http://www.ebook.edu.vn Chu . o . ng 4 C ˆ AY 4.1 Mo . ˙’ d¯ˆa ` u Cˆay l`a mˆo . t trong nh˜u . ng kh´ai niˆe . m quan tro . ng nhˆa ´ t cu ˙’ a l´y thuyˆe ´ t d¯ˆo ` thi . , v`a thu . `o . ng xuˆa ´ t hiˆe . n trong nh˜u . ng l˜anh vu . . c ´ıt c´o liˆen quan d¯ˆe ´ n d¯ˆo ` thi . . Trong chu . o . ng n`ay, tru . ´o . c hˆe ´ t s˜e nghiˆen c´u . u cˆay Huffman v`a nh˜u . ng ´u . ng du . ng cu ˙’ a n´o trong viˆe . c n´en d˜u . liˆe . u. Kˆe ´ tiˆe ´ p ch´ung ta x´et tr`ınh b`ay c´ac thuˆa . t to´an t`ım cˆay bao tr`um, cˆay bao tr`um c´o tro . ng lu . o . . ng nho ˙’ nhˆa ´ t khi c´ac ca . nh cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . d¯u . o . . c gˇa ´ n v´o . i c´ac chi ph´ı (tro . ng lu . o . . ng). Cˆay bao tr`um nho ˙’ nhˆa ´ t cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . c´o nhiˆe ` u ´u . ng du . ng trong nh˜u . ng tru . `o . ng ho . . p c´ac d¯u . `o . ng dˆa ˜ n (ˆo ´ ng dˆa ˜ n ga, dˆay dˆa ˜ n trong ma . ng d¯iˆe . n, v.v) d¯u . o . . c su . ˙’ du . ng d¯ˆe ˙’ nˆo ´ i n d¯iˆe ˙’ m v´o . i nhau theo c´ach tˆo ´ t nhˆa ´ t: tˆo ˙’ ng khoa ˙’ ng c´ach cu ˙’ a c´ac d¯u . `o . ng dˆa ˜ n l`a nho ˙’ nhˆa ´ t. Nˆe ´ u n d¯iˆe ˙’ m d¯u . o . . c nˆo ´ i v´o . i nhau trˆen mˆo . t mˇa . t phˇa ˙’ ng, ta c´o thˆe ˙’ biˆe ˙’ u diˆe ˜ n bo . ˙’ i mˆo . t d¯ˆo ` thi . d¯ˆa ` y d¯u ˙’ trong d¯´o c´ac chi ph´ı ca . nh l`a khoa ˙’ ng c´ach gi˜u . a hai d¯iˆe ˙’ m tu . o . ng ´u . ng. Khi d¯´o cˆay bao tr`um v´o . i tro . ng lu . o . . ng nho ˙’ nhˆa ´ t s˜e cho ma . ng giao thˆong v´o . i chi ph´ı ´ıt nhˆa ´ t. Nˆe ´ u c´o thˆe ˙’ nˆo ´ i thˆem ngo`ai n d¯iˆe ˙’ m cho ph´ep, ta c´o thˆe ˙’ thˆa . m ch´ı xˆay du . . ng d¯u . o . . c ma . ng v´o . i ch´ı ph´ı re ˙’ ho . n v`a x´ac d¯i . nh n´o ch´ınh l`a gia ˙’ i quyˆe ´ t b`ai to´an Steiner. B`ai to´an sau n`ay s˜e d¯u . o . . c d¯ˆe ` cˆa . p o . ˙’ phˆa ` n cuˆo ´ i chu . o . ng. D - i . nh ngh˜ıa 4.1.1 C´ac d¯i . nh ngh˜ıa sau cu ˙’ a cˆay (vˆo hu . ´o . ng) l`a tu . o . ng d¯u . o . ng: 1. D - ˆo ` thi . liˆen thˆong c´o n d¯ı ˙’ nh v`a (n − 1) ca . nh. 2. D - ˆo ` thi . liˆen thˆong khˆong c´o chu tr`ınh. 3. D - ˆo ` thi . m`a mo . i cˇa . p d¯ı ˙’ nh d¯u . o . . c nˆo ´ i v´o . i nhau bo . ˙’ i mˆo . t v`a chı ˙’ mˆo . t dˆay chuyˆe ` n so . cˆa ´ p. 4. D - ˆo ` thi . liˆen thˆong v`a khi b´o . t mˆo . t ca . nh bˆa ´ t k`y th`ı mˆa ´ t t´ınh liˆen thˆong. 99 http://www.ebook.edu.vn H`ınh 4.1 minh ho . a cˆay c´o ba ˙’ y d¯ı ˙’ nh v`a s´au ca . nh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 v 7 • • • • •• • H`ınh 4.1: Mˆo . t v´ı du . vˆe ` cˆay. Kh´ai niˆe . m vˆe ` cˆay nhu . mˆo . t thu . . c thˆe ˙’ cu ˙’ a to´an ho . c d¯u . o . . c d¯u . a ra lˆa ` n d¯ˆa ` u tiˆen bo . ˙’ i Kirchhoff [37] khi liˆen hˆe . v´o . i d¯i . nh ngh˜ıa c´ac ma . ch co . ba ˙’ n d¯u . o . . c su . ˙’ du . ng trong phˆan t´ıch c´ac ma . ng d¯iˆe . n. Khoa ˙’ ng 10 nˇam sau d¯´o, mˆo . t c´ach d¯ˆo . c lˆa . p, Cayley [11] d¯˜a ph´at hiˆe . n la . i c´ac cˆay v`a nh˜u . ng t´ıch chˆa ´ t cu ˙’ a n´o khi nghiˆen c´u . u c´ac t´ınh chˆa ´ t ho´a ho . c cu ˙’ a c´ac chˆa ´ t d¯ˆo ` ng phˆan cu ˙’ a hydrocarbon. Cˆay c´o gˆo ´ c (c`on go . i l`a cˆay gia pha ˙’ ) d¯u . o . . c d¯i . nh ngh˜ıa tu . o . ng tu . . nhu . sau: D - i . nh ngh˜ıa 4.1.2 Cˆay c´o