TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 5(40).2010 154 NỘI SUY TAM THỨC BẬC HAI TRÊN MỘT ĐOẠN INTERPOLATING THE POLYNOMIAL OF SECOND DEGREE ON A SECTION Nguyễn Thị Sinh Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng TÓM TẮT Lý thuyết nội suy, đặc biệt là nội suy bất đẳng thức là một trong những vấn đề khá mới mẻ đối với học sinh và giáo viên ở các trường phổ thông trung học. Bài báo này trình bày phép nội suy tam thức bậc hai để ước lượng chính nó trên một đoạn. Chúng ta biết rằng vấn đề về tam thức bậc hai đã được đề cập từ chương trình phổ thông trung học và luôn nhận được s ự quan tâm của học sinh cũng như giáo viên giảng dạy. Tác giả của bài báo được trình bày sau đây mong muốn đem lại cho độc giả và những người quan tâm đến tam thức bậc hai một cách nhìn mới cũng như phương pháp giải toán độc đáo với hình thức nội suy trên một đoạn. ABSTRACT Interpolation theory, especially interpolating inequality is one of the relatively new problems for pupils and teachers in high school. This article presents interpolating the polynomial of second degree to estimate itself on a section. It is known that the problem of the polynomial of second degree was mentioned from high school and always attracts the attention of pupils and teachers. In this article, the author wants to bring attention to readers and all those who are interested in the polynomial of second degree a new way of observing it and unique methods with a form of interpolation on a section. 1. Đặt vấn đề Xét tam thức bậc hai 2 () , 0f x Ax Bx C A = ++ ≠; 2 4 B AC∆= − , ta có: Định lý 1. i) Nếu 0∆< thì () 0,Af x x>∀∈R . ii) Nếu 0∆= thì ( ) 0, .Af x x≥∀∈R Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 B x A =− . iii) Nếu 0∆> thì ( ) f x có hai nghiệm 121 2 ,( ) x xx x < , trong trường hợp này () 0Af x < khi 12 (, ) x xx∈ và ( ) 0Af x > khi 1 x x < hoặc 2 x x> . Định lý 2. Điều kiện cần và đủ để tồn tại số α sao cho () 0Af α < là 0∆> và 12 x x α << trong đó 121 2 ,( ) x xx x< là hai nghiệm của tam thức () f x. Ta sẽ đi xem xét trong điều kiện nào bất đẳng thức ( ) 0fx≥ thoả mãn với mọi [ ] , x ab∈ ? TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 5(40).2010 155 Ta phát biểu bài toán sau đây: 2. Bài toán Xét tam thức bậc hai 2 () , 0f x Ax Bx C A = ++ ≠. Cho () 0fa α =≥ , () 0fb β =≥ , 2 () () 22 fa fb ab f γ ⎛⎞ − + ⎛⎞ − = ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ . a) Xác định () f x khi biết ,,. α βγ b) Chứng minh rằng () 0fx≥ thoả mãn với mọi [ ] , x ab∈ khi và chỉ khi 0 γ ≥ . Giải. a) Áp dụng công thức nội suy Lagrange (xem [1]) cho tam thức bậc hai () f x tại các nút nội suy 12 3 ,, 2 ab x ax x b + = ==, ta có () 3 3 1 1, () ( ) (), j ii i i jji ij x x fx fx fx f x x x = =≠ − == − ∑ ∏ , ở đây 2 () , () , 22 ab fa fb f α β αβ γ ⎛⎞ − + ⎛⎞ == =+ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ , ( ) ( ) () ()() () ()() () 3 1 2 1, 1 1 3 2 2 1, 2 2 3 3 2 1, 3 3 2 () , 4 () , 2 () . j jj j j jj j j jj j xx x abxb fx xx ab xx x axb fx xx ab xx x abxa fx xx ab =≠ =≠ =≠ − −− − == − − − −− ==− − − − −− − == − − ∏ ∏ ∏ Vậy () [ ] 2 2 1 () (2 )( ) 4()()(2)() 2 fx x a b x b ab x axb x a bx a α αβ γβ =−−−− − ⎛⎞ ⎛⎞ − ⎜⎟ −+ −−+ −−− ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ ()() ()()()() 2 2 2 1 24 () x b xa xaxb xaxb ab αβ αβ γ ⎡ ⎤ =−+−+−−−−− ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ − TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 