Đề 7 Câu 1. Cho hàm 2 biến z = z(x, y)= y ln(x 2 - y 2 ). Tính dz( )1,2 và 2 2 x z ∂ ∂ ( )1,2 dz= => dz( )1,2 = => 2 2 x z ∂ ∂ ( )1,2 = -6 Câu 2. Tìm cực trị có điều kiện: 2 2 ( , ) 1 4 8 ; 8 8f x y x y x y= − − − = . L(x,y,λ)= 1-4x-8y+λ(  x=-4,y=1, λ=-1/2 v x=4,y=-1, λ=1/2 d 2 L= dx 2 - dy 2 x 2 = 8y 2 +8 => 2xdx=16ydy x=-4,y=1, λ=-1/2 => d 2 L>0 => f(x,y) đạt cực tiểu tại (-4,1) x=4,y=-1, λ=1/2 => d 2 L<0 => f(x,y) đạt cực đại tại (4,-1) Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số 1 2 ! n n n n n ∞ = ∑ Câu 4. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa ( )( ) ∑ ∞ = + + ++ 0 62 1.5 12 n n n n xn ρ= => -5<x+1<5 => -6<x<4 x=-6: x=4: Miền hội tụ [-6,4] Câu 5. Tính tích phân ∫∫ ++ 0 22 3 yx dxdy với D là miền phẳng hữu hạn giới hạn bởi các đường x 2 +y 2 = 1(x, y ≥ 0), x 2 +y 2 =33 (x, y 0≥ ), y=x, y = x 3 . ∫∫ ++ 0 22 3 yx dxdy = Câu 6. Cho 2 hàm P(x,y)= 2ye xy + e x α cosy, Q(x,y)= 2xe xy - e x α siny trong đó α là hằng số. Tìm α để biểu thức Pdx + Qdy là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) nào đó. Với α vừa tìm được, tính tích phân đường dyxyxQdxyyx ]),([]),[( 33 ++− ∫ γ trong đó ( ) γ là đường tròn x 2 +y 2 = 2x lấy theo chiều dương (ngược chiều kim đồng hồ). Câu 7. Tính tích phân mặt loại một 2 = ∫∫ S I x dS , với S là nửa trên mặt 2 2 2 4+ + =x y z 2 = ∫∫ S I x dS = Câu 8. Dùng công thức Stokes, tính 2 2 2 (3 ) (3 ) (3 )= − + − + − ∫Ñ C I x y dx y z dy z x dz , với C là giao của 2 2 = +z x y và 2 2z y= − , chiều kim đồng hồ theo hướng dương trục 0z. S là mặt giao của của 2 2 = +z x y và 2 2z y= − , n= (0, 2 2 2 (3 ) (3 ) (3 )= − + − + − ∫Ñ C I x y dx y z dy z x dz = = = Đề 8 Câu 1. Tìm ' ' , x y z z của hàm ẩn z = z(x,y) xác định từ phương trình 3 2 lnx y yz z+ + = F(x,y)= x 3 +y 3 +yz-lnz z' x = z’ y = Câu 2. Tìm gtln, gtnn của 2 2 2 ( , ) 4f x y x y x y= + + + trên miền {( , ) | | | 1,| | 1}D x y x y= ≤ ≤  x=0,y=0 x= : f(y) =y 2 +y+5 f’(y)=2y+1=0 =>y=-1/2 y=-1: f(x)= 5 với mọi x y=1: f(x)=2x 2 +5>0 f(0,0)= 4 f(-1,-1)=f(1,-1)=5 f( f(1,1)=f(-1,1)=7 Maxf= 7 Minf= 4 Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số a/ )1( 2 12 2 − ∞ = ∑       + nn n n n b/ 2 1 2 5. !)12 (5.3.1 9.4.1 + ∞ = ∑ − n n nn n a) b) => 2 1 2 5. !)12 (5.3.1 9.4.1 + ∞ = ∑ − n n nn n phân kỳ theo tc D’alembert Câu 4. Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa 1 4 2 3 1 ( 1) ( 2) 3 1 n n n n x n n ∞ + = − − + + ∑ ρ= =>-3<x-2<3 => -1<x<5 x=-1 hội tụ x=5 hội tụ theo tc Leibnitz Miền hội tụ [-1,5] Câu 5. Tính tích phân kép ∫∫ −− D yx 22 9 dxdy với D là miền phẳng hữu hạn giới hạn bởi nữa đường tròn x 2 + y 2 = 9, y 0≥ và các đường thẳng y = x, y = -x ∫∫ −− D yx 22 9 = Câu 6. Cho 2 hàm P(x,y)= (1+x+y)e -y , ( , ) (1 ) y Q x y x y e − = − − . Tìm hàm h(x) để biểu thức h(x)P(x, y)dx + h(x)Q(x, y)dy là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) nào đó. Với h(x) vừa tìm, tính tích phân [ ] ∫ + L dyyxQxhdxyxPxh ),()(),()( trong đó L là nữa đường tròn x 2 + y 2 = 9 nằm bên phải trục tung, chiều đi từ điểm A(0, -3) đến điểm B(0, 3).  h(x)= e x [ ] ∫ + L dyyxQxhdxyxPxh ),()(),()( = 3e -3 + 3e 3 Câu 7. Tính 2= ∫∫∫ V I zdxdydz , với V giới hạn bởi 2 2 2 2+ + ≤x y z z và 2 2 1+ + =z x y . D= pr xOy V , D={x 2 + y 2 =1/2} 2= ∫∫∫ V I zdxdydz = Câu 8. Tính tích phân mặt ( ) ( ) ( 2 ) 2 2= + + + + + ∫∫ S I x y dydz y z dxdz z x dxdy , với S là phần mặt paraboloid 2 2 = +z x y , bị cắt bởi 2 2z x= − , phía dưới. D =pr xOy S={ (x+1) 2 +y 2 =3}, x+1=rcosφ,y=rsinφ ( ) ( ) ( 2 ) 2 2= + + + + + ∫∫ S I x y dydz y z dxdz z x dxdy = = = = Đề 9 Câu 1. Tìm miền xác định và miền giá trị của 2 2 1 , if ( , ) (0,0) ( , ) 3, if ( , ) (0,0) x y e x y f x y x y − +   ≠ =   − =  Miền xác định: {R\ xy=0} f(x,y)= , (x,y) khác (0,0)  lnf(x,y) = , (x,y) khác (0,0)  , (x,y) khác (0,0)   0<f(x,y)<1 Miền giá trị: {(0,1) với (x,y) khác (0,0)} {-3 với (x,y)=(0,0)} Câu 2. Tìm cực trị của hàm f(x, y)= x 2 - 2xy+ 2y 2 - 2x+ 2y +4 Điểm dừng:  x=1, y=0 A= f’’ xx =2 B=f’’ xy =-2 C=f’’ yy =4 Δ=AC-B 2 =4>0, A=2>0  f(x,y) đạt cực tiểu tại (1,0) Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của ( ) ∑ ∞ = + 1n nn vu với )14( 14 14 +       + − = nn n n n u , !).13 (10.7.4 ).2 (6.4.2 nn nn v n n + = => hội tụ theo tc Cauchy => phân kỳ theo tc D’alembert  ( ) ∑ ∞ = + 1n nn vu phân kỳ Câu 4. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑ ∞ = + + + 0 4 32 1.4 )3( n n n n x ρ= => -4<x+3<4 => -7<x<1 x=-7: hội tụ theo tc Leibnitz x=1: phân kỳ  Miền hội tụ [-7,1) Câu 5. Tính J= ∫∫ D dxdy với D là miền phẳng giới hạn bởi 2 đường tròn x 2 +y 2 = 2x, x 2 +y 2 = 6x và các đường thẳng y = x, y = 0. J= ∫∫ D dxdy = Câu 6. Tìm hàm h(x 2 - y 2 ), h(1) = 1 để tích phân đường sau đây không phụ thuộc đường đi I= ][ dxyxydyyxxyxh AB )()()( 222222 +−+− ∫ với AB là cung không cắt đường x 2 = y 2 .  