14 d. (d) song song với đờng thẳng y = 2x + 3 v cắt đờng thẳng y= 3x + 2 tại điểm có honh độ l 1 (d) song song với đờng thẳng y = 2x + 3 m12 m1 3n 6 3 n 1 (d) cắt đờng thẳng y= 3x + 2 tại điểm có honh độ l 1 m 1 .1 3n 6 3.1 2 m 3n 2 . Thay m = 1 vo ta có 1 3n = - 2 n = 1( không thỏa mãn ) Vậy không có giá trị no của m v n thỏa mãn điều kiện đề bi. Chú ý : Ta thờng quên so sánh với điều kiện n1 nên dẫn đến kết luận sai e. (d) đi qua diểm ( -3 ; -3 ) v cắt trục tung tại điểm có tung độ l 3 (d) đi qua diểm ( -3 ; -3 ) 3m1.33n6 mn2 (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ l 3 33n6n1 Thay vo phơng trình m + n = 2 ta đợc m + 1 = 2 m = 1 Vậy m = 1 , n = 1 f. (d) đi qua ( 2 ; -5 ) v có tung độ gốc l -3 (d) đi qua diểm ( 2 ; -5 ) 5m1.23n6 2m3n 13 (d) có tung độ gốc l -3 33n6n3 Thay vo phơng trình 2m - 3n = -13 ta đợc 2m 3.3 = -13 m = -2 Vậy m = -2 , n = 3 g. (d) đi qua hai điểm ( -1 ; 3 ) v ( -3 ; 1 ) (d) đi qua hai điểm ( -1 ; 3 ) v ( -3 ; 1 ) m0 3m1.13n6 m3n2 2m 0 2 3m 3n 2 3m 3n 2 n 1m1.33n6 3 Vậy m = 0 , m = 2 3 Đề bi 3: Cho hai hm số bậc nhất y = ( m + 3 )x + 2m + 1 v y = 2mx - 3m - 4 có đồ thị tơng ứng l (d 1 ) v (d 2 ) Tìm m để : a. (d 1 ) v (d 2 ) song song với nhau , cắt nhau , trùng nhau b. (d 1 ) v (d 2 ) cắt nhau tại một điểm nằm trên trục tung c. (d 1 ) cắt (d 2 ) tại một điểm trên trục honh d. (d 1 ) cắt (d 2 ) tại một điểm nằm bên phải trục tung e. (d 1 ) cắt (d 2 ) tại một điểm nằm bên dới trục honh f. (d 1 ) cắt (d 2 ) tại điểm ( 1 ; -2 ) g. Chứng tỏ khi m thay đổi thì đờng thẳng (d 1 ) luôn đi qua một điểm cố định , đờng thẳng (d 2 ) luôn đi qua một điểm cố định. Giải : Để các hm số đã cho l các hm số bậc nhất ta phải có : m30 m 3 2m 0 m 0 Chú ý : Điều kiện trên luôn đợc dùng so sánh trớc khi đa ra một kết luận về m www.VNMATH.com www.VNMATH.com 15 a. (d 1 ) v (d 2 ) song song với nhau , cắt nhau , trùng nhau (d 1 ) v (d 2 ) song song với nhau m32m m3 m3 2m 1 3m 4 m 1 (d 1 ) v (d 2 ) cắt nhau m32m m 3 (d 1 ) v (d 2 ) trùng nhau m32m m3 2m 1 3m 4 m 1 ( vô nghiệm ) Kết hợp với các điều kiện ta có: Với m = 3 thì (d 1 ) v (d 2 ) song song với nhau m3 , m0 , m3 thì (d 1 ) v (d 2 ) cắt nhau Không có giá trị no của m để (d 1 ) v (d 2 ) trùng nhau b. (d 1 ) v (d 2 ) cắt nhau tại một điểm nằm trên trục tung (d 1 ) v (d 2 ) cắt nhau m32m m3 (d 1 ) v (d 2 ) cắt nhau tại một điểm nằm trên trục tung khi 2m + 1 = - 3m - 4 m 1 Kết hợp với các điều kiện ta có với m = -1 thì (d 1 ) v (d 2 ) cắt nhau tại một điểm nằm trên trục tung. Chú ý : Giao điểm của ( d 1 ) v ( d 2 ) với trục tung lần lợt l ( 0 ; 2m + 1) v ( 0 ; -3m -4 ) nên chúng cắt nhau tại 1 điểm trên trục tung