khác nhau từ đỉnh i đến đỉnh j qua p-1 đỉnh trung gian. Ma trận kề của đồ thị đơn có hướng cũng được định nghĩa tương tự, nhưng lưu ý ma trận này là không đối xứng. Ví dụ 4: Cho đơn đồ thị có hướng G Gi¸o ¸n m«n: Lý ThuyÕt §å ThÞ NguyÔn Minh §øc - §HQG Hµ Néi 15 4 1 2 3 4 5 v4 v3 v2 v1 Ma trận kề của G là 1 2 3 4 1 0 1 1 0 2 0 0 0 1 3 0 1 0 0 4 1 0 0 0 Trên đây ta chỉ mới xét các đơn đồ thị, đối với đa đồ thị thì ma trận kề cũng được xây dựng hoàn toàn tương tự, chỉ khác là thay vì ghi 1 vào vị trí a ij nếu (v i ,v j ) là cạnh (cung) của đồ thị, ta sẽ ghi k là số cạnh (cung) nối hai đỉnh v i và v j . Ví dụ 5: Cho đa đồ thị vô hướng G như sau: Ma trận kề của G là 1 2 3 4 5 1 0 1 1 3 1 2 1 0 1 1 1 3 1 1 1 0 2 4 3 1 0 0 0 5 1 1 2 0 0 Ví dụ 6: Cho đa đồ thi có hướng G như sau: Gi¸o ¸n m«n: Lý ThuyÕt §å ThÞ NguyÔn Minh §øc - §HQG Hµ Néi 16 v1 8 v5 6 10 3 v4 v3 7 5 v2 Ma trận kề của G là V1 v2 v3 v4 v1 0 0 0 0 v2 1 0 2 1 v3 1 1 0 0 v4 1 1 0 0 Trong rất nhiều ứng dụng của lý thuyết đồ thị, mỗi cạnh e = (u,v) của đồ thị được gắn một con số c nào đó (c(e), c(u,v)) gọi là trọng số của cạnh e. Đồ thị có các cạnh được gán trọng số gọi là đồ thị có trọng số. Trong trường hợp đồ thị có trọng số, để biểu diễn đồ thị thay vì dùng ma trận kề ta dùng ma trận trọng số như sau: C = c ij , i,j=1, 2, , n Với cij = c(eij)) nếu eij ∈E cij = θ nếu eij ∉E , i = 1,2, ,n; j = 1,2, ,n Trong đó số θ tuỳ từng trường hợp cụ thể, có thể được đặt bằng một trong các giá trị sau: 0, - ∞, + ∞ . Ví dụ 7: Cho đồ thị vô hướng có trọng số G như sau Ma trận trọng số của G là v1 v2 v3 v4 v5 v1 0 0 0 10 8 v2 0 0 7 0 5 v3 0 7 0 3 0 v4 10 0 3 0 6 v5 8 5 0 6 0 Gi¸o ¸n m«n: Lý ThuyÕt §å ThÞ NguyÔn Minh §øc - §HQG Hµ Néi 17 b c d e 3 7 7 5 4 9 4 a v2 v3 e1 v4 e2 v5 e4 e3 e5 e6 v1 Ví dụ 8: Cho đồ thị có hướng có trọng số G như sau: Ma trận trọng số của G là a B c d e a 0 0 0 0 5 b 4 0 7 0 4 c 0 0 0 3 0 d 0 0 0 0 7 e 0 0 9 0 0 Ưu điểm lớn nhất của phương pháp biểu diễn đồ thị bằng ma trận kề (hoặc ma trận trọng số) là để trả lời câu hỏi: Hai đỉnh u, v có kề nhau trên đồ thị hay không, chúng ta chỉ phải thực hiện một phép so sánh. Nhược điểm lớn nhất của phương pháp này là: Không phụ thuộc vào số cạnh của đồ thị, ta luôn phải sử dụng n 2 đơn vị bộ nhớ để lưu trữ ma trận kề của nó. 2.3 Biểu diễn bằng ma trận liên thuộc đỉnh - cạnh Giả sử G = (V,E) là một đồ thị vô hướng với tập đỉnh V = {v 1 ,v 2 , , v n }, và tập các cạnh E = {e 1 ,e 2 , ,e m }. Khi đó ma trận liên thuộc đỉnh - cạnh A = aij, i = 1,2, n, j = 1,2, m của nó được xác định như sau: A ij = 1 nếu cạnh e j nối với đỉnh v i A ij = 0 nếu cạnh e j không nối với đinh v i , i = 1,2, ,n, j = 1,2, ,m Ví dụ 9: Cho đồ thị G như sau Khi đó ma trận liên thuộc đỉnh - cạnh của G như sau Gi¸o ¸n m«n: Lý ThuyÕt §å ThÞ NguyÔn Minh §øc - §HQG Hµ Néi 18 e4 v2 v3 v4 e1 v5 e2 e3 e5 e8 e7 e6 v1 e1 e2 e3 e4 e5 e6 v1 1 1 0 0 0 0 v2 0 0 1 1 0 1 v3 0 0 0 0 1 1 v4 1 0 1 0 0 0 v5 0 1 0 1 1 0 Ma trận liên thuộc cũng có thể được dùng để biểu diễn đồ thị có cạnh bội và khuyên Ví dụ 10: Cho đồ thị G như sau Khi đó ma trận liên