37 Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXV, số 1A-2006 Sự mở rộng vạch phổ do ảnh hởng của va chạm Phạm Khắc Lu ( a ) Tóm tắt. Trong bài báo này chúng tôi khảo sát phổ huỳnh quang cộng hởng của hệ nguyên tử hai mức năng lợng khi kể đến ảnh hởng của sự va chạm. Chúng tôi coi ảnh hởng của sự va chạm nh là ảnh hởng của thăng giáng ngẫu nhiên và đa ra ma trận suy giảm ngẫu nhiên khi coi thăng giáng do va chạm ngẫu nhiên là thăng giáng độ lệch tần số có dạng nhiễu điện tín. I. Phần mở đầu Trong bài báo này chúng tôi nghiên cứu ảnh hởng của va chạm lên sự mở rộng vạch phổ dựa vào phơng trình Bloch quang học hiệu dụng với thăng giáng ngẫu nhiên là nhiễu telegraph. Trong thực tế trờng laser không hoàn toàn đơn sắc và hệ lợng tử có thể suy biến, vì vậy tiến triển theo thời gian của các biến số động lực của hệ nguyên tử đợc mô tả bởi phơng trình [2] ( ) ( )( ) [ ] ( ) ( )( ) [ ] ( ) tVtXMiMtVtXiM dt tdV xs == , ( 1 ) ở đây V ( t ) là vectơ Bloch, - iM s là ma trận chứa các thành phần không đổi của các thông số về độ lệch tần , về tần số Rabi liên quan đến cờng độ trờng ngoài và hệ số Einstein A đặc trng cho sự suy giảm tự phát; M x là ma trận của nhiễu do va chạm, phụ thuộc vào nguồn nhiễu và tính chất của nhiễu. Khi biết đợc M x ta sẽ giải đợc phơng trình ( 1 ) và tìm đợc sự phụ thuộc của mật độ công suất phổ huỳnh quang vào nhiễu. Mô hình nhiễu phản ánh chính xác ảnh hởng của va chạm bao nhiêu thì kết quả tính đợc các gần với kết quả thực nghiệm bấy nhiêu. II. Phơng trình quang học Bloch hiệu dụng với thăng giáng ngẫu nhiện là nhiễu Telegraph Khi chiếu một chùm laser vào vật chất ở pha khí, các nguyên tử khí này có sự va chạm ngẫu nhiên làm cho nguyên tử bị kích thích nên trạng thái năng lợng thay đổi dẫn đến tần số bức xạ thay đổi theo thời gian. Do sự va chạm ngẫu nhiên đã làm cho tần số bức xạ của nguyên tử thăng giáng nên ta có thể nói ảnh hởng của sự va chạm lên các biến số của nguyên tử nh là ảnh hởng của một nhiễu. Nh vậy khi có ảnh hởng của sự va chạm thì tần số bức xạ của nguyên tử ở thời điểm t đợc tính theo công thức = 0 + X ( t ) ; X ( t ) mô tả thăng giáng của va chạm của các nguyên tử. Kết quả việc lấy trung bình thống kê các phơng trình của các biến số ngẫu nhiên theo thời gian phụ thuộc vào tính chất của các loại nhiễu và nguồn nhiễu mà ta đang khảo sát. Nhận bài ngày 05/8/2004. Sửa chữa xong 10/12/2005 38 Phạm Khắc Lu, Sự mở rộng vạch phổ , tr. 37-45 Loại nhiễu đơn giản nhất mà ngời ta thờng khảo sát là nhiễu trắng ( white noise ) đó là loại nhiễu thay đổi theo thời gian thoả mãn điều kiện về giá trị trung bình ( ) ( ) ( ) ( ) ttDtXtXtX == 2'.;0 , ở đây D là hệ số khuyếch tán của khí nguyên tử Trong vài chục năm lại đây, trong một số công trình [3] , thay cho nhiễu trắng ngời ta khảo sát một mô hình nhiễu khác gọi là nhiễu telegraph. Đó là nhiễu thay đổi theo thời gian, biên độ nhận hai giá trị a, - a và thoả mãn điều kiện về giá trị trung bình ( ) ( ) ( ) == c tt atXtXtX ' exp'.;0 2 , ( 2 ) trong đó a là biên độ nhiễu, c là thời gian kết hợp nhiễu. Nhiễu này còn đợc gọi là nhiễu điện tín. Nghiệm của phơng trình ( 1 ) có dạng ( xem [4] ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) += t t xs tiM dssVMsXstiMVetV s ' .exp0. . ( 3 ) Lấy trung bình hai vế của phơng trình ( 1 ) thì ( ) ( ) ( ) ( ) tVtXMtViMtV xs .+= . ( 4 ) Đặt ( ) ( ) ( ) tVtXtY .= . ( 5 ) t a 0 - a Hình 2 2> 1> Hình 1 = 0 + X(t) E 2 E 1 39 Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXV, số 1A-2006 Từ các công thức ( 3 ) , ( 4 ) và ( 5 ) ta có ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = t xs dssVsXtXiMstiMtY 0 .exp . ( 6 ) Khi nhiễu ngoài là nhiễu telegrap, thay ( 2 ) vào ( 6 ) ta đợc ( ) ( ) ( ) ( ) = t x c s dssViMstiMatY 0 2 . 1 exp . ( 7 ) Thay ( 4 ) vào ( 7 ) cho ta ( ) ( ) ( ) ( ) = t x c sxs dssVMstiMMatViMtV 0 2 . 1 exp . ( 8 ) Từ ( 7 ) và ( 8 ) ta có hệ phơng trình ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) += = . 1 . . 2 tYiMtVMiatY tYiMtViMtV c sx xs & & ( 9 ) Với điều kiện đầu t = 0 thì Y ( t=0 ) = 0, V ( t=0 ) = V ( 0 ) , khi đó phơng trình đối với ảnh Laplace của ( 9 ) có dạng ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) += = . ~ 1 ~~ . ~ . ~ 0 ~ . 2 zYiMzVMiazYz zYiMzViMVzVz c sx xs ( 10 ) Khử ( ) tY ~ ta thu đợc ( ) ( ) 1 . ~ 0 2 ++ ++= x c s xs M iMz a MiMzzVV ( 11 ) Thực hiện phép biến đổi Laplace ngợc ta có ( ) ( ) ++ ++ = 0 . 1 1 1 . 2 2 . V M iMz MaiMz e i dz tV x c s xs tz . ( 12 ) Khi chỉ quan tâm đến động học gần trạng thái dừng hoặc khi các thời gian tham gia trong hiện tợng đủ dài để Y ( t ) giảm chậm hơn so với ( ) tV , trong công thức ( 9 ) ta có thể làm gần đúng đoạn nhiệt, nghĩa là ta đặt ( ) 0=tY & , từ đó ta có 40 Phạm Khắc Lu, Sự mở rộng vạch phổ , tr. 37-45 ( ) ( ) tVM iM a tY x c s . 1 2 + = . ( 13 ) Thay ( 13 ) vào ( 9 ) ta đợc ( ) ( ) tVM iM MaiMtV x c s xs + += . 