TN.THPT.2010 54 GV: GV: GV: GV: D DD Dng Phc Sang ng Phc Sangng Phc Sang ng Phc Sang Bài 18 : Cho A(1; –1; 3), B(3; 0; 1), C(0; 4; 0) a.Chứng minh tam giác ABC vuông và tính diện tích của nó. b.Viết phương trình mặt phẳng (ABC). c.Tính khoảng cách từ điểm D(1;1;1) đến mặt phẳng (ABC), từ đó suy ra thể tích của tứ diện ABCD. Bài 19 : Cho A(1;–1; 3), B(3;0;1), C(0;4;5) a.Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua C và vuông góc với AB. b.Viết PTTS của đường thẳng đi qua C và vuông góc với (α). Bài 20 : Cho A(1; –1; 3), B(3; 0; 1), C(0; 4; 5) a.Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua A và vuông góc với BC. b.Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (α) IV. BÀI TẬP TỰ LUYỆN TẠI NHÀ Bài 21 : Cho (α): 3x – 2y – z + 5 = 0 và ∆: 1 7 3 2 1 4 x y z − − − = = a.Chứng tỏ rằng ∆ song song với (α). b.Tính khoảng cách giữa ∆ và (α). Bài 22 :Viết PTTS của đường thẳng a.Đi qua M(5; 4; 1) và có vectơ chỉ phương (2; 3;1) a = −  b.Đi qua N(2; 0; –3) và song song với đường thẳng 1 2 3 3 4 x t y t z t   = +    = − −    =    c.Đi qua A(2; –1; 3) và vuông góc với (α): x + y – z + 5 = 0. d.Đi qua P(1; 2; 3) và Q(5; 4; 4). Bài 23 : Cho điểm A(1; 0; 0) và đường thẳng ∆: 2 1 2 x t y t z t   = +    = +    =    a.Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên đthẳng ∆. b.Tìm tọa độ A ′ đối xứng với A qua đường thẳng ∆ c.Viết phương trình mặt phẳng chứa A và ∆ Bài 24 : Cho điểm M(1; 4; 2) và mặt phẳng (α): x + y + z – 1 = 0. a.Tìm tọa độ H là hình chiếu vuông góc của M trên (α). b.Tìm tọa độ M ′ đối xứng với M qua mặt phẳng (α). c.Viết phương trình mặt cầu tâm M tiếp xúc với (α). Bài 25 : Cho điểm M(1; 4; 2) và mặt phẳng (α): x + y + z – 1 = 0. a.Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α). b.Viết ptmp đi qua điểm M và song song với mặt phẳng (α) GV: GV: GV: GV: Dng Phc Sang Dng Phc SangDng Phc Sang Dng Phc Sang 35 TN.THPT.2010 TN.THPT.2010TN.THPT.2010 TN.THPT.2010 g. 3 0 2 sin 2 cos xdx x π + ∫ h. 0 ( cos ) x x e x dx π + ∫ i. 2 2 0 ( ) x x x e dx + ∫ Bài 14 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây a. 3 3 2 y x x = − + và trục hoành. b. 2 2 y x x = − và 2 4 y x x = − + c. 2 2 y x x = − và y x = d. 3 2 y x x = − và ( ) 1 1 9 y x = − e. 1 1 ( ), 1 y C x x = + = và tiếp tuyến với ( ) C tại điểm 3 2; 2             . f. 3 1 , , 0 1 x y Ox x x − − = = − g. 1 ln , , y x x x e e = = = và trục hoành. h. ln 1 x y x x = − + , 1 y x = − và x e = Bài 15 : Tính thể tích các vật thể tròn xoay khi quay các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây quanh trục hoành: a. 2 4 2 , , 1, 2 y x x Ox x x = − = − = b. 2 , 0, 2 y y x = = − 0, 1 x x = = c. 2 2 , 1 y x y = − = www.VNMATH.com www.VNMATH.com TN.THPT.2010 36 GV: GV: GV: GV: D DD Dng Phc Sang ng Phc Sangng Phc Sang ng Phc Sang Phn PhnPhn Phn IV. S PHC IV. S PHCIV. S PHC IV. S PHC I. TÓM TẮT CÔNG THỨC VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI 1. Các công thức và phép toán về số phức 2 1 i = − i ( , ) z a bi a b = + ∈ i » Cho . Khi đó, ☺ ☺☺ ☺ 2 2 z a b = + ☺ ☺☺ ☺ z a bi = − 1 2 . z a bi z c di = + = + i Cho vaø Khi ñoù, ☺ ☺☺ ☺ 1 2 a c z z b d   =   = ⇔   =    ☺ ☺☺ ☺ 1 2 ( ) ( ). z z a c b d i + = + + + ☺ ☺☺ ☺ 1 2 ( ) ( ). z z a c b d i − = − + − ☺ ☺☺ ☺ 1 2 . ( ) ( ). z z ac bd ad bc i = − + + ☺ ☺☺ ☺ 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 . z z z z z z z z z = = 0 a a ∈ < i » Cho vaø . Khi đó, a có 2 căn bậc hai phức là: . a i ± 2. Giải phương trình bậc hai hệ số thực (với ∆ < 0) trên tập số phức Cho phương trình bậc hai 2 0 ( , , 