Đang tải... (xem toàn văn)
Một số tính chất của trường hữu hạn
Trang LỜI CẢM ƠN Sau thời gian học tập nghiên cứu tại trường Đại học Cần Thơ, với những kiến thức tiếp thu được từ quý Thầy Cô của trường và đặc biệt là của quý Thầy Cô Bộ môn Toán – Khoa Sư phạm đã giúp em cảm thấy tự tin thực hiện luận văn tốt nghiệp toàn khóa. Em xin gởi lời cảm ơn đến các Thầy Cô Bộ môn Toán, đặc biệt em xin gởi lời cảm ơn sâu sắc nhất đến Cô Phạm Thị Vui. Cô đã tận tình giúp đỡ và động viên để em có thể hoàn thành luận văn tốt nghiệp này. Và em cũng gởi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã tạo điều kiện giúp đỡ em trong thời gian qua. Vì thời gian và kiến thức còn hạn chế nên mặc dù bản thân đã cố gắng nhiều nhưng luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Mong nhận được ý kiến đóng góp quý báu từ quý Thầy Cô và các bạn. Cuối cùng, em xin chân thành cảm ơn tất cả mọi người đã giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho em hoàn thành luận văn tốt nghiệp toàn khóa. Cần thơ, tháng 05 năm 2011 Sinh viên thực hiện Võ Ngọc Ân 1 Trang MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN .1 MỤC LỤC .2 A. PHẦN MỞ ĐẦU 4 BẢNG KÝ HIỆU 6 B. PHẦN NỘI DUNG 8 CHƯƠNG I. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 8 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC VỀ NHÓM 8 1.1 Nhóm con 8 1.2 Nhóm hữu hạn sinh .8 1.3 Cấp của nhóm - cấp của phần tử .9 2. MỘT SỐ KIẾN THỨC VÀNH VÀ TRƯỜNG 9 2.1 Định nghĩa 9 2.2 Trường con 9 2.3 Đồng cấu vành 10 2.4 Đặc số của vành 11 3. MỘT SỐ KIẾN THỨC VỀ ĐA THỨC 12 3.1 Bậc của đa thức .12 3.2 Nghiệm của đa thức và đa thức bất khả quy .12 3.3 Trường phân rã của đa thức 14 4.MỘT SỐ KIẾN THỨC VỀ LÝ THUYẾT GALOIS .15 4.1 Mở rộng trường .15 4.2 Phần tử đại số 15 CHƯƠNG II. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA TRƯỜNG HỮU HẠN 17 1. Định nghĩa .17 2. Nhóm nhân của trường hữu hạn 17 3. Số phần tử của trường hữu hạn 20 2 Trang CHƯƠNG III. ĐA THỨC TRÊN TRƯỜNG HỮU HẠN .24 1. Nghiệm của đa thức bất khả quy trên trường hữu hạn 24 2. Căn của đơn vị và vết 26 3. Đa thức bất khả quy trên trường hữu hạn 28 4. Phân tích đa thức trên trường hữu hạn .33 CHƯƠNG IV. BÀI TẬP .36 Phần kết luận 44 Tài liệu tham khảo 45 3 Trang A. PHẦN MỞ ĐẦU 1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI “Lý thuyết vành và trường” là mảng kiến thức quan trọng dành cho sinh viên chuyên ngành Sư phạm Toán. Đây là môn học rất hay, thú vị, kích thích được lòng say mê học và nghiên cứu Toán của sinh viên. Nhưng do thời gian trên lớp có hạn nên sinh viên không thể tìm hiểu hết các vấn đề có liên quan đến môn học. Do vậy, được sự gợi ý của giáo viên hướng dẫn cùng với lòng say mê tìm hiểu về Trường hữu hạn với những tính chất thú vị như: Mỗi trường hữu hạn đều có số phần tử là lũy thừa của một số nguyên tố nào đó, tổng của tất cả các phần tử trong trường hữu hạn bằng 0 ngoại trừ trường 2 F , . nên em đã quyết định chọn đề tài “Một số tính chất của trường hữu hạn” để thực hiện luận văn tốt nghiệp của mình. 2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Thực hiện đề tài “Một số tính chất của trường hữu hạn”, em hướng đến mục đích là rèn luyện khả năng tiếp cận, tìm hiểu và nghiên cứu một vấn đề Toán học còn khá mới đối với bản thân. Từ đó, hình thành khả năng trình bày một vấn đề Toán học trừu tượng một cách logic và có hệ thống. Luận văn nhằm làm rõ một số tính chất của Trường hữu hạn. Tiếp đến em tìm hiểu một số tính chất của đa thức trên trường hữu hạn. Thực hiện luận văn này, em có cơ hội củng cố lại những kiến thức về đại số và làm quen với cách nghiên cứu khoa học một vấn đề của toán học. 3. