Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu tham khảo:Một số vấn đề về bất đẳng thức đối xứng ba biến
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 Khoa Toán ----------***---------- Nguyễn Thị Phương MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ BẤT ĐẲNG THỨC ĐỐI XỨNG BA BIẾN KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HÀ NỘI - 2010 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Phạm Lương Bằng LỜI CẢM ƠN Em xin trân trọng cảm ơn ban chủ nhiệm khoa Toán, trường ĐHSP Hà Nội 2, các thầy cô giáo tổ Đại số đã tạo điều kiện thuận lợi để giúp em hoàn thành khoá luận tốt nghiệp này. Đặc biệt, em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy giáo hướng dẫn: Thạc sĩ Phạm Lương Bằng đã quan tâm hướng dẫn và chỉnh sửa khoá luận cho em. Mặc dù đã cố gắng nhưng bản thân em mới làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nên không thể tránh khỏi những thiếu sót. Em hi vọng sẽ nhận được sự góp ý chân thành của các thầy cô và các bạn để khoá luận của em hoàn chỉnh hơn. Sinh viên Nguyễn Thị Phương SVTH: Nguyễn Thị Phương Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Phạm Lương Bằng LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan: Khoá luận tốt nghiệp là kết quả của sự lỗ lực tự bản thân tôi và sự hướng dẫn của thầy giáo hướng dẫn: Thạc sĩ Phạm Lương Bằng. Nội dung khoá luận không trùng lặp với công trình nghiên cứu của các tác giả trước đã công bố. Sinh viên Nguyễn Thị Phương SVTH: Nguyễn Thị Phương Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Phạm Lương Bằng MỤC LỤC SVTH: Nguyễn Thị Phương Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Phạm Lương Bằng LỜI MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Trong kỷ nguyên công nghệ thông tin, sự biến đổi các ngành trong các lĩnh vực khoa học tự nhiên hay khoa học xã hội luôn diễn ra với tốc độ chóng mặt. Nhờ internet và các phương tiện truyền thông mà các quốc gia đã xích lại gần nhau trong một thế giới hội nhập toàn cầu hoá. Ở một phạm vi hẹp chúng ta có thể thấy sự phát triển của các webside Toán học đã làm cho những người đam mê Toán học trên thế giới có thể dễ dàng nhanh chóng tiếp cận và trao đổi thông tin vô cùng phong phú. Một điều mà mọi người dễ thống nhất với nhau là bất đẳng thức luôn chiếm vị trí quan trọng đối với toán học phổ thông cũng như trên các webside Toán học. Bất đẳng thức là một vấn đề khá cổ điển của Toán học sơ cấp đang ngày càng phát triển, đây cũng là một trong những phần toán sơ cấp đẹp và thú vị nhất, vì thế luôn cuốn hút rất nhiều đối tượng bạn đọc quan tâm. Điểm đặc biệt, ấn tượng nhất của bất đẳng thức trong toán sơ cấp, đó là có rất nhiều những bài toán khó, thậm chí là rất khó, luôn có thể giải được bằng những kiến thức rất cơ sở và việc hoàn thành được chứng minh là niềm vui thực sự. Bất đẳng thức đối xứng là một trong các phần quan trọng nhất của bất đẳng thức sơ cấp, cũng là dạng bài quen thuộc trong các kì thi học sinh giỏi quốc gia và quốc tế. Đây là dạng bất đẳng thức rất được yêu thích không chỉ với các bạn đã thành thạo mà còn hấp dẫn với cả những bạn mới bắt đầu. Xuất phát từ cơ sở lí luận và thực tiễn đó mà em đã quyết định chọn đề tài: “Một số vấn đề về bất đẳng thức đối xứng ba biến” làm đề tài nghiên cứu cho mình. SVTH: Nguyễn Thị Phương 1 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Phạm Lương Bằng 2. Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu Nắm được những kiến thức cơ bản và độc đáo về bất đẳng thức đối xứng ba biến, từ đó có phương pháp giải phù hợp và bước đầu hình thành khả năng tự sáng tạo bất đẳng thức. 3. Đối tượng nghiên cứu Các bất đẳng thức cơ bản, bất đẳng thức của các dãy số đồng thứ tự, lớp hàm đối xứng ba biến, tiêu chuẩn S.O.S, bất đẳng thức dạng đồng bậc, bất đẳng thức thuần nhất đối xứng có điều kiện và không có điều kiện. Một số bài toán bất đẳng thức đối xứng ba biến. 4. Phương pháp nghiên cứu Đọc, nghiên cứu tài liệu. So sánh, phân loại, tổng hợp kiến thức. Tổng hợp, sắp xếp, giải bài tập. SVTH: Nguyễn Thị Phương 2 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Phạm Lương Bằng CHƯƠNG 1 LÍ THUYẾT CHUNG VỀ BẤT ĐẲNG THỨC ĐỐI XỨNG BA BIẾN 1.1 SƠ LƯỢC VỀ BẤT ĐẲNG THỨC ĐỐI XỨNG BA BIẾN Nói chung, các bất đẳng thức đối xứng ba biến ở dạng tổng quát luôn có biểu diễn dưới dạng sau: ( , , ) 0f a b c ≥ trong đó ( , , )f a b c là hàm đối xứng của ba biến a, b, c hay nói cách khác: ( , , ) ( , , ) ( , , )f a b c f c b a f b a c= = . Ví dụ: ( , , ) 2 2 2 3 3 3 5f a b c a b c ab bc ca abc= + + + + + + . Tính chất quan trọng nhất của các biểu thức đối xứng là vai trò bình đẳng giữa các biến, và do đó ta có thể xắp xếp lại theo một trật tự tuỳ ý giá trị các biến số đó trong chứng minh. Đây là một chú ý sẽ được sử dụng rất nhiều. Bài toán 1: Cho , ,x y z là các số thực không âm, khác nhau từng đôi một. Chứng minh rằng: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 4 xy yz zx y z z x x y + + ≥ + + − − − . Chứng minh: Do vai trò bình đẳng giữa các biến , ,x y z , không mất tính tổng quát, giả sử min{ , , }z x y z= . SVTH: Nguyễn Thị Phương 3 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Phạm Lương Bằng Nhận thấy: ( ) ( ) 1 cyc y z z x ∑ − − = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 y z z x z x x y x y y z + + − − − − − − = 0 Do đó : VT = ( ) 1 2 cyc y z + ∑ − 2 ( ) ( ) 1 cyc y z z x ∑ − − = 2 1 1 1 y z z x x y + + ÷ − − − = 0 ( ) ( ) 1 1 1 4 4 x y y z z x x z y z ≥ × × + = ÷ − − − − − 4 4 xy xy yz zx ≥ ≥ + + Bài toán được chứng minh. Bài toán 2: Cho các số thực , ,x y z khác 1 thoả mãn xyz = 1. Chứng minh rằng: 2 2 2 1. 1 1 1 x y z x y z + + ≥ ÷ ÷ ÷ − − − Chứng minh: Đặt , , 1 1 1 x y z a b c x y z = = = − − − , khi đó ta có , , . 1 1 1 a b c x y z a b c = = = − − − Do giả thiết xyz = 1 nên ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1abc a b c a b c ab bc ca= − − − ⇒ + + − − − = . Bất đẳng thức cần chứng minh được đưa về dạng 2 2 2 1a b c+ + ≥ . ( ) 2 2 2 2 1a b c a b c ab bc ca⇔ + + ≥ + + − − − − ( ) 2 1 0a b c⇔ + + − ≥ . (đpcm). SVTH: Nguyễn Thị Phương 4 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Phạm Lương Bằng Bài toán 3: Cho các số dương a, b, c thoả mãn a + b +c = 3. Chứng minh rằng: 2 2 2 3 a bc b ca c ab b ca c ab a bc + + + + + ≥ + + + . Chứng minh: Ta có: 3( b + ca) = 3b + 3ca = (a + b + c)b + 2ca +ca 2 2 2 a b c ab bc ca≤ + + + + + Do đó 2 2 2 2 2 2 3( ) 3( ) , 3( ) a bc a bc a bc b ca b ca a b c ab bc ca + + + = ≥ + + + + + + + từ đó suy ra: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3( ) 3( ) 3( ) a bc b ca c ab a bc b ca c ab a b c ab bc ca b ca c ab a bc + + + + + + + + + + ≥ + + + + + + + + = 3 Bài toán được giải quyết. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1. Bài toán 4: Tìm hằng số k lớn nhất để bất đẳng thức sau đúng ( ) 1 1 1 a b c k k a b b c c a + + + + − ≥ ÷ + + + , trong đó a, b, c là các số thực không âm sao cho trong chúng có ít nhất một số dương và a + b + c = ab + bc + ca. Chứng minh: Cho a = b = 2, c = 0 thì hiển nhiên a + b + c = ab + bc + ca, và ta thu được 1k ≤ .Ta sẽ chỉ ra rằng 1 cũng là giá trị lớn nhất có thể của k, tức là: ( ) 1 1 1 1 1a b c a b b c c a + + + + − ≥ ÷ + + + SVTH: Nguyễn Thị Phương 5 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Phạm Lương Bằng 1 a b c a b c a b c a b c b c c a a b + + + + + + ⇔ + + − − − ≥ + + + ( ) ( ) ( ) 1 a b c bc b c a ca c a b ab a b c b c c a a b + + + + + + ⇔ + + − − − ≥ + + + bc ca ab ab bc ca b c c a a b a b c + + ⇔ + + ≥ + + + + + Bất đẳng thức này đúng, ta suy ra điều phải chứng minh. 1.2 CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN VÀ ỨNG DỤNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC ĐỐI XỨNG BA BIẾN 1.2.1. Bất đẳng thức AM-GM Với mọi số thực dương 1 2 , , , n a a a ta có bất đẳng thức 1 2 1 2 n n a a a n a a a n + + + ≥ . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . 1 2 n a a a= = = Những trường hợp đặc biệt và hệ quả hay được áp dụng cho bất đẳng thức đối xứng ba biến Với mọi a, b, c không âm ta có 3 3a b c abc+ + ≥ ; 3 3 a b c abc + + ≥ ÷ ; ( ) ( ) 2 3a b c ab bc ca+ + ≥ + + ; ( ) 2 2 2 2 1 3 a b c a b c+ + ≥ + + ; ( ) ( ) 2 3ab bc ca abc a b c+ + ≥ + + ; Một số bài toán đặc trưng sử dụng bất đẳng thức AM-GM SVTH: Nguyễn Thị Phương 6 [...]... (đpcm) b c a b2 c2 a2 2.2 LỚP HÀM ĐỐI XỨNG SƠ CẤP BA BIẾN Việc nghiên cứu các biểu thức đối xứng có thể được quy về bằng việc nghiên cứu các đa thức đối xứng được chứng minh qua định lí sau Định lí cơ bản của đại số: Mọi đa thức đối xứng luôn có thể biểu diễn qua các đa thức đối xứng sơ cấp Như vậy tất cả các bất đẳng thức đối xứng ba biến số đều có thể quy về các hàm đối xứng cơ bản của p = x + y + z;... điều kiện để xây dựng các bất đẳng thức đối xứng ba biến có điều kiện Với một bài toán bất đẳng thức đồng bậc ba biến, ta có thể lựa chọn tuỳ ý một (chỉ một thôi) trong ba điều kiện p = 1; q = 1; r = 1 Cũng dựa vào các kết quả cơ bản trên, ta đi xem xét các bài toán bất đẳng thức đối xứng ba biến giải theo đường lối này Bài toán 24: Xét các số thực không âm a, b, c thỏa mãn đẳng thức a 2 + b 2 + c 2 =... trò bình đẳng giữa các biến, không giảm tính tổng quát, ta giả sử a ≥ b ≥ c thế thì hiển nhiên 1 1 1 ≥ ≥ > 0 (b + c) 2 (c + a) 2 (a + b) 2 Áp dụng bất đẳng thức Schur suy rộng ta có ngay điều phải chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c SVTH: Nguyễn Thị Phương 21 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Phạm Lương Bằng CHƯƠNG 2 MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ BẤT ĐẲNG THỨC ĐỐI XỨNG BA BIẾN 2.1 BẤT ĐẲNG THỨC CỦA... + yz + zx ; r = xyz ; Trong