0) az bz c a b c a + + = ∈ ≠ » vaø   Tính 2 4 b ac ∆ = − và ghi kết quả dưới dạng 2 ( . ) i ∆   Kết luận phương trình có 2 nghiệm phức: 1 2 2 2 b i b i z z a a − − ∆ − + ∆ = = vaø Lưu ý: + Chỉ được dùng công thức nghiệm ở trên khi ∆ < 0 + Trường hợp 0 ∆ ≥ ta giải pt bậc hai trên tập số thực (như trước). + Khi giải pttrùng phương trên C, ta đặt 2 t z = (không cần ĐK cho t) II. BÀI TẬP MINH HOẠ Bài 1 : Thực hiện các phép tính a. (2 4 )(3 5 ) 7(4 3 ) i i i + − + − b. 2 (3 4 ) i − c. 2 3 2 i i + + GV: GV: GV: GV: Dng Phc Sang Dng Phc SangDng Phc Sang Dng Phc Sang 53 TN.THPT.2010 TN.THPT.2010TN.THPT.2010 TN.THPT.2010 III. BÀI TẬP LUYỆN TẬP TẠI LỚP Bài 9 : Cho A(5;1;3), B(1;6;2), C(5;0;4), D(4;0;6) a.Viết ptmp(ABC) và chứng minh A,B,C,D không đồng phẳng. b.Tính khoảng cách từ điểm D đến mp(ABC) c.Viết phương trình mặt cầu tâm D tiếp xúc với mp(ABC). d.Tìm toạ độ điểm H là hình chiếu vuông góc của D lên (ABC). Bài 10 :Cho A(5;1;3), B(1;6;2), C(5;0;4) a.Tìm toạ độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành. b.Viết PTTS của đường thẳng qua A và song song với BC. b.Viết PTTS của đường thẳng qua A và vuông góc với mp(ABC) Bài 11 :Cho A(1;2;3),B(1;6;2) và mặt phẳng (β): 2x + y – 2z – 1 = 0. a.Viết phương trình mặt cầu 1 ( ) S có tâm A và tiếp xúc với mp(β). b.Viết phương trình mặt cầu 2 ( ) S có tâm B và đi qua điểm A. c.Viết PTTS của đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (β). Từ đó, tìm toạ độ giao điểm của d và (β). Bài 12 : Viết PTTS của đường thẳng d: a.Đi qua A(–2;3;1) và có vtcp (2;0; 3) a =  b.Đi qua A(4;3;1) và song song với đường thẳng 1 2 : 3 3 2 x t y t z t   = +    ∆ = −    = +    Bài 13 : Cho A(5;1;3), B(1;6;2), C(5;0;4), D(4;0;6) a.Viết PTTQ của mp(ACD) và chứng minh B không thuộc (ACD) b.Viết PTTQ mp(α) đi qua AB và song song với CD. c.Viết pt mặt cầu đường kính BD. Bài 14 :a.Viết pt mặt cầu (S) có tâm I(5;–3;7) và đi qua M(1;0;7). b.Viết phương trình mp(P) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm M. c.Tính khoảng cách từ gốc toạ độ đến mặt phẳng (P). Bài 15 :Viết phương trình mặt cầu (S) biết: a.(S) có đường kính AB với A(1;2;3), B(3;2;1) b.(S) có tâm I(1;1;1) và tiếp xúc mặt phẳng (α): 3y + 4z + 1 = 0. Bài 16 :Cho I(–2; 1; 1) và mặt phẳng (α): x + 2y – 2z + 5 = 0 a.Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I và tiếp xúc mp(α) b.Viết ptmp đi qua tâm I(–2;1;1) và song song với mặt phẳng (α). Bài 17 :Cho m.cầu (S): x 2 + y 2 + z 2 – 9 = 0 và mp(α): x + 2y – 2z + 9 = 0 a.Xác định toạ độ tâm I và tính bán kính R của mặt cầu. Tính khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (P). b.Viết ptmp(β) tiếp xúc với mặt cầu (S) và song song với mặt phẳng (α). Xác định toạ độ tiếp điểm của (S) và (β) www.VNMATH.com www.VNMATH.com TN.THPT.2010 52 GV: GV: GV: GV: D DD Dng Phc Sang ng Phc Sangng Phc Sang ng Phc Sang Bài 8 :Xét vị trí tương đối của đường thẳng 1 3 : 1 1 3 x y z d + − = = − với a. : 1 1 2 2 3 6 x t y t z t   = +    ∆ = −    = +    b. : 8 2 2 2 1 4 x t y t z t   = +    ∆ = −    = +    c. : 4 3 1 2 1 3 x t y t z t   = − −    ∆ = +    = − +    Bài giải Câu a: d đi qua điểm 0 ( 1;3; 0) M − , có vtcp (1; 1;3) u = −  ∆ 1 đi qua điểm 0 (1; 0;3) M ′ , có vtcp (2; 2;6) u ′ = −   Vì 1 1 3 2 2 6 − = = − nên , u u ′   cùng phương với nhau.  Hơn nữa thay toạ độ điểm M 0 vào pt ∆ 1 ta thấy không thoả mãn.  Kết luận 0 1 M ∉ ∆ và d || ∆ 1 Câu b: d đi qua điểm 0 ( 1;3; 0) M − , có vtcp (1; 1;3) u = −  ∆ 2 đi qua điểm 0 (2;8;1) M ′ , có vtcp (1; 2; 4) u ′ = −   Vì 1 1 1 2 − ≠ − nên , u u ′   không cùng phương với nhau.  1 3 3 1 1 1 [ , ] ; ; (2; 1; 1) 2 4 4 1 1 2 u u   − −     ′ = = − −     − −        vaø caét nhau 0 0 0 0 2 (3;5;1) [ , ]. 