(D, F ) D R n F : K → R n K D K D K K D D ⊂ R n F : R n → R n x ∗ ∈ D, F (x ∗ ), x − x ∗   0 ; ∀x ∈ D. (V IP (D, F )) D, F D, F F f (D, F ) f D D, F ) F D D K D, F D K D K K K K K D F D D, F F lim x∈D;||x||→∞ F (x) − F (x), x − x ||x − x|| = ∞ x ∈ D D, F F : D → R n F D F (x) − F (y), x − y  0 ; ∀x, y ∈ D. F D F (x) − F (y), x − y > 0 ; ∀x, y ∈ D; x = y. F D α > 0 F (x) − F (y), x − y  α||x − y|| 2 ; ∀x, y ∈ D. F D L > 0 ||F (x) − F (y)||  L.||x − y|| ; ∀x, y ∈ D. F D D, F (D, F ) = ∅ ∀x ∗ ∈ SOL − V IP (D, F ) F (x), x − x ∗   0; ∀x ∈ D. x ∗ D, F ) F D D, F F D D, F D R n x ∈ R n d(D, x) = inf y∈D ||x − y||. d(D, .) R n D y ∈ D d(D, x) = ||y − x|| D P D (x). D K K K K = {x = (x 1 , x 2 , , x n ) T ∈ R n |a i  x i  b i ; i = 1, 2, , n}, a = (a 1 , a 2 , , a n ) T ; b = (b 1 , b 2 , , b n ) T ∈ R n . x K (P K (x)) i =      a i , x i < a i x i , x i ∈ [a i ; b i ] b i , x i > b i . C I(a 1 , a 2 , , a n ) ∈ R n R C = {x ∈ R n | n  i=1 (x i − a i ) 2  R 2 } b = (b 1 , b 2 , , b n ) T ∈ R n P C (b) C b ∈ C P C (b) ≡ b C C I C S = {x ∈ R n | n  i=1 (x i − a i ) 2 = R 2 } ∆ = {x ∈ R n |x i = a i + t(b i − a i ) ; i = 1, 2, , n ; t ∈ R}. x i = a i + t(b i − a i ) S t 2 n  i=1 (b i − a i ) 2 = R 2 t = R  n  i=1 (b i − a i ) 2 . P C (b) x i = a i + (b i − a i ) R  n  i=1 (b i − a i ) 2 . L ⊂ R n B = {η 1 , η 2 , , η k } b ∈ R n a = k  j=1 c j η j ∈ L ; c j f = b −a f, η j  = 0 j = 1, 2, , k L c ∈ L f L L ||b − c|| 2 = b − a + a − c, b − a + a − c = b − a, b − a + a − c, a − c + 2b − a, a − c = ||b − a|| 2 + ||a − c|| 2  ||b − a|| 2 . L i = 1, . . . , k f, η i  = 0, b − k  j=1 c j η j , η i  = 0, k  j=1 η i , η j c j = b, η i . A ij = η i , η j  ; D i = b, η i  ; i = 1, 2, , k ; j = 1, 2, , k Ac = D , A = (A ij ), c = (c 1 , c 2 , , c k ) T ; D = (D 1 , D 2 , , D k ) T . A det(A) = 0 a = k  j=1 c j η j c i B η i , η j  = 0 i = j i = j A c i = D i = b, η i  D ⊂ R n F : R n → R n x ∗ ∈ SOL −V IP (D, F ) ⇔ F nat D (x ∗ ) = 0, F nat D (x ∗ ) ≡ x −P D (x −ξF (x)) ξ > 0 D, F F F (D, F ) F α F t k α/L 2 L F L L 2 t k x 0 ∈ K η > 0 x k = P D (x k − ηF (x k )) x k ∈ SOL − V IP (D, F ) x k x k = P D (x k − ηF (x k )) x k+ 1 2 = P D (x k − ηF (x k )), x k+1 = P D (x k − ηF (x k+ 1 2 )). k := k + 1 D ⊂ R n F : D → R n D D, F L D x ∗ ∈ SOL − V IP (D, F ) k ∈ N ||x k+1 − x ∗ || 2  ||x k − x ∗ || 2 − (1 − η 2 L 2 )||x k+ 1 2 − x k || 2 . F : D → R n D D, F L D 0 < η < 1/L {x k } D, F x ∗ ∈ D F (x ∗ ), x − x ∗   0 , ∀x ∈ D. (1) D K D P : K → R P (x)  0 ⇔ x ∈ D. (2) D = {x ∈ R n |g i (x)  0 , i = 1, 2, , m}, g i : R n → R P P (x) := m  i=1 [max(0, g i (x))] 2 . (3) P P h i (x) = [max(0, g i (x))] 2 = (α ◦ g)(x), α(x) := [max(0, x)] 2 =  x 2 , x > 0 0, x  0. x > 0 α  (x) = x 2 x < 0 α  (x) = 0 x = 0 lim ∆x→0 + α(0 + ∆x) − α(0) ∆x = lim ∆x→0 + (∆x) 2 ∆x = 0. α(x) g i h i P (x) P (x) = max 1im (g i (x)). (4) m = 1 P ≡ g 1 g 1 P t > 0 (K, tF + ∇P ) x t ∈ K tF (x t ) + ∇P (x t ), x − x t   0 , ∀x ∈ K, (1 t ) K ⊃ D K ∇P (x t ) P x t S(t) (1 t ) t ∗ = {t  0 : S(t) ⊂ D}. F P S(t) ∩D = ∅ t > t ∗ S(t) ⊂ D 0 < t < t ∗ S(t ∗ ) 0 < t ∗ < ∞ S(.) t ∗ t ∗ = ∞ {x n } x n ∈ S(t n ) t n → t ∗ {x n } P