1 C. V ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 1. ĐỊNH NGHĨA: a. Định nghĩa: Cho hai không gian vectơ E, F trên K. Một ánh xạ : f EF   được gọi là ánh xạ tuyến tính nếu có các tính chất sau: i. ,()()() x xEfxx fx fx      ii. () () x EK fxfx        Ánh xạ tuyến tính còn được gọi là đồng cấu không gian vectơ.  Tập hợp tất cả ánh xạ tuyến tính từ E đến F được ký hiệu là (,) H om E F hay (,) E F L .  Đặc biệt, một ánh xạ tuyến tính từ E đến E được gọi là phép biến đổi tuyến tính của E. Ta ghi () H om E thay cho (,) H om E E .  Một ánh xạ tuyến tính đơn ánh được gọi là đơn cấu.  Một ánh xạ tuyến tính toàn ánh được gọi là toàn cấu  Một ánh xạ tuyến tính song ánh được gọi là đẳng cấu. b. Thí dụ:  Td1: Ánh xạ đồng nhất : E Id E E   là 1 phép biến đổi tuyến tính của E.  Td2: Ánh xạ không 0: 0 F E F x    Td3: Ánh xạ | 23 : (, ) ( ,2, 3) g x yxyxxy      là một phép biến đổi tuyến tính của 3  . 2 Vì:  2 (, ), ( , )uxyvxy     ( ) [( , ) ( , )] [( , )] g uv g x y x yg xx yy          = ( ) ( ), 2( ), ( ) 3( ) x xyyxxxx yy       (,2,3)( ,2,3) xy xx y x y xx y         () () g u g v  2 (, )uxy     () [(, )]( ,2, 3) g u g x y x y xx y          (,2,3) () x yxx y gu     2. TÍNH CHẤT a. Mệnh đề 1 : Cho (,) f Hom E F , khi đó: i) (0) 0 f  vì () (0) 0() f O f O f OO  ) ii) () () f xfx iii) 11 11 ,, ,, () () nn nn ii i i ii x xE K fx fx          b. Mệnh đề 2: Cho (,) f Hom E F . Nếu f là 1 đẳng cấu thì 1 f  cũng là đẳng cấu (từ F vào E). c. Mệnh đề 3: Cho hai không gian vectơ E, F trên K. Giả sử 1 , , n aa là 1 cơ sở của E, và 1 , , n bb là n vectơ nào đó của F. Khi đó, có một ánh xạ tuyến tính duy nhất f từ E vào F thỏa () 1, , ii f ab in      3 Chứng minh:  1 n ii i x Ex ta     , đặt 1 () n ii i f xtb    . Dễ thấy (, ) f Hom E F  .  Nếu có (,) g Hom E F thỏa () 1, , ii ga b in      thì : 1 11 1 , () ( ) ( ) () n ii i nn n ii i i ii ii i xEx ta gx g ta tga tb f x          Vậy gf  . d. Mệnh đề 4: Nếu (, ) f Hom E F và (,)gHomFG  thì (,)gf HomEG  . Thí dụ: Trong không gian vectơ 3  , cho các vectơ (1,1, 0), (1, 0, 1), (0,1, 2)ab c và (1, 1,0), ( 1,0,0)uv  . a) Chứng minh a,b,c là cơ sở của 3  . b) Gọi f là phép biến đổi tuyến tính của 3  mà () , () , () f av f buv f cu. Tính (, ,) f x y z . Bài làm: a) ta có 110 110 101 0 11 10 012012 D   nên a, b, c độc lập tuyến tính. Mà 3 dim 3 , nên a, b, c là cơ sở của 3  . 4 b) 3 (,,)uxyz  (2)(22)( )ux y za x y zb x y zc        nên (, ,) (( 2 ) (2 2 ) ( )) f x y z f x y za x y zb x y zc (2)( (2 2 ) ) )()()( x yz x yz x f fczaby f         (2)(22)[]( ) x yzv x yzuv xyzu         (2 3 2 , 3 3 3 ,0) xy zx y z 3. ẢNH VÀ HẠT NHÂN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH. a. Ảnh của ánh xạ tuyến tính. Cho ánh xạ tuyến tính (, ) f Hom E F  . Tập hợp () {()/ } f EfxxE được gọi là ảnh của ánh xạ tuyến tính f. Ký hiệu: Im f Thí dụ: Im0 {0} 0, Im E Id E   Mệnh đề 5: Im f là một không gian con của F.  Mệnh đề 6: Cho (, ) f Hom E F . Nếu 1 , , n aa là một họ sinh của E thì 1 ( ), , ( ) n f afa là một họ sinh của Im f . Chứng minh: Hiển nhiên 1 (), ,( )Im n f afa f  . Ngoài ra, Im ( ) yf xE yf x   Vì x E nên 1 n ii i x a     , suy ra 1 () ( ) n ii i yfx fa     . Vậy 1 ( ), , ( ) n f afa là một họ sinh của Im f . 5 NHẬN XÉT: f toàn ánh  Im f F  Thí dụ: Cho phép biến đổi tuyến tính 33 :f  (, ,) ( 2, , ) xy zx yy zx y z   Tìm một cơ sở của Im f . Giải: Vì cơ sở tự nhiên 123 (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)ee e là 1 họ sinh của 3  nên 12 3 ( ) (1,0,1), ( ) ( 2,1, 1), ( ) (0,1,1)fe fe fe là một họ sinh của Im f . Do đó, một bộ phận độc lập tuyến tính tối đại của 12 3 ( ) (1,0,1), ( ) ( 2,1, 1), ( ) (0,1,1)fe fe fe sẽ là 1 cơ sở của Im f . Ta có: 1 2 3 () 1 0 1 101 1 01 () 21 1 011 011 ()0 1 1 011 000 fe fe fe        , suy ra một bộ phận độc lập tuyến tính tối đại của 12 3 (),( ), () f efe fe là 12 (),( ) f efe. Đây là 1 cơ sở của Im f .  HẠNG CỦA AXTT: Cho (, ) f Hom E F . Số chiều của Im f được gọi là hạng của f. Ký hiệu rank( ) f . Tóm lại: rank( ) dimIm ff  b. Hạt nhân của ánh xạ tuyến tính. Cho ánh xạ tuyến tính (, ) f Hom E F  . . tuyến tính của E. Ta ghi () H om E thay cho (,) H om E E .  Một ánh xạ tuyến tính đơn ánh được gọi là đơn cấu.  Một ánh xạ tuyến tính toàn ánh được gọi là toàn cấu  Một ánh xạ tuyến tính. VÀ HẠT NHÂN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH. a. Ảnh của ánh xạ tuyến tính. Cho ánh xạ tuyến tính (, ) f Hom E F  . Tập hợp () {()/ } f EfxxE được gọi là ảnh của ánh xạ tuyến tính f. Ký hiệu:.  Ánh xạ tuyến tính còn được gọi là đồng cấu không gian vectơ.  Tập hợp tất cả ánh xạ tuyến tính từ E đến F được ký hiệu là (,) H om E F hay (,) E F L .  Đặc biệt, một ánh xạ tuyến tính