2.3 1.5 1.1 0 M M u u M M d ′ = ′ ′ ⇒ = − − = ⇒ ∆     Câu c : d đi qua điểm 0 ( 1;3;0) M − , có vtcp (1; 1;3) u = −  ∆ 3 đi qua điểm 0 ( 1;4; 1) M ′ − − , có vtcp ( 2;1;3) u ′ = −   Vì 1 1 2 1 − ≠ − nên , u u ′   không cùng phương với nhau.  1 3 3 1 1 1 [ , ] ; ; ( 6; 9; 1) 1 3 3 2 2 1 u u   − −     ′ = = − − −     − −        vaø cheùo nhau 0 0 0 0 2 (0;1; 1) [ , ]. 8 0 M M u u M M d ′ = − ′ ′ ⇒ = − ≠ ⇒ ∆     GV: GV: GV: GV: Dng Phc Sang Dng Phc SangDng Phc Sang Dng Phc Sang 37 TN.THPT.2010 TN.THPT.2010TN.THPT.2010 TN.THPT.2010 Bài giải Câu a: 2 (2 4 )(3 5 ) 7(4 3 ) 6 10 12 20 28 21 i i i i i i i + − + − = − + − + − 6 10 12 20 28 21 54 19 i i i i = − + + + − = − Câu b: 2 2 (3 4 ) 9 24 16 9 24 16 7 24 i i i i i − = − + = − − = − − Câu c : 2 2 2 2 (2 )(3 2 )2 6 4 3 2 6 2 8 3 2 (3 2 )(3 2 ) 13 3 4 3 4 i i i i i i i i i i i i + − + − + − − + − = = = = + + − − + Bài 2 : Tìm môđun của số phức sau đây a. 2 3 2 (1 ) z i i = + + + b. 3 (1 )(2 ) i z i i + = + − Bài giải Câu a: 2 3 2 (1 ) 3 2 3 2 2 1 2 1 2 1 z i i i i i i i = + + + = + + + + = + + + − 2 2 2 2 3 4 3 4 5 z i z a b ⇒ = + ⇒ = + = + = Câu b: 2 3 3 3 3 1 (1 )(2 ) 2 2 1 3 2 2 i i i i z i i i i i i i i + + + + = = = = = + − − + + + − + − 2 2 2 2 1 0 1 z a b ⇒ = + = + = Bài 3 : Giải phương trình sau trên tập số phức: 2 3 5 4 iz z i + = + Bài giải 2 3 5 4 2 5 3 4 (2 5) 3 4 iz z i iz z i i z i + = + ⇔ − = − + ⇔ − = − + 2 2 2 ( 3 4 )( 5 2 ) 3 4 15 6 20 8 7 26 5 2 ( 5 2 )( 5 2 ) 29 ( 5) 4 i i i i i i i z i i i i − + − +− + − − + − ⇔ = = = = − + − + − + − − Bài 4 : Giải các phương trình sau đây trên tập số phức: a. 2 3 2 0 z z + + = b. 4 2 2 3 – 0 z z + = c. 3 1 0 z − = d. 2 2 0 z z − + − = Bài giải Câu a: 2 3 2 0 z z + + = (1) Ta có, 2 2 1 4.3.2 23 0 ( 23. ) i ∆ = − = − < ⇒ ∆ = Vậy, phương trình (1) có 2 nghiệm phức phân biệt 1 23 1 23 6 6 6 i z i − − = = − − và 1 23 1 23 6 6 6 i z i − + = = − + www.VNMATH.com www.VNMATH.com TN.THPT.2010 38 GV: GV: GV: GV: D DD Dng Phc Sang ng Phc Sangng Phc Sang ng Phc Sang Câu b: 4 2 2 3 – 0 z z + = (2) Đặt 2 t z = , phương trình (2) trở thành: 2 3 2 2 2 1 1 1 – 0 3 3. 3 z t z t t t z i z    = ± = =    + = ⇔ ⇔ ⇔    = − = ±  = −      Vậy, phương trình (2) có 4 nghiệm phức phân biệt 1 z = ± và 3. z i = ± Câu c: 3 (3) 2 2 (*) 1 1 0 ( 1)( 1) 0 1 0 z z z z z z z  = −  + = ⇔ + − + = ⇔  − + =   Giải (*) , ta có 2 2 ( 1) 4.1.1 3 0 ( 3 ) i ∆ = − − = − < ⇒ ∆ = Ph.trình (*) có 2 nghiệm phức pb : 1 1 3 2 i z + = ; 2 1 3 2 i z − = Vậy, phương trình (3) có 3 nghiệm phức phân biệt 1 z = − , 1 3 2 2 z i = + và 1 3 2 2 z i = − Câu d: 2 2 0 z z − + − = (4) Ta có, 2 2 1 4.( 1)( 2) 7 0 ( 7. ) i ∆ = − − − = − < ⇒ ∆ = Vậy, phương trình (4) có 2 nghiệm phức phân biệt 1 7 1 7 2 2 2 i z i − = = − + − và 1 7 1 7 2 2 2 i z i + = = − − − Bài 5 : Tìm môđun của số phức z biết: 3 (3 )(1 ) 2 iz i i + − + = Bài giải Câu a: 2 3 (3 )(1 ) 2 3 3 3 2 iz i i iz i i i + − + = ⇔ + + − − = 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 1 2 3 2 2 3 3 3 2 2 2 2 3 3 3 i iz i i iz i z i i z a b − − ⇔ + + − + = ⇔ = − − ⇔ = = +           ⇒ = + = + =             GV: GV: GV: GV: Dng Phc Sang Dng Phc SangDng Phc Sang Dng Phc Sang 51 TN.THPT.2010 TN.THPT.2010TN.THPT.2010 TN.THPT.2010  Điểm: (1;1;1) A  PTTQ: 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 0 A x x B y y C z z − + − + − = 1( 1) 6( 1) 1( 1) 0 1 6 6 1 0 6 6 0 x y z x y z x y z ⇔ − + − − − = ⇔ − + − − + = ⇔ + − − = Câu c : vtpt: ( 6; 2; 4) n MN = = − −    Điểm: ( 1;2;3) I − là trung điểm đoạn MN  PTTQ: 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 0 A x x B y y C z z − + − + − = 6( 1) 2( 2) 4( 3) 0 6 6 2 4 4 12 0 6 2 4 14 0 3 2 7 0 x y z x y z x y z x y z ⇔ − + − − + − = ⇔ − − − + + − = ⇔ − − + − = ⇔ + − + = Bài 7 :Cho (0;1;2), ( 3;1;4), (1; 2; 1) A B C − − − . Viết PTTS của đ.thẳng d: a.d đi qua điểm A và trung điểm I của đoạn thẳng BC b.d đi qua điểm C và vuông góc với mặt phẳng (ABC) Bài giải Câu a: Trung điểm đoạn BC: 1 3 ( 1; ; ) 2 2 I − −  vtcp: 3 1 ( 1; ; ) 2 2 n AI= = − − −    PTTS của đường thẳng AI 0 3 0 2 1 0 2 1 ( ) 2 x t x x at y y bt y t t z z ct z t    = −  = +        = + ⇔ = − ∈       = +   = −      » Câu b : Hai véctơ: ( 3; 0;2), (4; 3; 5) AB BC = − = − −    vtpt của mặt phẳng (ABC): 0 2 2 3 3 0 [ . ] ; ; (6; 7;9) 3 5 5 4 4 3 n AB BC   − −     = = = −     − − − −          vtcp của d: (6; 7;9) d u n = = −    PTTS của d: 0 0 0 1 6 2 7 ( ) 1 9 x x at x t y y bt y t t z z ct z t     = + = +       = + ⇔ = − − ∈       = + = − +       » www.VNMATH.com www.VNMATH.com TN.THPT.2010 50 GV: GV: GV: GV: D DD Dng Phc Sang ng Phc Sangng Phc Sang ng Phc Sang  Điểm: (0; 3;2) A  PTTQ: 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 0 A x x B y y C z z − + − + − = 26 5( 3) 2( 2) 0 26 5 15 2 4 0 26 5 2 19 0 26 5 2 19 0 x y z x y z x y z x y z ⇔ − − − − − = ⇔ − − + − + = ⇔ − − − + = ⇔ + + − = Câu c : vtpt: (0; 4; 3) n AM = = −    Điểm: (1;1;1) M  PTTQ: 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 0 A x x B y y C z z − + − + − = 0 4( 1) 3( 1) 0 4 4 3 3 0 4 3 1 0 x y z y z y z ⇔ + − − − = ⇔ − − + = ⇔ − − = Bài 6 : Viết phương trình mặt phẳng (α) trong các trường hợp sau đây: a.(α) đi qua 3 điểm (0;1;2), ( 3;1; 4), (1; 2; 1) A K D − − − . b.(α) đi qua cạnh AB và song song với cạnh CD, biết (1;1;1), (2;1;2), ( 1;2;2), (2;1; 1) A B C D − − c.(α) là mp trung trực của đoạn MN, với (2; 3;1), ( 4;1;5) M N − Bài giải Câu a: Hai véctơ: ( 3;0;2) AK = −  (4; 3; 5) KD = − −   vtpt: 0 2 2 3 3 0 [ . ] ; ; (6; 7;9) 3 5 5 4 4 3 n AK KD   − −     = = = −     − − − −          Điểm: (0;1;2) A  PTTQ: 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 0 A x x B y y C z z − + − + − = 6 7( 1) 9( 2) 0 6 7 7 9 18 0 6 7 9 11 0 x y z x y z x y z ⇔ − − + − = ⇔ − + + − = ⇔ − + − = Câu b: Hai véctơ: (1;0;1) AB =  (3; 1; 3) CD = − −   vtpt: 0 1 1 1 1 0 [ . ] ; ; (1;6; 1) 1 3 3 3 3 1 n AB CD       = = = −     − − − −         GV: GV: GV: GV: Dng Phc Sang Dng Phc SangDng Phc Sang Dng Phc Sang 39 TN.THPT.2010 TN.THPT.2010TN.THPT.2010 TN.THPT.2010 III. BÀI TẬP LUYỆN TẬP TẠI LỚP Bài 6 : Thực hiện các phép tính a. (2 4 )(3 5 ) 7(4 3 ) i i i + − + − b. 2 (1 2 ) (2 3 )(3 2 ) i i i − − − + c. 2 (3 4 ) i − d. 3 (2 3 ) i + e. 5 (4 5 ) (4 3 ) i i   + − +     f. 2 ( 2 3) i − g. 2010 (1 ) i + h. 2010 (1 ) i − i. (3 2 )(1 3 ) (2 ) 1 3 i i i i + − + − + j. (2 ) (1 )(4 3 ) 3 2 i i i i + + + − + k. (3 4 )(1 2 ) 4 3 1 2 i i i i − + + − − l. 2 2 (1 3 ) (1 3 ) i i + + − Bài 7 : Viết các số phức sau dưới dạng a + bi rồi tìm môđun của chúng a. z i i = + + + 2 3 2 (1 ) b. – – z i i = + 3 4 3 (1 ) c. 3 (1 )(2 ) i z i i + = + − d. 2 2 2 2 (1 2 ) (1 ) (3 2 ) (2 ) i i z i i + − − = + − + e. 1 1 i z i − = + f. 5 1 1 i z i   +    =      −   Bài 8 : Giải phương trình sau trên tập số phức a. 2 3 5 4 iz z i + = + b. (3 4 ) (1 2 )(4 ) i z i i + = + + c. ( 2 3) 2 3 2 2 i z i i − + = + d. 2 1 3 1 2 i i z i i + − + = − + e. 3 (2 3 )(1 2 ) 5 4 z i i i + + − = + f. 2 (1 – ) (2 – ) 2 3 i z i i + = + g. 3 (2 ) 1 2 (1 ) 3 z i iz i i − + = + + Bài 9 : Cho 2 (1 2. ) z i = + .Tính z Bài 10 : Cho 3 4 (1 ) (1 ) i z i + = − . Tính z Bài 11 : Cho 3 1 1 3 ( ) 2 2 z i= − + và 3 2 1 3 ( ) 2 2 z i= + . Tính z 1 .z 2 Bài 12 : Tìm số phức z có phần thực và phần ảo bằng nhau và 2 2 z = Bài 13 : Giải các phương trình sau trên tập số phức: a. 0 z z + + = 2 3 2 b. – 0 z z + = 2 4 7 c. – 0 z z + = 2 2 5 4 d. 2 7 0 z z + + = e. 2 3 2 7 0 z z + + = f. 2 4 7 0 z z − + = www.VNMATH.com www.VNMATH.com TN.THPT.2010 40 GV: GV: GV: GV: D DD Dng Phc Sang ng Phc Sangng Phc Sang ng Phc Sang g. 2 2 17 0 z z + + = h. 2 3 3 0 z z + + = i. 2 1 0 z z − + = j. 0 z + = 3 8 k. – 0 z z + = 4 2 2 3 l. 4 2 2 3 5 0 z z + − = Bài 14 : Cho số phức 1 3 z i = + .Tính 2 2 z z + Bài 15 : Cho các số phức 1 2 3 3 2 , 2 , 1 3 z i z i z i = + = + = − . Hãy biểu diễn các số phức 1 2 3 1 2 3 , , , , , z z z z z z trên mặt phẳng phức. IV. BÀI TẬP TỰ LUYỆN TẠI NHÀ Bài 16 : Thực hiện các phép tính a. (1 4 )(2 3 ) 5( 1 3 ) i i i − + − − − b. 2 (2 3 ) (1 3 )(5 2 ) i i i − − − + c. 2 (2 4 ) i i − + d. 3 (2 ) i − e. 3 (5 ) (2 7 ) i i   − − +     f. 2 ( 2 3) i − g. (2 3 )(1 2 ) (2 4 ) 1 i i i i + − + − + h. (2 ) (1 )(1 3 ) 3 9 i i i i + − − − − i. (3 4 )(1 2 ) 4 3 1 2 i i i i − + + − − j. 2 2 (1 3 ) (1 3 ) i i + − − Bài 17 : Tính z z + , biết a. 2 (1 ) 1 3 2 z i i = − + − b. 3 3 (1 ) 2 (2 – ) – z i i = + c. 3 (1 )(2 ) i z i i − = − + d. 2 2 2 2 (1 2 ) (1 ) (3 2 ) (2 ) i i z i i − − − = − − − e. 2 1 (1 ) i z i − = + f. 6 1 1 i z i   +    =      −   Bài 18 : Giải phương trình sau trên tập số phức a. 2 . 1 5. 2 i z z i − = − b. (3 ) (1 )(4 2 ) i z i i − = + − c. (2 ) 3 2 i z i i − + = + d. 2 1 3 1 2 2 i i z i i + − − = + + e. 3 (2 3 )(1 2 ) 5 4 z i i i + + − = + f. 2 (1 ) (1 – ) 2 3 i z i i + + = − Bài 19 : Tính Cho 2 (1 2. ) 3 z i i = − + .Tính z Bài 20 : Cho 3 4 (1 ) (1 ) i z i − = + . Tính 1 z Bài 21 : Cho 3 1 1 3 ( ) 2 2 z i= − + và 3 2 1 3 ( ) 2 2 z i= + . Tính z 1 .z 2 Bài 22 : Tìm số phức z có phần thực và phần ảo đối nhau và 2 2 z = GV: GV: GV: GV: Dng Phc Sang Dng Phc SangDng Phc Sang Dng Phc Sang 49 TN.THPT.2010 TN.THPT.2010TN.THPT.2010 TN.THPT.2010 Câu b: Tâm: 1 2 3 ( ; ; ) 2 I − là trung điểm đoạn thẳng BC.  Bán kính: 69 2 2 BC R = = ( 2 2 2 (0 2) (2 1) ( 6 2) 69 BC = − + − + − − = )  Phương trình mặt cầu: 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 3 69 ( 1) ( ) ( 2) 2 4 x a y b z c R x y z − + − + − = ⇔ − + − + + = Câu c: Tâm: C(0;2; –6).  Bán kính: 2 2 2 0 2.2 2( 6) 1 15 ( ,( )) 5 3 1 ( 2) 2 R d C P − + − + = = = = + − +  Phương trình mặt cầu: 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( 2) ( 6) 25 x a y b z c R x y z − + − + − = ⇔ + − + + = Bài 5 : Cho mặt cầu 2 2 2 ( ) : 2 6 8 1 0 S x y z x y z + + − + − + = , hai điểm (0; 3;2), (1; 1; 1) A B − − a.Xác định toạ độ tâm I và bán kính R của mặt cầu. b.Viết phương trình mp(α) đi qua cạnh AB và tâm I của m.cầu. c.Viết phương trình mp(β) tiếp xúc với mặt cầu tại điểm (1;1;1) M Bài giải Câu a : Ta có 2 2 1 2 6 3 2 8 4 1 1 a a b b c c d d     − = − =       − = = −     ⇔     − = − =       = =       . Nên toạ độ tâm: (1; 3;4) I −  Bán kính: 2 2 2 2 2 2 1 ( 3) 4 1 5 R a b c d = + + − = + − + − = Câu b: Hai véctơ: (1; 4; 3) AB = − −  (0; 2; 5) BI = −   vtpt: 4 3 3 1 1 4 [ , ] ; ; ( 26; 5; 2) 2 5 5 0 0 2 n AB BI   − − − −     = = = − − −     − −         www.VNMATH.com www.VNMATH.com TN.THPT.2010 48 GV: GV: GV: GV: D DD Dng Phc Sang ng Phc Sangng Phc Sang ng Phc Sang Bài 3 : Tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (α) biết: a. 