Đang tải... (xem toàn văn)
Mặt cực tiểu và mặt cực tiểu diện tích trong không gian R3
ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN THỊ NHÃ TRANG MẶT CỰC TIỂU VÀ MẶT CỰC TIỂU DIỆN TÍCH TRONG KHÔNG GIAN R 3 VỚI MẬT ĐỘ e r 2 KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP Chuyên ngành : Hình học vi phân Cán bộ hướng dẫn PGS. TS. ĐOÀN THẾ HIẾU Huế, tháng 5 năm 2011 i LỜI CẢM ƠN Trải qua bốn năm học tập và rèn luyện tại giảng đường trường ĐH Sư Phạm Huế, dưới sự dìu dắt của quý Thầy Cô giáo, tôi đã tích lũy cho mình rất nhiều kiến thức và kinh nghiệm quý báu cả về chuyên môn và nghiệp vụ. Khóa luận này chính là thành quả quan trọng của cả quá trình đó. Đầu tiên, tôi xin được gửi lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy giáo, PGS. TS. Đoàn Thế Hiếu, người đã hướng dẫn và giúp đỡ nhiệt tình, chu đáo cho tôi trong suốt thời gian thực hiện khóa luận. Tôi xin được gửi lòng biết ơn chân thành đến quý Thầy Cô đã giảng dạy lớp Toán B khóa 2007 - 2011 trường ĐHSP Huế, đặc biệt là toàn thể quý Thầy Cô Khoa Toán trường ĐHSP Huế, những người không những cho tôi kiến thức mà còn quan tâm động viên và nhiệt tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập cũng như trong thời gian thực hiện khóa luận. Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn đến tất cả người thân, bạn bè đã quan tâm động viên và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập vừa qua. Huế, tháng 5 năm 2011 Trần Thị Nhã Trang ii MỤC LỤC Trang phụ bìa i Lời cảm ơn ii MỤC LỤC 1 MỞ ĐẦU 3 1 MẶT CỰC TIỂU TRONG KHÔNG GIAN R 3 VỚI MẬT ĐỘ e r 2 5 1.1 Không gian R 3 với mật độ e ϕ - Độ cong trung bình theo mật độ . . 5 1.2 Biến phân thứ nhất của phiếm hàm diện tích . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.1 Biến phân thứ nhất của phiếm hàm diện tích trong không gian R 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.2 Biến phân thứ nhất của hàm diện tích trong không gian R 3 với mật độ e ϕ(r) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Mặt cực tiểu trong không gian R 3 với mật độ e r 2 . . . . . . . . . . 10 1.3.1 Một số mặt cực tiểu cổ điển trong không gian R 3 . . . . . . 11 1.3.2 Mặt cực tiểu trong không gian R 3 với mật độ e r 2 . . . . . . 13 2 MẶT CỰC TIỂU DIỆN TÍCH TRONG KHÔNG GIAN R 3 25 2.1 Bong bóng xà phòng và mặt cực tiểu diện tích với biên là đường cong đóng cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2 Điều kiện cần để một mặt có diện tích nhỏ nhất trong tất cả các mặt có cùng biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3 Biến phân thứ hai của hàm diện tích . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.4 Định lý Stokes và phương pháp dạng cỡ . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.4.1 Dạng vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.4.2 Tích ngoài của m - vector, covetor trong không gian R 3 . . . 33 2.4.3 Định lý Stokes trong không gian R 3 . . . . . . . . . . . . . . 