S¸ng kiÕn kinh nghiƯm A ĐẶT VẤN ĐỀ I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Trong việc dạy học tốn việc tìm phương pháp dạy học giải tập tốn địi hỏi người giáo viên phải chọn lọc hệ thống, sử dụng phương pháp dạy học góp phần hình thành phát triển tư học sinh Muốn dạy Tốn có hiệu thiết phải cho học sinh hoạt động, đường làm cho học sinh nắm bắt tri thức cách vững vàng Muốn học sinh chiếm lĩnh tri thức Toán học cách chắn trước hết họ phải đặt chủ động khơng thể có chiếm lĩnh tốt đường thụ động Vì vậy, dạy tri thức thầy giáo thường trao cho học sinh điều thầy muốn dạy; cách làm tốt thường cài đặt tri thức vào tình thích hợp để học sinh chiếm lĩnh thơng qua hoạt động tự giác, tích cực sáng tạo thân Kiến thức mà học sinh thu nhận từ hoạt động củng cố hoạt động tự nhiên, chắn sở tốt để hình thành kĩ thực hành, vận dụng Chương trình, sách giáo khoa Tốn trung học phổ thơng hành nói chung chương trình Đại số 10 nói riêng có nhiều thay đổi theo hướng giảm dần việc cung cấp tri thức kiểu có sẵn Thay vào việc cung cấp thơng tin yêu cầu học sinh phải thông qua hoạt động để hình thành tri thức Tuy nhiên, vấn đề đặt cần tập trung tập luyện dạng hoạt động để tác động tốt đến trình nhận thức Tốn học học sinh Xét thấy tầm quan trọng với học sinh , tơi mạnh dạn vào tìm hiểu , nghiên cứu sáng kiến: "Tập luyện cho học sinh dạng hoạt động nhằm góp phần phát triển khả nhận thức Tốn học q trình dạy học Đại số 10 trường THPT" nhằm góp phần nhỏ vào việc đổi phương pháp dạy học nhằm nâng cao chất lượng mơn nâng dần trình độ tư sức sáng tạo học sinh II ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU: Học sinh lớp 10 trường THPT Lê Văn Hưu III MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU: Mục đích nghiên cứu đề tài xác định dạng hoạt động cần thiết xây dựng tình tập luyện cho học sinh dạng hoạt động nhằm góp phần phát triển khả nhận thức Tốn học trình dạy học Đại số 10 trường THPT IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Tham khảo SGK, sách tập, sách giáo viên, sách tham khảo mơn Tốn hành trường THPT - Dự quan sát biểu tính tích cực học sinh Toán - Thực hành giảng dạy lớp, đánh giá tiếp thu kiến thức học sinh thông qua kiểm tra tập luyện tập Đối chiếu so sánh kết nhận thức lớp để thấy hiệu đề tài Ngời thực hiện: Tạ thị Vân Sáng kiến kinh nghiƯm B NỘI DUNG I CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI: Nhận thức học sinh kết trình học tập nghiên cứu Từ nhận thức để tạo tri thức, tri thức vốn hiểu biết khoa học người Để nhận thức em phải hoạt động, lứa tuổi học sinh hoạt động chủ yếu em học tập Bằng hoạt động thông qua hoạt động này, em chiếm lĩnh kiến thức, hình thành phát triển lực trí tuệ nhân cách đạo đức, thái độ Khi bàn phương pháp giáo dục J Piaget nhấn mạnh đến vai trị hoạt động học sinh Ơng kết luận: “Người ta khơng học hết, khơng phải trải qua chiếm lĩnh hoạt động, học sinh phải phát minh lại khoa học, thay nhắc