khi hai điểm đó trùng nhau, tức l 2m+1 = -3m 4. Do đó lời giải trên nhanh m không phải lm tắt. c. (d 1 ) cắt (d 2 ) tại một điểm trên trục honh (d 1 ) v (d 2 ) cắt nhau m32m m 3 Thay y = 0 vo phơng trình đờng thẳng (d 1 ) v (d 2 ) ta có 2m 1 x m3x2m10 m3 3m 4 2mx 3m 4 0 x 2m ( Vì m3 , m0 ) Giao điểm của (d 1 ) v (d 2 ) với trục honh lần lợt l 2m 1 3m 4 ;0 v ;0 m3 2m (d 1 ) cắt (d 2 ) tại một điểm trên trục honh khi 22 2 2m 1 3m 4 2m 2m 1 m 3 3m 4 4m 2m 3m 13m 12 m 11m 12 0 m3 2m Phơng trình trên l phơng trình bậc hai có a - b + c = 0 nên có hai nghiệm m 1 = -1 ; m 2 = 12 Kết hợp với các điều kiện ta có m = -1 hoặc m = 12 thì d 1 ) cắt (d 2 ) tại một điểm trên trục honh Chú ý : Phải kết hợp với cả ba điều kiện l m3 , m0 , m3 rồi mới kết luận . d. (d 1 ) cắt (d 2 ) tại một điểm nằm bên phải trục tung (d 1 ) v (d 2 ) cắt nhau m32m m 3 Honh độ giao điểm của (d 1 ) v (d 2 ) l nghiệm của phơng trình ẩn x sau : 5m 5 m3x2m12mx3m4 m3x5m5 x m3 ( vì m 3 ) (d 1 ) cắt (d 2 ) tại một điểm nằm bên phải trục tung khi honh độ giao điểm dơng www.VNMATH.com www.VNMATH.com 16 5m 5 05m5m30m1hoặcm3 m3 Kết hợp với các điều kiện ta có m3,m1hoặcm3 e. (d 1 ) cắt (d 2 ) tại một điểm nằm bên dới trục honh (d 1 ) v (d 2 ) cắt nhau m32m m 3 Honh độ giao điểm của (d 1 ) v (d 2 ) l nghiệm của phơng trình ẩn x sau : 5m 5 m3x2m12mx3m4 m3x5m5 x m3 ( vì m 3 ) Thay 5m 5 x m3 vo phơng trình đờng thẳng ( d 1 ) ta có 222 5m 5 5m 20m 15 2m 5m 3 7m 15m 12 ym3. 2m1 m3 m3 m3 * (d 1 ) cắt (d 2 ) tại điểm nằm bên dới trục honh khi tung độ giao điểm âm 2 7m 15m 12 0(*) m3 2 2 222 95 3 15 Ta có7m 15m 12 6m 12m 6 m 3m 6 m 1 m 0 44 2 4 Nên (*) tơng đơng với m-3<0 m3 Kết hợp với các điều kiện ta có : m3,m 3,m0 l giá trị cần tìm f. (d 1 ) cắt (d 2 ) tại điểm ( 1 ; -2 ) (d 1 ) v (d 2 ) cắt nhau m32m m 3 (d 1 ) cắt (d 2 ) tại điểm ( 1 ; -2 ) 2m32m1 m2 m2 m2 22m3m4 Kết hợp với các điều kiện ta có m = -2 l giá trị cần tìm. g. Chứng tỏ khi m thay đổi thì đờng thẳng (d 1 ) luôn đi qua một điểm cố định , đờng thẳng (d 2 ) luôn đi qua một điểm cố định. Giả sử khi m thay đổi các đờng thẳng (d 1 ) luôn đi qua điểm ( x 0 ; y 0 ) , tức l : 00 000 00 00 0 y m3x 2m1vớimọim x 2m3x y 10vớimọim x20 x 2 3x y 1 0 y 5 Vậy khi ma thay đổi thì các đờng thẳng (d 1 ) luôn đi qua điểm ( -2 ; -5 ) cố định Chú ý : Với đờng thẳng ( d 2 ) ta lm tơng tự , điểm cố định l 3 ;4 2 Đề bi 4: Cho hai đờng thẳng d 1 v d 2 lần lợt có phơng trình y = -2x + 4 v y = 2x - 2 a. Tìm tọa độ giao điểm A của hai đờng thẳng trên. b. Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ các đờng thẳng d 1 v d 2 c. Gọi B v C lần lợt l giao điểm của d 1 v d 2 với trục honh; D v E lần lợt l giao điểm của d 1 v d 2 với trục tung.Tính diện tích các tam giác ABC , ADE , ABE. d. Tính các góc tạo bởi đờng thẳng d 1 v d 2 với trục honh. Giải : e. Tìm tọa độ giao điểm A của hai đờng thẳng trên. www.VNMATH.com www.VNMATH.com 17 Giao điểm của hai đờng thẳng l nghiệm của hệ phơng trình sau : 4 y 41 3 y2x4 xx 222 y2x2 2y 2 y 1 Vậy giao điểm A của hai đờng thẳng l A 3 ;1 2 f. Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ các đờng thẳng d 1 v d 2 Xét đờng thẳng (d 1 ) : y = -2x + 4 Với x = 0 y = 4 ; y = 0 x = 2. Đờng thẳng (d 1 ) đi qua hai điểm ( 0 ; 4 ) v ( 2 ; 0 ) Xét đờng thẳng (d 2 ) : y = 2x - 2 Với x = 0 y = -2 ; y = 0 x = 1. Đờng thẳng (d 1 ) đi qua hai điểm ( 0 ; -2 ) v ( 1 ; 0 ) g. Gọi B v C lần lợt l giao điểm của d 1 v d 2 với trục honh; D v E lần lợt l giao điểm của d 1 v d 2 với trục tung.Tính diện tích các tam giác ABC , ADE , ABE. Ta có : A 3 ;1 2 , B( 2 ; 0 ) , C ( 1 ; 0 ) , D( 0 ; 4 ) v E( 0 ; -2 ) Do đó : BC = | 2 1| = 1 , DE = | 4 - (-2)| = 6 , BO = | 2 0 | = 2 Gọi AH l đờng cao của ABC , AK l đờng cao của ADE AH = 1 , AK = 3 2 Gọi ABC S , ADE S , BDE S , ABE S lần lợt l diện tích của các tam giác ABC , ADE , BDE , ABE. Ta có : ABC 111 S AH.BC .1.1 222 ( đơn vị diện tích ) ADE 1139 SAK.DE 6 2222 ( đơn vị diện tích ) BDE 11 S BO.DE .2.6 6 22 ( đơn vị diện tích ) -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 1 2 3 4 -1 -2 -3 x y A E CB D d 1 d 2 H K www.VNMATH.com www.VNMATH.com 18 ABE BDE ADE 93 SSS6 22 ( đơn vị diện tích ) h. Tính các góc tạo bởi đờng thẳng d 1 v d 2 với trục honh. Góc tạo bởi đờng thẳng d 1 v d 2 với trục honh lần lợt l DBx v ACx Tam giác OBD vuông tại O có : 0 OD 4 T g OBD 2 OBD 63,4 OB 2 00 0 BDx 180 63,4 116,6 Tam giác OCE vuông tại O có : 0 OE 2 T g OCE 2 OCE 63,4 OC 1 0 ACx 63, 4 Vậy góc tạo bởi đờng thẳng d 1 v d 2 với trục honh cùng l 63,4 0 . II. chú ý : Khi đề bi không cho điều kiện của tham số m m nói l cho hm số bậc nhất thì khi lm bi ta vẫn phải tìm điều kiện để có phơng trình bậc nhất v dùng điều kiện ny để so sánh trớc khi kết luận D. Hệ phơng trình Đề bi 1: Giải các hệ phơng trình sau : a) 234 925 yx yx b) 522 52 22 xyyx yx c) 2 77 22 33 yxyx yyxx d) 13 2 x2y 21 1 x2y ( Đặt ẩn phụ ) e) 22 7 3316 x yxy xy xy ( đối xứng loại 1 ) f) 22 22 232 232 xy y yx x ( đối xứng loại 2 ) g) 22 22 32 11 2525 xxyy xxyy ( đẳng cấp bậc hai ) Giải : a) x1 x1 5x 2y 9 15x 6y 27 23x 23 24 413y2 4x 3y 2 8x 6y 4 4x 3y 2 y 2 3 Vậy hệ có một nghiệm l : ( x ; y ) = ( -1 ; 2 ) 2 2 22 22 2 2 2 x52y x2y5 x52y b) 52y 2y 252yy 5 x2 y 2x y 52520 y 4 y 2 y 10 y 4 y 5 x52y 1 x52y 10y 30y 20 0 y3y202 Phơng trình (2) l phơng trình bậc