TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 5(40).2010 91 HẤP THỤ PHI TUYẾN SÓNG ĐIỆN TỪ MẠNH BỞI ĐIỆN TỬ GIAM CẦM TRONG DÂY LƯỢNG TỬ HÌNH CHỮ NHẬT NONLINEAR ABSORPTION OF A STRONG ELECTROMAGNETIC WAVE BY CONFINED ELECTRONS IN A RECTANGULAR QUANTUM WIRE Nguyễn Văn Hiếu Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng TÓM TẮT Biểu thức giải tích cho hệ số hấp thụ phi tuyến của sóng điện từ mạnh bởi điện tử giam cầm trong dây lượng tử hình chữ nhật với hố thế cao vô hạn được tính toán bởi phương trình động lượng tử cho điện tử trong trường hợp: Tán xạ điện tử-phonon âm. Sự phụ thuộc của hệ số hấ p thụ phi tuyến vào cường độ và tần số của sóng điện từ ngoài, nhiệt độ của hệ và chiều dài của dây lượng tử đạt được. Biểu thức giải tích được tính toán số, vẽ và bàn luận cho dây lượng tử hình chữ nhật GaAs/GaAsAl. Kết quả tính toán chỉ ra rằng hệ số hấp thụ phi tuyến trong dây lượng tử lớn hơn so với bán dẫn khối thông thường và hố lượng tử. Tất cả các kết quả được so sánh với những kết quả trong bán dẫn khối thông thường và hố lượng tử để chỉ ra sự khác biệt. ABSTRACT Analytic expressions for the nonlinear absorption coefficient of a strong electromagnetic wave by confined electrons in rectangular quantum wires with infinite potential are calculated by using the quantum kinetic equation for electrons in the case: electron-acoustic phonon scattering. The dependence of the nonlinear absorption coefficient on the intensity and frequency of the external strong electromagnetic wave, the temperature of the system and size L of wires are obtained. The analytic expressions are numerically calculated, plotted and discussed for GaAs/GaAsAl rectangular quantum wires. The computations show that the nonlinear absorption coefficient in quantum wire is greater than in normal bulk and quantum well. All the results are compared with those of the normal bulk semiconductors and quantum well to show the difference. 1. Mở đầu Chúng ta biết rằng trong hệ một chiều, chuyển động của điện tử bị giới hạn hai chiều, vì vậy chúng chỉ chuyển động tự do theo một chiều. Sự giam giữ của điện tử trong những hệ này làm thay đổi đáng kể độ linh động của điện tử. Điều này dẫn đến xuất hiện nhiề u hiện tượng mới lạ liên quan đến việc giảm số chiều của hệ. Các hiệu ứng này rất khác so với các hiệu ứng trong bán dẫn khối thông thường, ví dụ, tương tác điện tử-phonon, tốc độ tán xạ [1, 2] và độ dẫn điện một chiều [3, 4]. Bài toán về tính chất quang trong bán dẫn khối cũng như trong hệ thấp chiều được khảo sát [5-10]. Tuy nhiên, trong các bài báo này chỉ mới xem xét hấp thụ tuyến tính của sóng điện từ, như trong bán dẫn khối thông thường [5], trong hệ hai chiều [6, 7] và trong dây lượng tử [8], bài toán hấp thụ phi tuyến cũng được xem xét trong bán dẫn khối [9] và trong hố lượng TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 5(40).2010 92 tử [10]. Tuy nhiên, bài toán hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh trong dây lượng tử chưa được đề cập đến, vì vậy bài toán về sự hấp thụ phi tuyến vẫn mở ra cho một hướng nghiên cứu mới. Trong bài báo này, chúng tôi sử dụng phương trình động lượng tử cho điện tử để nghiên cứu lý thuyết hấp thụ phi tuyến sóng điện từ bởi điện tử giam cầm trong dây lượng tử hình chữ nhật. Bài toán này được xem xét cho trường hợp: tán xạ điện tử-phonon âm. Tính toán số được xem xét cho dây lượng tử GaAs/GaAsAl. 2. Hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ trong dây lượng tử hình chữ nhật Trong mô hình của chúng tôi, chúng tôi xem xét dây GaAs với tiết diện ngang ( yx LL × ) và chiều dài z L được bao bởi GaAlAs. Các hạt tải ( khí điện tử) được giả thiết giam giữ bởi thế vô hạn trong mặt phẳng (x,y) và điện tử chuyển động tự do theo phương z trong hệ tọa độ (x,y,z). Trường sóng điện từ được truyền dọc theo chiều ox. Trong trường hợp này hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử có dạng [11] )sin()sin( 2 ,, . yx zyx zip L yl L xn LLL e pln z ππ = r , (1.1) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ++= 2 2 2 222 , 22 )( yx z ln L l L n mm p p π ε r , (1.2) ở đây n và l ( )3,2,1, =ln biểu thị sự lượng hóa của phổ năng lượng theo chiều x và y, ),0,0( z pp = r là vector sóng của điện tử dọc theo trục của dây z, m là khối lượng hiệu dụng của điện tử (trong bài báo này chúng tôi chọn 1 = h ). Hamiltonian của hệ điện tử-phonon trong dây lượng tử hình chữ nhật khi có mặt của trường laser tEtE Ω= sin)( 0 rr có thể viết như sau ∑∑∑ + − + + ++ +++−= plnqqplnln qqplnqplnlnlnqqqqplnplnln bbaaqICbbaatA c e ptH rrrr rrrrrrrrrrr r r r ,,,,',',, ,',',,',',,,,,,, )()())(()( ωε , ở đây e là điện tích của điện tử, c là vận tốc ánh sáng trong chân không, )cos()( 0 tE c tA Ω Ω = r r là thế vector, 0 E r và Ω là cường độ và tần số sóng điện từ, )( ,,,, plnpln aa rr + tương ứng là toán tử sinh (hủy) của điện tử, + q b r ( q b r ) tương ứng là toán tử sinh hủy của phonon ở trạng thái có vector sóng q r , q C r là hệ số tương tác điện tử - phonon. )( ',',, r qI lnln thừa số dạng của điện tử có dạng như [12] TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 5(40).2010 93 [] [] 2 222422224 '24 2 222422224 '24 ',',, )'()'()(2)( ))cos()1(1()'(32 )'()'()(2)( ))cos()1(1()'(32 )( llllLqLq LqllLq nnnnLqLq LqnnLq qI yyyy yy ll yy xxxx xx nn xx lnln −++− −− × × −++− −− = + + ππ π ππ π r . (1.4) Mật độ dòng hạt tải )( tj r và hệ số hấp thụ phi tuyến của sóng điện từ mạnh α có dạng [9,10,13] ∑ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −= pln pln tntA c e p m e j r r r r r ,, ,, )()( ; t tEtj Ec Ω= ∞ sin)( 8 0 2 0 r r χ π α , (1.5) với )( ,, tn pln r là hàm phân bố của điện tử, t X là trung bình thống kê của X tại thời điểm t, ∞ χ hằng số điện cao tần. Để thiết lập biểu thức giải tích cho hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh bởi điện tử giam cầm trong dây lượng tử hình chữ nhật, chúng tôi sử dụng phương trình động tử cho toán tử số hạt điện tử t plnplnpln aatn rrr ,,,,,, )( + = : [] t plnpln pln Haa t tn i , )( ,,,, ,, rr r + = ∂ ∂ , (1.6) Từ phương trình (1.6), sử dụng Hamiltonian trong phương trình (1.3) và thực hiện các tính toán, chúng tôi đạt được phương trình động lượng tử cho điện tử bị giam cầm trong dây lượng tử hình chữ nhật. Sử dụng phương pháp lặp gần đúng được áp dụng tương tự trong bán dẫn khối và trong hố lượng tử [9,10,13] để giải phương trình này, chúng tôi đạt được biểu thức cho hàm phân bố điện tử )( ,, tn pln r . ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +Ω−−− +− + +Ω−+− −+ + +Ω−−− +− − +Ω−+− −+ − × × ΩΩΩ −= − − − − + + + + ∞ −∞= Ω− + ∑∑ δωεεδωεε δωεεδωεε ik NnNn ik NnNn ik NnNn ik NnNn e m qEe J m qEe JICtn qqplnpln qplnqqpln qqplnpln qplnqqpln qplnqpln qqplnqpln qplnqpln qqplnqpln qlnk ti kklnlnqpln rrrr rrrrr rrrr rrrrr rrrr rrrrr rrrr rrrrr r l l l rr l r r r r ,,,',' ,',',, ,,,',' ,',',, ,,,',' ,',',, ,,,',' ,',',, ,',', 2 0 2 0 2 ',',, 2 ,, )1()1( )1()1( 1 )()()( ,(1.7) Ở đây )( , pnq nN rr là hàm phân bố cân bằng của điện tử và phonon, )(xJ k là hàm Bessel, δ là vô cùng bé xuất hiện do giả thiết tương tác đoạn nhiệt của sóng điện từ. Chúng ta thay biểu thức của )( ,, tn pln r vào trong biểu thức mật độ dòng và thay biểu thức mật độ dòng vào trong biểu thức hệ hấp thụ sóng điện từ trong phương trình (1.5). Sử dụng tính chất hàm Bessel và tính toán giải tích, chúng tôi đạt được biểu thức hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ bởi điện tử giam cầm trong dây lượng tử hình chữ nhật. TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 5(40).2010 94 [] ∑∑∑ ∞ −∞= + ∞ − Ω = ',',,, ,',',, 2 2 ',',, 2 0 2 8 lnlnqpk qplnplnqqlnln nnNCI Ec rr rrrrr χ π α )()( ,,,',' 2 0 2 Ω−+− Ω × + k m qeE kJ qplnqplnk rrrr r ωεεδ , (1.8) )(x δ là hàm delta Dirac. Trong bài toán này chúng tôi chỉ xét cho cơ chế tán xạ điện tử-phonon âm và chúng tôi cũng xem xét cho trường hợp hấp thụ gần ngưỡng bởi vì trong trường hợp xa ngưỡng hệ số hấp thụ rất nhỏ. Trong trường hợp này điều kiện εω <<−Ω 0 k phải được thỏa mãn [9]. Chúng tôi giới hạn bài toán trong trường hợp hấp thụ một photon và khí điện tử không bị suy biến: )exp( ,, * 0 Tk nn B pln r ε −= ; với 2/3 0 2/3 0 * 0 )( )( TkmV en n B π = , Ở đây, V thể tích chuẩn hóa, 0 n là mật độ điện tử trong dây lượng tử hình chữ nhật, 0 m là khối lượng của điện tử tự do, B k là hằng số Boltzmann. Trong bài toán này chúng tôi xét cơ chế tán xạ chủ yếu điện tử-phonon âm. Hằng số tương tác điện tử-phonon âm có dạng như trong [6-8, 10] )2/( 2 2 2 VqCC s ac qq ρυξ =≡ rr , ở đây, V, ρ , s υ và ξ lần lượt tương ứng là thể tích, mật độ, vận tốc âm và hằng số thế biến dạng. Thay q C r vào trong phương trình (1.8) và sử dụng hàm Bessel, hàm phân bố Fermi-Dirac của điện tử và phổ năng lượng của điện tử trong dây lượng tử hình chữ nhật, chúng tôi đạt được biểu thức giải tích cho hệ số hấp thụ trong dây lượng tử hình chữ nhật cho trường hợp tán xạ điện tử-phonon âm. ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ Ω Ω = ∑ ∞ 2 2' 2 22 ',',, 2 ',',, 32 2/52* 0 2 ' 2 1 exp1exp 4 )(2 yxB lnln B lnln s B L l L n mTkTk I Vmc Tknem π ρυχ ξπ α ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ++ Ω ++× 3 4 3 )(44 )(3 1 2 1 2 2 4 22 0 2 Tk D Tk D Dm TkEe Tk D BB B B (1.9) Với Ω−−+−= ]/)'(/)'[( 2222222 yx LllLnnD π . Từ biểu thức giải tích của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh bởi điện tử giam cầm trong dây lượng tử hình chữ nhật với hố thế vô hạn, chúng ta có thể nhìn thấy hệ số hấp thụ tỉ lệ với bình phương cường độ của sóng điện từ, và khi cho 0 E tiến tới không thì kết quả này sẽ quay về kết của tuyến tính. TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 5(40).2010 95 3. Tính toán số và thảo luận kết quả Để làm rõ kết quả vừa tính toán ở trên, trong phần này chúng tôi thực hiện tính toán số cho hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh bởi điện tử giam cầm trong dây lượng tử hình chữ nhật. Hệ số hấp thụ phi tuyến được xem như là hàm của cường độ 0 E , năng lượng sóng điện từ, nhiệt độ T của hệ và các tham số đặc trương cho hệ. Các tham số được sử dụng cho tính toán số [5-11] là 5378 = s υ ms -1 , 5.13= ξ eV, 32.5= ρ gcm -3 , 9.10= ∞ χ , 0 066.0 mm = , 0 m là khối lượng của điện tử tự do, KJk B /103807.1 23− ×= , 323 0 10 − = mn , Ce 19 10602196.1 − ×= , 15 10.2 − == mqq yx , sJ.1005459.1 34− ×=h . Hình 1 chỉ sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ sóng điện từ mạnh theo kích thước của dây lượng tử L ( y L và x L ). Từ hình vẽ chúng ta có thể nhìn thấy rằng hệ số hấp thụ phụ thuộc mạnh và phi tuyến vào kích thước của dây. Khi L giảm thì hệ số hấp thụ phi tuyến sẽ tăng đến một giá trị cực đại tại x L và 24~ y L nm sau đó bắt đầu giảm. Hình 2 mô tả sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh theo nhiệt độ của hệ tại các giá trị khác nhau của biên độ trường sóng điện từ ngoài, chúng ta có thể nhìn thấy rằng hệ số hấp thụ phi tuyến phụ thuộc mạnh và phi tuyến theo nhiệt độ và nó có cùng giá trị cực đại nhưng ứng với các nhiệt độ khác nhau. Ví dụ, tại 6 0 106.2 ×=E (V/m) và 6 0 102×=E (V/m), các đỉnh tương ứng với nhiệt độ KT 170~ và 190 K , kết quả này rất khác so với bán dẫn khối [9] và hố lượng tử [10], nhưng nó phù hợp với cho trường hợp hấp thụ tuyến tính [8]. Hình 1. Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ α theo x L và y L Hình 2. Sự phụ thuộc của hệ số hấp α thụ theo nhiệt độ T TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 5(40).2010 96 Hình 3 chỉ sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ vào cường độ sóng điện từ mạnh, hệ số hấp thụ phụ thuộc mạnh và phi tuyến theo nhiệt độ và cường độ sóng điện từ mạnh. Giống như trong hố lượng tử hệ số hấp thụ phi tuyến trong dây lượng tử tăng khi cường độ giảm. Nhưng khác so vớ i bán dẫn khối thông thường [9] và hố lượng tử [10] đó là giá trị của nó trong dây lượng tử lớn hơn. Hình 4 mô tả sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ vào năng lượng sóng điện từ tại các giá trị nhiệt độ khác nhau. Có thể nhìn thấy kết quả này rất khác so với bán dẫn khối [9] và hố lượng tử [10], hệ số hấp thụ phi tuyến trong dây lượng t ử xuất hiện giá trị cực đại (đỉnh). Điều này chứng tỏ rằng hệ số hấp thụ thay đổi rất mạnh bởi điện tử giam giữ trong dây lượng tử hình chữ nhật. 4. Kết luận Trong bài báo này, chúng tôi đạt được biểu thức giải tích cho hệ số hấp thụ phi tuyến của sóng điện từ mạnh bởi điện tử giam cầm trong dây lượng tử hình chữ nhật cho cơ chế tán xạ điện tử-phonon âm. Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ lên cường độ 0 E , tần số sóng điện từ Ω của sóng điện từ ngoài, nhiệt độ T của hệ và kích thước của dây lượng tử là và rất khác so với kết quả dạt được trong bán dẫn khối [9] và hố lượng tử [10]. Từ kết quả giải tích khi cho → 0 E 0 thì kết quả này sẽ quay về kết quả tuyến tính. Kết quả tính toán số đạt được cho dây lượng tử GaAs/GaAsAl chỉ ra rằng hệ số hấp thụ phụ thuộc mạnh và phi tuyến theo cường độ 0 E và tần số Ω của sóng điện từ, nhiệt độ T và kích thước của dây lượng tử. Sự phụ thuộc này là khác so với bán dẫn khối thông thường [9] và trong hệ hai chiều [10]. Hệ số hấp thụ phi tuyến trong dây lượng tử lớn hơn. Kết qủa này chỉ ra rằng sự giam giữ của điện tử trong dây lượng ảnh hương lớn đến hệ số hấp thụ sóng đi ện từ. Hình 4. Sự phụ thuộc hệ số hấp thụ α vào năng lượng sóng điện từ Hình 3. Sự phụ thuộc của hệ số hấp α thụ vào 0 E TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 5(40).2010 97 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]. N. Mori and T. Ando, Phys. Rev. B, Vol. 40, 6175, (1989). [2]. J. Pozela and V. Jucience, Sov. Phys. Tech. Semicond., Vol. 29 459, (1987). [3]. P. Vasilopoulos, M. Charbonneau and V. N. Van Vlier, Phys. Rev. B, Vol. 35, 1334, (1987). [4]. A. Suzuki, Phys. Rev. B, Vol. 45, 6731, (1992). [5]. G. M. Shmelev, L. A. Chaikovskii, and N. Q. Bau, Soc. Phys. Tech, Semicond., Vol. 12, 1932, (1978). [6]. N. Q. Bau and T. C. Phong, J. Phys. Soc. Japan, Vol. 67, 3875, (1998). [7]. N. Q. Bau, N. V. Nhan and T. C. Phong, J. Korean. Phys. Soc., Vol. 41, 149, (2002). [8]. N. Q. Bau, L. Dinh and T. C. Phong, J. Korean. Phys. Soc., Vol. 51, 1325, (2007). [9]. V. V. Pavlovich and E. M. Epshtein, Sov. Phys. Solid State, Vol. 19, 1760 (1977). [10]. N. Q. Bau and D. M. Hung, J. Korean. Phys. Soc., Vol. 54, 765, (2009). [11]. T. C. Phong, L. Dinh and N. Bau, J. Korean. Phys. Soc., Vol. 49, 2367, (2006). [12]. R. Mickevicius and V. Mitin, phys. Rev. B, Vol. 48. 17194, (1993). [13]. V.l. Malevich and E. M. Eptein, Soc. Quantum eletronic, Vol. 1, 1468, (1974). . cho hệ số hấp thụ phi tuyến của sóng điện từ mạnh bởi điện tử giam cầm trong dây lượng tử hình chữ nhật với hố thế cao vô hạn được tính toán bởi phương trình động lượng tử cho điện tử trong trường. toán ở trên, trong phần này chúng tôi thực hiện tính toán số cho hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh bởi điện tử giam cầm trong dây lượng tử hình chữ nhật. Hệ số hấp thụ phi tuyến được. ]/)'(/)'[( 2222222 yx LllLnnD π . Từ biểu thức giải tích của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh bởi điện tử giam cầm trong dây lượng tử hình chữ nhật với hố thế vô hạn, chúng ta có thể nhìn thấy hệ số hấp thụ tỉ