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Các phương pháp được sử dụng trong quá trình hoàn thành luận văn là phân tích, tổng hợp tài liệu để làm rõ nội dung lí thuyết. Sau đó trình bày lại các tính chất theo một hệ thống. 4. CÁC BƯỚC THỰC HIỆN • Nhận đề tài. • Sưu tầm tài liệu liên quan đến đề tài. • Lập đề cương chi tiết. • Làm rõ các vấn đề mà đề tài hướng tới hoặc có liên quan đến đề tài. 4 Trang • Trình bày các vấn đề làm được và thông qua giáo viên hướng dẫn. • Chỉnh sửa và hoàn chỉnh luận văn. 6. NỘI DUNG LUẬN VĂN Luận văn được chia làm 4 chương như sau: Chương I. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương này chủ yếu trình bày một số kiến thức cơ bản về nhóm, vành, trường, đa thức và lí thuyết Galois làm nền tảng cho các chương sau. Chương II. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA TRƯỜNG HỮU HẠN Chương này trình bày rõ một số tính chất của trường hữu hạn. Chương III. ĐA THỨC TRÊN TRƯỜNG HỮU HẠN Chương này trình bày rõ một số tính chất của đa thức trên trường hữu hạn như: Nghiệm của đa thức bất khả quy trên trường hữu hạn, đa thức bất khả quy trên trường hữu hạn, phân tích đa thức trên trường hữu hạn. Chương IV. BÀI TẬP Gồm một số bài tập làm nhiệm vụ cũng cố, làm rõ những vấn đề được đề cập đến trong nội dung chính 5 Trang Bảng kí hiệu Æ tập rỗng Z tập các số nguyên gcd( , )m n ước chung lớn nhất của m và n |m n m chia hết n [ ]n số nguyên lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng n ( n Î R) (mod )a b mº a đồng dư với b modulo m ( )n ϕ số các số nguyên dương không vượt quá n và nguyên tố cùng nhau với n (hàm Euler) q F trường có q phần tử * q F nhóm nhân các phần tử khác không của q F ( )K a mở rộng đơn của trường K sinh bởi phần tử a K F£ K là nhóm con của nhóm F 1 phần tử đơn vị của vành (nhóm) ord( )a cấp của phần tử a 1 a - (hay 1 a ) nghịch đảo của phần tử a a nhóm xyclic sinh bởi phần tử a [ ]F x vành các đa thức theo biến x trên trường F deg( ( ))f x bậc của đa thức ( )f x gcd( ( ), ( ))f x g x ước chung lớn nhất của ( )f x và ( )g x ( ) ( )f x g x ( )f x chia hết ( )g x 6 Trang ( )f x ′ đa thức đạo hàm của ( )f x L K> hay K L⊆ L là mở rộng trường của trường K [ : ]L K bậc của mở rộng L trên trường K charF đặc số của vành (trường) F 7 Trang B. PHẦN NỘI DUNG Chương I. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC VỀ NHÓM 1.1 Nhóm con 1.1.1 Định nghĩa Cho G là nhóm, H là tập con khác rỗng của G. Khi đó H là nhóm con của G nếu H với phép toán cảm sinh của phép toán trong G là nhóm. Khi H là nhóm con của G ta kí hiệu H G≤ 1.1.2 Tính chất i) Cho H là tập con khác rỗng của nhóm G. Khi đó các điều kiện sau là tương đương: • H G≤ • 1 , : xy H x y H x H − ∈ ∀ ∈ ∈ • 1 , :x y H xy H − ∀ ∈ ∈ ii) Cho G là nhóm, H G≤ và F H≤ thì F G≤ 1.2 Nhóm hữu hạn sinh 1.2.1 Định nghĩa Cho G là một nhóm và X G⊂ i) Nhóm con nhỏ nhất của G chứa X được gọi là nhóm con sinh bởi X kí hiệu là X . ii) Nếu H G ≤ và H X= thì ta nói rằng H sinh bởi X hay X là hệ sinh của H. Đặt biệt nếu H G = thì ta nói rằng G là một nhóm sinh bởi tập X. iii) Nếu G là một hệ sinh hữu hạn nào đó thì ta nói G là nhóm hữu hạn sinh. Đặt biệt, nếu G có hệ sinh gồm một phần tử thì G được gọi là nhóm xyclic. iv) Nếu { } 1 2 , , ., n X x x x= thì X được viết lại là 1 2 , , ., n x x x . 