1 1 2 & . ( 14 ) Đặt x c s x M iM Ma 1 1 2 + = . ( 15 ) Từ đó suy ra ( ) ( ) ( ) tViMtV s = & . ( 16 ) gọi là ma trận suy giảm ngẫu nhiên, phụ thuộc vào tính chất thăng giáng của các đại lợng ngẫu nhiên mà ta khảo sát sự biến thiên của chúng. Dới ảnh hởng của các thăng giáng, các thời gian hồi phục sẽ phụ thuộc vào dạng ma trận này. Phơng trình ( 16 ) gọi là phơng trình quang học Bloch hiệu dụng. Khi c 0 nhng a 2 c dần tới một hằng số, ta đặt a 2 c = D = const thì 2 2 2 11 x xcx x cs c x DM MMa M iM Ma == + = . Khi đó ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) tVDMiMtViMtV xss 2 +== & . ( 17 ) Khi biết đợc ma trận suy giảm ngẫu nhiên ta tính đợc phổ công suất huỳnh quang cộng hởng tơng ứng. 2.1. Biểu thức ma trận suy giảm ngẫu nhiên khi có thăng giáng độ lệch tần số Sự thăng giáng độ lệch tần số xuất hiện có thể do trờng ngoài hoặc do sự thăng giáng tần số chuyển của nguyên tử. Sự va chạm ngẫu nhiên giữa các khí nguyên tử gây nên sự thăng giáng độ lệch tần số, thăng giáng cờng độ, thăng giáng vận tốc pha Trong bài này chúng tôi chỉ xét ảnh hởng của thăng giáng độ lệch tần số lên mật độ phổ công suất huỳnh quang cộng hởng. Ta tìm biểu thức của ma trận suy giảm ngẫu nhiên của thăng giáng độ lệch tần số. Từ biểu thức (15) ta đặt M X = iaM x . ( 18 ) 41 Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXV, số 1A-2006 Khi đó X c s X M iM M + = 1 1 . ( 19 ) Từ phơng trình ( 2 ) và ( 19 ) ta đặt: 1/T 2 = A/2; 1/T 1 = A. Vì 1/T 2 , 1/T 1 , A là các đại lợng đều đặc trng cho tốc độ suy giảm tự phát của các thông số của hệ lợng tử, theo [4] ta có iM s = A A A 0 2 0 2 , ( 20 ) M X = ia 000 001 010 . ( 21 ) Từ ( 19 ) ta tính đợc ma trận suy giảm ngẫu nhiên = 000 0 0 2221 1211 , ( 22 ) với c 1 = ; ( ) P A A a + + = 2 2 11 ; ( 23 ) ( ) P A A a 2 2 22 2 ++ + = ; ( 24 ) ( ) P A a + = 2 12 ; ( 25 ) ( ) P A a + == 2 1221 ; ( 26 ) ( ) +++ + += 22 22 2 A A A P . ( 27 ) Ta xét trờng hợp khi 2 A >> và >> , trong trờng hợp này từ các công thức ( 23 ) ( 27 ) ta thu đợc 42 Phạm Khắc Lu, Sự mở rộng vạch phổ , tr. 37-45 0 2112 = ; 22 2 11 1 c c a + ; c a 2 22 . ( 28 ) Nh vậy từ ( 28 ) ta thấy 11 và 22 đều tỉ lệ với a 2 tức là tỉ lệ với bình phơng cờng độ nhiễu, ngoài ra 11 còn phụ thuộc vào tần số Rabi của trờng tới. Trong chế độ trờng mạnh c >> 1 nhng cha đủ phá huỷ môi trờng và tơng tác vẫn là tuyến tính ( E 0 < 10 8 V/cm [2] ) thì 11 0 , c a 2 12 . Khi đó ta có c a A T 2 2 2 += , A T = 1 1 . ( 29 ) Điều này có nghĩa là nhiễu của độ lệch tần chỉ ảnh hởng tới thời gian hồi phục ngang T 2 mà không ảnh hởng đến thời gian hồi phục dọc T 1 . Từ ( 2 ) ta đợc c a TT 2 12 2 11 = . Sự xuất hiện kết hợp đặc biệt này của a và c khi 0 có thể hiểu một cách dễ dàng đối với nhiễu của độ lệch tần số khi ở giới hạn c 0, nhng a 2 c dần tới một giá trị hữu hạn D. Trong trờng hợp này nhiễu telepraph trở thành nhiễu trắng với hằng số khuyếch tán D và tơng ứng, phù hợp với kết quả đã biết [5] 11 = 12 = a 2 c = D. ( 30 ) Kết