1 : 2 2 x t d y t z t   = −    = +    =    và ( ) : 3 4 6 0 x y z α + − − = b. 1 4 : 1 1 3 x y z d + − = = − và ( ) : 3 2 2 0 x y z α − − − = Bài giải Câu a:  Thay x,y,z từ PTTS của d vào PTTQ của ( ) α ta được 3(1 ) 4(2 ) (2 ) 6 0 3 3 8 4 2 6 0 5 0 5 t t t t t t t t − + + − − = ⇔ − + + − − = ⇔ − + = ⇔ =  Thay t = 5 trở lại vào PTTS của d, ta được 1 5 4 : 2 5 7 2.5 10 x d y z   = − = −    = + =    = =     Vậy, giao điểm của d và (α) là ( 4;7;10) H − Câu b: Dạng PTTS của d: 1 ( ) 4 3 x t y t z t   = − +    = − ∗    = +     Thay x,y,z từ ( ) ∗ vào PTTQ của ( ) α ta được 11 2 t = −  Thay 11 2 t = − trở lại vào ( ) ∗ , ta được g.điểm 13 11 25 ( ; ; ) 2 2 2 H − − Bài 4 : Cho A(1;3;1), B(2;1;2), C(0;2; –6) và mp ( ) : 2 2 1 0 P x y z − + + = a.Viết phương trình mặt cầu tâm B, đi qua A b.Viết phương trình mặt cầu đường kính BC. c.Viết phương trình mặt cầu tâm C, tiếp xúc với mặt phẳng ( ) P Bài giải Câu a: Tâm: B(2;1;2)  Bán kính: 2 2 2 (2 1) (1 3) (2 1) 6 R AB= = − + − + − =  Phương trình mặt cầu: 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) x a y b z c R − + − + − = 2 2 2 ( 2) ( 1) ( 2) 6 x y z ⇔ − + − + − = GV: GV: GV: GV: Dng Phc Sang Dng Phc SangDng Phc Sang Dng Phc Sang 41 TN.THPT.2010 TN.THPT.2010TN.THPT.2010 TN.THPT.2010 Bài 23 : Giải các phương trình sau trên tập số phức: a. 2 3 1 0 z z − + = b. 2 – 4 5 0 z z + = c. 2 3 – 5 4 0 z z − − = d. 2 1 0 z z − + − = e. 2 2 4 9 0 z z + + = f. 2 4 6 0 z z − + − = g. 2 3 6 17 0 z z + + = h. 2 3 3 0 z z − + = i. 3 27 0 z − = j. 3 2 8 8 0 z z z + + + = k. 4 2 – 12 0 z z − = l. 4 2 3 2 5 0 z z + − = Bài 24 : Cho số phức 2 2 z i = − .Tính 2 2 z z + www.VNMATH.com www.VNMATH.com TN.THPT.2010 42 GV: GV: GV: GV: D DD Dng Phc Sang ng Phc Sangng Phc Sang ng Phc Sang Phn V. Phn V. Phn V. Phn V. PHNG PHÁP TO Đ PHNG PHÁP TO ĐPHNG PHÁP TO Đ PHNG PHÁP TO Đ TRONG KHÔNG GIAN TRONG KHÔNG GIANTRONG KHÔNG GIAN TRONG KHÔNG GIAN I. TÓM TẮT CÔNG THỨC VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI 1. Tọa độ của véctơ và tọa độ của điểm trong không gian    1 2 3 1 2 3 ( ; ; ) a a a a a a i a j a k = ⇔ = + +         ( ; ; ) M x y z OM xi y j zk = ⇔ = + +        ( ; ; ) B A B A B A AB x x y y z z = − − −     Trung điểm I của đoạn AB    Trọng tâm G của tam giác ABC 2 2 2 A B I A B I A B I x x x y y y z z z   +  =      +   =     +  =     3 3 3 A B C G A B C G A B C G x x x x y y z y z z z z   + +  =      + +   =     + +  =     2. Tích vô hướng và tích có hướng Cho 2 véctơ ( ; ; ) ( ; ; ) a x y z b x y z ′ ′ ′ = =   ;    Tích vô hướng: . a b xx yy zz ′ ′ ′ = + +      Tích có hướng: , ; ; y z z x x y n a b y z z x x y       = =    ′ ′ ′ ′ ′ ′          [ ]    2 2 2 a x y z = + +     2 2 2 ( ) ( ) ( ) B A B A B A AB x x y y z z= − + − + −    2 2 2 2 2 2 . cos( , ) . . a b xx yy zz a b a b x y z x y z ′ ′ ′ + + = = ′ ′ ′ + + + +       3. Một số tính chất và ứng dụng    . 0 a b a b ⊥ ⇔ =        Nếu [ , ] n a b =    thì n a n b ⊥ ⊥     ;    , a b   cùng phương với nhau [ , ] 0 a b ⇔ =       , , a b c    đồng phẳng [ , ]. 0 a b c ⇔ =    GV: GV: GV: GV: Dng Phc Sang Dng Phc SangDng Phc Sang Dng Phc Sang 47 TN.THPT.2010 TN.THPT.2010TN.THPT.2010 TN.THPT.2010 Bài giải Câu a: CMR, ∆ABC vuông, tính diện tích của nó  2 2 2 ( 2; 2;4) ( 2) ( 2) 4 2 6 AB AB= − − ⇒ = − + − + =  (0; 2; 1) 5 AC BC = − − ⇒ =  . 2.0 2.( 2) 4.( 1) 0 AB AC ⇒ = − − − + − =    Suy ra tam giác ABC vuông tại A.  Diện tích tam giác ABC: 1 1 . .2 6. 