thuộc đỉnh cạnh của G là Ma trận liên thuôc đỉnh - cạnh còn rất hay được sử dụng trong các bài toán liên quan đến đồ thị có hướng mà trong đó phải xử lý các cung của đồ thị. Cho G = (V,E) , V = {v 1 ,v 2 , ,v n }, E = {e 1 ,e 2 , ,e m }, là đồ thị có hướng. Khi đó ma trận liên thuộc đỉnh - cạnh A = aij , i = 1,2, ,n; j = 1,2, , m của G được xác định như sau: a ij = 1 nếu đỉnh vi là đỉnh đầu của cung ej a ij =-1 nếu đỉnh vi là đỉnh cuối của cung ej a ij = 0 nếu đỉnh vi không là đầu mút của cung ej e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 v1 1 1 1 0 0 0 0 0 v2 0 1 1 1 0 1 1 0 v3 0 0 0 1 1 0 0 0 v4 0 0 0 0 0 0 1 1 v5 0 0 0 0 1 1 0 0 Gi¸o ¸n m«n: Lý ThuyÕt §å ThÞ NguyÔn Minh §øc - §HQG Hµ Néi 19 6 5 4 3 2 1 3 2 4 5 6 1 Ví dụ 11: Cho ma trận G như sau Ma trận liên thuộc cạnh - đỉnh của G như sau (1,2) (1,3) (2,3) (2,4) (3,5) (4,5) (5,2) (5,6) (6,4) 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 2 -1 0 1 1 0 0 -1 0 0 3 0 -1 -1 0 1 0 0 0 0 4 0 0 0 -1 0 1 0 0 -1 5 0 0 0 0 -1 -1 1 1 0 6 0 0 0 0 0 0 0 -1 1 2.4 Biểu diễn bằng danh sách cạnh (cung) Xét đồ thị G = (V,E), với |V| = n, |E| = m. Để biểu diễn đồ thị theo phương pháp danh sách cạnh (cung) chúng ta sẽ lưu trữ danh sách tất cả các cạnh (cung) của đồ thị vô hướng (có hướng). Mỗi cạnh (cung) e = (u,v) của đồ thị sẽ tương ứng với hai biến Dau[e] và Cuoi[e]. Như vậy để lưu trữ đồ thị ta cần sử dụng 2m đơn vị ô nhớ. Trong trường hợp đồ thị có trọng số ta phải cần thêm m đơn vị ô nhớ nữa để lưu trữ trọng số của các cạnh. Ví dụ 12: Cho đồ thị vô hướng G như sau Danh sách cạnh của G như sau Dau Cuoi 1 2 1 3 2 3 2 5 3 4 4 5 4 6 5 6 Gi¸o ¸n m«n: Lý ThuyÕt §å ThÞ NguyÔn Minh §øc - §HQG Hµ Néi 20 v1 v3 v2 v3 v2 v4 v5 v1 Ví dụ 13: Cho đồ thị có hướng G như sau Khi đó danh sách cạnh của G là Dau Cuoi v1 v2 v1 v3 v2 v3 v3 v2 2.5 Biểu diễn bằng danh sách kề Trong rất nhiều vấn đề ứng dụng của lý thuyết đồ thị, cách biểu diễn đồ thị dưới dạng danh sách kề là cách biểu diễn thích hợp được sử dụng. Trong cách biểu diễn này, với mỗi đỉnh v của đồ thị chúng ta lưu trữ danh sách các đỉnh kề với nó. Để làm được điều này chúng ta có thể sử dụng cấu trúc mảng các mảng (mảng hai chiều) hoặc mảng các danh sách liên kết. Ví dụ 1: Cho đồ thị vô hướng G như sau Khi đó, danh sách kề lưu trữ dưới dạng mảng như sau v1 v2 v4 v5 v2 v1 v3 v4 v3 v2 v4 v5 v4 v1 v2 v3 v5 v5 v1 v3 v4 Danh sách kề lưu trữ dưới dạng danh sách liên kết như sau: v1 v2 v4 v5 nill v2 v1 v3 v4 nill v3 v2 v4 v5 nill v4 v1 v2 v3 v5 nill v5 v1 v3 v4 nill Chúng ta có rất nhiều phương pháp khác nhau để biểu diễn đồ thị, mỗi phương pháp đều có những ưu và nhược điểm riêng của nó. Vì vậy việc lựa chọn phương pháp biểu diễn đồ thị sao cho việc xử lý nó có hiệu quả nhất phải tuỳ thuộc vào từng bài toán và giải thuật cụ thể. Cài đặt thuật toán: (nhập và hiển thị DS kề của một đồ thị biểu diễn bằng danh sách lien kết: // // Chuong trinh nhap va in ra danh sach ke. Gi¸o ¸n m«n: Lý ThuyÕt §å ThÞ NguyÔn Minh §øc - §HQG Hµ Néi 21 // #include<conio.h> #include<stdio.h> #include<stdlib.h> #define VMAX 100 //So dinh