lại cơng thức lời nó” Mục đích dạy học đem đến phát triển tồn diện cho học sinh Điều nói lên dạy học phát triển có mối quan hệ với Đó mối quan hệ hai chiều, biện chứng: Trước hết phát triển mục đích cuối hoạt động dạy học, đồng thời tư học sinh phát triển việc thu nhận vận dụng kiến thức học sinh nhanh chóng hiệu hơn, trình dạy học diễn cách thuận lợi Học tập thông qua hoạt động phát huy vai trị chủ động tích cực học sinh nhờ mà kiến thức truyền đạt cho học sinh không bị áp đặt Thông qua hoạt động tạo điều kiện cho em học sinh thể mình, trau dồi khả trình bày trước tập thể, khả tự đánh giá tập đánh giá người khác Hơn nữa, thông qua hoạt động làm cho em thấy vai trị mơn Tốn thực tiễn em hứng thú học tập môn Toán II THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU: Về thực trạng giảng dạy Toán giáo viên - Việc sử dụng thiết bị dạy học chưa thường xuyên - Nhìn chung soạn, giáo viên thực đủ bước lên lớp theo quy định, song số soạn chưa xác định trọng tâm kiến thức học, soạn theo kiểu diễn giảng Phần lớn giáo viên chưa đầu tư vào việc thiết kế hoạt động tương thích với nội dung dạy học chưa xây dựng hệ thống câu hỏi phát vấn đòi hỏi phát triển tư học sinh, xây dựng tình có vấn đề học tập - Đa số giáo viên xếp, phân bố thời gian chưa hợp lí, dành nhiều thời gian cho việc trình bày bảng thầy việc ghi chép trò Khi giảng giáo viên có có đặt câu hỏi cho học sinh chất lượng câu hỏi chưa cao, cịn vụn vặt, số câu hỏi lại q khó khơng tạo hội cho học sinh tích cực suy nghĩ giải vấn đề học Về thực trạng học môn Toán học sinh: - Thực tiễn sư phạm cho thấy, chất lượng đại trà học sinh yếu Số học sinh tự tiếp thu giải tốn khơng nhiều, hầu hết học sinh cịn yếu kĩ kiến tạo kiến thức (yếu định hướng giải toán, yếu kĩ Ngêi thùc hiện: Tạ thị Vân Sáng kiến kinh nghiệm chuyn đổi tốn, kĩ chuyển đổi ngơn ngữ, kĩ phát vấn đề để giải vấn đề, ) - Đa số học sinh chưa biết phương pháp học, nên hiệu học tập nhà trường chưa cao Kỹ ghi chép nhớ “ngự trị”, “lấn át” kỹ khác như: tự đọc, tự suy nghĩ, tìm tịi, tự tóm lược, … Học sinh cịn lười suy nghĩ, chưa tích cực tư hoạt động trí não tìm tịi phát vấn đề giải vấn đề, tiếp thu kiến thức cách thụ động nên dễ quên, không vận dụng linh hoạt, sáng tạo vào giải toán Học sinh chưa có thói quen tư tìm tịi, sáng tạo, khai thác vấn đề từ biết, học - Đa số học sinh (65%) cho Tốn học mơn học trừu tượng, khó hiểu, phải học bắt buộc nên không hứng thú học tập III GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN: Trong tiết dạy cần phải thực tất hoạt động mà hoạt động cần thiết để rèn luyện cho học sinh loại hình dạy Đơi tốn ta lúc tiến hành nhiều hoạt động kết hợp Qua thực tế giảng dạy , theo kinh nghiệm cá nhân xin số dạng hoạt động cần tập luyện cho học sinh trình dạy học Đại số 10 trường THPT đề xuất số tình tập luyện cho học sinh trình dạy học Đại số 10 trường THPT nhằm góp phần phát triển khả nhận thức toán học sinh Hoạt động