gˆo ´ c T l`a d¯ˆo ` thi . c´o hu . ´o . ng khˆong ma . ch m`a mo . i d¯ı ˙’ nh, ngoa . i tr`u . mˆo . t d¯ı ˙’ nh (chˇa ˙’ ng ha . n v 1 ), c´o bˆa . c trong bˇa ` ng mˆo . t: bˆa . c trong cu ˙’ a d¯ı ˙’ nh v 1 (go . i l`a gˆo ´ c cu ˙’ a cˆay) bˇa ` ng khˆong; n´oi c´ach kh´ac, mo . i d¯ı ˙’ nh v ∈ T tˆo ` n ta . i duy nhˆa ´ t mˆo . t d¯u . `o . ng d¯i t`u . gˆo ´ c d¯ˆe ´ n v. H`ınh 4.2 minh ho . a mˆo . t d¯ˆo ` thi . l`a cˆay c´o gˆo ´ c v´o . i d¯ı ˙’ nh v 1 l`a gˆo ´ c. T`u . d¯i . nh ngh˜ıa suy ra rˇa ` ng cˆay c´o gˆo ´ c n d¯ı ˙’ nh c´o (n − 1) cung v`a l`a d¯ˆo ` thi . liˆen thˆong (khi bo ˙’ qua hu . ´o . ng trˆen c´ac cung). Cˆa ` n ch´u ´y rˇa ` ng, c´o thˆe ˙’ d¯i . nh hu . ´o . ng trˆen mˆo . t cˆay (vˆo hu . ´o . ng) sao cho d¯ˆo ` thi . thu d¯u . o . . c l`a cˆay c´o gˆo ´ c: Ta chı ˙’ cˆa ` n cho . n mˆo . t d¯ı ˙’ nh tu `y ´y, chˇa ˙’ ng ha . n v 1 , l`am gˆo ´ c v`a d¯i . nh hu . ´o . ng c´ac cung theo dˆay chuyˆe ` n t`u . v 1 d¯ˆe ´ n c´ac d¯ı ˙’ nh treo. Ngu . o . . c la . i, nˆe ´ u bo ˙’ qua c´ac hu . ´o . ng trˆen cˆay c´o gˆo ´ c ta thu d¯u . o . . c mˆo . t cˆay. Cˆay gia pha ˙’ m`a trong d¯´o mˆo ˜ i ngu . `o . i d¯`an ˆong biˆe ˙’ u thi . mˆo . t d¯ı ˙’ nh v`a c´ac cung d¯u . o . . c v˜e t`u . c´ac cha d¯ˆe ´ n c´ac con cu ˙’ a ho . l`a mˆo . t v´ı du . quen thuˆo . c cu ˙’ a cˆay c´o gˆo ´ c, gˆo ´ c cu ˙’ a cˆay l`a ngu . `o . i d¯ˆa ` u tiˆen trong d`ong ho . m`a c´o thˆe ˙’ x´ac d¯i . nh d¯u . o . . c. 100 http://www.ebook.edu.vn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 v 7 v 8 v 9 v 10 v 11 v 12 v 13 • • • • • • • • • • • • • H`ınh 4.2: Mˆo . t v´ı du . vˆe ` cˆay c´o gˆo ´ c. 4.2 Cˆay Huffman Tiˆe ´ n tr`ınh g´an d˜ay c´ac bit cho c´ac k´y hiˆe . u go . i l`a m˜a ho´a. Trong phˆa ` n n`ay ch´ung ta mˆo . t ta ˙’ mˆo . t thuˆa . t to´an m˜a ho´a rˆa ´ t quen thuˆo . c-thuˆa . t to´an m˜a ho´a Huffman. 4.2.1 C´ac bˆo . m˜a “tˆo ´ t” Khi ta n´oi vˆe ` m˜a ho´a c´o ngh˜ıa l`a g´an d˜ay c´ac bit cho c´ac phˆa ` n tu . ˙’ cu ˙’ a mˆo . t ba ˙’ ng ch˜u . c´ai. Tˆa . p c´ac chuˆo ˜ i nhi . phˆan go . i l`a bˆo . m˜a v`a c´ac phˆa ` n tu . ˙’ cu ˙’ a ch´ung go . i l`a t`u . m˜a. Mˆo . t ba ˙’ ng ch˜u . c´ai l`a mˆo . t tˆa . p ho . . p c´ac k´y hiˆe . u, go . i l`a c´ac k´y tu . . . Chˇa ˙’ ng ha . n, ba ˙’ ng ch˜u . c´ai su . ˙’ du . ng trong hˆa ` u hˆe ´ t c´ac s´ach (tiˆe ´ ng Anh) gˆo ` m 26 k´y tu . . thu . `o . ng, 26 k´y tu . . hoa, v`a c´ac dˆa ´ u ngˇa ´ t cˆau (nhu . dˆa ´ u phˆa ˙’ y). M˜a ASCII (viˆe ´ t tˇa ´ t cu ˙’ a c´ac ch˜u . c´ai d¯ˆa ` u tiˆen cu ˙’ a chuˆo ˜ i American Standard Code for Information Interchange cu ˙’ a k´y tu . . A l`a 01000001, cu ˙’ a k´y tu . . a l`a 01100001 v`a k´y tu . . , l`a 0011010. Ch´u ´y rˇa ` ng trong m˜a ASCII sˆo ´ c´ac bit su . ˙’ du . ng d¯ˆe ˙’ biˆe ˙’ u diˆe ˜ n c´ac k´y tu . . l`a bˇa ` ng nhau. M˜a nhu . vˆa . y go . i l`a m˜a c´o d¯ˆo . d`ai cˆo ´ d¯i . nh. Nˆe ´ u ta muˆo ´ n gia ˙’ m sˆo ´ c´ac bit d¯`oi ho ˙’ i d¯ˆe ˙’ biˆe ˙’ u diˆe ˜ n c´ac thˆong b´ao kh´ac nhau, ta cˆa ` n c´ac chuˆo ˜ i bit biˆe ˙’ u diˆe ˜ n k´y tu . . c´o d¯ˆo . d`ai (n´oi chung) khˆong bˇa ` ng nhau. Nˆe ´ u biˆe ˙’ u diˆe ˜ n c´ac bit d`ai ho . n cho c´ac k´y tu . . thu . `o . ng xuyˆen xuˆa ´ t hiˆe . n v`a ngu . o . . c la . i, ch´ung ta