Kinh nghiệm giảng dạy  ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Đề tài : ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH A ĐẶT VẤN ĐỀ : Trong trình giảng dạy toán việc hướng dẫn học sinh giải toán nhiều phương pháp khác quan trọng cần thiết Đặc biệt học sinh tiếp cận với lý thuyết mới, người thầy phải khai thác ứng dụng quan trọng ưu việt để trang bị cho học sinh, có học sinh hứng thú, động sáng tạo việc học Trong chương trình tốn phổ thông trung học số phức vừa đưa vào giảng dạy đại trà năm Ứng dụng số phức giới thiệu sách giáo khoa ít, tài liệu viết ứng dụng số phức Do với thời lượng thời gian lý thuyết mà em học trường người thầy phải nghiên cứu bố trí dạy cho em số ứng dụng quan trọng bật cho em Bản thân nhiều năm phân công giảng dạy lớp khiếu nên điều kiện tiếp xúc với ứng dụng lý thuyết số phức để giải tốn nhiều trực tiếp giảng dạy phần số phức chương trình tốn phổ thơng tơi trang bị cho học sinh số ứng dụng mà sách giáo khoa không đề cập đến dĩ nhiên dạy ứng dụng thời điểm nào, dạy sau xin chia sẻ với đồng nghiệp dạy “Ứng dụng lý thuyết số phức để giải hệ phương trình” nhằm trang bị thêm cho học sinh cơng cụ hữu hiệu để giải hệ phương trình nhằm giúp em thành cơng kỳ thi Trang Kinh nghiệm giảng dạy  ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH loại tốn thường gặp kỳ thi Đại học học sinh giỏi cấp B QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN: Để học sinh hiểu cách sâu sắc có sở lý luận tơi dẫn dắt học sinh vào vấn đề đơn giản sau : Tìm bậc hai số phức z = a + bi Ta gọi w = x + iy bậc hai z w = z ⇔ x − y + xyi = a + bi Ta có : Vậy ta có hệ : 2  x2 − y = a   xy = b Như thế, hệ phương trình “xuất xứ” từ phương trình nghiệm phức Bằng cách ngược lại trình từ phương trình suy hệ phương trình Ta trình hệ phương trình  phương trình Giải hệ phương trình, so sánh phần thực phần ảo, ta nghiệm hệ phương trình I Bước chuẩn bị 1/ Nghiên cứu ứng dụng lý thuyết số phức, tìm ứng dụng cần thiết từ xây dựng chương trình để đưa vào truyền đạt cho học sinh 2/ Chọn tập mẫu Chọn số tập mẫu tiêu biểu phù hợp đối tượng : Trung bình, giỏi để đưa vào giảng dạy nhằm Trang Kinh nghiệm giảng dạy  ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH củng cố kiến thức, rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo, rèn luyện kỹ thuật ứng dụng lý thuyết số phức 3/ Phân phối thời gian Cần phân bố thời gian hợp lý, có phương án đối phó với tình khơng trả lời học sinh 4/ Bước chuẩn bị thầy trò 4.1- Chuẩn bị trò : * Các kiến thức a)Định nghĩa * ĐN1 Một số phức biểu thức dạng : a + bi a, b ∈ ¡ , số i thỏa mãn : i = −1 i : đơn vị ảo a : phần thực b : phần ảo * ĐN2 Hai số phức : z = a + bi với a, b ∈ ¡ z' = a’ + b’i với a’, b’ ∈ ¡ Ta có : a = a ' z = z’ ⇔ b = b '  b) Phép toán số phức (b ) phép cộng (Định nghĩa tính chất) (b ) phép trừ (b ) phép nhân (Định nghĩa tính chất) (b ) phép chia • Số phức liên hợp • Số phức nghịch đảo 2 Trang Kinh nghiệm giảng dạy  ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH • Phép chia c) Khai bậc hai số phức * ĐN : Cho số phức w Mỗi số phức z thỏa gọi bậc hai w * Cách tìm bậc hai số phức z d) Dạng lượng số phức z2 = w 4.2- Chuẩn bị thầy : Giáo án dụng cụ dạy học có liên quan Chuẩn bị tập chu đáo Tìm số đề thi để giới thiệu (1) Bài tập mẫu dạy lớp : * Bài 1- Giải hệ :  x2 + x − y =   xy + y = 55 * Bài : Giải hệ :  x − xy =   3 x y − y = −  * Bài : Giải hệ 3x − y   x + x2 + y =    y − x + 3y =  x2 + y2  * Bài 4- Giải hệ : Trang Kinh nghiệm giảng dạy  ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH     x 1 + ÷=   x+ y   y 1 −  =  ÷   x+ y  * Bài 5- Giải hệ :   12   x 1 − ÷=   3x + y    y 1 + 12  =   3x + y ÷    * Bài 1- Dụng ý : Để học sinh sử dụng phương pháp khác gặp nhiều trắc trở Khai thác phương pháp sử dụng số phức dễ dàng Mặt khác để dẫn dắt học sinh đến áp dụng số phức cách cho học sinh bình phương ( x + yi) = ? * Bài 2, 3- Rèn luyện kỹ áp dụng dạng giống * Bài 4- Dụng ý : Rèn kỹ áp dụng thay biến phụ * Bài 5- Dụng ý : Rèn kỹ thêm sở hiểu Trang Kinh nghiệm giảng dạy  ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH (2) * Bài * Bài Bài tập tự rèn luyện nhà :  x2 + 5x − y =   xy + y =  − 2 8 x x − y x =    −12 xy + y = −   *Bài log x ( x + x − y + x − 5) =   log y (2 xy + y + y − 55) =  * Bài log x ( x + x + 5( x − 1) − y  =     log y ( y + xy + y − 7) =  Trang Kinh nghiệm giảng dạy  ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH (3) Đồ dùng dạy học  ĐỒ DÙNG – BẢNG TÓM TẮT CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN a ) Định nghĩa * ĐN1 Một số phức biểu thức dạng : a + bi a, b ∈ ¡ , số i thỏa mãn : i = −1 i : đơn vị ảo a : phần thực b : phần ảo * ĐN2 Hai số phức : z = a + bi với a, b ∈ ¡ z' = a’ + b’i với a’, b’ ∈ ¡ Ta có : a = a ' z = z’ ⇔ b = b '  b) Phép toán số phức (b ) phép cộng (Định nghĩa tính chất) (b ) phép trừ (b ) phép nhân (Định nghĩa tính chất) (b ) phép chia • Số phức liên hợp Trang Kinh nghiệm giảng dạy  ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH • Số phức nghịch đảo • Phép chia c) Khai bậc hai số phức * ĐN : Cho số phức w Mỗi số phức z thỏa gọi bậc hai w * Cách tìm bậc hai số phức z z2 = w d) Dạng lượng số phức  ĐỒ DÙNG – Bảng trình chiếu  Bài tập : Giải hệ phương trình  +x −y =5 x   xy +y =55  ĐỒ DÙNG - Bảng trình chiếu Trang Kinh nghiệm giảng dạy  ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH  Bài tập : Giải hệ phương trình : x −3 xy =1   3  x y −y =−   ĐỒ DÙNG - Bảng trình chiếu  Bài tập :Giải hệ phương trình : 3x − y  x+2 =  x + y   x  − +y = y 2  x + y   ĐỒ DÙNG – Bảng trình chiếu Trang Kinh nghiệm giảng dạy  ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH  Bài tập : Giải hệ phương trình :     3x  + ÷=   x+ y   y 1 −  =  ÷  x+ y    ĐỒ DÙNG - Bảng trình chiếu  Bài tập : Giải hệ phương trình :   12   x 1 − ÷= 3x + y      y 1 + 12  =  ÷  3x + y    Trang 10 Kinh nghiệm giảng dạy  ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH  ĐỒ DÙNG - Bảng trình chiếu BÀI TẬP VỀ NHÀ  Bài  