nhận dạng thể Nhận dạng thể hai dạng hoạt động theo chiều hướng trái ngược liên hệ với khái niệm, định lí hay phương pháp Ví dụ Khi ta dạy khái niệm hàm số chẵn, hàm số lẻ (Bài 1, chương Đại số lớp 10) Sau học sinh trang bị khái niệm hàm số chẵn, hàm số lẻ ta cho học sinh thực hoạt động sau với mục đích củng cố khái niệm hình thành kĩ nhận biết tính chẵn – lẻ hàm số Hoạt động 1: (hoạt động nhận dạng) Xét xem hàm số sau đây, hàm số hàm số chẵn, hàm số hàm số lẻ ? 1) f( x) = x2 + 2) f( x) = 3) f( x) = x + x5 x +1 4) f( x) = x2 + 5x - 5) f( x) = − x Đây hoạt động tương đối đơn giản nhiên lại cho học sinh mà em vừa tiếp cận với khái niệm hàm số chẵn, hàm số lẻ cần giáo viên phải có câu hỏi gợi ý Chẳng hạn, nêu câu hỏi gợi ý sau: H1: Tìm TXĐ hàm số H2: Xét xem x thuộc TXĐ –x có thuộc TXĐ hay khơng? H3: Hãy dùng định nghĩa để xét tính chẵn lẻ hàm số Sau thực xong hoạt động học sinh phải nắm qui trình xét tính chẵn lẻ hàm số Ngêi thùc hiƯn: T¹ thị Vân Sáng kiến kinh nghiệm Bc 1: Tỡm TXĐ hàm số, giả sử D Kiểm tra D có tính đối xứng hay khơng? Bước 2: ∀x∈D tính f(-x) ; so sánh f(-x) với f(x) để rút kết luận Trong bước D khơng có tính đối xứng kết luận hàm số khơng chẵn không lẻ mà không cần thực bước Hoạt động 2: (hoạt động thể hiện) Mức độ trung bình: Với điều kiện tham số a hàm số sau hàm số chẵn? Hàm số lẻ? f(x) = (a2 + 2a)x2 + ax + Mức độ cao hơn: Hãy lấy ví dụ hàm số chẵn, hàm số lẻ hàm số khơng chẵn khơng lẻ? Ví dụ Các hoạt động sau tiến hành học khái niệm phương trình tương đương: Hoạt động1: (hoạt động nhận dạng) Mỗi khẳng định sau hay sai (đúng ghi Đ, sai ghi S): Đúng Sai 1) x − = − x ⇔ x − = 2) x + x − = + x − ⇔ x = x =1 ⇔ x =1 3) 4) x + x − = + x − ⇔ x = Hoạt động nhằm khắc sâu khái niệm hai phương trình tương đương, củng cố phép biến đổi tuơng đương giải phương trình Hoạt động2: (hoạt động thể hiện) Mức độ trung bình: Hãy tìm điều kiện m để hai phương trình sau tương đương: x2 + x = (1) x( x + 2m - 1) = (2) Hoạt động thể yêu cầu cao hoạt động nhận dạng, khơng đơn học sinh nhìn vào hai tập nghiệm có hay không để kết luận hoạt động nhận dạng Mức độ cao hơn: Hãy lấy ví dụ hai phương trình tương đương? Ở mức độ yêu cầu học sinh phải hiểu khái niệm để tạo đối tượng thỏa mãn khái niệm Ví dụ Khi học định lí tịnh tiến đồ thị: Ta cho học sinh tiến hành hoạt động sau: Hoạt động 1: (hoạt động nhận dạng) Hãy nối câu cột I với câu cột II để khẳng định đúng: Cột I Cột II a) Tịnh tiến đồ thị hàm số y = x + sang phải 1) y = 3x + đơn vị ta đồ thị ca hm s Ngời thực hiện: Tạ thị Vân S¸ng kiÕn kinh nghiƯm b) Tịnh tiến đồ thị hàm số y = 3x – sang trái 2) y = 2x2 + 8x + 1đơn vị ta đồ thị hàm số c) Tịnh tiến đồ thị hàm số y = x2 – 4x + 3) y = x2 – 4x + lên đơn vị ta đồ thị hàm số d) Tịnh tiến đồ thị hàm số y = 2(x + 2)2 xuống 4) y = x2 - 4x +3 đơn vị ta đồ thị hàm số Ở hoạt động học sinh phải nhận dạng tịnh tiến đồ thị hàm số y = f(x) dọc theo trục tọa độ thì: - Hệ số cao biến x không thay đổi - Nếu tịnh tiến theo phương trục tung Oy biểu thức y = f(x) thay đổi hệ số tự Từ ta dễ dàng nối d) với 2); b) với 1); c) với 3) a) với 4) Hoạt động2: (hoạt động thể hiện) Mức độ trung bình: Khi tịnh tiến đồ thị hàm số y = 3x2 + sang trái đơn vị, viết biểu thức biến đổi Mức độ cao hơn: Cho hai đường thẳng (d1): y = 2x - (d2) y = 2x +3 Hãy xác định phép tịnh tiến trường hợp: a) Cùng phương trục hoành biến (d1) thành (d2); b) Cùng phương trục tung biến (d1) thành (d2) Hoạt động tiến hành mức độ tùy thuộc vào trình độ học sinh.Thực xong hoạt động học sinh hiểu định lí sâu sắc 2.Hoạt động ngôn ngữ Những hoạt động ngôn ngữ học sinh thực họ yêu cầu phát biểu, giải thích định nghĩa, mệnh đề đó, đặc biệt lời lẽ mình, biến đổi chúng từ dạng sang dạng khác Ví dụ Khi dạy phép tốn tập hợp ta tập luyện cho học sinh hoạt động ngơn ngữ sau đây: + Tình 1: Dạy phép hợp hai tập hợp, giáo viên đưa định nghĩa kí hiệu Tốn học: A ∪ B = {x│x∈ A x∈ B} Hoạt động ngôn ngữ: Hãy phát biểu lời định nghĩa hợp hai tập hợp? + Tình 2: Xét định lí: “Trong mặt phẳng, tập hợp điểm cách hai đầu mút đoạn thẳng đường trung trực ca on thng ú Ngời thực hiện: Tạ thị Vân S¸ng kiÕn kinh nghiƯm Hoạt động ngơn ngữ: Đây có phải tốn chứng minh hai tập hợp x − hợp khơng? Nếu có, nêu haitập ≥0  + Tình 3: Cho hệ:  x + (m tham số) 2 x − ≤ m  Xác định tham số m để hệ: a) vô nghiệm b) nghiệm với x thuộc đoạn [1; 4] Hoạt động ngôn ngữ: Hãy phát biểu đề tốn ngơn ngữ tập hợp? Mục đích hoạt động mong muốn học sinh phát biểu đề toán sau: m +1 ] (m tham số) Cho hai tập hợp A = ( −∞; −2) ∪ [1; +∞) ; B = (−∞; A∩ B =φ Xác định tham số m để: a) [1;4] ⊂ ( A ∩ B) b) Hoạt động tìm tịi phát Ví dụ Khi dạy học sinh vẽ đồ thị hàm số bậc hai số y = ax2 + bx + c; a ≠ Trước lớp em học hàm số bậc hai dạng y = ax2 (a ≠ 0) để dẫn dắt em vẽ đồ thị hàm số y = ax2 + bx + c (P) từ đồ thị hàm số y = ax2 (P0), giáo viên cho học sinh tiến hành hoạt động sau: Tổ chức cho học sinh hoạt động: H? Hãy nhắc lại đặc điểm đồ thị hàm số y = ax2 (P0) H? Hãy xác định số p, q để biến đổi hàm số y = ax2 + bx + c dạng y = a(x – p)2 + q ? H? Cho biết từ đồ thị y = ax2 suy đồ thị y = ax2 + bx + c nào? Dự kiến phương án trả lời: Thực hai phép tịnh tiến liên tiếp sau: * Tịnh tiến (P0) sang phải p đơn vị p > 0, sang trái p đơn vị p < ta đồ thị hàm số y = a(x - p)2 (P1) * Tiếp theo, tịnh tiến (P1) lên q đơn vị q > 0, xuống q q < 0, ta đồ thị hàm số y = a(x - p)2 + q Gọi đồ thị (P) Vậy (P) đồ thị hàm số y = ax2 + bx + c H? Cho biết hình dạng đồ thị hàm số y = ax2 + bx + c (a ≠ 0)? Dự kiến phương án trả lời: +) Đỉnh I(- b ∆ ;- ) 2a 4a +) Trục đối xứng đường thẳng x = - b 2a Ngêi thực hiện: Tạ thị Vân Sáng kiến kinh nghiệm +) Quay bề lõm lên a > 0, quay bề lõm xuống a < Như dẫn dắt học sinh phát đồ thị y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) thông qua đồ thị y = ax2 ( a ≠ ) học lớp Kiến thức mà truyền tải