MỘT SỐ CHÚ Ý KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1 Khuất Văn Thanh 11/11/2007 Đại số hóa phương trình lượng giác Về nguyên tắc mọi phương trình lượng giác đều có thể đại số hóa nhờ phép đặt ẩn phụ t = tan x 2 (1) với điều kiện cos x 2 = 0, tức là cần kiểm tra lại rằng x = π + k2π có phải là nghiệm không, sau đó xét x = π + k2π Một hạn chế của phép đặt ẩn phụ (1) là sự tăng gấp đôi số bậc của phương trình. Một số phương trình khi đặt ẩn phụ có thể dẫn đến phương trình đại số bậc cao, để giải được học sinh cần biết phương pháp nhẩm nghiệm hữu tỉ của phương trình đại số bậc cao và kĩ thuật dùng lược đồ Hoocne để tính toán. Với giới hạn kiến thức trong trường phổ thông ta tạm phân loại sau đây: Phương trình đa thức đối với một hàm số lượng giác Ví dụ 1. Cho phương trình : cos 2x + sin 2 x + b cos x + 1 = 0. 1. Giải phương trình khi b = 2 2. Tìm b để phương trình có nghiệm. Ví dụ 2. Giải phương trình sin x + tan x 2 = 2 Ví dụ 3. Cho phương trình : sin 4 x + cos 4 x + m sin x cos x = 0, 5 Chứng minh phương trình luôn có nghiệm. Các bạn nên giải các ví dụ trên và lưu ý rằng ta hay gặp những biểu thức như: sin 3 x + cos 3 x; sin 4 x + cos 4 x; sin 6 x + cos 6 x; (2) 1 Tải về từ: http://thanhmath.wordpress.com or http://thanhmath.googlepages.com 1 Phương trình đối xứng đối với sin x và cos x ; phương trình đối xứng với tan x và cot x Tất cả các biểu thức đối xứng đối với sin x và cos x đều có thể biểu diễn theo hai biểu thức đối xứng cơ bản là: sin x + cos x và sin x cos x (3) ví dụ như các biểu thức (2). Mặt khác do đẳng thức sin 2 x + cos 2 x = 1 nên nếu đặt ẩn phụ t = sin x + cos x (4) thì các biểu thức đối xứng đối với sin x và cos x có thể biểu diễn theo t. Các bạn thử chứng minh đẳng thức: S n = sin n x + cos n x = S n−1 .S 1 − S n−2 . ( S 2 1 − 1 2 ) S n = tan n x + cot n x = S 1 .S n−1 − S n−2 Một chú ý là khi đặt ẩn phụ trong (4) phải tìm ngay điều kiện của t hay nói cách khác là tìm miền giá trị của t, điều này rất cần thiết với những bài toán giải và biện luận PT theo tham số. Để nắm chắc vấn đề các bạn nên giải các ví dụ sau: Ví dụ 4. Cho phương trình: sin x cos x = 6(sin x + cos x + m) a) Giải PT với m = −1 b) Tìm m để PT có nghiệm Ví dụ 5. Giải phương trình: 1 + sin 3 x + cos 3 x = 3 2 sin 2x Ví dụ 6. Cho phương trình: 3 sin 2 x + 3 tan 2 x + m(tan x + cot x) − 1 = 0 a) Giải pt với m = 4 b) Tìm m để PT có nghiệm. Ví dụ 7. Cho phương trình : tan 2 x + cot 2 x = m(tan x − cot x) Tìm m để pt có nghiệm. 2 Phương trình đẳng cấp bậc cao đối với sin x và cos x Nếu f(u, v) là đa thức của u, v gồm tổng những đơn thức cùng bậc k thì f (u, v) gọi là đa thức đẳng cấp bậc k của u và v Khi đó f(αu, αv) = α k .f(u, v) Tuy nhiên khi u = sin x; v = cos x thì việc xét bậc sẽ không đơn giản như vậy vì sin 2 x+ cos 2 x = 1. Chẳng hạn: u 2 v 3 là đơn thức bậc 5 nhưng u 2 v 3 = sin 2 x cos 3 x(sin 2 x+ cos 2 x) = sin 4 x cos 3 x + sin 2 x cos 5 x thành thử u 2 v 3 được viết thành tổng của hai đơn thức bậc 7. Như vậy các đơn thức của sin x và cos x chỉ cần có cùng bậc chẵn hoặc cùng bậc lẻ lập tức được coi là đẳng cấp. Khi đó xét trường hợp cos x = 0 thử vào pt, còn trường hợp cos x = 0 thì chai cả hai vế cho cos k x Ví dụ 8. Giải PT: 2 sin 3 x = cos x Ví dụ 9. Tìm m để phương trình sau có nghiệm: m sin 2x + cos 2x + sin 2 x + m = 0 Trong phần sau sẽ nói về phương pháp sử dụng bất đẳng thức và tính chất của hàm số để giải PT lượng giác. Tài liệu tham khảo [1] Phan Đức Chính ,Vũ Dương Thụy,Đào Tam, Lê Nhất Thống, Các bài giảng luyện thi môn toán , Nhà xuất bản giáo dục, 1999, tập I. 3 . MỘT SỐ CHÚ Ý KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1 Khuất Văn Thanh 11/11/2007 Đại số hóa phương trình lượng giác Về nguyên tắc mọi phương trình lượng giác đều có thể đại số hóa nhờ phép. k2π Một hạn chế của phép đặt ẩn phụ (1) là sự tăng gấp đôi số bậc của phương trình. Một số phương trình khi đặt ẩn phụ có thể dẫn đến phương trình đại số bậc cao, để giải được học sinh cần biết phương. một hàm số lượng giác Ví dụ 1. Cho phương trình : cos 2x + sin 2 x + b cos x + 1 = 0. 1. Giải phương trình khi b = 2 2. Tìm b để phương trình có nghiệm. Ví dụ 2. Giải phương trình sin x + tan x 2 =