Chương 7 Tóm tắt lý thuyết và đề bài tập tự giải Trần Minh Tú - Đại học Xây dựng z Chương 7. Thanh chịu uốn phẳng A. Tóm tắt lý thuy ế t 1. Định nghĩa • Uốn thuần túy phẳng: Thanh gọi là chịu uốn thuần tuý nếu trên các mặt cắt ngang của nó chỉ tồn tại thành phần ứng lực là mômen uốn M x ( hoặc M y ) nằm trong mặt phẳng quán tính chính trung tâm. • Uốn ngang phẳng: Thanh gọi là chịu uốn ngang phẳng nếu trên các mặt cắt ngang của nó chỉ có cặp ứng lực là mômen uốn M x , lực cắt Q y ( hoặc M y và Q x ) nằm trong mặt phẳng quán tính chính trung tâm. • Tải trọng gây uốn: nằm trong mặt phẳng đi qua trục thanh và vuông góc với trục thanh 2. Ứng suất trên mặt cắt ngang 2.1. Ứng suất pháp σ = M x y ( 7.1) I x Trong đó - M x là mômen uốn nội lực trên mặt cắt ngang - I x là mômen quán tính của mặt cắt ngang đối với trục quán tính chính trung tâm Ox - y là tung độ của điểm tính ứng suất Ghi chú: M x > 0 khi làm căng thớ dưới và M x < 0 khi làm căng thớ trên. Do (7.1) phải chú ý đến dấu của mô men uốn và tung độ điểm tính ứng suất nên ta thường dùng công thức kỹ thuật. M x σ z = ± y I x (7.2) Dấu (+) khi điểm tính ứng suất thuộc vùng chịu kéo và dấu (-) khi điểm tính ứng suất thuộc vùng chịu nén. 2.2. Đường trung hoà • Thớ trung hoà: Thớ vật liệu dọc trục có chiều dài không đổi (không bị co, không bị dãn) trong quá trình biến dạng do chịu uốn. σ τ σ max z t h1 yC y y τ • Mặt trung hoà: tập hợp các thớ trung hoà • Đường trung hoà: giao tuyến của mặt trung hoà với mặt cắt ngang (đi qua trọng tâm mặt cắt ngang) • Đường trung hoà chia mặt cắt ngang làm hai phần: phần chịu kéo và phần chịu nén 2.3. Biểu đồ ứng suất pháp - Ứng suất pháp cực trị Từ công thứ tính ứng suất pháp (7.1), nhận thấy rằng các điểm càng xa đường trung hoà thì có trị tuyệt đối của ứng suất càng lớn. Vì các điểm cùng nằm trên một đường thẳng song song với đường trung hoà có trị số ứng suất như nhau nên ta chỉ cần biểu diễn sự biến thiên của ứng suất theo chiều cao mặt cắt ngang. Biểu đồ ứng suất pháp đi qua gốc toạ độ như trên hình vẽ, đánh dấu (+) đẻ chỉ ứng suất kéo, và dấu (-) chỉ ứng suất nén. • Biểu đồ ứng suất pháp trên mặt cắt ngang có 1 trục đối xứng (hình 7.1) s min M x x §TH ma x τ 1 2 b1 max y Hình 7.1. Biểu đồ ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên mặt cắt ngang chữ T • Biểu đồ ứng suất pháp trên mặt cắt ngang có hai trục đối xứng (hình 7.2) • Điểm K xa đường trung hoà nhất (tung độ y k ) ở vùng chịu kéo ( σ > 0) sẽ có giá trị ứng suất pháp kéo lớn nhất, kí hiệu là σ zmax ; còn điểm N xa đường max x x W W x W σ σ h y y x τ 3 trung hoà nhất (tung độ y n ) ở vùng chịu nén ( σ z < 0 ) sẽ có giá trị ứng suất pháp nén lớn nhất kí hiệu là σ z m i n . Ta có: M x σ zmax = I x y k max M x ; σ z m i n = − I x y n max (7.3) Đặt W k = I x y K ; W n = I x y N (7.4) M x Thì σ zmax = k x M x ; σ z m i n = − n x (7.5) W k , n lần lượt là mômen chống uốn kéo (nén) của mặt cắt ngang. Với mặt cắt ngang có trục x là trục đối xứng thì W k = W n = W và gọi là mômen chống uốn của mặt cắt ngang. y x x x mi n M x x §T H x max b max Hình 7.2. Biểu đồ ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên mặt cắt ngang chữ nh ật - Mặt cắt ngang hình chữ nhật (b x h; trục x song song với cạnh đáy b) bh 2 W x = 6 (7.6) - Mặt cắt ngang hình tròn (đường kính D; trục x đi qua trọng tâm O) W = πD 0,1D 3 (7.7) x 32 - Mặt cắt ngang hình vành khăn (đường kính trong d, đường kính ngoài D) πD 3 π d 3 − W = I x = 64 64 0,1D 3 ( 1 − η 4 ) với η = d (7.8) x D / 2 D/2 D x W W h y n n 2.4. Ứng suất tiếp Với mặt cắt ngang dạng hình chữ nhật hẹp b << h . Ứng suất tiếp tuân theo giả thiết Zuravxki: Q S c τ yz = y x I x b c (7.8) Trong đó: - Q y là lực cắt theo phương y tại mặt cắt ngang. - I x là mômen quán tính của mặt cắt ngang đối với trục x. - b c chiều rộng của mặt cắt ngang tại điểm tính ứng suất y x §TH A c c b=b - A C là phần diện tích bị cắt (là phần diện tích giới hạn bởi chiều rộng mặt cắt ngang tại điểm tính ứng suất và mép ngoài của mặt cắt ngang). - S c là mô men tĩnh của phần diện tích bị cắt A C đối với trục x Biểu đồ ứng suất tiếp trên mặt cắt ngang chữ T, và mặt cắt ngang chữ nhật thể hiện trên hình vẽ 7.1 và 7.2. 3. Điều kiện bền 3.1. Thanh chịu uốn thuần tuý. Với vật liệu dòn - ứng suất cho phép khi kéo và nén khác nhau nên σ = M x ≤ [ σ ] = σ ok (7.9) max k k x σ = M x ≤ [ σ ] = σ on (7.10) min n n x Với vật liệu dẻo - ứng suất cho phép khi kéo và nén như nhau nên max { σ max , σ min } ≤ [ σ ] 3.2. Thanh chịu uốn ngang phẳng Trên mặt cắt có 3 loại điểm ở ba trạng thái ứng suất khác nhau (7.11) a. Điều kiện bền của những điểm ở trạng thái ứng suất đơn (các điểm ở mép trên và dưới của mặt cắt ngang ). W W y x n n + Với vật liệu dẻo: - Mặt cắt cần kiểm tra: mặt cắt ngang có mô men uốn lớn nhất về trị tuyệt đối ma x { σ max , σ min } ≤ [ σ ] (7.12) + Với vật liệu dòn: nếu tiết diện có trục x là trục đối xứng thì mặt cắt ngang nguy hiểm là mặt cắt ngang có mô men uốn lớn nhất về trị tuyệt đối; nếu trục x không là trục đối xứng thì mặt cắt cần kiểm tra là mặt cắt ngang có mô men âm lớn nhất và cả mặt cắt ngang có mô men dương lớn nhất. σ = M x ≤ [ σ ] = σ ok max k k x σ = M x ≤ [ σ ] = σ on min n n x b. Điều kiện bền của những điểm ở trạng thái ứng suất trượt thuần tuý. Mặt cắt cần kiểm tra là mặt cắt ngang có trị tuyệt đối của Q y lớn nhất. Điểm kiểm tra là các điểm nằm trên đường trung hoà. τ max = Q S c x I b c ≤ [ τ ] (7.13) Trong