13 CHƯƠNG 8: HỢP CHUYỂN ĐỘNG CỦA ĐIỂM. I. KHÁI NIỆM VỀ HỢP CHUYỂN ĐỘNG ĐIỂM. 1. Bài toán về hợp chuyển động điểm. Trong thực tế chúng ta thường gặp trường hợp chất điểm trong một hệ quy chiếu nào đó mà hệ quy chiếu ấy lại chuyển động so với hệ quy chiếu khác. Ví dụ một số trường hợp sau: - Một người chuyển động trên toa tầu và toa tầu chuyển động so với đường ray. - Con thuyền chuyển động so với dòng nước và dòng nước chuyển động so với bờ sông. - Vệ tinh chuyển động xung quanh trái đất và trái đất chuyển động xung quanh mặt trời. Trong các trường hợp trên ta phải dùng chính toa tầu, con thuyền, trái đất … làm hệ quy chiếu động và khảo sát chuyển động của điểm trong hệ quy chiếu này đồng thời xét chuyển động của hệ quy chiếu động so với hệ quy chiếu cố định là đường ray, bờ sông, mặt trời. 2. Các định nghĩa về chuyển động tuyệt đối, tương đối, theo. Mô hình bài toán được thiết lập như sau: Khảo sát chuyển động của điểm M trong hệ quy chiếu động Oxyz . Hệ quy chiếu động Oxyz chuyển động trong hệ quy chiếu cố định 1111 Oxyz . Ta có các định nghĩa sau: a, Chuyển động tuyệt đối: là chuyển động của M so với hệ quy chiếu cố định 1111 Oxyz . Vận tốc, gia tốc của M trong chuyển động tuyệt đối được gọi là vận tốc tuyệt đối, gia tốc tuyệt đối và được ký hiệu là a V ur , a W uur . b, Chuyển động tương đối: là chuyển động của M so với hệ quy chiếu động Oxyz . Vận tốc, gia tốc của M trong chuyển động tương đối được gọi là vận tốc tương đối, gia tốc tương đối và được ký hiệu là r V ur , r W uur . c, Chuyển động theo: là chuyển động của hệ quy chiếu động Oxyz so với hệ quy chiếu cố định 1111 Oxyz . Để thiết lập biểu thức của vận tốc theo và gia tốc theo người ta đưa vào khái niệm trùng điểm: trùng điểm của điểm M là điểm * M cố định trong hệ động Oxyz mà tại lúc khảo sát điểm M trùng với * M . Vận tốc, gia tốc của * M so với hệ quy chiếu cố định 1111 Oxyz được gọi là vận tốc theo, gia tốc theo và được ký hiệu là e V ur , e W uur . II. ĐỊNH LÝ HỢP VẬN TỐC. 1. Định lý hợp vận tốc. Tại mỗi thời điểm, vận tốc tuyệt đối của điểm bằng tổng hình học của vận tốc tương đối và vận tốc theo. aer VVV =+ ururur (8.1) 2. Chứng minh. M O y x z 1 z 1 y 1 x 1 O r r * MM ≡ O z y x 1 x 1 y 1 z r r i r j r k r 1 O 14 Gọi i,j,k rrr là các vectơ đơn vị thuộc hệ động Oxyz , toạ độ M trong hệ động là x,y,z. Ta có: OMx.iy.jz.k =++ uuuur rrr Theo định nghĩa ta có: - ( ) r dOM V dt = uuuur ur ( đạo hàm theo thời gian vectơ OM uuuur trong hệ động, tức i,j,k rrr =const) ⇒ r dxdydz Vijk dtdtdt =++ ur rrr . - ( ) * 1 e dOM V dt = uuuuur ur ( đạo hàm theo thời gian vectơ * 1 OM uuuuur trong hệ cố định, vì M * cố định trong hệ động nên x,y,z=const) ⇒ ( ) () () * 1 * e 11 dOM dddidjdk VOOOMOOxyz dtdtdtdtdtdt ==+=+++ uuuuur rrr uuuuur uruuuuruuuur - ( ) 1 a dOM V dt = uuuur ur ( đạo hàm theo thời gian vectơ 1 OM uuuur trong hệ cố định) ⇒ ( ) ()() 1 a 11 dOM dd VOOOMOO dtdtdt ==+= uuuur uruuuuruuuuruuuur + dxdidydjdzdk ixjykz dtdtdtdtdtdt +++++ rrr rrr ⇔ () a 1 ddidjdkdxdydz VOOxyzijk dtdtdtdtdtdtdt =++++++ rrr uruuuur rrr = er VV + urur (ĐPCM) III. ĐỊNH LÝ HỢP GIA TỐC. 1. Định lý hợp gia tốc. a, Định lý: Tại mỗi thời điểm, gia tốc tuyệt đối của điểm bằng tổng hình học của ba thành phần gia tốc là gia tốc tương đối, gia tốc theo và gia tốc Côriôlít: arec WWWW =++ uuruuruuruur (8.2) b,Chứng minh: Giả sử : - Tại thời điểm t hệ động tại vị trí (I) và tại thời điểm ttt ′ =+∆ hệ động tại vị trí (I’) như hình vẽ. (I) (I’ ) 1 O 1 Z 1 Y 1 X r C a C e C r V ur a V ur e V ur * MM ≡ e C ′ r C ′ * 1 M r1 V ur e1 V