phần này, ta sẽ lần lượt xét các bài toán bất đẳng thức, từ dễ đến khó, có thể giải theo đường lối này Sau khi viết bất đẳng thức cần chứng minh theo p, q, r, ta chỉ cần khảo sát bất đẳng thức này theo ba biến mới p, q, r Điểm mạnh nhất của phương pháp này là xử lý được những bất đẳng thức đối xứng ba biến, chặt và khó, vì ta không thực hiện nhiều phép ước lượng trung gian... THỨC ĐỐI XỨNG BA BIẾN 2.1 BẤT ĐẲNG THỨC CỦA CÁC DÃY SỐ ĐỒNG THỨ TỰ Như đã nói ở trên, tính chất quan trọng nhất của các biểu thức đối xứng ba biến là vai trò bình đẳng giữa các biến, và do đó ta có thể sắp xếp lại theo một trật tự tuỳ ý giá trị các biến số đó trong chứng minh Việc giải các bài toán bất đẳng thức có những biến số được sắp xếp theo một thứ tự nào đó là rất thuận tiện và có thể tổng quát... bộ ba số là đồng thứ tự thì các bất đẳng thức sau đúng S(1,2,3) ≥ S( i1 ,i2 ,i3 ) ≥ S(3,2,1) SVTH: Nguyễn Thị Phương 22 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Phạm Lương Bằng (ii) Nếu hai bộ ba số là nghịch đảo thứ tự thì các bất đẳng thức sau đúng S(1,2,3) ≤ S( i1 ,i2 ,i3 ) ≤ S(3,2,1) Các bất đẳng thức trên xảy ra dấu bằng khi và chỉ khi a1 = a2 = a3 hoặc (i1 , i2 , i3 ) = (1, 2, 3) (đối với các bất đẳng. .. ≥ 0 Định lí này có ứng dụng với hầu hết các bất đẳng thức ba biến, một điều thật may mắn và rất ngạc nhiên là mọi hàm đối xứng f ( a, b, c) thỏa mãn f ( a, a, a ) = 0 và f có thể chứa căn thức, phân thức của a, b, c luôn luôn có biểu diễn dưới dạng chính tắc S.O.S mhư vậy Trước khi vào một số ví dụ cụ thể của phương pháp này chúng ta chú ý một số đẳng thức thường được sử dụng trong quá trình phân... − bc)(1 − ca ) ≥ 8 27 Chứng minh: Bất đẳng thức bên trái hiển nhiên đúng Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức bên phải Đặt p = a + b + c, q = ab + bc + ca, r = abc Bất đẳng thức cần chứng minh có dạng 1 − q + pr − r 2 ≥ 8 27 (*) Theo bất đẳng thức Schur thì p 3 − 4 pq + 9r ≥ 0 , và nhờ giả thiết ta có 4q − p 2 = 2q − 1 Do đó ta có 9r ≥ p(2q − 1) (**) Theo bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình... 4 + y 4 + z 4 ) ≤ 1 + ( x + y + z ) + ( xy + yz + zx ) + xyz Đây là bất đẳng thức đối xứng ba biến, do vai trò bình đẳng giữa các biến, ta đặt p = x + y + z; q = xy + yz + zx; r = xyz Bất đẳng thức cần chứng minh có dạng 3 − 2( p 2 − 2q ) + ( p 2 − 2q ) 2 − 2(q 2 − 2 pr ) ≤ 1 + p + q + r Từ giả thiết ta có p = 1, nên bất đẳng thức trên lại có dạng 3 − 2(1 − 2q) + (1 − 2q) 2 − 2(q 2 − 2r ) ≤ 2 + q +... không xảy ra vì a, b, c là các số dương Vậy ta có 1 1 1 17 1 1 1 + + < + + ÷ a + 2b + 3c b + 2c + 3a c + 2a + 3b 96 a b c Theo giả thiết ta có ab + bc + ca = abc ⇔ 1 1 1 + + = 1 a b c Từ đây ta suy ra điều phải chứng minh Bằng cách này ta chứng minh được bất đẳng thức còn mạnh hơn bất đẳng thức ban đầu 1.2.2 Bất đẳng thức Cauchy Schwarz – Holder 1.2.2.1 Bất đẳng thức Cauchy Schwarz : SVTH: Nguyễn . LÍ THUYẾT CHUNG VỀ BẤT ĐẲNG THỨC ĐỐI XỨNG BA BIẾN 1.1 SƠ LƯỢC VỀ BẤT ĐẲNG THỨC ĐỐI XỨNG BA BIẾN Nói chung, các bất đẳng thức đối xứng ba biến ở dạng tổng. thức. 3. Đối tượng nghiên cứu Các bất đẳng thức cơ bản, bất đẳng thức của các dãy số đồng thứ tự, lớp hàm đối xứng ba biến, tiêu chuẩn S.O.S, bất đẳng thức