đó [ τ ] được lấy tuỳ theo thuyết bền. c. Điều kiện bền của những điểm ở trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt Mặt cắt nguy hiểm là mặt cắt ngang có M x và Q y cùng khá lớn. Điểm kiểm tra là những điểm mà tại đó có sự thay đổi đột ngột về kích thước mặt cắt ngang (điểm tiếp xúc giữa lòng và đế của mặt cắt ngang chữ I). σ = ( σ ) 2 + 4( τ ) 2 nếu dùng thuyết bền 3 t® z zy σ = ( σ ) 2 + 3( τ ) 2 nếu dùng thuyết bền 4 t® z zy  Chú ý: + Khi kiểm tra điều kiện bền cho thanh chịu uốn ngang phẳng, về nguyên tắc ta đều phải kiểm tra cho cả ba loại trạng thái ứng suất đã nêu trên. Tuy nhiên kết quả thống kê cho thấy điều kiện bền cho trạng thái ứng suất đơn là quan trọng nhất. 3.3. Ba bài toán cơ bản a. Bài toán kiểm tra điều kiện bền W Cho biết: Sơ đồ kết cấu, kích thước hình học thanh, tải trọng và ứng suất cho phép. Yêu cầu: Kiểm tra điều kiện bền cho thanh M x σ max = W x ≤ [ σ ] b. Bài toán chọn kích thước mặt cắt ngang Cho biết: Sơ đồ kết cấu, dạng hình học của thanh, tải trọng và ứng suất cho phép. Yêu cầu: Chọn kích thước nhỏ nhất của thanh M x σ max = W x ≤ [ σ ] => W x ≤ M x [ σ ] c. Bài toán tìm tải trọng cho phép tác dụng lên kết cấu Cho biết: Sơ đồ kết cấu, kích thước hình học của thanh, ứng suất cho phép của vật liệu, vị trí và phương chiều của tải trọng. Yêu cầu: Tìm giá trị cho phép lớn nhất của tải trọng có thể tác dụng vào kết cấu theo điều kiện bền. σ = M x ≤ [ σ ] => M ≤ W [ σ ] max x x x 4. Biến dạng của dầm chịu uốn a. Độ cong của đường đàn hồi 1 = M x (7.14) ρ EI x với ρ - bán kính cong của đường đàn hồi M x - mô men uốn nội lực tại mặt cắt ngang đang xét EI x - độ cứng của dầm chịu uốn. b. Phương trình vi phân gần đúng của đường đàn hồi y '' = − M x EI x c. Phương pháp tích phân trực tiếp xác định đường đàn hồi (7.15) Từ phương trình vi phân gần đúng (7.15) lấy tích phân lần thứ nhất ta được góc xoay. ∫ ϕ ( z ) = dy = − M x dz + C (7.16) dz E I x Tích phân lần thứ hai ta được biểu thức tính độ võng y=0 y= 0 ϕ 0 ϕ 0 M gt =0 M gt =0 Q gt 0 Q gt 0 y=0 y= 0 ϕ 0 ϕ 0 M gt =0 M gt =0 Q gt 0 Q gt 0 y= 0 ϕ 0 ϕ 0 ϕ 0 M gt =0 M gt =0 Q gt 0 Q gt 0 Q gt 0 ⎥ gt x y(z) = ⎡ ∫ ⎢ ∫ − M x dz + C ⎤ .d z + D (7.17) ⎣ EI x ⎦ trong đó C và D là hai hằng số tích phân, được xác định nhờ vào điều kiện biên chuyển vị . - Nhược điểm: cồng kềnh về mặt toán học khi dầm gồm nhiều đoạn, do phải giải hệ phương trình để xác định các hằng số tích phân (2n phương trình 2n ẩn số khi dầm gồm n đoạn) d. Phương pháp tải trọng giả tạo để xác định đường đàn hồi - Nếu ở phương trình vi phân gần đúng ( 12-6 ) ta đặt q (z) = − M x (7.18 ) thì quan hệ giữa EI x y(z) , ϕ (z) , q gt (z) giống như quan hệ giữa mômen uốn, lực cắt và cường độ của tải