quả này hoàn toàn phù hợp với trờng hợp khi xét thăng giáng là nhiễu trắng của độ lệch tần số D A T DA T +=+= 2 1 ; 1 21 . III. Mật độ phổ công suất huỳnh quang cộng hởng khi có thăng giáng độ lệch tần số 3.1. Mật độ phổ công suất huỳnh quang cộng hởng Để tính mật độ phổ công suất huỳnh quang cộng hởng bằng hàm tơng quan ta đa ra vector Bloch với 4 thành phần [4] V ( t ) = ( V 1 , V 2 , V 3 , V 4 ) , ( 31 ) trong đó V 1 = 21 ( t+ ) 12 ( t ) ; V 2 = 12 ( t+ ) 12 ( t ) ; V 3 = W ( t+ ) 12 ( t ) ; V 4 = 12 ( t ) , ( 32 ) V 1 , V 2 , V 3 , V 4 là nghiệm của phơng trình ( 1 ) ứng với điều kiện 1/T 2 = A/2; 1/T 1 = A. Trong trạng thái dừng, giải phơng trình trên và sử dụng và phép chuyển ảnh Laplace ta có nghiệm 43 Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXV, số 1A-2006 ( ) ( ) ( ) dVeVM iMz MaiMzzV zr x c s xs = ++ += 0 1 2 0. 1 1 . ~ . ( 33 ) Ta đã biết mật độ phổ công suất S ( ) liên quan đến hàm tơng quan của trờng điện từ ( xem [1] ) S ( ) ~ I = E*E ~ 21 12 ~ V 1 ( ) . ( 34 ) Từ định lý Wiener Kintchine ta có ( ) ( ) dVtiS 1 0 exp 2 )( = . ( 35 ) Sử dụng phép chuyển ảnh Laplace ta đợc ( ) ( ) iz zVS = = ~ Re2 . ( 36 ) 3.2. Mật độ phổ công suất huỳnh quang cộng hởng khi có thăng giáng độ lêch tần số Từ phơng trình ( 1 ) và ( 32 ) với cách chọn W eq = -1 ta có hệ phơng trình = += = + = .0 22 22 4 21433 322 311 V d d ViViAVAVV d d V i V A iV d d V i V A iV d d ( 37 ) Điều kiện ban đầu đợc chọn là V ( =0 ) = ( 1, 0, 0, 0 ) . ( 38 ) Trực tiếp tính toán ta thu đợc ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] AzAz A z A z Az A z zV ++ ++ ++ ++ ++ ++ = 12 2 21 2 2211 2 11 1 22 22 ~ . (39) Theo ( 36 ) ta tính đợc mật độ phổ công suất huỳnh quang cộng hởng. Xét trờng hợp khi cha có thăng giáng ( 11 = 22 = 12 = 21 = 0) đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của mật độ phổ công suất huỳnh quang cộng hởng vào sự thay đổi của cờng độ trờng ngoài có dạng hình 3. Từ đồ thị ta có nhận xét: khi không có ảnh hởng cờng độ trờng ngoài ( = 0) đồ thị mật độ phổ công suất 44 Phạm Khắc Lu, Sự mở rộng vạch phổ , tr. 37-45 chỉ có một đỉnh. Với những giá trị khác ( 0) đồ thị có thêm hai đỉnh phụ. Các đỉnh chính và đỉnh phụ này thay đổi theo giá trị của . Chẳng hạn với = 3 và = 6 ta có hai đỉnh phụ tại các giá trị +3 và -3, +6 và -6 tơng ứng trên trục hoành. Từ độ thị chúng ta thấy tỉ lệ độ cao của đỉnh chính và đỉnh phụ là 3:1. Hình 4 là đồ thị của phổ công suất huỳnh quang cộng hởng với các giá trị của a. Ta thấy dới ảnh hởng của các thăng giáng độ lệch tần số với các giá trị khác nhau của biên độ nhiễu a, đồ thị mật độ phổ công suất