Đang tải... (xem toàn văn)
Khảo sát tính khả tích Lebesgue
1 2 LỜI CẢM ƠN ---- – & — ---- Trong suốt quá trình thực hiện đề tài luận văn tốt nghiệp em đã nhận được rất nhiều sự giúp đỡ, động viên từ quý thầy cô và bạn bè. Vì vậy, em xin chân thành cảm ơn quý thầy cô Bộ môn Toán đã truyền đạt cho em những kiến thức quý báu trong suốt 4 năm học vừa qua. Xin chân thành cảm ơn Thư viện Khoa Sư Phạm, Trung tâm học liệu Đại học Cần Thơ đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho em thực hiện tốt đề tài. Em xin chân thành cảm ơn cô Trần Thị Thanh Thúy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em hoàn thành đề tài. Xin cảm ơn tập thể lớp SP Toán K 30 đã đóng góp ý kiến để luận văn được hoàn thành. Tuy nhiên, do kiến thức có hạn nên luận văn còn nhiều hạn chế và không tránh khỏi những sai sót. Vì vậy, em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn. Sinh viên thực hiện Phan Trần Diễm 3 NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN 4 NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN PHẢN BIỆN 5 MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU .1 1. Lý do chọn đề tài .1 2. Lịch sử vấn đề .1 3. Mục đích nghiên cứu .1 4. Phạm vi nghiên cứu .2 5. Phương pháp nghiên cứu .2 PHẦN NỘI DUNG 3 PHẦN I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .3 1. Độ đo trên một đại số tập hợp 3 1.1. Định nghĩa độ đo 3 1.2. Một số tính chất của độ đo .4 2. Độ đo Lebesgue trên R 5 3. Hàm số đo được… … ……………………………….……….……5 3.1. Định nghĩa .5 3.2. Một số tính chất .6 3.3. Các phép toán trên hàm số đo được 6 3.4. Khái niệm hầu khắp nơi .6 3.5. Cấu trúc của hàm đo được 7 3.6. Sự hội tụ theo độ đo .8 PHẦN II: TÍCH PHÂN LEBESGUE .9 1. Các định nghĩa tích phân .9 1.1. Tích phân của hàm đơn giản, không âm .9 1.2. Tích phân của hàm đo được, không âm 11 1.3. Tích phân của hàm đo được bất kỳ .12 2. Các tính chất 12 3. Qua giới hạn dưới dấu tích phân 19 4. Tính liên tục tuyệt đối của tích phân 25 5. Mối quan hệ giữa tích phân Lebesgue và tích phân Riemann .26 6. Điều kiện khả tích Lebesgue đối với tích phân trên khoảng vô hạn 27 6 7. Điều kiện khả tích Lebesgue của hàm không bị chặn .28 PHẦN III: BÀI TẬP 29 PHẦN KẾT LUẬN 57 TÀI LIỆU THAM KHẢO 58 7 PHẦN MỞ ĐẦU ---- – & — ---- 1. Lý do chọn đề tài Ở chương trình phổ thông, chúng ta đã bước đầu làm quen với khái niệm tích phân và những ứng dụng hữu ích của nó. Khi đó, phép lấy tích phân của những hàm liên tục hoặc gián đoạn tại hữu hạn điểm được thực hiện một cách dễ dàng bằng tích phân Riemann. Thế nhưng, đối với những hàm gián đoạn tại vô số điểm hoặc tất cả các điểm thì làm thế nào để có thể lấy tích phân theo một nghĩa nào đó? Đây là một câu hỏi đã được đặt ra trong suy nghĩ của em suốt thời phổ thông. Khi bước vào đại học, em đã có cơ hội