trọng phân bố trong biểu thức liên hệ vi phân giữa chúng. Chúng ta sẽ tận dụng kỹ năng tìm lực cắt và mômen uốn khi biết tải trọng phân bố để áp dụng vào bài toán tìm góc xoay và độ võng. - Tưởng tượng chọn một dầm không có thực - gọi là dầm giả tạo và đặt tải trọng phân bố q (z) = − M x gt EI vào nó thì lực cắt và mômen uốn ở dầm giả tạo do q gt (z) gây ra tại mặt cắt ngang nào đó chính là góc xoay và độ võng ở dầm thực ban đầu tại mặt cắt ngang đó do tải trọng thực gây ra. Quy tắc để chọn dầm giả tạo như sau:  Dầm giả tạo phải có chiều dài bằng chiều dài của dầm thực.  Liên kết phải sao cho điều kịên biên về nội lực tại các liên kết trên dầm giả tạo phải phù hợp với điều kiện biên về chuyển vị trên dầm thực tại các vị trí đó. Bảng chọn dầm giả tạo lập sẵn. y= 0 y= 0 M gt =0 [...]... = 1cm a a 2d 1 a 4d 2 q F 1 B a a a 3δ 15δ 1 12 7.3 Cho dầm có liên kết và chịu lực như hình vẽ 1.Vẽ các biểu đồ ứng lực cho dầm 2. Xác định kích thước mặt cắt ngang theo điều kiện bền ứng suất pháp 2 a) Biết a=1m ; q=10kN/m ; vật liệu có [σ]=1 ,2 kN/cm M=qa 2 3b q b 2 b) Biết a=2m ; q=15kN/m ; vật liệu có [σ]=16 kN/cm F=qa q C A 1.5a B 0.5a 2 c) Biết a=1,5m ; q=5kN/m ; vật liệu có [σ]=1 ,2 kN/cm ... cắt ngang 1-1 của dầm Biết 2 q=10kN/m; a=1m; F=qa; M0=qa , các kích thước theo cm 8 1 q C 1 a a (a) 40 M0 a 10 1 q (b) 1 C a 5 a 1 3F F 6 a 28 C 1 a a 6 a (c) 6 12 6 q M 2d 1 2d 7 .2 Cho dầm có kích thước mặt cắt ngang và chịu tải trọng như hình vẽ Vẽ biểu đồ các thành phần ứng lực của dầm Vẽ biểu đồ ứng suất pháp và ứng suất tiếp tại mặt cắt 2 ngang 1-1 của dầm Cho a=1m; q=10kN/m; M=qa /2; F=qa; d=4cm;... ứng suất phẳng đặc biệt F=qa N o 27 q F=2qa 3a a 7.5 Cho dầm có liên kết và chịu lực như hình vẽ 1.Vẽ các biểu đồ ứng lực cho dầm 2. Kiểm tra điều kiện bền cho dầm 2 Biết a=1m; q=10kN/m; F=5kN; t=d=2cm; h =24 cm; b=10cm [σ]=16 kN/cm F t F h d a 3a a t B b 7.6 Cho dầm có liên kết và chịu lực như hình vẽ 1.Vẽ các biểu đồ ứng lực cho dầm 2. Kiểm tra điều kiện bền cho dầm 2 Biết q=15kN/m; M=5kNm; L=1m; a=6cm;... [σ]=1 ,2 kN/cm F=qa M=qa2 q 2a D a 7.4 Cho dầm có liên kết và chịu lực như hình vẽ 1.Vẽ các biểu đồ ứng lực cho dầm 2. Xác định tải trọng cho phép theo điều kiện bền ứng suất pháp 2 a Biết a=0.5m; d=8cm; D=10cm; [σ]=16 kN/cm M=qa 2 q B 4a a d D 2 b Biết a=1m; mặt cắt ngang chữ U số 27 và ứng suất cho phép [σ]=16 kN/cm Với tải trọng cho phép tìm được hăy kiểm tra điều kiện bền cho trạng thái ứng suất... đường đàn hồi - Xét dầm chịu uốn ngang phẳng gồm n đoạn, đánh số thứ tự 1 ,2, …,i, i+1, ,n từ trái sang phải Độ cứng mỗi đoạn là E1I1, E2I2,…, EnIn Xét hai đoạn kề nhau thứ i và i+1 có liên kết dạng đặc biệt sao cho độ võng và góc xoay tại đây có bước nhảy Δy , Δϕ , tại a a mặt cắt ngang giữa hai đoạn có lực tập trung và mô men tập trung, đồng thời lực phân bố cũng có bước nhảy Fa qi F0 M0 q0 2 1 i Ma qi+1... pháp tải trọng giả tạo xác định độ võng tại B và góc xoay tại C, biết EI=const F F M=Fa C C 2a B L /2 a (a) (b) F M=Fa C a B a (c) C L /2 B L (d) 7.10 Dùng phương pháp thông số ban đầu xác định độ võng tại B và góc xoay tại C, biếtEI=const q F=qa F q M=qa B a a C Bài tập tham khảo a 2a M=qa q a B C a B a C a F 2 C B 3F a a a ... i - Từ ((7.19), ta thấy rằng, chỉ cần xác định được độ võng đoạn thứ nhất thì bằng công thức truy hồi có thể xác định được độ võng trên tất cả các đoạn còn lại y ( z) = y1 +ϕ z−− 0 1 ⎡ M ⎢ EI ⎣ 0 z2 0 +Q 0 2! z3 3! +q 0 z4 4! +q ' 0 z5 ⎤ + ⎥ 5! ⎦ (7 .20 ) Các thông số y ,ϕ , M , Q , , q ' , gọi là các thông số ban đầu và được xác 0 0 0 q 0 0 0 định từ điều kiện biên Chú ý: - Chiều dương của mô men tập. .. F0 M0 q0 2 1 i Ma qi+1 n i+1 z y0 ϕ0 z=a y (a) i y Δy a y (a) i+1 ϕ (a) i ϕ(a) i+1 Hình 7.3 - Gọi độ cứng qui ước trên cả chiều dài dầm là EI - là bội số chung nhỏ nhất của tất cả các độ cứng trên mỗi đoạn trên chiều dài dầm Đặt K1 = EI EI EI EI , K2 = , , K i = , K i +1 = , , , E1 I1 E2 I2 Ei Ii E+1I i+1 i - Bằng các phép biến đổi toán học (khai triển Taylor hàm độ võng tại z=a), sử dụng quan hệ vi... nhịp dầm có độ võng lớn nhất ymax ⎡ y ⎤ là độ võng tương đối cho phép của dầm - lấy theo quy phạm của nhà nước ⎢ l⎥ ⎣ ⎦ ⎡f⎤ 1 1 ⎡f⎤ 1 1 chẳng hạn, với dầm phụ: ⎢ ⎥ = ; với dầm chính: ⎢ ⎥ = ÷ ÷ ⎣ l⎦ 20 0 400 400 1000 ⎣ l⎦ 6 Bài toán siêu tĩnh: Cần phải sử dung điều kiện chuyển vị để xác định phản lực tại liên kết thừa B Các bài tập tự giải 7.1 Cho dầm có kích thước mặt cắt ngang và chịu tải trọng như hình... Δya + Δϕ a ( z − a) − 2 [ K i +1M i+1 (a) − Ki M i (a)( z − a) − ] EI 2! 3 4 1 1 ( z − a) ( z − a) − [ K i+1Qi+1 (a) − K iQi (a) − − [ K i+1qi+1 (a) − K i qi (a)] − ] EI 3! EI 4! 5 1 ( z − a) ' ' ⎡ K i +1q (a) − Ki q (a)⎦⎤ − − EI ⎣ 5! Khi độ cứng của dầm EI=const trên cả chiều dài thì Ki = Ki+1 = 1 , do vậy i +1 i yi +1 ( z) = yi ( z) + Δya + Δϕ a ( z − a) − 1 ⎡ (z− − ΔM a) 2 a ⎢ 2! EI ⎣ (z− a)3 a 3! . lực cho dầm. 2. Xác định kích thước mặt cắt ngang theo điều kiện bền ứng suất pháp. a) Biết a=1m ; q=10kN/m ; vật liệu có [σ] =1 ,2 kN/cm 2 . M=qa 2 q b b) Biết a=2m ; q=15kN/m ; vật liệu có [σ] =16. 1 ÷ 1 6. Bài toán siêu tĩnh: ⎢ ⎥ 20 0 400 ⎢ ⎥ 400 1000 Cần phải sử dung điều kiện chuyển vị để xác định phản lực tại liên kết thừa. 10 M 3δ 15δ 8 40 5 6 28 6 2d 2d 2d B. Các bài tập tự giải 7.1 cắt ngang chữ I). σ = ( σ ) 2 + 4( τ ) 2 nếu dùng thuyết bền 3 t® z zy σ = ( σ ) 2 + 3( τ ) 2 nếu dùng thuyết bền 4 t® z zy  Chú ý: + Khi kiểm tra điều kiện bền cho thanh chịu uốn ngang