hai có a + b + c = 0 nên có hai nghiệm l 12 c y 1; y 2 a Với y = y 1 = 1 thay vo (1) ta có x = 5 2.1 = 3 Với y = y 2 = 2 thay vo (1) ta có x = 5 2.2 = 1 Vậy hệ phơng trình có hai nghiệm ( x ; y ) l ( 3 ; 1 ) v ( 1 ; 2 ) www.VNMATH.com www.VNMATH.com 19 22 33 33 22 22 22 22 22 x y xx yy 7x y 0 x7xy7y xy7x7y0 c) xyxy2 xyxy2 xyxy2 xyx xyy 7 01 xyxy2 2 Từ (1) => x - y = 0 hoặc x 2 + xy + y 2 + 7 = 0 Nếu x y = 0 x = y thay vo (2) ta có : 22 2 xxxx2 xx10 2 14.1.150 . Phơng trình có hai nghiệm phân biệt : 12 15 15 x;x 22 Hệ có nghiệm 15 15 xy v xy 22 Nếu x 2 + xy + y 2 + 7 = 0 kết hợp với (2 ta có hệ : 22 2 22 22 xyxy90 xy2xy70 xyxy70 x y 2x y x y 2 xyxy2 xyxy2 Đặt x+y = S , xy = P ta có hệ 2 2 2 PS9 SP90 PS9 S2S9S2 S2PS2 SS160* Phơng trình (*) l phơng trình bậc hai có 2 1 4.1.16 63 0 nên (*) vô nghiệm. Hệ vô nghiệm Vậy hệ phơng trình đã cho có hai nghiệm l 15 15 xy v xy 22 d) 13 2 x2y 21 1 x2y . Điều kiện x0,y2 Đặt 11 a, b x2y ta có hệ phơng trình : 1 a a3b2 a3b2 5a1 5 2a b 1 6a 3b 3 2a b 1 1 3 b2a12. 1 55 Do đó 11 x5 x5 511 13 y2 33 2y 5 ( thỏa mãn các điều kiện ) Vậy hệ phơng trình có nghiệm l 11 x; y 5; 3 e) 2 22 7 7 3316 23 16 xyxy xyxy xy xy xy xy xy Đặt x+y = S , xy = P ta có hệ 2 2 2 P7S SP 7 P 7S S27S3S16 S2P3S16 SS20 Phơng trình S 2 S 2 = 0 có dạng a - b + c = 0 nên có hai nghiệm l S 1 = -1 , S 2 = 2 Với S = S 1 = -1 ta có P = -7 + 1 = -6 x y 1 x y 6 . x v y l nghiệm của phơng trình bậc hai sau : A 2 + A - 6 = 0 2 14.1.6250 5 . Phơng trình có hai nghiệm : www.VNMATH.com www.VNMATH.com 20 12 15 15 A2;A 3 22 => Hệ phơng trình có nghiệm ( 2 ; -3 ) v ( -3 ; 2 ) Với S = S 2 = 2 ta có P = -7 - 2 = -9 . => Tự lm tiếp. Kết luận : Hệ phơng trình đã cho có 4 nghiệm l : ( 2 ; -3 ) , ( -3 ; 2 ) , 110;110,110;110 f) 22 22 2321 2322 xy y yx x Trừ từng vế hai phơng trình của hệ ta có : 22 22 2(x - y )-(x- y ) = 3( y -x ) 2 x y x y x y 3x y x y 0 x-y=0 x-y2x2y13x3y 0 xy5x5y1 0 5x 5 y 10 Nếu x - y = 0 x = y thay vo (1) ta có 2x 2 + x = 3x 2 - 2 x 2 - x - 2 = 0 Phơng trình có dạng a b + c = 0 nên có hai nghiệm l x 1 = -1 , x 2 = 2 Hệ phơng trình có hai nghiệm x = y = -1 v x = y = 2 Nếu 5x + 5y 1 = 0 15x y 5 thay vo (1) ta có : 2 2222 2 15x 15x 2x 3. 2 50x 5 25x 3 1 10x 25x 50 25x 5x 52 0 55 5 4.25. 52 5225 0 Phơng trình có hai nghiệm 12 5 5225 1 209 5 5225 1 209 x;x 50 10 50 10 Với x = x 1 = 1 209 10 ta có y = (1 5. 1 209 10 ) : 5 = 1 209 10 Với x = x 2 = 1 209 10 ta có y = (1 5. 1 209 10 ) : 5 = 1 209 10 Kết luận : Hệ phơng trình đã cho có 4 nghiệm ( x ; y ) l : 1 209 1 209 1 209 1 209 1; 1 , 2; 2 , ; , ; 10 10 10 10 Chú ý : Nếu hệ đối xứng bậc 3 thì cách lm vẫn thế nhng lời giải di v khó hơn rất nhiều cần quan sát kĩ xem ở bớc thứ hai có cách no đơn giản không 22 22 22 22 22 22 22222222 25. 