5(40).2010 156 () () () ()() ()() () ()() 2 2 2 2 1 4 () 1 4. () xb xa xaxb ab x ba xaxb ab αβ γ αβ α β γ ⎡⎤ =−+−−−− ⎢⎥ ⎣⎦ − ⎡ ⎤ =+−+−−− ⎢ ⎥ − ⎣ ⎦ b) Chứng minh [ ] () 0, ,fx x ab≥∀∈ (.1)b 0 γ ⇔≥ (.2)b Giả sử (.2)b được thoả mãn, theo câu a) () f x biểu diễn được dưới dạng ()() () ()() 2 2 1 () 4 () f xx baxaxb ab αβ α β γ ⎡⎤ =+−+−−− ⎢⎥ − ⎣⎦ . Suy ra [ ] () 0, , . f xxab≥∀∈ Ngược lại, giả sử (.1)b được thoả mãn. Khi đó ( ) 0 , ( ) 0fa fb≥≥ và ( ) f x có thể viết được dưới dạng () 2 () ( )( ) f xmxnKxaxb=+−−− với 0K ≥ (.3)b Nếu trong (.3)b ta chọn ,, 2 ab x ab + ⎧⎫ ∈ ⎨⎬ ⎩⎭ thì () ( ) 22 () , () f aman fbmbn=+ =+, và () () 2 22 () () 44 . 22 fa fb ab Kf ab ab γ ⎡⎤ ⎛⎞ − + ⎛⎞ ⎢⎥ =− = ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎢⎥ ⎝⎠ −− ⎝⎠ ⎣⎦ Suy ra 0 γ ≥ . Bài toán đã được chứng minh  Kết quả của bài toán được phát biểu bằng định lý sau đây: Định lý 3. Giả sử 2 () , 0f x Ax Bx C A=++ ≠. Khi đó bất đẳng thức () 0fx≥ thoả mãn với mọi [ ] , x ab∈ khi và chỉ khi () 0, () 0fa fb≥≥ và 2 () () 22 fa fb ab f ⎛⎞ − + ⎛⎞ ≥ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ . 3. Áp dụng Chứng minh rằng với mọi tam thức bậc hai 2 () , 0f x Ax Bx C A = ++ ≠ ta đều có [ ] () 1, , f xxab≤∀∈ xảy ra khi và chỉ khi () 1, () 1fa fb ≤ ≤ và ()() ()() () () 11()1() 2 22 11()1(). fa fb a b fa fb f fa fb ++ ⎛⎞ −− − − ≤ − ≤ ⎜⎟ ⎝⎠ ≤+ + + TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 5(40).2010 157 Giải. Đặt () 1 (), () 1 ().gx fx hx fx=− =+ Khi đó sử dụng kết quả của bài toán trên ta có [ ] () 0, () 0, ,gx hx x ab≥≥∀∈ khi và chỉ khi () 1, () 1fa fb≤≤ và 2 2 () () 22 , () () 22 ga gb ab g ha hb ab h ⎧ ⎛⎞ − + ⎛⎞ ⎪ ≥ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎪ ⎝⎠ ⎪⎝ ⎠ ⎨ ⎛⎞ ⎪ − + ⎛⎞ ≥ ⎜⎟ ⎪ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎪ ⎝⎠ ⎩ nghĩa là 2 2 1()1() 1 22 1()1() 1 22 fa fb ab f fa fb ab f ⎧ ⎛⎞ −−− + ⎛⎞ ⎪ −≥ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎪ ⎝⎠ ⎪⎝ ⎠ ⎨ ⎛⎞ ⎪ +−+ + ⎛⎞ +≥ ⎜⎟ ⎪ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎪ ⎝⎠ ⎩ , hay ()() ()() () () 11()1() 2 22 11()1() fa fb a b fa fb f fa fb ++ ⎛⎞ −− − − ≤ − ≤ ⎜⎟ ⎝⎠ ≤+ + +  4. Kết luận Bài báo đã giải quyết được vấn đề là ứng dụng phép nội suy cho tam thức bậc hai để ước lượng chính nó trên một đoạn. Kết quả của bài báo cho phép học sinh và các thầy cô có một cách nhìn mới và tổng quát hơn đối với tam thức bậc hai. Vấn đề trên còn có thể mở rộng đối với đa thức bậc ba hoặc lớn hơn. Đây là nội dung mà tác giả đang nghiên cứu. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]. Nguyễn Văn Mậu, Các bài toán nội suy và áp dụng, NXB Giáo dục, 2007. [2]. Nguyễn Văn Mậu, Đa thức đại số và phân thức hữu tỉ, NXB Giáo dục, 2004. [3]. Nguyễn Văn Mậu, Trịnh Đào Chiến, Trần Nam Dũng, Nguyễn Đăng Phất, Chuyên đề chọn lọc về đa thức và áp dụng, NXB Giáo dục, 2008. . nội suy, đặc biệt là nội suy bất đẳng thức là một trong những vấn đề khá mới mẻ đối với học sinh và giáo viên ở các trường phổ thông trung học. Bài báo này trình bày phép nội suy tam thức bậc. luận Bài báo đã giải quyết được vấn đề là ứng dụng phép nội suy cho tam thức bậc hai để ước lượng chính nó trên một đoạn. Kết quả của bài báo cho phép học sinh và các thầy cô có một cách nhìn. bài báo được trình bày sau đây mong muốn đem lại cho độc giả và những người quan tâm đến tam thức bậc hai một cách nhìn mới cũng như phương pháp giải toán độc đáo với hình thức nội suy trên một