x2 + 5x − y =   xy + y =  Bài  − 2 8 x x − y x =   −12 xy + y = −    Bài log x ( x + x − y + x − 5) =   log y (2 xy + y + y − 55) =   Bài log x ( x3 + x + 5( x − 1) − y  =     log y ( y + xy + y − 7) =  Trang 11 Kinh nghiệm giảng dạy  ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH II Bước soạn giảng * Ngày soạn : Trang 12 Kinh nghiệm giảng dạy  ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH * Tiết PPCT : Tên : ỨNG DỤNG SỐ PHỨC (Chuyên đề tự chọn 12 – Nâng cao) Dạy bồi dưỡng học sinh giỏi A- Mục đích dạy : Kiến thức : Nắm vững kiến thức lý thuyết Số phức Ứng dụng số phức Kĩ : Vận dụng số phức vào việc giải hệ phương trình Tư : Tư logic – tư so sánh Mối quan hệ vật trừu tượng B- Đồ dùng dạy học : Bảng trình chiếu : Các đề tập Bảng tóm tắt : Kiến thức số phức Đề tập nhà C- Hoạt động dạy học : Kiểm tra cũ : Sẽ hỏi trình dạy Hoạt động lớp: Hoạt động giáo viên học sinh Nội dung ghi bảng Trang 13 Kinh nghiệm giảng dạy  ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH * Hoạt động (5 phút) GV: Trình chiếu kiến thức số phức x + x − y = GV: Thuyết trình * Bài tập 1- 2 xy + y = 55  * Hoạt động (8 phút) Bài giải GV: Trình chiếu Bài tập x +x− y =5 (1) x + x − y =  Giải hệ : 2 xy + y = 55 xy + y = 55 (2) GV: Em giải hệ ? Nhân vế (2) với I sau HS: Lúng túng gặp khó cộng vào (1) ta có : ( x + yi ) + x + yi = + 55i việc giải hệ GV: Hướng dẫn học sinh sử dụng Đặt z = x + yi ta có pt : số phức cách dùng : z + z – – 55i =  z = + 5i z = a + bi với a, b ∈ ¡ ⇔ z = −6 − 5i z' = a’ + b’i với a’, b’  x = y =  x + yi = + 5i ∈¡  Vậy  x + yi = −6 − 5i ⇔  x = −6  a = a '   y = −5  ⇔ z = z’ b = b ' GV: Gợi mở từ ( x + yi) = ? x +x− y =5 (1) xy + y = 55 (2) Nhân vế (2) với i sau cộng vào (1) ta có : 2 2 2 2 2 ( x + yi ) + x + yi = + 55i Đặt z = x + yi ta có pt :  z = + 5i z + z – – 55i = ⇔  z = −6 − 5i  Ta có x = y =  x + yi = + 5i  ⇔   x = −6   x + yi = −6 − 5i   y = −5  * Bài tập : Giải hệ phương trình Trang 14 Kinh nghiệm giảng dạy  ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH * Hoạt động (8 phút) GV: Trình chiếu Bài tập 3x − y   x + x2 + y =    y − x + 3y =  x2 + y  3x − y   x + x2 + y =    y − x + 3y =  x2 + y  Giải GV : Nếu giải phương pháp thơng thường khó GV : Thuyết trình Đk : x + y ≠ Nhân vế (2) cho i, ta x + 3y yi − i = (3) x +y Cộng vế với vế (1) (3) ta : 2 2 3x − y x +3y − i =3 2 x +y x + y2 3( x − yi ) − y − xi ⇔ x + yi + =3 x2 + y2 3( x − yi ) − y − xi ⇔ x + yi + + =3 x + y2 x + y2 3( x − yi ) x − yi ⇔ x + yi + + =3 x +y ( x + y )i x + yi + Đặt z = x + yi ta có : z+ 3z z + =3⇔ z+ + =3 z zi z z z.zi (4) Nhân vế (2) cho i, ta x + 3y yi − i = (3) x +y Cộng vế với vế (1) (3) ta : 2 3x − y x + 3y − i=3 2 x +y x + y2 3( x − yi ) − y − xi ⇔ x + yi + =3 x2 + y 3( x − yi ) − y − xi ⇔ x + yi + + =3 x + y2 x2 + y2 3( x − yi ) x − yi ⇔ x + yi + + =3 x +y ( x + y )i x + yi + Đặt z = x + yi ta có : z+ 3z z + =3⇔ z+ + =3 z zi z z z.zi (4) GV: (*) => z Ta có nghiệm (x,y) GV: (*) => z Ta có nghiệm (x,y) * Hoạt động (8 phút) * Bài tập 3: Giải hệ phương GV: Trình chiếu Bài tập Giải trình hệ phương trình  x − xy =   3 x y − y = −   x − xy =   3 x y − y = −  Trang 15 Kinh nghiệm giảng dạy  ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH GV: Hỏi học sinh giải HS: Trình bày lời giải Giải [Nếu không GV gợi ý : Nhân vế (2) với i Nhân vế (2) với i cộng cộng vào (1) Ta có : vào (1)] Ta có : x − xy + x yi − y 3i = − 3i x − xy + x yi − y 3i = − 3i ⇔ ( x + yi )3 = − 3i ⇔ ( x + yi )3 = − 3i HS: Viết 1- 3i dạng lũy thừa với số mũ GV: Gợi ý chuyển dạng lượng giác HS: (tiếp tục biến đổi) ( x + yi )3 = 2( − i) 2 −π −π ⇔ ( x + yi )3 = 2[cos( ) + sin( )i] 3 ( x + yi )3 = 2( − i) 2 −π −π ⇔ ( x + yi )3 = 2[cos( ) + sin( )i] 3 −π −π   ⇔ ( x + yi ) =  2[cos( ) + sin( )i ] 9   π  x = cos     y = − sin π   3 Vậy −π −π   ⇔ ( x + yi ) =  2[cos( ) + sin( )i ] 9   π  x = cos     y = − sin π   3 Vậy * Hoạt động (7 phút) GV: Trình chiếu Bài tập Giải hệ phương trình     3x 1 + ÷=   x+ y   y 1 −  =  ÷   x+ y  * Bài tập 4: Giải hệ phương trình Với     x 1 + ÷=   x+ y   y 1 −  =  ÷   x+ y  x, y ∈ ¡ ; x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≠ Với x, y ∈ ¡ GV: Đặt ẩn số phụ Chuyển u = x ≥  Đặt υ = y ≥ ta có hệ phương dạng tập   HS: Đặt u = x ≥   υ = y ≥  ta có hệ trình Trang 16 Kinh nghiệm giảng dạy  ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH phương trình :     3u 1 + u +υ2 ÷=        7υ −  ÷=  u +υ2    u  u  + u +υ2 = (1)  ⇔  − υ υ = (2)  u +υ2     =  3u  + + ÷ u υ       7υ − =   u2 +  υ÷   u  u  + + = (1) u υ  ⇔  υ =4 (2)  − υ  u2 + υ  Nhân vế (2) với I sau Nhân vế (2) với i cộng với (1) ta có : cộng với (1) ta có : u + υi + (u − υ i ) = + i u + υi + (u − υ i ) = + i 2 u +υ Đặt z = u + υi ⇒ u phương trình : z+ +υ = z z u2 +υ Đặt z = u + υi ⇒ u + υ Ta có phương trình : z = + i zz ⇔ z+ = + i z   ⇔ z2 −   + i ÷z + = ÷   HS: Từ tìm z => x,y * Hoạt động (6 phút) GV: Trình chiếu Bài tập Giải hệ phương trình   12   x 1 − ÷=   3x + y    y 1 + 12  =   3x + y ÷    GV: Học sinh giải Đk x ≥  y ≥ 3 x + y ≠  z+ = zz Ta có z = + i zz ⇔ z+ = + i z   ⇔ z2 −   + i ÷z + = ÷   HS: Từ tìm z => x,y * Bài tập : Giải hệ phương trình   12   x 1 − ÷=   3x + y    y 1 + 12  =   3x + y ÷    x ≥ 0, y ≥ 0,3 x + y ≠ Đk : Hệ phương cho viết lại :   12   3x 1 − ÷=   3x + y    y 1 + 12  =   3x + y ÷    u = x  Đặt υ =   y Trang 17 Kinh nghiệm giảng dạy  ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Hệ phương cho viết lại :   12   x 1 − ÷=   3x + y    y 1 + 12  =   3x + y ÷    u ≥  υ ≥ Ta có hệ Đặt u = x   υ = y  Đk: Đk: u = x   υ = y  Ta có hệ   12  u 1 − u + υ ÷ =     υ  + 12  =   u2 +υ ÷      12  u 1 − u + υ ÷ =     υ 1 + 12  =   u2 +υ ÷    Học sinh nhà tự giải Củng cố dặn dò (3 phút): * Củng cố phương pháp giải hệ phương trình số phức * Phát tốn hệ phương trình mà giải bằng lý thuyết số phức * Sưu tập đề thi tuyển sinh đề thi học sinh giỏi giải lý thuyết số phức * Dạy tập nhà D- Đánh giá hiệu : Sau tiếp thu tiết học đại đa số học sinh hưng phấn, hiểu