3 2 25.11 32 111 75 50 25 275 ) 25252 112255275 11. 2 5 11.25 75 50 25 11 22 55 64 28 30 0 32 14 15 0 * xxyy xxyy xxyy g xxyy x xyy xxyy x xyy x xyy x xyy x xyy Với y = 0 thay vo hệ phơng trình ta có : 2 2 3x 11 x25 ( hệ vô nghiệm) Với y 0 chia hai vế của (*) cho y 2 ta đợc phơng trình : 2 2 2 32x 14x x x 15 0 32. 14. 15 0 yyy y Đặt t = x y ta có phơng trình : 32t 2 + 14t 15 = 0 Phơng trình trên có 2 ' 7 32. 15 529 0 ' 23 Phơng trình có hai nghiệm : 12 723 15 723 1 t;t 32 16 32 2 www.VNMATH.com www.VNMATH.com 21 Với t = t 1 = 15 16 x15 15 x y y 16 16 . Thay vo phơng trình (2) ta có : hoặc 2 2222 22 15 15 2. 5 25 225 480 1280 6400 16 16 256 16 16 1025 6400 41 41 41 yyyy yyy yyy y Với 16 15 16 15 . 16 41 41 41 yx Với 16 15 16 15 . 16 41 41 41 yx Với t = t 2 = 1 2 x1 1 x y y 22 . Thay vo phơng trình (2) ta có : 2 2222 2 2 2 11 2. 5 25 4 20 100 25 100 4 2 22 y yyyyyyy y y y Với y = 2 1 x.21 2 Với y = -2 1 x.2 1 2 Tóm lai hệ phơng trình đã cho có 4 nghiệm ( x ; y ) l : 15 16 15 16 ; , ; , 1; 2 , 1; 2 41 41 41 41 Chú ý : Nếu trong hệ có các biểu thức cần điều kiện thì trớc khi giải ta phải tìm điều kiện của biến trớc, sau đó dùng điều kiện ny để so sánh trớc khi kết luận về nghiệm của hệ Đề bi 2: Cho hệ phơng trình: 3x m 1 y 12 m1x12 y 24 a. Giải hệ phơng trình với m = 2 b. Giải v biện luân hệ phơng trình. c. Tìm m để hệ phơng trình có một nghiệm duy nhất ( x ; y ) sao cho x < y. d. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất âm. e. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn x + y > 1 f. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn x + y = -1. g. Tìm m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất l nghiệm nguyên h. Với ( x ; y ) l nghiệm duy nhất của hệ .Tìm đẳng thức liên hệ giữa x v y không phụ thuộc vo m. Giải : a. Giải hệ phơng trình với m = 2 ( tự lm ) b. Giải v biện luân hệ phơng trình. 2 36x 12 m 1 y 144 3x m 1 y 12 1 m1x12y 24 2 m1x12m1 y 24 m 1 Trừ từng vế của hai phơng trình trên ta có : www.VNMATH.com www.VNMATH.com 22 22 m 1 x 36x 24 m 1 144 m 1 36 x 24m 24 144 m 7 m 5 x 24m 168 3 Nếu m = 7 thay vo hệ phơng trình ban đầu ta có : 3x 6y 12 x 2y 4 x2 y 4x42 y 6x 12y 24 x 2y 4 Hệ vô số nghiệm dạng ( 4 2t ; t ) với t R Nếu m = -5 thay vo hệ phơng trình ban đầu ta có : 3x 6 y 12 x 2 y 4 6x 12 y 24 x 2 y 4 Hệ vô nghiệm Nếu m5v m7 từ (3) ta có : 24 m 7 24m 168 24 x m7m5 m7m5 m5 Thay vo (2) ta có: 24 m 1 2 m 1 24 12 m 1 . 