1.2.2 Tính chất i) Cho G là một nhóm và X G⊂ . Khi đó: 8 Trang • Nếu X = ∅ thì { } X e= • Nếu X ≠ ∅ thì 1 2 , , . , , n i X x x x n N x X= ∈ ∈ ii) Nếu G là nhóm xyclic sinh bởi a thì { } n G a n Z= ∈ 1.3 Cấp của nhóm - cấp của phần tử 1.3.1 Định nghĩa Cho G là nhóm i) Cấp của G chính là lực lượng của G và kí hiệu là G . ii) Cấp của phần tử Ga ∈ là cấp của a và kí hiệu là a . 1.3.2 Tính chất i) Cho G là nhóm, a G∈ . Khi đó: • a có cấp hữu hạn khi và chỉ khi ,m n∃ ∈ N ,m n ≠ sao cho m n a a= . • Nếu a có cấp hữu hạn là d thì { } 2 1 , , , ., d a e a a a − = . • Nếu a có cấp hữu hạn là d thì d là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho d a e= . Nếu tồn tại n sao cho n a e= khi và chỉ khi d n ii) Cho G là nhóm, a G ∈ và a n= . Khi đó ( ) , m n a m n = iii) Cho G là nhóm xyclic cấp n và G a= . Khi đó k G a= khi và chỉ khi ( ) gcd , 1k n = iv) Mọi nhóm cấp nguyên tố đều là nhóm xyclic. v) Cho G là nhóm xyclic. Khi đó, nếu H G≤ thì H là nhóm con xyclic của nhóm G 2.MỘT SỐ KIẾN THỨC VÀNH VÀ TRƯỜNG 2.1 Định nghĩa Trường là một vành giao hoán, có đơn vị, nhiều hơn một phần tử và mọi phần tử khác không đều khả nghịch. 2.2 Trường con 2.2.1 Định nghĩa 9 Trang i) Giả sử X là trường, tập con A khác rỗng của X được gọi là trường con của X nếu A ổn định với hai phép toán trong X và A cùng với hai phép toán cảm sinh là một trường. ii) Trường con P của F được gọi là trường con nguyên tố nếu thỏa các điều kiện sau: • P không chứa trường con nào của F khác P • Mọi trường con của F đều chứa P Khi F P= thì F được gọi là trường nguyên tố. 2.2.2 Tính chất i) Giả sử A là một tập con có nhiều hơn một phần tử của trường X. Khi đó các điều kiện sau là tương đương: • A là trường con của X • , , , ,x y A x y A xy A x A∀ ∈ + ∈ ∈ − ∈ và 1 x A − ∈ nếu 0x ≠ • , ,x y A x y A∀ ∈ − ∈ và 1 xy A − ∈ nếu 0y ≠ ii) Giả sử X là vành giao hoán, có đơn vị, có nhiều hơn một phần tử. Khi đó các khẳng định sau là tương đương: • X là trường • X không có ideal nào ngoài X và { } 0 • Mọi đồng cấu vành khác đồng cấu không từ vành X đến vành bất kỳ đều là đơn cấu. iii) Giả sử X là vành giao hoán, có đơn vị, ideal M của X là ideal tối đại khi và chỉ khi X M là một trường. 2.3 Đồng cấu vành 2.3.1 Đinh nghĩa i) Giả sử X và Y là các vành. Ánh xạ :f X Y→ được gọi là đồng cấu vành nếu thỏa hai điều kiện sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x y f x f y f xy f x f y + = + = với mọi ,x y X∈ 10 [...]... 2 n −1 là cơ sở của K ( a ) trên K ii) Nếu L > K - hữu hạn thì L > K - đại số iii) Cho K < L , giả sử L = K ( a1 ,a2 , ,an ) trong đó ai là các phần tử đại số trên K Khi đó L là mở rộng hữu hạn của K Trang 16 Chương II MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA TRƯỜNG HỮU HẠN 1.Định Nghĩa Định nghĩa Trường hữu hạn là trường có hữu hạn phần tử Định lí 2.1.1 Nếu F là trường hữu hạn thì đặc số của F là một số nguyên tố Chứng... một số nguyên tố Chứng minh Ta có đặc số của trường hoặc là 0 hoặc là một số nguyên tố Giả sử F là trường hữu hạn có đặc số 0 thì F chứa trường con nguyên tố đẳng cấu với Q Nhưng Q là trường vô hạn nên trường con nguyên tố của F là vô hạn. (mâu thuẫn) Vây đặc số của trường hữu hạn là một số nguyên tố W 2.Nhóm nhân của trường hữu hạn Định lí 2.2.1 Cho Fq là trường hữu hạn thì với mọi a ∈ Fq ta đều có a... ∈ F2 [ x] Nếu f ( x) bất khả quy trên F2 thì a) Số các số hạng của f ( x) có hệ số bằng 1 là số lẻ | b) Có số hạng x m của f ( x) với hệ số bằng 