cho học sinh không bị áp đặt, học sinh đột ngột tiếp nhận chúng mà em người chủ động phát Ví dụ Khi dạy chủ đề bất đẳng thức ta có bất đẳng thức Cauchy, giáo viên đưa toán với cách giải sau: Bài toán : Cho x, y, z thoả mãn x2 + y2 + z2 = Tìm GTLN S = xy + yz + xz Lời giải sau: Ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy sau: 3 x + z ≥ xz ≥ xz = xz, tương tự ta có : 4 4 3 3 xy x + y ≥ ≥ xy ; y2 + z2 ≥ yz ≥ yz 4 4 2 2 ⇒ S = (xy + yz + xz) ≤ ( xy + yz + xz )≤ x2+ y2+ z2 =5 2 2 Vậy GTLN S = 10 ⇔x=y= - ;z=- x = y = ; z = Mục đích đưa tốn có lời giải cho học sinh để làm gì? Chúng ta biết lời giải đưa cách đột ngột khơng có ý nghĩa mặt sư phạm Học sinh không hiểu rằng, vào đâu mà lời 3 1 giải tách x2 = x2 + x2 y2 = y2 + y2 Cơ sở tách 4 4 ? Nếu không tách liệu dùng bất đẳng thức Cauchy có tìm lời giải hay không? Chẳng hạn, tách x2 = 1 x + x2 y2 = y2 + y2 2 2 Như vậy, giáo viên đưa tốn với lời giải tình để u cầu học sinh tìm tịi, phát mấu chốt lời giải Nếu không, tri thức mà học sinh lĩnh hội ghi nhớ mt cỏch mỏy múc Ngời thực hiện: Tạ thị Vân S¸ng kiÕn kinh nghiƯm Để trả lời câu hỏi ta cần xét tốn tổng qt sau : Bài toán: Cho x2 + y2+ k z2 = M (k, M số ; k > M ≥ ) Tìm GTLN S = xy + yz + xz GV dẫn dắt học sinh làm sáng tỏ thắc mắc hệ thống câu hỏi: H? Hãy nhận xét vai trò biến x, y, z “thao tác” dành cho x y nào? H? Ta tách x2 , y2 k z2 nào? H? Áp dụng bất đẳng thức Cauchy nào? Dự kiến phương án trả lời: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có  2 ( − m ) x + ( − m ) y ≥ ( − m ) xy ≥ ( − m ) xy   kz ≥ 2mk xz ≥ 2mk xz mx +   kz ≥ 2mk yz ≥ 2mk yz my +  H? Để làm xuất biểu thức S = xy + yz + xz ta cần chọn m, k nào? Dự kiến phương án trả lời: Cần chọn m, k cho: 2(l - m) = 2mk ⇔ 2m2 - m(4 + k) + = ⇒ m = [(4 + k) - k + 8k ] (vì ≤ m ≤ 1) M M Khi 2(1 - m)S ≤ M ⇒ S ≤ 2(1 − m) Vậy GTLN S 2(1 − m)  x, y, z dấu   kz ⇔ mx =  2  x + y + kz = M  Kiểm nghiệm tốn (ví dụ 6) ta có k = thay vào cơng thức tìm m rõ ràng kết m = việc giải toán có sở Học sinh hiểu vấn đề cách tồn diện hơn, qua em sáng tạo nhiều tốn cách cho k, M giá trị cụ th Ngời thực hiện: Tạ thị Vân Sáng kiến kinh nghiÖm Từ việc phát lời giải cho tốn học sinh dễ dàng tìm lời giải cho toán sau: Cho n(x2 + y2) + mz2 = M (m, n số dương; M số khơng âm cho trước) Tìm GTLN S = xy + yz + xz Hoạt động biến đổi đối tượng: Đây hoạt động chủ thể nhận thức nhằm biến đổi cấu trúc, nội dung hình thức đối tượng cho tri thức tương thích với tri thức có Đối tượng định nghĩa, định lí hay tốn Ví dụ Khi dạy học sinh chủ đề phương trình ta gặp tốn sau: Giải phương trình: + − x = 2x Phương trình dạng phương trình mà học sinh quen thuộc: f ( x) = g ( x) với f ( x) = − x g ( x) = x − Gặp toán học sinh thường nghĩ giải phương pháp bình phương  g ( x) ≥ f ( x) = g ( x) ⇔   f ( x) = [g ( x)] đặt ẩn phụ t = − x Cách tiến hành hai phương pháp khác mục đích làm thức Tuy nhiên, câu hỏi đặt ngồi hai cách nói cịn có cách