c´o thˆe ˙’ , vˆe ` trung b`ınh, gia ˙’ m sˆo ´ bit biˆe ˙’ u diˆe ˜ n c´ac k´y hiˆe . u. Chˇa ˙’ ng ha . n, m˜a Morse [31] su . ˙’ du . ng c´ac t`u . m˜a ngˇa ´ n ho . n cho c´ac k´y tu . . xuˆa ´ t hiˆe . n thu . `o . ng xuyˆen: m˜a cu ˙’ a cu ˙’ a a l`a ·−, cu ˙’ a e l`a ·, trong khi cu ˙’ a z l`a − − · · · · , q l`a − − ·−, j l`a · − − − . Tuy nhiˆen d¯ˆo . d`ai trung b`ınh cu ˙’ a m˜a khˆong pha ˙’ i l`a tiˆeu chuˆa ˙’ n quan tro . ng khi thiˆe ´ t kˆe ´ 101 http://www.ebook.edu.vn mˆo . t bˆo . m˜a “tˆo ´ t”. X´et v´ı du . sau. Gia ˙’ su . ˙’ ba ˙’ ng ch˜u . c´ai gˆo ` m bˆo ´ n k´y tu . . a 1 , a 2 , a 3 , a 4 v´o . i c´ac x´ac suˆa ´ t xuˆa ´ t hiˆe . n tu . o . ng ´u . ng l`a P(a 1 ) = 1 2 , P (a 2 ) = 1 4 , P (a 3 ) = 1 8 , P (a 4 ) = 1 8 . Entropy cu ˙’ a m˜a nguˆo ` n n`ay l`a 1.75 bit/k´y hiˆe . u (xem [31] d¯ˆe ˙’ c´o kh´ai niˆe . m vˆe ` entropy). X´et c´ac bˆo . m˜a trong nguˆo ` n n`ay cho bo . ˙’ i ba ˙’ ng sau C´ac k´y tu . . M˜a C 1 M˜a C 2 M˜a C 3 M˜a C 4 a 1 1 1 1 1 a 2 1 0 01 10 a 3 0 11 001 100 a 4 01 00 000 1000 D - ˆo . d`ai trung b`ınh 1.125 1.125 1.75 1.875 D - ˆo . d`ai trung b`ınh l cu ˙’ a mˆo ˜ i m˜a x´ac d¯i . nh bo . ˙’ i l = 4  i=1 P (a i )n(a i ) (bit/k´y hiˆe . u), trong d¯´o n(a i ) l`a sˆo ´ c´ac bit cu ˙’ a t`u . m˜a a i . Du . . a trˆen d¯ˆo . d`ai trung b`ınh, m˜a C 1 l`a tˆo ´ t nhˆa ´ t. Tuy nhiˆen, c´ac m˜a cˆa ` n pha ˙’ i c´o kha ˙’ nˇang truyˆe ` n thˆong tin sao cho ngu . `o . i nhˆa . n c´o thˆe ˙’ hiˆe ˙’ u d¯u . o . . c r˜o r`ang. Hiˆe ˙’ n nhiˆen m˜a C 1 khˆong c´o t´ınh chˆa ´ t n`ay: V`ı ca ˙’ hai k´y hiˆe . u a 1 v`a a 2 d¯ˆe ` u d¯u . o . . c g´an l`a 1 nˆen khi nhˆa . n d¯u . o . . c thˆong tin l`a 1, ngu . `o . i nhˆa . n khˆong thˆe ˙’ phˆan biˆe . t d¯´o l`a k ´y hiˆe . u a 1 hay a 2 . Ch´ung ta muˆo ´ n mˆo ˜ i k´y hiˆe . u d¯u . o . . c g´an duy nhˆa ´ t mˆo . t t`u . m˜a. M˜a C 2 c´o c´ac k´y tu . . d¯u . o . . c g´an c´ac chuˆo ˜ i bit kh´ac nhau cho c´ac k´y tu . . . Tuy nhiˆen, gia ˙’ su . ˙’ m˜a ho´a d˜ay a 2 a 1 a 1 d¯u . o . . c 011 v`a gu . ˙’ i d¯i chuˆo ˜ i bit n`ay. Ngu . `o . i nhˆa . n chuˆo ˜ i 011 c´o mˆo . t sˆo ´ c´ach gia ˙’ i m˜a: a 2 a 1 a 1 hoˇa . c a 2 a 3 . D - iˆe ` u n`ay c´o ngh˜ıa l`a mˆo . t d˜ay d¯u . o . . c m˜a ho´a v´o . i bˆo . m˜a C 2 th`ı d˜ay n`ay c´o thˆe ˙’ d¯u . o . . c gia ˙’ i m˜a khˆong tr`ung v´o . i thˆong b´ao ban d¯ˆa ` u. N´oi chung, d¯ˆay khˆong pha ˙’ i l`a d¯iˆe ` u ch´ung ta mong muˆo ´ n khi thiˆe ´ t kˆe ´ c´ac bˆo . m˜a. Ch´ung ta muˆo ´ n c´o t´ınh chˆa ´ t gia ˙’ i m˜a duy nhˆa ´ t; t´u . c l`a mo . i d˜ay c´ac t`u . m˜a chı ˙’ c´o duy nhˆa ´ t mˆo . t c´ach gia ˙’ i m˜a. C´o thˆe ˙’ ch´u . ng minh c´ac m˜a C 3 v`a C 4 thoa ˙’ m˜an t´ınh chˆa ´ t n`ay. Mˇa . c d`u viˆe . c kiˆe ˙’ m tra t´ınh duy nhˆa ´ t khi gia ˙’ i m˜a l`a kh´o, ta c´o thˆe ˙’ ch´u . ng minh t´ınh chˆa ´ t n`ay cho bˆo . m˜a C 3 du . . a trˆen thuˆo . c t´ınh cu ˙’ a bˆo . m˜a: khˆong c´o t`u . m˜a n`ao trong m˜a C 3 l`a “tiˆe ` n tˆo ´ ” cu ˙’ a t`u . m˜a kh´ac. Bˆo . m˜a nhu . vˆa . y go . i l`a m˜a tiˆe ` n tˆo ´ . Mˆo . t c´ach d¯o . n gia ˙’ n d¯ˆe ˙’ kiˆe ˙’ m tra mˆo . t bˆo . m˜a c´o pha ˙’ i l`a tiˆe ` n tˆo ´ hay khˆong ta v˜e cˆay nhi . phˆan (mˆo ˜ i d¯ı ˙’ nh c´o bˆa . c ≤ 2) tu . o . ng ´u . ng v´o . i bˆo . m˜a. Cˆay