để trả lời câu hỏi đó qua việc tìm hiểu về tích phân Lebesgue. Tuy nhiên, trong khuôn khổ của một môn học, em không có điều kiện để nghiên cứu sâu về các tính chất cũng như các điều kiện khả tích của loại tích phân này trong những trường hợp khác nhau. Do đó, em luôn có mong muốn đào sâu hơn về vấn đề này để bổ sung và hoàn thiện thêm kiến thức của mình. Với những lý do trên, cùng với sự gợi ý của cô em đã mạnh dạn chọn đề tài này để hoàn thành luận văn tốt nghiệp của mình. 2. Lịch sử vấn đề Lý thuyết tích phân tổng quát được nhà toán học Henri Lebesgue xây dựng vào đầu thế kỷ XX. Sau đó, nó được hoàn thiện đáng kể bởi nhiều nhà toán học lớn. Lý thuyết này đã khắc phục được những khiếm khuyết của tích phân Riemann. Ngoài ra, lý thuyết tích phân của Lebesgue còn đáp ứng được các yêu cầu phát triển trong các lĩnh vực: Xác suất, Phương trình đạo hàm riêng, Cơ học lượng tử… 3. Mục đích nghiên cứu - Hệ thống các tính chất của tích phân Lebesgue, tìm hiểu các điều kiện khả tích (L), xét tính khả tích (L) của các hàm đo được. Nghiên cứu sâu hơn các tính chất liên quan đến tính khả tích (L). - Giải một số bài toán về tích phân Lebesgue. Chẳng hạn: • Tính tích phân (L) bằng cách sử dụng các hàm đơn giản, hàm tương đương, tính σ_cộng tính, tính chất của độ đo, định lý hội tụ đơn điệu, định lý hội tụ bị chặn. • Giải một số bài toán liên quan đến qua giới hạn dưới dấu tích phân. 8 • Giải các bài toán liên quan đến điều kiện khả tích của các hàm đo được. 4. Phạm vi nghiên cứu Tích phân Lebesgue: các tính chất, các dạng toán liên quan đến tích phân Lebesgue. 5. Phương pháp nghiên cứu - Tập hợp, tham khảo các tài liệu có liên quan đến đề tài. - Hệ thống những kiến thức tiên quyết, cơ sở để tiếp cận nội dung chính của đề tài. - Kết hợp tự nghiên cứu, trao đổi, tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn. 9 PHẦN NỘI DUNG PHẦN I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1. Độ đo trên một đại số tập hợp 1.1. Định nghĩa độ đo Cho C là một đại số trên X. Hàm tập µ : C " R được gọi là một độ đo trên C nếu thỏa mãn các điều kiện sau: a) µ(A) ≥ 0 , ∀A ∈ C b) µ(∅) = 0 c) A n ∈ C, ( ) ∈≠∅=∩ ∞ = U 1 , n nmn AmnAA C ( ) ∑ ∞ = ∞ = = ⇒ 1 1 n n n n AA µµ U (tính σ_ cộng tính) Khi đó (X, C, µ) được gọi là một không gian độ đo. + Độ đo µ được gọi là hữu hạn nếu µ(X) < + ∞ + Độ đo µ được gọi là σ_hữu hạn nếu ∃ { } n nN A ∈ ⊂ C sao cho U ∞ = = 1n n AX và µ(A n ) < + ∞, ∀n ∈ N. Ví dụ: • X ≠ ∅, C = P (X) µ(A) = 0 , ∀A ∈ C và ( ) 0, , A A A µ =∅ = +∞≠∅ là hai độ đo trên C. • Hàm µ: C " R ( ) AA µa (trong đó ( ) Aµ bằng card(A) nếu A hữu hạn và bằng ∞+ nếu A vô hạn) Khi đó µ là độ đo và được gọi là độ đo đếm. * Độ đo đủ: Một không gian độ đo (X, C, µ) gọi là đầy đủ nếu mọi tập con của một tập có độ đo không bất kỳ đều đo