12y 24 12y 24 y 2 y m5 m5 m5 m5 Tóm lại : Nếu m = -5 hệ phơng trình đã cho vô nghiệm Nếu m = -7 hệ phơng trình đã cho có vô số nghiệm x = 4 2t , y = t với t R Nếu m5v m7 hệ phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất: 24 12 x,y m5 m5 Chú ý : Khi tìm đợc 24 x m5 ta không nên thay vo (1) để tìm y vì khi đó hệ số của y vẫn còn m v ta lại phải xét các trờng hợp hệ só đó bằng v khác 0 để tìm y c. Tìm m để hệ phơng trình có một nghiệm duy nhất ( x ; y ) sao cho x < y. Theo câu trên, phơng trình có một nghiệm duy nhất khi m5v m7 . Khi đó nghiệm của hệ l : 24 12 x,y m5 m5 24 12 x y 1 m5 m5 Với m5v m7 ta có (x + 5) 2 >0 . Nhân hai vế của (1) với (x + 5) 2 >0 ta đợc bất phơng trình 24 m 5 12 m 5 24m 120 12m 60 12m 60 m 5 Kết hợp với các điều kiện ta có m < -5 l giá trị cần tìm Chú ý : www.VNMATH.com www.VNMATH.com 23 Khi nhân cả hai vế của một bất phơng trình với cùng một biểu thức ta phải chú ý xem biểu thức đó dơng hay âm để đổi chiều hay không đổi chiều bất đẳng thức Nếu đề bi cho lm câu c ( hoặc d, e, f, g ) m không cho câu b thì khi lm, bớc 1 ta phải tìm điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất, khi đó ta trình by nh câu b tới (3) v lập luận hệ có nghiệm duy nhất khi (3) có nghiệm duy nhất m5v m7 d. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất âm. Theo câu trên, phơng trình có một nghiệm duy nhất khi m5v m7 . Khi đó nghiệm của hệ l : 24 12 x,y m5 m5 Hệ có một nghiệm duy nhất âm khi 24 0 m50 m5 m50 m 5 12 m 5 0 0 m5 Kết hợp với các điều kiện ta có m < -5 l giá trị cần tìm Chú ý : Nghiệm ( x ; y ) của hệ đợc gọi l âm nếu x < 0 v y < 0. Nghiệm dơng, không âm, không dơng của hệ cũng tơng tự. e. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn x + y > 1 Theo câu trên, phơng trình có một nghiệm duy nhất khi m5v m7 . Khi đó nghiệm của hệ l : 24 12 x,y m5 m5 Hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn x + y > 1 24 12 36 m 5 31 m 100 m5m5 m5 m5 31 m 0 m 31 m50 m 5 m31 5m31 m5 31 m 0 m 31 vô nghiệm m50 m 5 Kết hợp với các điều kiện ta có 5m31 v m7 l giá trị cần tìm f. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn x + y = -1. Theo câu trên, phơng trình có một nghiệm duy nhất khi m5v m7 . Khi đó nghiệm của hệ l : 24 12 x,y m5 m5 Hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn x + y = -1 24 12 36 2m 10 46 2m 200462m0dom5m23 m5m5 m5 m5 Kết hợp các điều kiện ta có m = - 23 l giá trị cần tìm g. Tìm m nguyên để hệ có nghiêm duy nhất l nghiệm nguyên Theo câu trên, phơng trình có một nghiệm duy nhất khi m5v m7 . www.VNMATH.com www.VNMATH.com [...]... 2 3) (1;5),(5;1), (2; 3),(3 ;2) 4) (3; 2) , (2; 3), (2 10 10 10 10 ; 2 ),( 2 ; 2 ) 2 2 2 2 5) (2; 3);(3 ;2) 6) (1;4),(4;1) Bi 2 Giaỷi caực heọ phửụng trỡnh sau ( đẳng cấp bậc hai ): www.VNMATH.com www.VNMATH.com 24 3 x 2 2 xy y 2 11 1) 2 2 x 2 xy 5y 25 6 x 2 xy 2 y 2 56 2) 2 5 x xy y 2 49 3) 2 x 3 3 x 2 y 5 3 2 y 6 xy 7 Bi 3 Cho hệ phơng trình: x 2y 3 m 2x y 3(m 2) a) Giải. .. 