d¯u . o . . c v˜e xuˆa ´ t ph´at t`u . mˆo . t n´ut d¯o . n (n´ut gˆo ´ c) v`a mˆo ˜ i n´ut trong c´o bˆa . c ngo`ai nho ˙’ ho . n hoˇa . c bˇa ` ng hai. Mˆo . t trong hai nh´anh con tu . o . ng ´u . ng bit 1 v`a nh´anh c`on la . i 102 http://www.ebook.edu.vn tu . o . ng ´u . ng bit 0. D - ˆe ˙’ thuˆa . t tiˆe . n, ta quy u . ´o . c nh´anh con bˆen pha ˙’ i tu . o . ng ´u . ng 0 v`a nh´anh con bˆen tr´ai tu . o . ng ´u . ng 1. Theo c´ach n`ay, c´ac cˆay nhi . phˆan tu . o . ng ´u . ng c´ac m˜a C 2 , C 3 v`a C 4 cho trong H`ınh 4.3. (D - ˆe ˙’ d¯o . n gia ˙’ n, ta s˜e khˆong v˜e c´ac m˜ui tˆen trong c´ac cˆay nhi . phˆan). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 0 0 a 1 a 2 a 3 a 4 • • • • • M˜a C 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 1 0 1 0 • • • • • • • a 1 a 2 a 3 a 4 M˜a C 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 0 0 • • • • • a 1 a 2 a 3 a 4 M˜a C 4 H`ınh 4.3: Ch´u ´y rˇa ` ng ngo`ai n´ut gˆo ´ c, cˆay nhi . phˆan c´o hai loa . i n´ut: c´ac n´ut l´a c´o bˆa . c ngo`ai bˇa ` ng khˆong; v`a c´ac n´ut trong c´o bˆa . c ngo`ai kh´ac khˆong. Trong bˆo . m˜a tiˆe ` n tˆo ´ , c´ac t`u . m˜a chı ˙’ tu . o . ng ´u . ng c´ac n´ut l´a. M˜a C 4 khˆong pha ˙’ i l`a m˜a tiˆe ` n tˆo ´ do tˆo ` n ta . i t`u . m˜a tu . o . ng ´u . ng n´ut trong. Duyˆe . t cˆay t`u . gˆo ´ c d¯ˆe ´ n c´ac n´ut l´a cho ta biˆe ˙’ u diˆe ˜ n chuˆo ˜ i bit tu . o . ng ´u . ng k´y hiˆe . u. Mˆo ˜ i nh´anh d¯´ong g´op mˆo . t bit v`ao t`u . m˜a cu ˙’ a n´o: bit 1 cho nh´anh tr´ai v`a bit 0 cho nh´anh pha ˙’ i. M˜a tiˆe ` n tˆo ´ luˆon luˆon d¯u . o . . c gia ˙’ i m˜a duy nhˆa ´ t nhu . ng ngu . o . . c la . i khˆong d¯´ung (chˇa ˙’ ng ha . n m˜a C 4 ). Tuy nhiˆen c´o thˆe ˙’ ch´u . ng minh rˇa ` ng bˆo . m˜a c´o thˆe ˙’ gia ˙’ i m˜a duy nhˆa ´ t tu . o . ng d¯u . o . ng v´o . i m˜a tiˆe ` n tˆo ´ theo ngh˜ıa: sˆo ´ trung b`ınh c´ac bit biˆe ˙’ u diˆe ˜ n c´ac k´y hiˆe . u bˇa ` ng nhau. 4.2.2 M˜a Huffman M˜a Huffman l`a m˜a tiˆe ` n tˆo ´ v`a tˆo ´ i u . u v´o . i c´ac x´ac xuˆa ´ t cho tru . ´o . c. Phu . o . ng ph´ap xˆay du . . ng m˜a Huffman du . . a trˆen hai quan s´at sau: 1. Trong mˆo . t bˆo . m˜a tˆo ´ t u . u, c´ac k´y hiˆe . u xuˆa ´ t hiˆe . n thu . `o . ng xuyˆen (c´o x´ac suˆa ´ t hay tˆa ` n sˆo ´ xuˆa ´ t hiˆe . n l´o . n) s˜e c´o c´ac t`u . m˜a ngˇa ´ n ho . n c´ac k´y hiˆe . u ´ıt xuˆa ´ t hiˆe . n. 2. Trong mˆo . t bˆo . m˜a tˆo ´ t u . u, hai k´y hiˆe . u xuˆa ´ t hiˆe . n ´ıt nhˆa ´ t s˜e c´o c´ac t`u . m˜a c`ung d¯ˆo . d`ai. D - ˆe ˙’ xˆay du . . ng m˜a Huffman, ch´ung ta c´o thˆe ˙’ biˆe ˙’ u diˆe ˜ n qua cˆay nhi . phˆan m`a c´ac n´ut l´a tu . o . ng ´u . ng c´ac k´y hiˆe . u. Duyˆe . t cˆay nhi . phˆan s˜e cho ta c´ac t`u . m˜a cu ˙’ a bˆo . m˜a: xuˆa ´ t ph´at t`u . 103 http://www.ebook.edu.vn n´ut gˆo ´ c v`a d¯i d¯ˆe ´ n c´ac n´ut l´a, thˆem bit 1 v`ao t`u . m˜a mˆo ˜ i lˆa ` n qua nh´anh tr´ai v`a bit 0 mˆo ˜ i lˆa ` n qua nh´anh pha ˙’ i. V´o . i cˆay trong H`ınh 4.4, ta c´o biˆe ˙’ u diˆe ˜ n c´ac k´y tu . . qua c´ac t`u . m˜a nhu . sau: K´y tu . . M˜a ho´a A 1 O 00 R 010 S 0110 T 0111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 1 1 0 0 0 0 A T S R O • • • • • • • • • H`ınh 4.4: D - ˆe ˙’ gia ˙’ i m˜a mˆo . t chuˆo ˜ i bit, ch´ung ta bˇa ´ t d¯ˆa ` u t`u . gˆo ´ c v`a