1 sao cho 2 / m Chứng minh a) Vì F2 là trường đặc trưng 2 nên các hệ số của các số hạng khác 0 của đa thức f ( x) trên F2 đều bằng 1 Do đó, số các số hạng của f ( x) có hệ số bằng 1 phải là số lẻ ( nếu là số chẵn thì f (1) = 0 ) Trang 31 b) Nếu f ( x) =... là trường hữu hạn có đặc số là p thì số phần tử của F là p n Trong đó p là một số nguyên tố và n là số nguyên dương bất kì Chứng minh Do trường hữu hạn F có đặc số p nên F có trường con nguyên tố đẳng cấu với Z p Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử Z p ≤ F Như vậy F là một mở rộng hữu hạn của Z p Gọi n = F : Z p , theo Bổ đề 2.3.1 ta suy ra F có p n phần tử W Định lí 2.3.3 Cho trường. .. là các số nguyên tố khác nhau α α * * đôi một và F giao hoán nên b = b1b2 K bm = p1 K pm = h = F Vậy F = b 1 m W Hệ quả 2.2.4 Mỗi nhóm con hữu hạn của nhóm nhân của một trường là một nhóm xyclic Chứng minh Giả sử F là một trường và G là một nhóm con hữu hạn cấp n của nhóm nhân F * Trang 18 Xét trường hợp charF = p ≠ 0 Gọi Fp là trường con nguyên tố của trường F Vì G = n nên mọi phần tử của G đều... lý vì ξ > Fq ) W 3 .Số phần tử của trường hữu hạn Bổ đề 2.3.1 Cho F là trường hữu hạn chứa trường con K có q phần tử thì F có q n với n = [ F : K ] Chứng minh Ta có F có không gian vectơ trên K và F là hữu hạn nên số chiều của F là hữu hạn và bằng số vectơ trên K Nếu n = [ F : K ] thì F có cơ sở trên K chứa n phần tử Ta gọi b1 , b2 , bn là cơ sở của F trên K Khi đó mọi phần tử α của F được biểu diễn... tại số nguyên dương nhỏ nhất n sao cho na = 0, ∀a ∈ X thì ta nói vành X có đặc số n Nếu không tồn tại n như vậy thì ta nói vành X có đặc số 0 Đăc số của vành X được ký hiệu CharX Nếu X là một trường thì ta hiểu đặc số của trường X là đặc số của vành X 2.4.2 Tính chất i) Giả sử X là vành có đơn vị là 1 và có đặc số n > 0 Khi đó: • n là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho n.1 = 0 • Nếu X không có ước của. .. Fq Ta có q cách chon hệ số ai trong n hệ số a0 , a1 , a2 , , an −1 ∈ Fq Do đó ta có q n phần tử f ( x) ∈ Vậy trường Fq [ x ] ( p ( x) ) có Fq [ x ] ( p ( x) ) q n phần tử W Định lí 2.3.4 ( sự tồn tại và duy nhất của trường hữu hạn pn phần tử) Cho p là số nguyên tố và n là số nguyên dương thì tồn tại trường hữu hạn chứa đúng pn phần tử Hơn nữa, hai trường hữu hạn có cùng số phần tử thì đẳng cấu với... nên mọi phần tử của G đều là nghiệm của đa thức x n − 1 Do đó, mọi phần tử của G đều đại số trên Fp , suy ra Fp (G ) là mở rộng hữu hạn, đại số trên Fp , do đó Fp (G ) là một trường hữu hạn Theo Định lý 2.2.3, ( Fp (G ) ) là một nhóm xyclic Vì * vậy, G là một nhóm con xyclic của nhóm ( Fp (G ) ) * Xét trường hợp charF = 0 Vì tất cả n phần tử của G đều là nghiệm của đa thức x n − 1 và đa thức x n... không ( nói riêng X là miền nguyên, X là trường) thì n là số nguyên tố ii) Nếu CharX = p là một số nguyên tố thì: ( a + b) = a p + b p p ( a − b) = a p − b p p iii) Cho F là một trường và P là một trường con nguyên tố của nó Nếu: • F có đặc số 0 thì P đẳng cấu với Q • F có đặc số nguyên tố p thì P đẳng cấu với Z p Trang 11 3 MỘT SỐ KIẾN THỨC VỀ ĐA THỨC 3.1 Bậc của đa thức n n −1 3.1.1 Định Nghĩa Giả . HỮU HẠN Chương này trình bày rõ một số tính chất của trường hữu hạn. Chương III. ĐA THỨC TRÊN TRƯỜNG HỮU HẠN Chương này trình bày rõ một số tính chất của. thống. Luận văn nhằm làm rõ một số tính chất của Trường hữu hạn. Tiếp đến em tìm hiểu một số tính chất của đa thức trên trường hữu hạn. Thực hiện luận văn