34 2.4.4 Dạng cỡ trong không gian R 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.4.6 Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 1 3 MẶT CỰC TIỂU DIỆN TÍCH TRONG KHÔNG GIAN R 3 VỚI MẬT ĐỘ e r 2 41 3.1 Định lý Stokes với mật độ và phương pháp dạng cỡ trong không gian R 3 với mật độ e r 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.2 Biến phân thứ hai trong không gian R 3 với mật độ e r 2 . . . . . . . 44 3.3 Một số kết quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 KẾT LUẬN 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO 51 2 MỞ ĐẦU Hiện nay, mặt cực tiểu là đối tượng thu hút được rất nhiều sự quan tâm và nghiên cứu trong hình học vi phân. Đặc biệt hơn, đó là các vấn đề liên quan đến mặt cực tiểu và mặt cực tiểu diện tích trong không gian với mật độ. Thuật ngữ minimal surfaces được dùng để chỉ các mặt có độ cong trung bình bằng không còn thuật ngữ area-minimizing surfaces lại được dùng để chỉ các mặt có diện tích nhỏ nhất trong lớp các mặt cùng biên đồng đều hay dưới những sự biến dạng compact, bảo toàn thể tích cho trước. Người ta đã chỉ ra rằng các mặt cực tiểu diện tích có rất nhiều tính chất thú vị. Ví dụ như trong không gian R 3 mặt có diện tích nhỏ nhất với biên là một đường cong cho trước có độ cong trung bình bằng không hay mặt có diện tích nhỏ nhất ứng với một thể tích cho trước bất kì có độ cong trung bình là hằng số . . Bên cạnh đó, các phương pháp được dùng để tìm và chứng minh một mặt là cực tiểu diện tích cũng đang rất thu hút rất nhiều sự quan tâm, đặc biệt là phương pháp dạng cỡ và phương pháp biến phân. Chúng ta đã biết không gian với mật độ là không gian được trang bị một hàm dương gọi là hàm mật độ được dùng làm trọng số cho cả thể tích và chu vi. Khi chuyển từ không gian thông thường sang nghiên cứu không gian với mật độ, một câu hỏi luôn được đặt ra, là: Liệu rằng các kết quả, các tính chất trong không gian thông thường có còn đúng với không gian với mật độ nữa không? Với mong muốn được tìm hiểu và trả lời những câu hỏi đó, dưới sự hướng dẫn và giúp đỡ của Thầy giáo, PGS. TS. Đoàn Thế Hiếu, tôi đã chọn đề tài: "Mặt cực tiểu và mặt cực tiểu diện tích trong không gian R 3 với mật độ e r 2 ". Nội dung chính của khóa luận gồm có ba chương. Chương I trình bày một số vấn đề liên quan đến mặt cực tiểu trong không gian R 3 với mật độ e r 2 như mặt có độ cong trung bình hằng, điều kiện để các mặt tròn xoay, mặt tịnh tiến, mặt kẻ, . . . là mặt cực tiểu và một số mặt cực tiểu đại số. Bên cạnh đó, chúng tôi trình bày biến phân thứ nhất của phiếm hàm diện tích của một mặt tham số chính quy trong R 3 và trong R 3 với mật độ. Chương II trình bày một số vấn đề liên quan đến mặt cực tiểu diện tích trong không gian R 3 . Cụ thể đó là biến phân thứ hai của phiếm hàm diện tích của một mặt tham số chính quy, phương pháp dạng cỡ và một số ví dụ về mặt định cỡ. 3 Chương III trình bày mặt cực tiểu diện tích trong không gian R 3 với mật độ e r 2 . Cụ thể chúng tôi trình bày phương pháp dạng cỡ và phương pháp biến phân dùng để chứng minh một mặt là cực tiểu diện tích trong không gian với mật độ. Cuối cùng là một số kết quả về mặt cực tiểu diện tích trong lớp các mặt cùng biên đồng đều và các mặt cực tiểu diện tích ứng với một thể tích cho trước