say mê với việc tìm phương pháp để giải toán Khoảng thời gian sau tơi kiểm tra đánh giá xem kết khả quan thu kết sau : • Năm học 2008-2009 : Lớp 12 - Tốn Trang 18 Kinh nghiệm giảng dạy  ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH * Giải hệ phương trình : Điểm Giỏi Khá Số lượng 10 15 Trung bình • Năm học 2009-2010 : * Giải hệ phương trình : Điểm Giỏi Khá Số lượng 11 16  x − y − x = −2   xy − y = −4 Yếu Kém Lớp 11 - Toán  x − y + 2 x = −1    xy + y =  Trung bình Yếu Kém Lớp 11 - Tốn • Giải hệ phương trình : Điểm Giỏi Khá Số lượng 10 15 Trung bình  x − y + x = −1   xy − y = Yếu Kém C KẾT LUẬN : Trang 19 Kinh nghiệm giảng dạy  ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Thực tế việc dạy tốn trường phổ thơng đặc biệt giảng dạy lớp giỏi việc tìm tịi nhiều lời giải khác cho toán quan trọng, phân tích ưu khuyết phương pháp cần thiết Những việc làm mang lại hứng thú say mê học mơn tốn Bản thân tơi nhiều năm giảng dạy tốn trường phổ thông Điều mà thấy thành công việc dạy ln ln tìm phương pháp cho mơn dạy tốn trang bị cho học sinh Trên kinh nghiệm mà thực vài năm qua xin chia sẻ với đồng nghiệp mong nhiều đóng góp ý kiến để sang kiến ngày hoàn thiện Xin chân thành cám ơn Phan Rang, ngày 10 tháng năm 2010 Người viết Trần Văn Trung Trang 20 Kinh nghiệm giảng dạy  ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC NHÀ TRƯỜNG ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Trang 21 Kinh nghiệm giảng dạy  ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Trang 22 Kinh nghiệm giảng dạy  ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH SỞ GIÁO ĐỤC – ĐÀO TẠO NINH THUẬN TRƯỜNG THPT CHUN LÊ Q ĐƠN  Đề tài Giáo viên : TRẦN VĂN TRUNG Chức vụ : Giáo viên Trường:THPT Chun Lê Q Đơn NĂM HỌC : 2009 - 2010 Trang 23 Kinh nghiệm giảng dạy  ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO NINH THUẬN TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ Q ĐƠN  Đề tài ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT SỐ PHỨC ĐỂ Trang 24 Kinh nghiệm giảng dạy  ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Giáo viên : TRẦN VĂN TRUNG Chức vụ : Giáo viên Trường THPT Chun LÊ Q ĐƠN Năm học ;2009-2010  Bài tập : tập :  Bài tập :  Bài tập :  Bài  Bài tập : Trang 25 Kinh nghiệm giảng dạy  ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH  Bài tập : tập :  Bài tập :  Bài tập :  Bài  Bài tập : Trang 26 ... lại trình từ phương trình suy hệ phương trình Ta trình hệ phương trình  phương trình Giải hệ phương trình, so sánh phần thực phần ảo, ta nghiệm hệ phương trình I Bước chuẩn bị 1/ Nghiên cứu ứng. ..  ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH II Bước soạn giảng * Ngày soạn : Trang 12 Kinh nghiệm giảng dạy  ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH * Tiết PPCT : Tên : ỨNG. .. giảng dạy  ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH * Giải hệ phương trình : Điểm Giỏi Khá Số lượng 10 15 Trung bình • Năm học 2009-2010 : * Giải hệ phương trình : Điểm Giỏi Khá Số lượng