P t 0 a = 0; b = ∞ (1 t k ) x k x k ∈ D a := t k t k+1 =    a + b 2 , b < ∞ 2a, b = ∞. k := k + 1 x k /∈ D b := t k t k := a + b 2 k := k + 1 {x k } x k ∈ D {x k } {x k } {x k } P (x) ≡ 0 x ∈ D x k x k ∈ D D, F (1 t k ) t k k t k → t ∗ D, F D R n F K D K D K D D, F K D V IP (K, tF + ∇P ) P K P (x)  0 x ∈ D. (K, tF + ∇P ) P F F t := tF + ∇P V IP (K, tF + ∇P ) K D P t 0  k > 0  k → 0 k → ∞ a = 0 , b = ∞ k 0 λ > 0 , η ∈ (0; 1/L t k ) L t k F k := t k F + ∇P j := 0 y 0 ∈ K k 1 ||y j − P K (y j − λ.F k (y j ))||   k x k := y j k k ||y j − P K (y j − λ.F k (y j ))|| >  k k 2 k 2 y j+ 1 2 := P K (y j − ηF k (y j )), y j+1 := P K (y j − ηF k (y j+ 1 2 )), j := j + 1 k 1 P K (x) x K K j x k (1 t k ) x k ∈ D a := t k t k+1 :=    a + b 2 , b < ∞ 2a, b = ∞. k := k + 1 x k /∈ D b := t k t k := a + b 2 k := k + 1  k → 0 F K ⊃ D P K F ∇P K {x k } {x k } x k ∗ K, t k + ∇P ) y j → x k ∗ j → +∞  k > 0 j k k 1 j x ∗ D, F ||x k − x ∗ ||  ||x k − x k ∗ || + ||x k ∗ − x ∗ ||. x k = y j ||x k −x k ∗ ||   k  k → 0 x k ∗ → x ∗ ||x k −x ∗ || → 0 k → +∞ D D = {x ∈ R n |g(x)  0} ∩ K , K = {x = (x 1 , x 2 , , x n ) ∈ R n |0  x i  a i , i = 1, 2, , n}, a i = 5 + i 3i − 1 ; g(x) := 1 n 2  i e x i − e 5 + n − 1 n 2 . g(x) R n P (x) ≡ g(x) R n P (x) =   0, x ∈ D > 0, x ∈ K \ D. D K P D ∇P (x) = 1 n 2 · (e x 1 , e x 2 , , e x n ) T . ∇P (x) D e 6 /n 2 ∇P (x) 1/n 2 tF + ∇P F F (x) = H(x) − p(σ x )e − p  (σ x )x, e = (1, , 1) T ∈ R n , σ x = x, e =  j x j , H(x) = (α 1 x 1 + β 1 , . . . , α n x n + β n ) T , α i , β i p(t) = γ t + 1 , γ F F L n =  2(α 2 + 4n 2 γ 2 ) ε = 10 −6 γ\n γ\n γ = 10 x k P D = {x = (x 1 , x 2 ) T ∈ R 2 |g 1 (x)  0 , g 2 (x)  0}, g 1 (x) = x 2 − x 1 , g 2 (x) = −x 2 + x 2 1 − 1 R 2 F F (x) =  x 1 + x 2 x 2 + e x 2 4 − 1  [...]... (II) (x1 , x2 ) (III) Ft := tF + P liên tục và có hằng số đơn điệu mạnh t = t/2 Trước hết, ta dùng phương pháp hàm phạt đưa bài toán trên về dãy các VIP(K, tF + P ) t > 0, áp dụng phương pháp chiếu một lần, ta chọn độ dài bước k := là hằng t t thoả 0 < < 2 ã 2 = Lt (69 + t 4.4)2 0.9t Do đó có thể lấy k = = (69 + t 4.4) Với mỗi áp dụng phương pháp chiếu hai lần, ta chọn độ dài bước thoả 0 0) liên tục Lipschitz với hằng số Lipschitz lt = t 4.4 Hơn nữa, F đơn điệu mạnh trên K với hằng 1 số đơn điệu mạnh = 2 t Do đó tF (t > 0) có hằng số đơn điệu mạnh t = 2 Hai giao điểm của đường thẳng và đường cong là (-1; 0) và (2; 3) Do đó có thể bao bởi hình hộp Ta có 0 0 2(x x 1) 2 1 2(x x 1) 2 1 P (x1 , x2 ) = 2(x2 x1... x S(tk ) và tk t là nghiệm của (1) Có thể nhận thấy là 8 , nhưng nghiệm của những bước cuối cùng xấp xỉ thuộc miền D với sai số khoảng 10 Có thể thấy là vẫn nằm ngoài D Điều này phù hợp với kết luận của bổ đề 1 Thuật toán chạy trong nhiều giờ đồng hồ để tới được vòng lặp thứ 28 Tài liệu tham khảo [1] F Facchinei, and J S Pang, Finite - Dimensional Variational Inequalities and Complementarity Problems,... set Under some assumptions, any cluster point of the sequence of solutions of these problems is a solution of the original problem We also provide some examples to illustrate our method (a) Khoa Tự nhiên, Trường Cao đẳng Sư phạm Quảng Ninh