12 Ta có 3x my y 12 my y 3x 12 I m 1 x 12y 24 mx x 12y 24 mx x 12y 24 Thay y = 0 vo hệ ta có : 3x 12x 24 x 47 m m 1 3x 6y 12 x 2y 4 Thay m = 7 vo hệ ta đợc 6x 12y 24 x 2y 4 x 2y 4 ( hệ vô số nghiệm ) Do đó nếu hệ có nghiệm duy nhất ( x ; y ) thì y 0 y 3x 12 y 3x 12 x x 12 24 y y mx x 12 24 xy 3x 2 12x xy 12y 24 y 3x 2 12x 12y 0 x 2 ... l x2 4x + 4y = 0 Bi tập tự lm Bi 1 Giaỷi caực heọ phửụng trỡnh sau : x 2 xy y 2 4 1) xy x y 2 x 2 y xy 2 30 5) 3 3 x y 35 Đáp án 1) (0 ;2) ; (2; 0) x y xy 7 2) 2 2 x y 3 x 3y 16 x y y x 6 6) 2 x y xy 2 20 xy x y 11 3) 2 2 x y xy 30 x y 4 7) x y xy 4 x 2 y 2 13 4) 3( x y ) 2 xy 9 0 x 4 y 4 34 8) 2) (2; 3),(3 ;2) ,(1 10; 1 10) ,(1 10; 1 10) ... 2 x 5 n 1 y 4 có nghiệm (x ; y) = (1 ; 2) có nghiệm (x ; y) = ( 1;3 ) Bi 6 Giải các hệ phơng trình sau : 2 x2 a) 2 x2 2 2 y 1 3 1 y 1 3 x y 5 2 2 x 3y 1 2 b) 2 3 y 1 c) 5 y 1 1 3 x2 4 3 29 x 2 12 d) 1 2 1 x y x y 3 1 1 1 x y x y 3 x y 1 e) y z 1 z x 8 x y 3 f) y z 6 z x 1 www.VNMATH.com x 12 x 2 2 9 y 7 u 2 5 u 2 6v g) h) 2. .. Khi đó nghiệm của hệ l : x 24 12 ,y m5 m5 24 12 l các số nguyên v m5 m5 Hệ có nghiêm duy nhất l nghiệm nguyên khi Vì m nguyên nên m + 5 l ớc của 24 v 12 m 5 12; 6; 4; 3; 2; 1; 1; 2; 3; 4; 6; 12 m 17; 11; 9; 8; 7; 6; 4; 3; 2; 1; 1; 7 Kết hợp điều kiện ta có m 17; 11; 9; 8; 7; 6; 4; 3; 2; 1; 1 l các giá trị cần tìm h Với ( x ; y ) l nghiệm duy... phơng trình khi thay m = -1 b) Gọi nghiệm của hệ phơng trình l (x, y) Tìm m để x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất a 1 x y 4 Bi 4 Cho hệ phơng trình (a l tham số) ax y 2a a) Giải hệ khi a = 1 b) Chứng minh rằng với mọi a hệ luôn có nghiệm duy nhất (x ; y) thoả mãn x + y 2 Bi 5 Tìm các giá trị của m v n để các hệ phơng trình 2 m 1 x 7 n 2 y 6 a) m 1 n 2 x y2 6 6 4m 1 x 8 n 2 y 11... 1 2 1 x y x y 3 1 1 1 x y x y 3 x y 1 e) y z 1 z x 8 x y 3 f) y z 6 z x 1 www.VNMATH.com x 12 x 2 2 9 y 7 u 2 5 u 2 6v g) h) 2 2 2 2 y 3 y 2 5 x 2 v 6 v 4u www.VNMATH.com 25 . ) = ( -1 ; 2 ) 2 2 22 22 2 2 2 x52y x2y5 x52y b) 52y 2y 25 2yy 5 x2 y 2x y 525 20 y 4 y 2 y 10 y 4 y 5 x52y 1 x52y 10y 30y 20 0 y3y2 02 Phơng trình (2) l phơng trình. = t 2 = 1 2 x1 1 x y y 22 . Thay vo phơng trình (2) ta có : 2 222 2 2 2 2 11 2. 5 25 4 20 100 25 100 4 2 22 y yyyyyyy y y y Với y = 2 1 x .21 2 Với y = -2 1 x .2 1 2 . thì cách lm vẫn thế nhng lời giải di v khó hơn rất nhiều cần quan sát kĩ xem ở bớc thứ hai có cách no đơn giản không 22 22 22 22 22 22 22 222 222 25 . 3 2 25.11 32