di chuyˆe ˙’ n do . c theo cˆay cho d¯ˆe ´ n khi gˇa . p k´y tu . . : d¯i theo nh´anh tr´ai nˆe ´ u d¯´o l`a bit 1, ngu . o . . c la . i d¯i theo nh´anh pha ˙’ i. Chˇa ˙’ ng ha . n, chuˆo ˜ i bit 01010111 tu . o . ng ´u . ng t`u . RAT. V´o . i mˆo . t cˆay x´ac d¯i . nh m˜a Huffman nhu . H`ınh 4.4, chuˆo ˜ i bit bˆa ´ t k`y d¯u . o . . c gia ˙’ i m˜a duy nhˆa ´ t mˇa . c d`u c´ac k´y tu . . tu . o . ng ´u . ng v´o . i nh˜u . ng chuˆo ˜ i bit c´o d¯ˆo . d`ai thay d¯ˆo ˙’ i. Huffman d¯˜a chı ˙’ ra thuˆa . t to´an xˆay du . . ng m˜a Huffman t`u . ba ˙’ ng c´ac tˆa ` n sˆo ´ xuˆa ´ t hiˆe . n cu ˙’ a c´ac k´y tu . . nhu . sau: Thuˆa . t to´an xˆay du . . ng m˜a Huffman X´et chuˆo ˜ i cˆa ` n m˜a ho´a s t`u . n k´y tu . . v´o . i n ≥ 2. 1. Xˆay du . . ng d˜ay tˆa ` n sˆo ´ f i , i = 1, 2, . . . , n, xuˆa ´ t hiˆe . n cu ˙’ a c´ac k´y tu . . trong chuˆo ˜ i s. 104 http://www.ebook.edu.vn 2. Nˆe ´ u n = 2 (gia ˙’ su . ˙’ f 1 ≤ f 2 ), xuˆa ´ t cˆay nhu . trong H`ınh 4.5 v`a d`u . ng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . f 1 f 2 1 0 • • • H`ınh 4.5: 3. Gia ˙’ su . ˙’ f v`a f  l`a hai tˆa ` n sˆo ´ nho ˙’ nhˆa ´ t v`a f ≤ f  . Ta . o mˆo . t danh s´ach tˆa ` n sˆo ´ m´o . i bˇa ` ng c´ach thay f v`a f  bo . ˙’ i f + f  . Go . i thuˆa . t to´an n`ay su . ˙’ du . ng danh s´ach tˆa ` n sˆo ´ m´o . i d¯ˆe ˙’ ta . o cˆay T  . Thay d¯ı ˙’ nh d¯u . o . . c g´an nh˜an f + f  d¯ˆe ˙’ nhˆa . n d¯u . o . . c cˆay T trong H`ınh 4.6. Xuˆa ´ t T. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . f f  1 0 • • • H`ınh 4.6: V´ı du . 4.2.1 Cho ba ˙’ ng tˆa ` n sˆo ´ K´y tu . . tˆa ` n sˆo ´ A 2 B 3 C 7 D 8 E 12 Khi d¯´o cˆay Huffman tu . o . ng ´u . ng cho trong H`ınh 4.7. 4.3 Cˆay bao tr`um Ch´ung ta d¯˜a nghiˆen c´u . u riˆeng biˆe . t c´ac t´ınh chˆa ´ t cu ˙’ a mˆo . t cˆay, trong mu . c n`ay ch´ung ta s˜e nghiˆen c´u . u cˆay khi gˇa ´ n n´o nhu . mˆo . t d¯ˆo ` thi . con cu ˙’ a mˆo . t d¯ˆo ` thi . kh´ac. Ch´ung ta biˆe ´ t rˇa ` ng cho d¯ˆo ` thi . c´o m ca . nh, c´o thˆe ˙’ xˆay du . . ng d¯u . o . . c 2 m d¯ˆo ` thi . con kh´ac nhau; r˜o r`ang l`a trong sˆo ´ 105 http://www.ebook.edu.vn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 1 1 0 0 0 0 2 A 3 B 7 C 8 D 12 E • • • • • • • • • H`ınh 4.7: d¯´o c´o mˆo . t v`ai d¯ˆo ` thi . con l`a mˆo . t cˆay. Ch´ung ta quan tˆam d¯ˆe ´ n mˆo . t loa . i cˆay d¯ˇa . c biˆe . t: “cˆay bao tr`um”. Kh´ai niˆe . m cˆay bao tr`um lˆa ` n d¯ˆa ` u tiˆen d¯u . o . . c su . ˙’ du . ng v`a ph´at triˆe ˙’ n l´y thuyˆe ´ t vˆe ` cˆay bo . ˙’ i nh`a vˆa . t l´y ngu . `o . i D - ´u . c Kirchoff nˇam 1847. Kirchoff d¯˜a su . ˙’ du . ng cˆay bao tr`um nhˇa ` m gia ˙’ i hˆe . c´ac phu . o . ng tr`ınh tuyˆe ´ n t´ınh d¯ˆe ˙’ x´ac d¯i . nh cu . `o . ng d¯ˆo . d`ong d¯iˆe . n trong mˆo ˜ i nh´anh v`a xung quanh ma . ch cu ˙’ a mˆo . t ma . ng d¯iˆe . n. V´ı du . 4.3.1 D - ˆo ` thi . trong H`ınh 4.8(a) c´o cˆay bao tr`um trong H`ınh 4.8(b). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a b c d e f • • • • • • (a) (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a b c d e f • • • • • • H`ınh 4.8: D - i . nh ngh˜ıa 4.3.2 Cˆay T d¯u . o . . c go . i l`a cˆay bao tr`um cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . liˆen thˆong G nˆe ´ u T l`a d¯ˆo ` thi . con cu ˙’ a G v`a T ch´u . a tˆa ´ t ca ˙’ c´ac d¯ı ˙’ nh cu ˙’ a G. D - i . nh l´y 4.3.3 D - ˆo ` thi . G = (V, E) c´o d¯ˆo ` thi . bˆo . phˆa . n l`a mˆo . t cˆay nˆe ´ u v`a chı ˙’ nˆe ´ u G liˆen thˆong. N´oi c´ach kh´ac, cho tru . ´o . c mˆo . t d¯ˆo ` thi . liˆen thˆong v`a c´o n d¯ı ˙’ nh, bao gi`o . ta c˜ung c´o thˆe ˙’ bo ˙’ d¯i mˆo . t sˆo ´ ca . nh cu ˙’ a G d¯ˆe ˙’ d¯u . o . . c mˆo . t cˆay ch´u . a tˆa ´ t ca ˙’ c´ac d¯ı ˙’ nh cu ˙’ a G (cˆay c´o n d¯ı ˙’ nh). 106 http://www.ebook.edu.vn Ch´u . ng minh. D - iˆe ` u kiˆe . n cˆa ` n. Nˆe ´ u G liˆen thˆong th`ı ta thu . ˙’ t`ım xem c´o ca . nh n`ao m`a khi x´oa d¯i khˆong l`am cho d¯ˆo ` thi . mˆa ´ t t´ınh liˆen thˆong khˆong. Nˆe ´ u khˆong c´o mˆo . t ca . nh n`ao nhu . vˆa . y th`ı G l`a mˆo . t cˆay; nˆe ´ u c´o mˆo . t ca . nh nhu . vˆa . y th`ı x´oa n´o d¯i, v`a ta la . i d¯i t`ım mˆo . t ca . nh m´o . i d¯ˆe ˙’ x´oa Cho t´o . i khi khˆong thˆe ˙’ x´oa mˆo . t ca . nh n`ao d¯u . o . . c n˜u . a th`ı ta c´o mˆo . t cˆay m`a tˆa . p ho . . p c´ac d¯ı ˙’ nh cu ˙’ a n´o d¯´ung bˇa ` ng V. D - iˆe ` u kiˆe . n d¯u ˙’ . Gia ˙’ su . ˙’ a, b l`a hai d¯ı ˙’ nh trong G v`a do d¯´o thuˆo . c cˆay bao tr`um T cu ˙’ a G. Khi d¯´o tˆo ` n ta . i dˆay chuyˆe ` n µ trong T t`u . a d¯ˆe ´ n b. Suy ra µ c˜ung thuˆo . c G. Vˆa . y G liˆen thˆong.  Ch´ung ta s˜e su . ˙’ du . ng thuˆa . t to´an t`ım kiˆe ´ m theo chiˆe ` u rˆo . ng d¯ˆe ˙’ xˆay du . . ng cˆay bao tr`um cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . liˆen thˆong. 4.3.1 Thuˆa . t to´an t`ım kiˆe ´ m theo chiˆe ` u rˆo . ng x´ac d¯i . nh cˆay bao tr`um Trong thuˆa . t to´an n`ay, S k´y hiˆe . u l`a mˆo . t d˜ay. Nhˆa . p: D - ˆo ` thi . liˆen thˆong G := (V, E) v´o . i c´ac d¯ı ˙’ nh d¯u . o . . c d¯´anh sˆo ´ th´u . tu . . v 1 , v 2 , . . . , v n . Xuˆa ´ t: Cˆay bao tr`um T. 1. [Kho . ˙’ i ta . o] D - ˇa . t S := [v 1 ] v`a T l`a d¯ˆo ` thi . gˆo ` m d¯ı ˙’ nh v 1 v`a khˆong c´o ca . nh. K´y hiˆe . u v 1 l`a d¯ı ˙’ nh gˆo ´ c. 2. [Thˆem ca . nh] V´o . i mˆo ˜ i x ∈ S, theo th´u . tu . . , thˆem ca . nh (x, y) ∈ E v`a d¯ı ˙’ nh y (theo th´u . tu . . ) v`ao T nˆe ´ u T ∪ (x, y) khˆong ta . o th`anh chu tr`ınh. Nˆe ´ u khˆong c´o ca . nh nhu . vˆa . y, d`u . ng. T l`a cˆay bao tr`um. 3. [Cˆa . p nhˆa . t S] Thay S bo . ˙’ i con (trong T) cu ˙’ a S theo th´u . tu . . . Chuyˆe ˙’ n sang Bu . ´o . c 2. D - ˆe ˙’ t`ım cˆay bao tr`um cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . liˆen thˆong ta c`on c´o thˆe ˙’ d`ung thuˆa . t to´an t`ım kiˆe ´ m theo chiˆe ` u sˆau (c`on go . i l`a quay lui) nhu . sau: 4.3.2 Thuˆa . t to´an t`ım kiˆe ´ m theo chiˆe ` u sˆau x´ac d¯i . nh cˆay bao tr`um Nhˆa . p: D - ˆo ` thi . liˆen thˆong G := (V, E) v´o . i c´ac d¯ı ˙’ nh d¯u . o . . c d¯´anh sˆo ´ th´u . tu . . v 1 , v 2 , . . . , v n . Xuˆa ´ t: Cˆay bao tr`um T. 107 http://www.ebook.edu.vn 1. [Kho . ˙’ i ta . o] D - ˇa . t w := v 1 v`a T l`a d¯ˆo ` thi . gˆo ` m d¯ı ˙’ nh v 1 v`a khˆong c´o ca . nh. K´y hiˆe . u v 1 l`a d¯ı ˙’ nh gˆo ´ c. 2. [Thˆem ca . nh] Cho . n ca . nh (w, v k ) v´o . i chı ˙’ sˆo ´ k nho ˙’ nhˆa ´ t sao cho viˆe . c thˆem ca . nh n`ay v`ao T khˆong ta . o ra chu tr`ınh. Nˆe ´ u khˆong tˆo ` n ta . i, chuyˆe ˙’ n sang Bu . ´o . c 3. Ngu . o . . c la . i, thˆem ca . nh (w, v k ) v`a d¯ı ˙’ nh v k v`ao T; d¯ˇa . t w := v k v`a chuyˆe ˙’ n sang Bu . ´o . c 2. 