toi da cho mot do thi typedef struct pp //Cau truc tu tro { int v; struct pp *next; }Link; Link *Ke[VMAX]; //Danh sach ke cua do thi int n; char ch; //So dinh cua do thi // // Ham nhap danh sach ke cua do thi co n dinh // void nhap_dsk(Link *Ke[], int n) { int i,v; Link *pd,*p; //Khoi tao mang cac danh sach cac dinh ke cua cac dinh for(i=1;i<=n;i++) { Ke[i] = (Link*)malloc(sizeof(Link)); Ke[i]->v=i; Ke[i]->next = NULL; } //Nhap danh sach cac dinh ke cua cac dinh for(i=1;i<=n;i++) { pd = NULL; printf("\nNhap cac dinh ke voi dinh %d (nhap 0 de ket thuc!):",i); while(1) { scanf("%d",&v); if(v==0) break; if(pd == NULL) { pd = (Link*)malloc(sizeof(Link)); p=pd; } else { p->next = (Link*)malloc(sizeof(Link)); p=p->next; Gi¸o ¸n m«n: Lý ThuyÕt §å ThÞ NguyÔn Minh §øc - §HQG Hµ Néi 22 } p->v=v; p->next = NULL; } Ke[i]->next = pd; } } // // Ham hien thi danh sach ke cua do thi co n dinh // void in_dsk(Link *Ke[], int n) { int i; Link *pd; printf("\nDanh sach ke cua cac dinh cua do thi:\n"); printf("\n \n"); for(i=1;i<=n;i++) { printf("\n Danh sach cac dinh ke cua dinh %d:",Ke[i]->v); pd = Ke[i]->next; while(pd!=NULL) { printf("%5d",pd->v); pd=pd->next; } } } // Ham in tieu de cua chuong trinh // void tieu_de() { printf("\n CHUONG TRINH CAI DAT CAC THUAT TOAN TIM KIEM TREN DO THI"); printf("\n *** \n\n"); } // // Ham hien thi Menu chon chuc nang cua chuong trinh // char menu() { printf("\n Menu chon chu nang"); printf("\n *** \n"); printf("\n\n 1. Nhap do thi cho boi danh sach ke"); printf("\n\n 2. Hien thi danh sach ke cua do thi"); printf("\n\n 5. Ket thuc chuong trinh"); printf("\n\n "); printf("\n\n Ban chon:"); ch=getche(); return ch; } // [...]...Gi¸o ¸n m«n: Lý ThuyÕt §å ThÞ // Chuong trinh chinh // -void main() { int kt=0,i; char ch; do { clrscr(); tieu_de(); ch = menu(); switch(ch) { case '1': //Nhap danh sach ke cua do thi clrscr(); tieu_de(); kt=1; printf("\n\n1.Nhap... thi n ="); scanf("%d",&n); nhap_dsk(Ke,n); printf("\n\n\n\n "); printf("\nGo mot phim bat ky de tro ve menu chon chuc nang!"); getch(); break; case '2' : //Hien thi danh sach ke cua do thi clrscr(); tieu_de(); printf("\n\n2.In danh sach ke cua do thi"); printf("\n \n\n"); if(kt) in_dsk(Ke,n); else printf("\nDo thi chua duoc nhap vao!"); printf("\n\n\n\n ");... mot phim bat ky de tro ve menu chon chuc nang!"); getch(); break; case '5': //Ket thuc chuong trinh printf("\n\nXin cam on ban da su dung chuong trinh!"); getch(); break; } }while(ch!='5'); } 23 NguyÔn Minh §øc - §HQG Hµ Néi . 0 0 0 0 0 2 -1 0 1 1 0 0 -1 0 0 3 0 -1 -1 0 1 0 0 0 0 4 0 0 0 -1 0 1 0 0 -1 5 0 0 0 0 -1 -1 1 1 0 6 0 0 0 0 0 0 0 -1 1 2. 4 Biểu diễn bằng danh sách cạnh (cung) Xét đồ thị G = (V,E),. ứng dụng của lý thuyết đồ thị, mỗi cạnh e = (u,v) của đồ thị được gắn một con số c nào đó (c(e), c(u,v)) gọi là trọng số của cạnh e. Đồ thị có các cạnh được gán trọng số gọi là đồ thị có trọng. sử dụng trong các bài toán liên quan đến đồ thị có hướng mà trong đó phải xử lý các cung của đồ thị. Cho G = (V,E) , V = {v 1 ,v 2 , ,v n }, E = {e 1 ,e 2 , ,e m }, là đồ thị có hướng. Khi