được. 10 1.2. Một số tính chất của độ đo Tính chất 1: Cho (X, C, µ) là một không gian độ đo. a) A, B ∈ C, B ⊂ A ⇒ µ(B) ≤ µ(A). b) Nếu {A n } n ∈ N ⊂ C, 1 n n A ∞ = ∈ U C thì µ( 1 n n A ∞ = U ) ≤ 1 () n n Aµ ∞ = ∑ . c) Nếu A n ∈ C , ∀n, A 1 ⊂ A 2 ⊂ …, 1 n n A ∞ = ∈ U C thì ( ) n n n n AA µµ ∞→ ∞ = = lim 1 U . d) Nếu A n ∈ C , ∀n, A 1 ⊃ A 2 ⊃…, µ(A 1 ) < +∞, 1 n n A ∞ = I ∈ C thì ( ) n n n n AA µµ ∞→ ∞ = = lim 1 I . Tính chất 2: Cho µ là độ đo trên đại số C. Khi đó: i) µ(A i ) = 0, 1 i i A ∞ = ∈ U C 1 ()0 i i Aµ ∞ = ⇒= U . ii) A ∈ C, µ(B) = 0 ⇒ µ(A ∪ B) = µ(A \ B) = µ(A). Tính chất 3: Giả sử µ: C " R là một hàm tập hợp trên C. Khi đó µ là một độ đo trên C khi và chỉ khi các điều kiện sau thỏa mãn: i) µ(∅) = 0 ii) {A i } i∈ N ⊂ C, A ∈ C, 1 i i AA ∞ = ⊂ U và A i ∩ A j = ∅ (i ≠ j) ⇒ 1 ()() i i AAµµ ∞ = ≤ ∑ iii) {A i } i∈ N ⊂ C, A ∈ C, 1 1 ()() ii i i AAAAµµ ∞ ∞ = = ⊂⇒≤ ∑U Tính chất 4: Cho µ là một hàm tập hợp, không âm, cộng tính trên một đại số C và sao cho µ(∅) = 0. µ là độ đo trên C nếu thỏa thêm một trong hai điều kiện sau: i) A n ∈ C , ∀n, A 1 ⊂ A 2 ⊂ …, 1 n n A ∞ = ∈ U C ⇒ 1 ()lim() nn n n AAµµ ∞ →∞ = = U ii) A n ∈ C , ∀n, A 1 ⊃ A 2 ⊃…, 1 n n A ∞ = I = ∅ ⇒ lim()0 n n Aµ →∞ = [...]... quả: Nếu f khả tích trên tập A thì f hữu hạn h.k.n trên A 2.5 Tuyến tính • ∫ cf A • = c ∫ f (c ∈ R ) A ∫ ( f + g) = ∫ f + ∫ g A A (vế phải phải có nghĩa) A 2.6 Khả tích • Nếu ∫f có nghĩa thì A ∫ f ≤∫ A f A • f khả tích trên A ⇔ f khả tích trên A • Nếu f ≤ g h.k.n trên A và g khả tích thì f cũng khả tích trên A • Nếu f, g khả tích thì f ± g cũng khả tích Nếu f khả tích và g bị chặn thì f.g khả tích 2.7... ( L) ∫ f dµ A 2 Các tính chất 2.1 Nếu f đo được trên A và µ(A) = 0 thì ∫ f dµ = 0 A 2.2 Nếu f đo được, giới nội trên A và µ(A) < +∞ thì f khả tích trên A 2.3 Tính cộng tính Nếu A ∩ B = ∅ thì ∫ A∪ B f =∫ f +∫ f A B 18 Hệ quả: i) Nếu tồn tại ∫ f , E ⊂ A, E đo được thì cũng tồn tại ∫ f Nếu f A khả tích trên E A thì f cũng khả tích trên E ∫ ii) Nếu µ(B) = 0 thì A∪ B f =∫ f A 2.4 Tính bảo toàn thứ tự... ≤ ∫ fdµ A B 1.3 Tích phân của hàm đo được bất kỳ Định nghĩa: Cho f là một hàm đo được có dấu tùy ý trên A ∫f Nếu ít nhất một trong hai tích phân + dµ và ∫ f dµ = ∫ f A Nếu ∫ f dµ − dµ hữu hạn thì tích phân A A của hàm f trên A được định nghĩa là: ∫f A + dµ − ∫ f − dµ A hữu hạn thì ta nói hàm f khả tích trên A A Khi X = R, F = L thì tích phân định nghĩa như trên được gọi là tích phân Lebesgue Ký hiệu:... ] ∫ [ a ,b ] b f m ( x )d µ = lim s ( f , π m ) = ( R) ∫ f ( x)dx m →∞ a 6 Điều kiện khả tích Lebesgue đối với tích phân trên khoảng vô hạn Định lý : Giả sử A = [a, +∞), a ∈ R , hàm f: A → R thỏa: i) f khả tích (L) trên [a, b], ∀b ≥ a ii) tồn tại hằng số M sao cho ∫ f ( x ) dµ ≤ M, ∀b ≥ a [ a ,b ] ∫ Khi đó f khả tích trên A và f ( x)d