5 30 2 2 ABC S AB AC ∆ = = = Câu b: Viết PTTS của trung tuyến AM  Điểm M là trung điểm BC nên 1 2 (0;1; ) M −  vtcp: 3 2 ( 1; 2; ) u AM = = − −    PTTS của trung tuyến AM: 0 0 3 0 2 1 3 2 ( ) 2 x x at x t y y bt y t t z z ct z t     = + = −       = + ⇔ = − ∈       = +  = − +      » Câu c: Viết PTTQ của mặt phẳng (ABC)  Hai véctơ: ( 2; 2; 4) AB = − −  (0; 2; 1) AC = − −   vtpt: 2 4 4 2 2 2 [ , ] ; ; (10; 2; 4) 2 1 1 0 0 2 n AB AC   − − − −     = = = −     − − − −          Điểm: (1;3; –2) A  PTTQ: 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 0 A x x B y y C z z − + − + − = 10( 1) 2( 3) 4( 2) 0 10 10 2 6 4 8 0 10 2 4 4 0 5 2 2 0 x y z x y z x y z x y z ⇔ − − − + + = ⇔ − − + + + = ⇔ − + + = ⇔ − + + = Câu d: Khoảng cách từ M(2;1;2) đến mặt phẳng (ABC) 2 2 2 5.2 1 2.2 2 15 30 ( ,( )) 2 30 5 ( 1) 2 d M ABC − + + = = = + − + www.VNMATH.com www.VNMATH.com TN.THPT.2010 46 GV: GV: GV: GV: D DD Dng Phc Sang ng Phc Sangng Phc Sang ng Phc Sang 11. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng Cho : 0 0 0 ( ) x x at d y y bt z z ct   = +    = + ∗    = +    và mặt phẳng : (1) ( ) 0 P Ax By Cz D + + + = Thay ( ) ∗ vào (1) ta được phương trình (2) theo biến t.  Nếu phương trình (2) vô nghiệm t thì kết luận d || (P)  Nếu phương trình (2) có vô số nghiệm t thì kết luận d ⊂ (P)  Nếu phương trình (2) có duy nhất nghiệm t = t 0 thì thay t = t 0 trở lại vào phương trình ( ) ∗ ta tìm được 0 0 0 ( ; ; ) x y z . Kết luận d và (P) cắt nhau tại điểm 0 0 0 0 ( ; ; ) M x y z II. BÀI TẬP MINH HOẠ Bài 1 : Cho 3 , 2 , OA i j k OB i j k OC j = + + = + + =           a.CMR, ∆ABC cân. b.Tìm D sao cho ABCD là hình bình hành Bài giải Câu a: Từ giả thiết ta suy ra (1;3;1), (1;1;2), (0;1; 0) A B C  2 2 2 (0; 2;1) 0 ( 2) 1 5 AB AB= − ⇒ = + − + =  2 2 2 ( 1;0; 2) ( 1) 0 ( 2) 5 BC BC= − − ⇒ = − + + − =   Suy ra, AB = BC hay tam giác ABC cân tại B. Câu b: ( 1; 3; 1) D D D AD x y z = − − −  ( 1;0; 2) BC = − −   ABCD là hbh 1 1 0 3 0 3 1 2 1 D D D D D D x x AD BC y y z z     − = − =       ⇔ = ⇔ − = ⇔ =       − = − = −          Vậy, (0; 3; 1) D − Bài 2 : Cho A(1;3;–2), B(–1;1;2), C(1;1;–3) a.CMR, ABC là tam giác vuông. Tính diện tích tam giác ABC. b.Viết PTTS của đường trung tuyến AM của tam giác ABC. c.Viết PTTQ của mặt phẳng (P) đi qua 3 đỉnh của tam giác ABC. d.Tính khoảng cách từ điểm M(2;1;2) đến mặt phẳng (ABC) GV: GV: GV: GV: Dng Phc Sang Dng Phc SangDng Phc Sang Dng Phc Sang 43 TN.THPT.2010 TN.THPT.2010TN.THPT.2010 TN.THPT.2010 4. Phương trình mặt cầu    Mặt cầu (S) biết trước tâm I(a; b; c) và bán kính R có phương trình 2 2 2 2 ( – ) – – x a y b z c R + + = ( ) ( )    Với điều kiện, phương trình có dạng: 2 2 2 – 2 – 2 – 2 0 x y z ax by cz d + + + = là phương trình mặt cầu có tâm (a;b;c) và có bán kính 2 2 2 R a b c d = + + − Lưu ý: + M.phẳng α tiếp xúc với mặt cầu (S) thì (S) có bán kính ( , ) R d I α = 5. Phương trình tổng quát của mặt phẳng Nếu (P) đi qua 0 0 0 0 ( ; ; ) M x y z , có vtpt ( ; ; ) n A B C =  thì (P) có PTTQ 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 0 A x x B y y C z z − + − + − = Lưu ý (về việc xác định vtpt của mp) ☺ ☺☺ ☺ ( ) ( ) P Q  thì ( ) P nhận Q n  làm vtpt. ☺ ☺☺ ☺ ( ) P AB ⊥ thì ( ) P nhận AB  làm vtpt. ☺ ☺☺ ☺ ( ) P d ⊥ thì ( ) P nhận d u  làm vtpt. a. Cách xác định vtpt của (P) khi biết 2 véctơ có giá song song (hoặc chứa trong) (P) Nếu ( ; ; ) , ( ; ; ) a x y z b x y z ′ ′ ′ = =   có giá song song (chứa trong (P)) thì (P) có vtpt: , ; ; y z z x x y n a b y z z x x y       = =    ′ ′ ′ ′ ′ ′          [ ] Lưu ý: (về việc xác định véctơ có giá song song với mp) ☺ ☺☺ ☺ ( ) ( ) P Q ⊥ thì Q n  có giá song song ( ) P ☺ ☺☺ ☺ ( ) P AB  thì AB  có giá song song ( ) P ☺ ☺☺ ☺ ( ) P chứa M,N thì MN  có giá song song ☺ ☺☺ ☺ ( ) P d  thì d u  có giá song song ( ) P ☺ ☺☺ ☺ ( ) P chứa ∆ thì u ∆  có giá song song ( ) P b. Cách xác định vtpt của (P) khi biết PTTQ của (P) Mp ( ) : 0 P Ax By Cz D + + + = có vtpt ( ; ; ) n A B C =  c. Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn Mặt phẳng (P) đi qua ( ; 0;0) A a , (0; ; 0), (0;0; ) B b C c có PTTQ (P): 1 x y z a b c + + = www.VNMATH.com www.VNMATH.com TN.THPT.2010 44 GV: GV: GV: GV: D DD Dng Phc Sang ng Phc Sangng Phc Sang ng Phc Sang 6. Vị trí tương đối của 2 mặt phẳng Cho ( ) : 0 P Ax By Cz D + + + = có vtpt ( ; ; ) n A B C =  và ( ) : 0 Q A x B y C z D ′ ′ ′ ′ + + + = có vtpt ( ; ; ) n A B C ′ ′ ′ ′ =  a. Hai mặt phẳng song song với nhau . ( ) ( ) . n k n P Q D k D  ′  =   ⇔  ′  ≠       (Đặc biệt: nếu , , , A B C D ′ ′ ′ ′ đều khác 0 thì A B C D A B C D = = ≠ ′ ′ ′ ′ ) b. Hai mặt phẳng trùng nhau . ( ) ( ) . n k n P Q D k D  ′  =   ≡ ⇔  ′  =      (Đặc biệt: nếu , , , A B C D ′ ′ ′ ′ đều khác 0 thì A B C D A B C D = = = ′ ′ ′ ′ ) c. Hai mặt phẳng cắt nhau ( ) ( ) . P Q n k n ′ ⇔ ≠   caét   Hai mặt phẳng vuông góc ( ) ( ) P Q n n ′ ⊥ ⇔ ⊥   (Hay: . 0 n n ′ =   ) 7. Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng Cho 0 0 0 0 ( ; ; ) M x y z và ( ) : 0 P Ax By Cz D + + + = . Khi đó, 0 0 0 0 2 2 2 ( ,( )) Ax By Cz D d M P A B C + + + = + + 8. Phương trình tham số của đường thẳng Đường thẳng d đi qua 0 0 0 0 ( ; ; ) M x y z , có vtcp ( ; ; ) u a b c =  , có PTTS 0 0 0 : ( ) x x at d y y bt t z z ct   = +    = + ∈    = +    » Lưu ý: Nếu ( ; ; ) , ( ; ; ) a x y z b x y z ′ ′ ′ = =   là 2 véctơ có giá vuông góc với d thì vtcp của d cũng được tìm bằng công thức: , u a b =    [ ] 9. Phương trình chính tắc của đường thẳng Đường thẳng d đi qua 0 0 0 0 ( ; ; ) M x y z , có vtcp ( ; ; ) u a b c =  , có PTCT 0 0 0 : x x y y z z d a b c − − − = = GV: GV: GV: GV: Dng Phc Sang Dng Phc SangDng Phc Sang Dng Phc Sang 45 TN.THPT.2010 TN.THPT.2010TN.THPT.2010 TN.THPT.2010 Lưu ý: (về cách xác định vtcp cho đường thẳng) ☺ ☺☺ ☺ d đi qua 2 điểm A,B (cho trước toạ độ) thì d có vtcp AB  ☺ ☺☺ ☺ d || ∆ (cho trước PT) thì d có vtcp u u ∆ =   ☺ ☺☺ ☺ d ⊥(P) (cho trước PT) thì d có vtcp P u n =   ☺ ☺☺ ☺ d vuông góc với giá của 2 véctơ , a b   thì d có vtcp [ , ] u a b =    ☺ ☺☺ ☺ d song song với mp (P) và vuông góc với đường thẳng ∆ thì d vuông góc với giá của 2 véctơ P n  và u ∆  nên d có vtcp , P u n u ∆ =    [ ] 10. Vị trí tương đối của 2 đường thẳng Cho đường thẳng d qua 0 0 0 0 ( ; ; ), M x y z có vtcp ( ; ; ) u a b c =  và đường thẳng d ′ qua 0 0 0 0 ( ; ; ), M x y z ′ ′ ′ ′ có vtcp ( ; ; ) u a b c ′ ′ ′ ′ =  Đặt [ ] , n u u ′ =    a. d và d′ song song nhau c. d và d′ cắt nhau ñieåm 0 0n d d M d   =   ′ ⇔  ′  ∉       caét . 0 0 0 0 n d d n M M   ≠   ′ ⇔   ′ =        b. d và d′ trùng nhau d. d và d′ chéo nhau ñieåm 0 0n d d M d   ≠   ′ ≡ ⇔  ′  ∈      cheùo . 0 0 0 0 n d d n M M   ≠   ′ ⇔   ′ ≠        www.VNMATH.com www.VNMATH.com . Bài giải Câu a: 2 (2 4 )(3 5 ) 7 (4 3 ) 6 10 12 20 28 21 i i i i i i i + − + − = − + − + − 6 10 12 20 28 21 54 19 i i i i = − + + + − = − Câu b: 2 2 (3 4 ) 9 24 16 9 24 16 7 24 i. III. BÀI TẬP LUYỆN TẬP TẠI LỚP Bài 6 : Thực hiện các phép tính a. (2 4 )(3 5 ) 7 (4 3 ) i i i + − + − b. 2 (1 2 ) (2 3 )(3 2 ) i i i − − − + c. 2 (3 4 ) i − d. 3 (2 3 ) i + e. 5 (4 5 ) (4. + = Bài 3 : Giải phương trình sau trên tập số phức: 2 3 5 4 iz z i + = + Bài giải 2 3 5 4 2 5 3 4 (2 5) 3 4 iz z i iz z i i z i + = + ⇔ − = − + ⇔ − = − + 2 2 2 ( 3 4 )( 5 2 ) 3 4 15 6