bất kì. Thông qua khóa luận, tác giả hi vọng người đọc sẽ phát hiện ra một vài điều lí thú và bổ ích. Thân mến! 4 Chương 1 MẶT CỰC TIỂU TRONG KHÔNG GIAN R 3 VỚI MẬT ĐỘ e r 2 Trong chương này, chúng tôi trình bày một số vấn đề liên quan đến mặt cực tiểu trong không gian R 3 và không gian R 3 với mật độ e r 2 . Cụ thể đó là một số mặt cực tiểu cổ điển trong không gian R 3 và sự phù hợp tương ứng giữa độ cong trung bình của mặt cực tiểu với biến phân thứ nhất của phiếm hàm diện tích. Bên cạnh đó, chúng tôi trình bày một số kết quả cũng như điều kiện để các mặt tịnh tiến, mặt kẻ, mặt tròn xoay là mặt cực tiểu trong không gian R 3 với mật độ e r 2 . 1.1 Không gian R 3 với mật độ e ϕ - Độ cong trung bình theo mật độ Hàm mật độ trong R 3 là một hàm dương, khả vi thường được viết dưới dạng e ϕ : R 3 −→ R (x, y, z) −→ e ϕ(x,y,z) . Không gian với mật độ e ϕ là không gian được trang bị hàm mật độ e ϕ dùng làm trọng số cho cả thể tích và chu vi. Cụ thể nếu dV và dP là các phần tử của thể tích và chu vi trong R 3 thì phần tử thể tích và chu vi trong R 3 với mật độ e ϕ được cho bởi công thức dV ϕ = e ϕ dV, dP ϕ = e ϕ dP. Trong không gian R 3 với mật độ e ϕ , độ cong trung bình theo mật độ, kí hiệu là H ϕ , của mặt S được định nghĩa như sau H ϕ = H − 1 2 dϕ dN , 5 với H là độ cong trung bình và N là trường pháp vector đơn vị của mặt S. Vì dϕ dN = ϕ x cos( −→ Ox, N) + ϕ y cos( −→ Oy, N) + ϕ z cos( −→ Oz, N) nên ta có thể viết lại công thức tính H ϕ như sau H ϕ = H − 1 2 ∇ϕ, N = 1 2 (k 1 + k 2 − ∇ϕ, N) với ∇ϕ = (ϕ x , ϕ y , ϕ z ) và k 1 , k 2 là các độ cong chính của mặt S. 1.2 Biến phân thứ nhất của phiếm hàm diện tích Trong phần này chúng tôi trình bày biến phân thứ nhất của phiếm hàm diện tích của một mặt tham số chính quy trong không gian R 3 và trong không gian R 3 với mật độ bằng cách sử dụng biến phân chuẩn tắc. Từ đó làm cơ sở nêu lên mối liên hệ giữa một mặt cực tiểu với biến phân thứ nhất của phiếm hàm diện tích cũng như trong chương II nêu lên điều kiện cần để một mặt là cực tiểu diện tích trong tất cả các mặt có cùng biên. Trước khi giới thiệu biến phân thứ nhất của phiếm hàm diện tích của một mặt chính quy chúng ta có định nghĩa phần tử diện tích và biến phân chuẩn tắc như sau Định nghĩa 1.2.1. (Phần tử diện tích) Cho S là một mặt chính quy, R ⊂ S là một miền bị chặn chứa trong lân cận tọa độ xác định bởi tham số X : U ⊂ R 2 −→ S (với U là miền mở liên thông với bao đóng compact và biên trơn trong R 2 ). Khi đó với Q = X −1 (R), số dương A(R) = Q |X u ∧ X v |dudv được gọi là diện tích của miền R. Tương tự, diện tích của miền R trong không gian R 3 với mật độ e ϕ được định nghĩa là A ϕ (R) = Q e ϕ |X u ∧ X v |dudv. Vì |X u ∧ X v | 2 +X u , X v 2 = |X u | 2 |X v | 2 nên ta cũng có thể tính diện tích của R như sau A(R) = Q EG − F 2 dudv 6 và A ϕ (R) = Q e ϕ EG − F 2 dudv với E, F, G là các hệ số của dạng cơ bản thứ nhất của X. Định nghĩa 1.2.2. (Biến phân chuẩn tắc) Cho X : Ω −→ R 3 là một mặt tham số chính quy, D ⊂ Ω là miền bị chặn và h : D −→ R là một hàm khả vi. Ta gọi một biến phân chuẩn tắc của X(D) xác định bởi h là ánh