3. [Kˆe ´ t th´uc?] Nˆe ´ u w = v 1 , thuˆa . t to´an d`u . ng, T l`a cˆay bao tr`um. 4. [Quay lui] D - ˇa . t x l`a cha cu ˙’ a w (trong T ); g´an w := x v`a chuyˆe ˙’ n sang Bu . ´o . c 2. V´ı du . 4.3.4 D - ˆo ` thi . trong H`ınh 4.9(a) c´o c´ac cˆay bao tr`um, H`ınh 4.9(b) v`a 4.9(c), d¯u . o . . c xˆay du . . ng theo c´ac thuˆa . t to´an t`ım kiˆe ´ m theo chiˆe ` u rˆo . ng v`a chiˆe ` u sˆau tu . o . ng ´u . ng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 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. . . . . . . . . . . a b c d e f i j k • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • (a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a b c d e f i j k (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a b c d e f i j k (c) H`ınh 4.9: (a) D - ˆo ` thi . G. (b) Cˆay bao tr`um sinh bo . ˙’ i thuˆa . t to´an t`ım kiˆe ´ m theo chiˆe ` u rˆo . ng. (c) Cˆay bao tr`um sinh bo . ˙’ i thuˆa . t to´an t`ım kiˆe ´ m theo chiˆe ` u sˆau. 4.3.3 T`ım cˆay bao tr`um du . . a trˆen hai ma ˙’ ng tuyˆe ´ n t´ınh D - ˆe ˙’ c`ai d¯ˇa . t c´ac thuˆa . t to´an t`ım kiˆe ´ m theo chiˆe ` u rˆo . ng v`a chiˆe ` u sˆau trˆen d¯ˆo ` thi . liˆen thˆong G t`ım cˆay bao tr`um T ta c´o thˆe ˙’ d`ung cˆa ´ u tr´uc d˜u . liˆe . u ma trˆa . n kˆe ` hay ca ˙’ i biˆen, ma ˙’ ng c´ac danh s´ach kˆe ` V out []. Tuy nhiˆen, trong tru . `o . ng ho . . p d¯ˆo ` thi . d¯u . o . . c biˆe ˙’ u diˆe ˜ n bo . ˙’ i hai ma ˙’ ng tuyˆe ´ n t´ınh α v`a β th`ı c´ach tiˆe ´ p cˆa . n sau s˜e hiˆe . u qua ˙’ ho . n. Ngo`ai ra, phu . o . ng ph´ap sau n`ay c˜ung cho ta mˆo . t “r`u . ng” (tˆa . p c´ac cˆay bao tr`um) ch´u . a (n − p) ca . nh trong tru . `o . ng ho . . p d¯ˆo ` thi . c´o p > 1 th`anh phˆa ` n liˆen thˆong. Hiˆe ˙’ n nhiˆen, v´o . i nh˜u . ng thuˆa . t to´an xˆay du . . ng cˆay bao tr`um ta c´o thˆe ˙’ kiˆe ˙’ m tra d¯ˆo ` thi . c´o liˆen thˆong hay khˆong, v`a nˆe ´ u n´o khˆong liˆen thˆong th`ı c´o thˆe ˙’ x´ac d¯i . nh c´ac th`anh phˆa ` n liˆen thˆong. Nˆe ´ u mˇa . t kh´ac, d¯ˆo ` thi . c´o tro . ng sˆo ´ th`ı ch´ung ta c´o thˆe ˙’ t`ım cˆay bao tr`um c´o tˆo ˙’ ng tro . ng lu . o . . ng nho ˙’ nhˆa ´ t (xem Phˆa ` n 4.4). Ho . n n˜u . a ch´ung ta c˜ung c´o thˆe ˙’ xˆay du . . ng hˆe . c´ac chu tr`ınh d¯ˆo . c lˆa . p du . . a trˆen cˆay bao tr`um cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . nhu . trong Phˆa ` n 4.3.4. 108 [...]... 2 v1 • 4 • v4 8 1 6 • v3 H` 4. 13: ınh - ´ ˙ ’ ınh ¯´ ¯ˇ a a Dinh l´ sau ch´.ng minh t´ d ung d an cua thuˆt to´n Prim y u 120 http://www.ebook.edu.vn - ´ u ´ Dinh l´ 4. 4.6 Thuˆt to´n Prim l` d ung; t´.c l`, kˆt th´c thuˆt to´n T l` cˆy bao tr`m tˆi y a a a ¯´ u a e a a a a u o ˙ thiˆ’u... o a a e o a ¯˙ o e o a a e ´ ´ ’ V´ du 4. 4.5 Ap dung Thuˆt to´n Prim cho d` thi trong H` 4. 12(a) v´.i d ınh xuˆ t ph´t ı a a ¯ˆ o ınh o ¯˙ a a o.c lˆn lu.o.t thˆm v`o cˆy T theo th´ tu l` ` e a a u a l` v1 ta c´ c´c canh d u a a o a ¯ (v1 , v5 ), (v1 , v4 ), (v4 , v2 ), (v2 , v3 ), (v2 , v6 ) ´ ˙ ’ a o Cˆy bao tr`m nho nhˆ t c´ trong lu.o.ng 12 (H` 4. 12(b)) a u ınh 119 http://www.ebook.edu.vn... v4 • 3 • v2 4 • v5 9 6 2 4 2 5 • v6 v4 • • v5 3 7 • v3 8 2 • v2 2 • v6 1 1 (a) • v3 (b) - ´ ’ ˙ ’ a ˙ ˙ ’ H` 4. 