µ = lim b →∞ [ a , +∞ ) ∫ f ( x) d µ [ a ,b ] Chứng minh: Chọn... f n km ≤ lim ∫ f nkm m → ∞ A n ( ) = lim an = a m → ∞ km A 28 Định lý hội tụ bị chặn của Lebesgue: Cho {fn} là một dãy hàm khả tích xác định trên A, fn hội tụ h.k.n (hoặc theo độ đo) về f trên A và f n ( x) ≤ ϕ(x), ∀n (ϕ(x) là một hàm khả tích trên A) Khi đó: f khả tích và ∫ f ( x)d µ = lim ∫ f n →∞ A ( x) d µ n A Chứng minh: h k n * Trường hợp: f n f trên A → Cách 1: ... TÍCH PHÂN LEBESGUE 1 Các định nghĩa tích phân 1.1 Tích phân của hàm đơn giản, không âm Cho không gian (X, F, µ), A ∈ F n Nếu f là một hàm đơn giản, không âm trên A có dạng f = ∑ ai χ E i =1 i (Ei đo được, Ei ∩ Ej = ∅, ∀i ≠ j, A = U Ei ) thì tích phân của f trên A theo độ đo µ n i =1 được định nghĩa là: ∫ n fdµ = ∑ ai µ (Ei ) i =1 A ∫ fdµ Nếu A = X, ta qui ước viết là X ∫ fdµ * Một số tính chất 1) Tích. .. ( x ) = ⇒ fn(x) khả tích trên A và lim f n ( x) = f ( x ) , ∀x ∈ A n →∞ lim f n ( x) = f ( x) Do đó: Do n →∞ { f } tăng trên A nên ∫ n f n ( x) d µ cũng là một dãy tăng, bị chặn trên bởi M A A ⇒ ∫ f n ( x) dµ hội tụ khi n → ∞ Do định lý hội tụ đơn điệu, ta có: f khả tích (L) trên A Mặt khác: f n ( x ) ≤ f ( x) , ∀n Theo định lý hội tụ bị chặn của Lebesgue, ta có: f khả tích trên A và ∫... Do đó: ∫ f ( x )d µ = lim A b →∞ ∫ f ( x) d µ [ a ,b ] 33 n →∞ ∫ [ a ,bn ] f ( x) d µ 7 Điều kiện khả tích Lebesgue của hàm không bị chặn Nếu f đo được, không âm, không bị chặn trên [a, b] nhưng f khả tích (R) trên mọi [a + ε, b] ⊂ [a, b] và lim ε → 0+ và ( L) ∫ b ∫ f ( x )dx = I hữu hạn thì f khả tích (L) trên [a, b] a +ε b f ( x)d µ = lim+ ( R) ε →0 [ a ,b ] ∫ f ( x)dx 1 a +ε Chứng minh: • Ta... Tchebychev Cho f(x) ≥ 0 khả tích trên A và c > 0 là một số dương bất kỳ Khi đó: µ({ x ∈ A | f(x) ≥ c }) ≤ 1 f ( x) d µ c∫ A Chứng minh: Đặt B = { x ∈ A | f(x) ≥ c} Khi đó: ∫ f ( x ) d µ = ∫ f ( x) d µ + ∫ A Do đó: µ (B ) ≤ B A\ B f ( x ) d µ ≥ ∫ f ( x) d µ ≥ cµ ( B ) B 1 f ( x )dµ c∫ A 22 2.10 Sau đây là một vài tính chất của tích phân các hàm đo được không âm j Cho f không âm, khả tích trên A, µ ( A)... =1 k * Trường hợp f là hàm đo được, có dấu tùy ý, ta phân tích f = f + − f − , sau đó áp dụng kết quả trên cho hai hàm không âm f + , f − • Từ tính chất trên ta suy ra: nếu f là hàm đo được, không âm thì φ ( A) = ∫ fd µ là một độ đo Hàm φ ( A) được gọi là tích phân bất định của f A Áp dụng tính chất của độ đo, ta có thêm một số tính chất cho tích phân ∞ Chẳng hạn như: Nếu An ↑, An đo được, A = U An . f khả tích trên A ⇔ f khả tích trên A. • Nếu f ≤ g h.k.n trên A và g khả tích thì f cũng khả tích trên A. • Nếu f, g khả tích thì f ± g cũng khả. thống các tính chất của tích phân Lebesgue, tìm hiểu các điều kiện khả tích (L), xét tính khả tích (L) của các hàm đo được. Nghiên cứu sâu hơn các tính chất