xạ ϕ : D × (−ε, ε) −→ R 3 ϕ(u, v, t) = X(u, v) + th(u, v)N(u, v), (u, v) ∈ D, t ∈ (−ε, ε). Khi đó với mỗi t xác định, ánh xạ X t : D −→ R 3 X t (u, v) = ϕ(u, v, t) là một mặt tham số. Hình 1.1: Các biến phân chuẩn tắc của X(u, v) 1.2.1 Biến phân thứ nhất của phiếm hàm diện tích trong không gian R 3 Xét mặt chính quy S với tham số hóa X : Ω ⊂ R 2 −→ S, D ⊂ Ω và một biến phân chuẩn tắc X t của X(D). Ta có X t u = X u + thN u + th u N, X t v = X v + thN v + th v N. Kí hiệu E t , F t , G t là các hệ số của dạng cơ bản thứ nhất của X t , ta có E t = E + 2thX u , N u + t 2 h 2 N 2 u + t 2 h 2 u , F t = F + 2thX u , N v + t 2 h 2 N u , N v + t 2 h u h v , 7 G t = G + 2thX v , N v + t 2 h 2 N 2 v + t 2 h 2 v , với X u , N u = −e,X u , N v = X v , N u = −f,X v , N v = −g và 2H(EG−F 2 ) = Eg − 2F f + Ge. Khi đó E t G t − (F t ) 2 = (EG − F 2 ) − 2th(Eg − 2F f + Ge) + R(t) = (EG − F 2 )(1 − 4thH) + R(t) = (EG − F 2 )(1 − 4thH + R(t)), với R(t) là một đa thức theo t, bậc ≥ 2 và R(t) = R(t) EG−F 2 . Với ε đủ nhỏ thì X t là một mặt tham số chính quy. Do đó diện tích của mặt tham số X t A(t) = D E t G t − (F t ) 2 dudv = D 1 − 4thH + R(t) EG − F 2 dudv = D 1 − 4thH + R(t)dA. Khi đó A (t) = D −4hH + R (t) 2 1 − 4thH + R(t) dA được gọi là biến phân thứ nhất của hàm diện tích của mặt tham số chính quy X t . Tại t = 0, ta có A (0) = D −2hHdA được gọi là biến phân thứ nhất của phiếm hàm diện tích của mặt tham số chính quy X. Từ đó ta có định lý nêu lên mối liên hệ giữa một mặt cực tiểu và biến phân thứ nhất của phiếm hàm diện tích của mặt đó như sau Định lý 1.2.1. [1] Cho X : Ω −→ R 3 là một mặt tham số chính quy, D ⊂ Ω là miền bị chặn. Mặt tham số X là cực tiểu KCK A (0) = 0 với mọi miền bị chặn D và với mọi biến phân chuẩn tắc của X(D). 8 [...]... er 2 Trước khi đi vào tìm hiểu các mặt cực tiểu trong không gian R3 với mật độ er , chúng tôi trình bày định nghĩa mặt cực tiểu trong không gian với mật độ, định nghĩa mặt tròn xoay, mặt kẻ và mặt tịnh tiến Đồng thời, chúng tôi cũng xin giới thiệu một số mặt cực tiểu cổ điển trong không gian R3 Định nghĩa 1.3.1 (Mặt cực tiểu trong không gian với mật độ) Một mặt chính qui là mặt cực tiểu với mật độ nếu... thứ nhất của hàm diện tích của mặt tham số X t trong không t gian R3 với mật độ eϕ (r) 9 Và eϕ h Aϕ (0) = eϕ (−2hH )dA ϕ, N dA + D D =− 2h(H − 1 2 ϕ, N )eϕ dA D =− 2hHϕ dAϕ D chính là biến phân thứ nhất của hàm diện tích của mặt tham số chính quy X trong không gian R3 với mật độ eϕ(r) Nhận xét 1.2.1 Nếu S là mặt cực tiểu với mật độ thì Aϕ (0) = 0 1.3 Mặt cực tiểu trong không gian R3 với mật độ 2 er... u < +∞, a > 0 Trong Chương I ta đã biết catenoid là một mặt cực tiểu Bây giờ ta sẽ chỉ ra catenoid không cực tiểu diện tích trong lớp các mặt cùng biên với nó cụ thể là với hai đĩa phẳng Hình 2.2: Catenoid và 2 đĩa phẳng 27 Gọi r là khoảng cách giữa hai đĩa phẳng Khi r đủ lớn thì diện tích mặt catenoid lớn hơn diện tích hai đĩa phẳng Khi r đủ nhỏ thì diện tích mặt catenoid nhỏ hơn diện tích hai đĩa... mặt cùng biên và từ đó Bài toán Plateau ra đời "Tìm một mặt D có diện tích nhỏ nhất với biên là