h(x 2 -y 2 )= c h(1)=1 => c=1  h(x 2 -y 2 )= 1 Câu 7. Tính ( ) V I x yz dxdydz= + ∫∫∫ , với V giới hạn bởi 2 2 z x y= + và 2 2 2z x y+ + = . ( ) V I x yz dxdydz= + ∫∫∫ = = Câu 8. Tính tích phân mặt ( ) ( ) 2 3 2 4= + + + + ∫∫ S I xdydz y z dxdz z y dxdy , với S là phần mặt 2 2 2 2+ + =x y z x , phần 0z ≤ , phía dưới. Thêm mặt z=0 Công thức Gauss ( ) ( ) 2 3 2 4= + + + + ∫∫ S I xdydz y z dxdz z y dxdy = = Đề 10 Câu 1. Tính // (0,0) xy f 2 2 , if ( , ) (0,0) ( , ) 0, if ( , ) (0,0)  ≠  = +   =  xy x y f x y x y x y (x,y) khác (0,0): f’ x (x,y) = f ‘ x (0,0) = =0 f ‘’ xy (0,0) = Câu 2. Tìm cực trị của hàm 4 4 2 2 2 , 0.z x y x y xy x= + − − − ≠ Điểm dừng:  x=1, y=1 v x=-1,y=-1 A= f’’ xx =12x 2 -2 B=f’’ xy =-2 C=f’’ yy =12y 2 -2 Δ=AC-B 2 = (12x 2 -2)( 12y 2 -2)-4  => Δ= 96>0, A= 10>0  f(x,y) đạt cực tiểu tại (1,1), (-1,-1) Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số 2 1 1 2 1 n n n n ∞ = +   ∑  ÷ +   => 2 1 1 2 1 n n n n ∞ = +   ∑  ÷ +   hội tụ theo tc Cauchy Câu 4. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa 1 ( 4) 2 n n x n n ∞ = − ∑ + ρ= => -1<x-4<1 => 3<x<5 x=3: hội tụ theo tc Leibnitz x=5: hội tụ  Miền hội tụ [3,5] Câu 5. Tính tích phân kép ( | |) D I x y dxdy= + ∫∫ , trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi 2 2 4, 0x y x+ ≤ ≥ ( | |) D I x y dxdy= + ∫∫ = = Câu 6. Tính tích phân (2,3) 2 2 2 2 2 (1,1) 1x y y I dx dy x x x y x y     = − + +  ÷  ÷  ÷  ÷ + +     ∫ , theo đường cong C không qua gốc O và không cắt trục tung. => tp ko phụ thuộc đường đi (2,3) 2 2 2 2 2 (1,1) 1x y y I dx dy x x x y x y     = − + +  ÷  ÷  ÷  ÷ + +     ∫ = Câu 7. 2 2 2 1 V I dxdydz x y z = ∫∫∫ + + , với V được giới hạn bởi 2 2 2 4+ + ≤x y z và 2 2 ≥ +z x y 2 2 2 1 V I dxdydz x y z = ∫∫∫ + + = Câu 8. Tính tích phân mặt ( ) ( ) ( ) S I x z dydz y x dxdz z y dxdy= + + + + + ∫∫ , với S là phần mặt paraboloid 2 2 z x y= + nằm dưới mặt 2x z+ = , phía trên. D=pr xOy S={(x+1/2) 2 +y 2 =9/4} Thêm mặt 2x z+ = Công thức Gauss ( ) ( ) ( ) S I x z dydz y x dxdz z y dxdy= + + + + + ∫∫ = - = = . x=1, y=1 v x =-1 ,y =-1 A= f’’ xx =12x 2 -2 B=f’’ xy =-2 C=f’’ yy =12y 2 -2 Δ=AC-B 2 = (12x 2 -2 )( 12y 2 -2 )-4  => Δ= 96>0, A= 10>0  f(x,y) đạt cực tiểu tại (1,1), (-1 ,-1 ) Câu 3. Khảo. = . L(x,y,λ)= 1-4 x-8y+λ(  x =-4 ,y=1, λ =-1 /2 v x=4,y =-1 , λ=1/2 d 2 L= dx 2 - dy 2 x 2 = 8y 2 +8 => 2xdx=16ydy x =-4 ,y=1, λ =-1 /2 => d 2 L>0 => f(x,y) đạt cực tiểu tại (-4 ,1) x=4,y =-1 , λ=1/2. thừa ∑ ∞ = + + + 0 4 32 1.4 )3( n n n n x ρ= => -4 <x+3<4 => -7 <x<1 x = -7 : hội tụ theo tc Leibnitz x=1: phân kỳ  Miền hội tụ [ -7 ,1) Câu 5. Tính J= ∫∫ D dxdy với D là miền phẳng