khác để loại bỏ thức hay không? Để định hướng cho học sinh tìm lời giải khác ngồi cách đặt ẩn phụ bình phương giáo viên phải có câu hỏi dẫn dắt, chẳng hạn nêu câu hỏi sau: H? Điều kiện x gì? Mong đợi câu trả lời: | x |≤ H? Cần làm xuất loại bỏ thức? Mong đợi câu trả lời: Ta phải biến đổi − x = a H? Đẳng thức x + a = với | x |≤ gợi cho nhớ đến công thức lượng giác nào? Mong đợi câu trả lời: sin α + cos 2α = H? Vậy ta đặt x ẩn phụ nào? Mong đợi câu trả lời: Đặt x = cost x = sint H? Hãy giải phương trình cách đặt x = cost Mong đợi câu trả lời: Đặt x = cos t, t ∈ [0; π] Khi phương trình trở thành: 1 + − cos t = 2cos t ⇔ 2sin t + sin t − = ⇔ sin t = (do sin t ≥ ) Ngời thực hiện: Tạ thị Vân Sáng kiến kinh nghiƯm nghiệm phương trình cho Như ta biến đổi phương trình đại số phương trình lượng giác Sau học sinh giải tốn giáo viên đưa toán tương tự Vậy x = cos t = ± − sin t = ± sau: Bài tốn: Giải phương trình : x + + x = (1 + x )3 − x2 Ví dụ Tương tự ta gặp tốn giải phương trình chứa sau toán ta lại biến đổi sang dạng khác Bài tốn: Giải phương trình x + x + = (1) f ( x) = g ( x) với Phương trình có dạng quen thuộc: f ( x) = x + g ( x) = − x Tuy nhiên, giải theo phương pháp bình phương gặp khó khăn vì: 5 − x ≥  x + = − x2 ⇔  x + = ( − x ) (*)   Việc giải phương trình (*) khơng đơn giản tí phương trình chứa bậc 4, bậc bậc lại khơng có nghiệm “đẹp” khơng dễ để phân tích thành phương trình tích Ta dẫn dắt học sinh biến đổi phương trình sang dạng khác cách xem ẩn x tham số Trong phương trình có số ẩn x, xem x tham số ta phải xem số ẩn số ta giải tìm thơng qua x Đặt = t lúc phương trình (*) có dạng: t = x − x 2 2 x + t = ( t − x ) ⇔ t − ( x + 1) t + x − x = ⇔  t = x + x + Lúc ta có: x + = − x2  − x ≥    x − x = ⇔ Như   − x ≥  x + x +1 =  việc xem biến x tham số xem số biến số ta biến đổi phương trình sang dạng khác giải khơng khó khăn Các phép biến đổi thay đổi hình thức tốn, tức tốn giải phương trình Ngêi thùc hiện: Tạ thị Vân 10 Sáng kiến kinh nghiệm hỡnh thức phương trình sau biến đổi khác với phương trình ban đầu Có trường hợp phép biến đổi làm thay đổi nội dung hình thức tốn Ví dụ Hoạt động sau cần tập luyện cho học sinh dạy chủ đề hệ phương trình Ta có tốn : Giải biện luận hệ sau theo tham số m: mx + y − 2m − = (1)   2  x + y + x − y + = ( 2)  Dạng hệ có qui trình giải Tuy nhiên, theo quy trình giải hệ việc ẩn khơng gọn cịn liên quan đến tham số m, lại gặp phép bình phương nên dài Giáo viên dẫn dắt học sinh câu hỏi sau: H? Nếu ta xem (1) phương trình đường thẳng ∆ , xác định véc tơ pháp tuyến? H? Xem (2) phương trình đường trịn (C), xác định tâm bán kính? H? Hãy phát biểu toán tương đương ? Hoạt động khám phá Ví dụ 10 Khi dạy khái niệm hàm số chẵn, lẻ chương trình Đại số lớp 10 ta giúp học sinh chiếm lĩnh tri thức thông qua hoạt động khám phá sau: Hoạt động: Cho hàm số f1(x) = x2 – 1; f2(x) = x3; f3(x) = x2 - x ; f4(x) = x + x5; f5(x) = x + - x − + Hãy tìm