đường cong Jordan C cho trước trong R3 " Người ta nhận thấy rằng những mặt có diện tích nhỏ nhất là những mặt cực tiểu Nhưng sự tồn tại của những mặt cực tiểu có diện tích nhỏ nhất thật không dễ chứng minh chút nào Vì thế một phát biểu khác của bài toán Plateau được đua ra : "Tìm một mặt cực tiểu nhận đường... là mặt cực tiểu diện tích Những kết quả thực nghiệm này đã gây hứng thú cho các nhà toán học trong việc tìm kiếm một phương pháp mới cho phép họ chứng minh sự tồn tại của các mặt có diện tích nhỏ nhất với biên là đường cong cho trước, từ đó đóng góp vào việc xây dựng và phát triển mặt cực tiểu Một trong các tính chất đặc biệt của màng xà phòng là tính cực tiểu diện tích (địa phương) trong lớp các mặt. .. biên là một đường cong cho trước, mặt có diện tích nhỏ nhất là mặt cực tiểu Đây chỉ là điều kiện cần mà không là điều kiện đủ Tức là sẽ có những mặt cực tiểu nhưng không cực tiểu diện tích trong tất cả các mặt có cùng biên với nó Ví dụ như mặt catenoid z Mặt catenoid được sinh ra bằng cách quay đường catenary y = a cosh( a ), a là hằng số quanh trục Oz Một tham số hóa của mặt catenoid là X (u, v ) = (a... tích nhỏ nhất trong lớp các mặt có cùng biên hay dưới những sự biến dạng compact, bảo toàn thể tích cho trước Trong chương này, chúng tôi tìm hiểu mặt cực tiểu diện tích trong không gian R3 với biên là một đường cong đóng cho trước và tìm hiểu thêm về biến phân thứ hai của phiếm hàm diện tích Đồng thời, chúng tôi trình bày định lý Stokes và phương pháp dạng cỡ trong không gian R3 , một phương pháp hỗ trợ... quả sau 2 Hệ quả 1.3.5.1 Trong không gian R3 với mật độ er , các mặt tịnh tiến là những mặt cực tiểu với mật độ khi và chỉ khi các hàm f và h thỏa mãn phương trình (1 + f 2 )h + (1 + h 2 )f + 2(uf + vh − f − h)(1 + f 2 + h 2 ) = 0 17 2 Hệ quả 1.3.5.2 Trong không gian R3 với mật độ er , mặt có tham số hóa dạng X (u, v ) = (u, v, f (u)) với f là hàm khả vi là mặt cực tiểu khi và chỉ khi hàm f thỏa mãn... Douglas và T Rado Họ đã chứng minh được rằng "Tồn tại một mặt cực tiểu dạng đĩa có diện tích nhỏ nhất với biên là đường cong Jordan C cho trước bất kì" trong đó mặt cực tiểu là dạng đĩa nếu miền tham số của nó là hình tròn đơn vị D = {(u, v )/u2 + v 2 ≤ 1} và C là ảnh của đường tròn biên của D 2.2 Điều kiện cần để một mặt có diện tích nhỏ nhất trong tất cả các mặt có cùng biên Giả sử S là mặt có diện tích. .. là mặt kẻ cực tiểu duy nhất khác mặt phẳng Hình 1.3: Mặt helicoid 4 Mặt scherk xác định bởi tham số hóa X (u, v ) = (u, v, 1 cos av ln ), a = 0 a cos au là mặt tịnh tiến cực tiểu duy nhất khác mặt phẳng 12 Hình 1.4: Mặt scherk 5 Mặt enneper có tham số hóa xác định bởi v3 u3 + uv 2 , v − + vu2 , u2 − v 2 ), 3 3 2 với (u, v ) ∈ R là mặt cực tiểu X (u, v ) = (u − Hình 1.5: Mặt enneper 1.3.2 Mặt cực tiểu . số mặt cực tiểu cổ điển trong không gian R 3 . . . . . . 11 1.3.2 Mặt cực tiểu trong không gian R 3 với mật độ e r 2 . . . . . . 13 2 MẶT CỰC TIỂU DIỆN TÍCH. trong không gian với mật độ. Cuối cùng là một số kết quả về mặt cực tiểu diện tích trong lớp các mặt cùng biên đồng đều và các mặt cực tiểu diện tích ứng