ur M ′ r V ′ uur e V ′ uur a V ′ uur 15 - a C là quỹ đạo của M trong hệ cố định (tuyệt đối), r C và r C ′ là quỹ đạo M trong hệ động (tương đối), e C là quỹ đạo * M trong hệ cố định (theo), e C ′ là quỹ đạo của trùng điểm với M ′ . - r1 V ur là vị trí của r V ur tại thời điểm t mà ta tưởng tượng nó bị gắn chặt với hệ động và bị hệ động kéo đi trong khoảng t ∆ . - e1 V ur là vận tốc theo của * M tại thời điểm ttt ′ =+∆ . Chú ý rằng r C ′ chỉ là sự dời chỗ của r C sang vị trí mới mà thôi còn e C ′ và e C thì là quỹ đạo của hai điểm khác nhau cố định trên hệ động. Theo định nghĩa gia tốc ta có: - Gia tốc tương đối: Người quan sát đứng trên hệ động để khảo sát nên gia tốc tương đối được xác định: rr1 r t0 VV Wlim t ∆→ ′ − = ∆ uurur uur (a) - Gia tốc theo: là gia tốc của trùng điểm * M trong hệ cố định: e1e c t0 VV Wlim t ∆→ − = ∆ urur uur (b) - Gia tốc tuyệt đối: là gia tốc của M trong hệ cố định: aa a t0 VV Wlim t ∆→ ′ − = ∆ uurur uur (c) Theo định lý hợp vận tốc thì aer VVV ′′′ =+ uuruuruur và aer VVV =+ ururur nên ta có: aaerereerr VV(VV)(VV)(VV)(VV) ′′′′′ −=+−+=−+− uururuuruurururuururuurur (d) Để đưa về dạng của (a), (b) ta biến đổi: eeee1e1e (VV)(VV)(VV) ′′ −=−+− uururuurururur và rrrr1r1r (VV)(VV)(VV) ′′ −=−+− uururuurururur (e) Thay vào (d) ta có thể viết lại là: aae1err1ee1r1r VV(VV)(VV)(VV)(VV)  ′′′ −=−+−+−+−  uururururuururuurururur Thay vào (c) ta được: e1err1ee1r1r aa a t0t0 (VV)(VV)(VV)(VV) VV Wlimlim tt ∆→∆→  ′′ −+−+−+− ′ −  == ∆∆ ururuururuurururur uurur uur ⇔ e1err1ee1r1r aerc t0t0t0 VVVV(VV)(VV) WlimlimlimWWW ttt ∆→∆→∆→ ′′ −−−+− =++=++ ∆∆∆ ururuururuurururur uuruuruuruur Trong đó ee1r1r c t0 (VV)(VV) Wlim t ∆→ ′ −+− = ∆ uurururur uur . Định lý đã được chứng minh. Trong công thức c W uur gồm có hai thành phần. Thành phần đầu phản ánh sự biến thiên của vận tốc theo khi M chuyển động trên hệ động. Thành phần thứ hai biểu thị sự đổi hướng của vận tốc tương đối do chuyển động của hệ động gây ra. 2. Quy tắc thực hành xác định gia tốc Côriôlit. a, Trường hợp hệ động chuyển đông tịnh tiến: Khi hệ động chuyển động tịnh tiến thì ta có r1r VV = urur , mặt khác các điểm cố định trên hệ động đều có vận tốc như nhau nên ee1 VV ′ = uurur . Do đó ta có c W0 = uur . b, Trường hợp hệ động chuyển đông quay quanh trục cố định: Giả sử hệ động quanh trục cố định với vận tốc góc là e ω r . Người ta đã chứng minh được: cr e W2.V =ω∧ uurur r . (8.3) Từ đó ta có một số quy tắc sau: 16 - r e V ω⊥ ur r : Quay r V ur quanh e ω r một góc 2 π theo chiều quay của e ω r ta được hướng của c W uur . Độ lớn được xác định c er W2 V =ω uur . - · r e ,V 2 π ω≠ ur r : Chiếu ur r V lên phương vuông góc với e ω r trong mặt phẳng chứa r V ur và e ω r ta được r1 V ur . Quay r1 V ur quanh e ω r một góc 2 π theo chiều quay của e ω r ta được hướng của c W uur . Độ lớn được xác định c erer1 W2 V.cos2 V =ωα=ω uur . α r V ur 2 π e ω r c W uur 2 π r1 V ur r V ur c W uur e ω r . chiếu ấy lại chuyển động so với hệ quy chiếu khác. Ví dụ một số trường hợp sau: - Một người chuyển động trên toa tầu và toa tầu chuyển động so với đường ray. - Con thuyền chuyển động so với dòng. ee1r1r c t0 (VV)(VV) Wlim t ∆→ ′ −+− = ∆ uurururur uur . Định lý đã được chứng minh. Trong công thức c W uur gồm có hai thành phần. Thành phần đầu phản ánh sự biến thiên của vận tốc theo khi M chuyển động trên hệ động. Thành phần thứ hai. vận tốc tương đối do chuyển động của hệ động gây ra. 2. Quy tắc thực hành xác định gia tốc Côriôlit. a, Trường hợp hệ động chuyển đông tịnh tiến: Khi hệ động chuyển động tịnh tiến thì ta có