huỳnh quang cộng hởng cũng có một đỉnh chính và hai đỉnh phụ phụ thuộc vào độ lớn của a. Kết quả này phù hợp với các công trình của Mollow [6]. IV. Kết luận Trong bài báo này chúng ta đã khảo sát sự mở rộng vạch phổ do ảnh hởng của va chạm khi xem va chạm nh là nhiễu thăng giáng độ lệch tần số có dạng nhiễu điện tín. Kết quả cho thấy dới tác dụng của trờng ngoài ( không quá lớn ) các vạch phổ bị tách thành 3 gồm 1 đỉnh chính và 2 đỉnh phụ, tỉ lệ giữa các cờng độ đỉnh chính và các đỉnh phụ là 3:1 phù hợp với kết quả của Mollow. Hình 3. Đờng 1 ứng với: a = 3, A = 1, 1/ c = 10, = 0 Đờng 2 ứng với: a = 3, A = 1, 1/ c = 10, = 3 Đờng 3 ứng với: a = 3, A = 1, 1/ c = 10, = 6. Hình 4. Đờng 1 ứng với: a = 0, A = 1, 1/ c = 10, = 7 Đờng 2 ứng với: a = 10, A = 1, 1/ c = 10, = 7 Đờng 3 ứng với: a = 15, A = 1, 1/ c = 10, = 7. Đờng 1 Đờng 2 Đờng 3 Đờng 1 Đờng 3 Đờng 2 Đờng 1 Đờng 2 Đờng 3 45 Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXV, số 1A-2006 Tài liệu tham khảo [1] Trần Bá Chữ, Laser và quang phi tuyến, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2002. [2] Nguyễn Huy Công, Lý thuyết lợng tử ánh sáng, Giáo trình dùng cho Cao học Chuyên ngành Quang học, Đại học Vinh, 2000. [3] Đinh Xuân Khoa, Đinh Văn Hoàng, Quang phổ học laser, Giáo trình dùng cho Cao học Chuyên ngành Quang học, Đại học Vinh, 1997. [4] Lê Văn Vinh, Khảo sát ảnh hởng của các thăng giáng ngẫu nhiên lên một số thông số đặc trng của hệ lợng tử trên cơ sở phơngtrình Bloch quang học hiệu dụng, Luận án Tiến sỹ, 2003. [5] N. H. Cong and D. X. Khoa, Communication in physics, N 0 1 ( 1998 ) , 55-64. [6] J. H. Eberly and K. WoKiewicz. Phis. Rev. A. Vol. 32, N 0 2 ( 1983 ) , pp. 992. SUMMARY line Broadening due to influence of collisions In this paper, the line broadening due to influence of collisions was investigated. We described the collisions using a stochastic model for the line broadening oparato. Resonance fluorescence in the presence of stochastic collision was derived and discussed. ( a ) Khoa Vật lý, trờng đại học Vinh . Tạp chí khoa học, tập XXXV, số 1A-2006 Sự mở rộng vạch phổ do ảnh hởng của va chạm Phạm Khắc Lu ( a ) Tóm tắt. Trong bài báo này chúng tôi khảo sát phổ huỳnh quang cộng hởng của hệ. vào độ lớn của a. Kết quả này phù hợp với các công trình của Mollow [6]. IV. Kết luận Trong bài báo này chúng ta đã khảo sát sự mở rộng vạch phổ do ảnh hởng của va chạm khi xem va chạm nh. giáng độ lệch tần số có dạng nhiễu điện tín. I. Phần mở đầu Trong bài báo này chúng tôi nghiên cứu ảnh hởng của va chạm lên sự mở rộng vạch phổ dựa vào phơng trình Bloch quang học hiệu dụng với