12: (a) D` thi G (b) Cˆy bao tr`m nho nhˆ t cua G sinh bo.i Thuˆt to´n Prim ınh o a u a a ’ Thuˆt to´n Prim l` mˆt v´ du cua thuˆt to´n tham... tuyˆn t´ nhu d a tr` b`y trong Phˆn 4. 3.3 ´ ` ˙ ’ du e e ınh ¯˜ ınh a a 116 http://www.ebook.edu.vn ´ ´ ` V´ du 4. 4.2 X´t d` thi trong H` 4. 11(a) Sˇp xˆp c´c canh theo trong lu.o.ng tˇng dˆn ı e ¯ˆ o ınh a e a a a dung hai mang tuyˆn t´ α v` β) ta d u.o.c ´ ˙ ’ ˙ ’ (su e ınh a ¯ k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 α c a e a c a b c d β d c f e f b d e f Trong lu.o.ng 1 2 2 3 3 4 5 6 6 C´c canh (khˆng tao th`nh... ta c´ thˆ’ chı ra Thuˆt to´n ’ x´c d nh cˆy bao tr`m tˆ a ¯i a u o e ¯ˆ ¯˙ o u o e ’ a a ˙ ´ ´ ˙ ` ’ a 4. 4.3 du.´.i d ay chı cˆn kiˆ’m tra O(n2 ) canh trong tru.`.ng ho.p xˆ u nhˆ t V` Kn c´ n2 canh o ¯ˆ e o a a ı o ˙ ’ nˆn thuˆt to´n sau hiˆu qua ho.n e a a e 4. 4.3 Thuˆt to´n Dijkstra-Kevin-Whitney a a ˙ ´ ´ Thuˆt to´n du.´.i d ay t` cˆy bao tr`m tˆi thiˆ’u trong d` thi liˆn thˆng c´ trong... cho dˆn ´ ˆ ´ ’ ´ m` l[y] = −1 v` bˇt d` u v´ a a a ¯a o a o ˙ a u u a a a ¯e ´t ca c´c d ınh d u.o.c g´n nh˜n l kh´c −1 ˙ a ¯˙ ¯ a ’ ’ khi tˆ a a a 4. 4 ˙ ´ Cˆy bao tr` m tˆi thiˆ’u a u o e - ˙ ˙ ´ a ´ ’ ˙ ˙ ’ ’ a ¯o o ˆ o u o e a o Dinh ngh˜ 4. 4.1 Gia su G l` d` thi c´ trong sˆ Cˆy bao tr`m tˆi thiˆ’u cua G l` mˆt ıa i trong lu.o.ng nho nhˆ t ´ ˙ ’ ˙ ’ a cˆy bao tr`m cua G v´ a u o ˙ ’ ´ B`i... ım ¯ o ´t Nˆu ta ´p dung thuˆt to´n n`y v´.i d` thi c´ hu.´.ng trong H` 4. 13 dˆ’ t` d u.`.ng d i ´ nhˆ a e a a a a o ¯ˆ o o o ınh ¯e ¯ ´ ´ ´ ngˇn nhˆ t t` v1 dˆn v4 , ch´ng ta s˜ chon cung (v1 , v3 ) v` sau d o cung (v3 , v4 ) Tuy nhiˆn, a a u ¯e u e a ¯´ e ´ ´ ´ ˙ a ¯ o ’ d ay khˆng phai l` d u.`.ng d i ngˇn nhˆ t t` v1 dˆn v4 ¯ˆ o ¯ a a u ¯e v2 • ... H` 4. 10(b); ngu.o.c lai, cˆy bao tr`m tˆi thiˆ’u ´ ˙ ’ nhˆ u ¯ a o a ınh u o e a cho trong H` 4. 10(c) ınh v1 • 5 v4 • 3 3 5 5 3 • v5 5 • v2 v1 • v4 •... > w(ek ) ` a a ¯ u a a a a e Nhu.ng cˆy T nhˆn d u.o.c t` cˆy T bˇ ng c´ch thay canh e0 th`nh canh ek nˆn W (T ) < ˙u ’ ˜ ´ W (T ) Mˆu thuˆn v` T l` cˆy bao tr`m tˆi thiˆ a a ı a a u o e - ´ u Dinh l´ 4. 4 .4 Thuˆt to´n Kruskal l` d ung; t´.c l`, kˆt th´c thuˆt to´n T l` cˆy bao tr`m y a a a ¯´ u a e a a a a u ˙ ´ tˆi thiˆ’u o e ˙ ˙ ’ ´ ´ Ch´.ng minh Thˆt vˆy tru.´.c hˆt ta thu xˆp dˆ’ moi canh... ´ a i P ⊃ P s˜ c´ thˆ’ giam d i Chˇng han, x´t bˆn d iˆ’m trong H` 4. 14( a) v´.i cˆy ˙ ˙ ¯ ˙ ˙ ’ ´ ’ d ınh m´ ¯˙ o e o e ’ a e o ¯e ınh o a ˙ ´ ˙ a ’ ˙ ’ bao tr`m nho nhˆ t T ; tuy nhiˆn khi thˆm hai d iˆ’m m´.i s1 v` s2 ta d u.o.c cˆy bao tr`m nho u e e ¯e o a ¯ a u i T qua s´u d ınh c´ trong lu.o.ng nho ho.n cˆy T (xem H` 4. 14( b)) Do d ´ trong ´ o ’ ˙ ’ nhˆ t m´ a a ¯˙ o a ınh ¯o ˙ ˙ ˙ ’ ´c, . tr`um. 4. [Quay lui] D - ˇa . t x l`a cha cu ˙’ a w (trong T ); g´an w := x v`a chuyˆe ˙’ n sang Bu . ´o . c 2. V´ı du . 4. 3 .4 D - ˆo ` thi . trong H`ınh 4. 9(a) c´o c´ac cˆay bao tr`um, H`ınh 4. 9(b). C 4 a 1 1 1 1 1 a 2 1 0 01 10 a 3 0 11 001 100 a 4 01 00 000 1000 D - ˆo . d`ai trung b`ınh 1.125 1.125 1.75 1.875 D - ˆo . d`ai trung b`ınh l cu ˙’ a mˆo ˜ i m˜a x´ac d¯i . nh bo . ˙’ i l = 4  i=1 P. tˆa ´ t ca ˙’ c´ac d¯ı ˙’ nh d¯u . o . . c g´an nh˜an l kh´ac −1. 4. 4 Cˆay bao tr`um tˆo ´ i thiˆe ˙’ u D - i . nh ngh˜ıa 4. 4.1 Gia ˙’ su . ˙’ G l`a d¯ˆo ` thi . c´o tro . ng sˆo ´ . Cˆay bao