TXĐ D f(-x) hàm số cho? + Với hàm số hàm số cho hai mệnh đề sau đúng? Nếu x ∈ D -x ∈ D f(-x) = f(x) (I) + Với hàm số hàm số cho hai mệnh đề sau đúng? Nếu x ∈ D x ∈ D f(-x) = - f(x) (II) + Người ta gọi hàm số thoả mãn (I) hàm số chẵn, cho biết đặc điểm chung loại hàm số này? + Người ta gọi hàm số thoả mãn (II) hàm số lẻ, cho biết đặc điểm chung loại hàm số này? + Những hàm số sau hàm số chẵn hay hàm số lẻ? f6(x) = x2 + 5x – 1; f7(x) = x3 + x2 ; f8(x) = x +1 Bước đầu hoạt động yêu cầu học sinh phát hàm số thỏa mãn điều kiện (I), hàm số thỏa mãn điều kiện (II) hàm số không thỏa Ngời thực hiện: Tạ thị Vân 11 Sáng kiến kinh nghiƯm mãn điều kiện hai điều kiện Thông qua hàm số cụ thể để giúp học sinh tiếp cận với dấu hiệu đặc trưng hàm số chẵn, hàm số lẻ từ chiếm lĩnh khái niệm hàm số chẵn, hàm số lẻ Chúng ta thử hình dung khơng có hoạt động mà giáo viên đưa khái niệm hàm số chẵn, hàm số lẻ cho học sinh? Lúc kiến thức mà em lĩnh hội ghi nhớ máy móc, thụ động Hoạt động mơ hình hóa Là hoạt động nhận thức lớp đối tượng, tượng q trình nội mơn Tốn hay thực tiễn thơng qua việc mơ tả giải thích chúng cách sử dụng kí hiệu ngơn ngữ tốn học Ví dụ 11 Để biểu thị quan hệ hợp, giao, tập con, hiệu phần bù hai tập hợp ta dùng kí hiệu tốn học dùng biểu đồ Ven Nhìn vào kí hiệu biểu đồ ta hiểu mối quan hệ hai tập hợp Phép hợp: H? Hãy mô tả khái niệm hợp hai tập hợp A B cách khác nhau: Dự kiến phương án trả lời: + Dùng ngôn ngữ: Hợp hai tập hợp A B kí hiệu A ∪ B, tập hợp bao gồm phần tử thuộc A thuộc B + Dùng kí hiệu toán học: A ∪ B = {x / x∈ A x∈ B} + Dùng biểu đồ ven: A A∪ B B Biểu đồ Tương tự ta u cầu học sinh mơ hình hóa khái niệm phép giao, phép hiệu phép lấy phần bù sau: Phép giao: + Dùng ngôn ngữ: Giao hai tập hợp A B kí hiệu A ∩ B, tập hợp bao gồm tất phần tử thuộc A B + Dùng kí hiệu tốn học: A ∩ B = {x / x∈ A x∈ B} + Dùng biểu đồ ven: A AB B Biểu đồ Tập con: + Dùng ngôn ngữ: Tập A gọi tập tập B kí hiệu A ⊂ B phần tử tập hợp A phần tử tập hợp B + Dùng kí hiệu tốn học: A ⊂ B ⇔ ( ∀ x, x∈ A ⇒ x∈ B) Ngời thực hiện: Tạ thị Vân 12 Sáng kiến kinh nghiÖm + Dùng biểu đồ ven: A B Biểu đồ Phép hiệu: + Dùng ngôn ngữ: Hiệu hai tập hợp A B kí hiệu A\ B, tập hợp bao gồm tất phần tử thuộc A khơng thuộc B + Dùng kí hiệu toán học: A\ B = {x│x∈ A x∉ B} + Dùng biểu đồ ven: A B A\B Biểu đồ Ví dụ 12 Khi dạy khái niệm Hàm số hội để tập luyện cho học sinh tính thực tiễn Tốn học phương pháp mơ hình hóa Tốn học Chẳng hạn, hàm số y = f(x) xác định đoạn [-3; 6] cho đồ thị sau: y O x Đồ thị Khi đưa mơ hình để tập luyện cho học sinh cần quan tâm tới việc rèn cho em kĩ “đọc” “hiểu” đồ thị Chẳng hạn, hàm số ta cần yêu cầu học sinh nắm (với độ xác đó) nội dung như: giá trị hàm số số điểm; GTLN, GTNN hàm số; khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số; dấu f (x) khoảng H? Hãy tính giá trị hàm số x = -3 ; x = 1; x = H? Hãy tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số on [-3; 6]? Ngời thực hiện: Tạ thị Vân 13 S¸ng kiÕn kinh nghiƯm H? Hãy nêu khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến hàm số? H? Hãy nêu dấu f(x) khoảng ? Hoạt động đánh giá Trong dạy học, việc đánh giá học sinh không nhằm mục đích nhận định thực trạng điều chỉnh hoạt động học trò mà đồng thời tạo điều kiện nhận định thực trạng điều chỉnh hoạt động dạy thầy Các ví dụ sau thiết kế dạy cho học sinh chủ đề bất đẳng thức Tuy nhiên, cần phải hiểu tập luyện vào thời điểm khác khơng phải xảy tiết học Ví dụ 13 Giáo viên đưa tình sau cho học sinh hoạt động: Bài toán Cho x4 + y4 + z4 = 48 Tìm GTLN S = xy + yz + xz Lời giải sau: Ta áp dụng bất đẳng thức côsi sau  x + y + + ≥ 4xy  51  x + z + + ≥ 4xz ⇒ 4S ≤ (x4+ y4 + z4) + =102 ⇒ S ≤  z + y + + ≥ 4zy  Vậy GTLN S 51 ; xảy ⇔ x = y = z =1 x = y = z = -1 H? Hãy nhận xét xem lời giải chưa? Nếu sai, sửa lại cho Dự kiến phương án trả lời: Lời giải chưa vì: S = 51 ⇔ x = y = z = x = y = z = -1, điều này mâu thuẫn với giải thiết x4 + y4 + z4 = 48 Lời giải là: Do vai trị x, y, z bình đẳng dự đốn đẳng thức xảy x = y = z ⇒ x4 = y4 = z4 = 16 ⇔ x = y = z =2 Ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy sau: x4 + y4 + 16 + 16 ≥ 4 xy ≥ 16xy Tương tự ta có: x4 + z4 + 32 ≥ 16 xz ≥ 16 xz y4 + z4 + 32 ≥ 16 yz ≥ 16 yz ⇒ 16S ≤ (x4 + y4 + z4) + 96 = 192 ⇒ S ≤12.Vậy GTLN S 12  x, y, z dấu  ⇔ x = y = z = x = y = z = -2 x = y = z  4  x + y + z = 48 Ngêi thực hiện: Tạ thị Vân 14 Sáng kiến kinh nghiệm Nhận xét: Lời giải sai khơng khai thác yếu tố bình đẳng biến Đây dấu hiệu để tìm kiếm lời giải tốn bất đẳng thức hữu hiệu, qua ví dụ học sinh cần rút cho thân kinh nghiệm: tốn mà vai trị biến bình đẳng ta dự đốn dấu đẳng thức xảy biến để từ làm sở khai thác lời giải Tương tự gv  xy ≥ Cho  2 x + y = Tìm GTLN S = x + y + y + x Lời giải sau: Áp dụng bất đẳng thức Bouniakovski ta có: S2 ≤ (x2 + y2) (1 + y + + x) = (2 + y + x) Lại tiếp tục áp dụng bất đẳng thức Bouniakovski ta có: S4 ≤ (22 + 12 + 12) (12 + x2 + y2) = 12 ⇒ S4 ≤ 12 Vậy GTLN S 12 x = y = H? Lời giải hay sai? Nếu sai sửa lại cho Dự kiến phương án trả lời: Lời giải sai GTLN S 12 x = y = mâu thuẫn với giả thiết x2 + y2 = Sửa lại sau: Từ chỗ chứng minh S2 ≤ (2 + y + x) ta áp dụng bất đẳng thức Bouniakovski sau: Cách 1: (x + y) ≤ (12 + 12 )( x + y ) = Vậy x + y ≤ ⇒ S2 ≤ 2+ ⇒ S ≤ + Vậy GTLN S + đạt   xy ≥ x = y =  ⇔  x2 + y = ⇔   x = y x= y=−    Cách 2: S4 ≤ ( ⇒ S2 ≤ +1 y + x)2 ≤ ( + 12 + 12) ( + x2 + y2) = ( + 1)2 ( + 1) = + ⇒ S≤ 2+   xy ≥ x = y =  2 Vậy GTLN S + đạt ⇔  x + y = ⇔   x = y x = y = −   Ngêi thùc hiÖn: Tạ thị Vân 15 Sáng kiến kinh nghiệm Cũn cỏc tình sau thiết kế để tập luyện cho học sinh dạy chủ đề hệ phương trình, phương trình bất phương trình Ví dụ 13 Khi dạy chủ đề hệ phương trình bậc hai ẩn, để kiểm tra xem học sinh nắm kiến thức giải biện luận hệ phương trình bậc ẩn hay chưa ta tạo tình cho học sinh phát chỗ sai giải sẵn việc đưa toán với lời giải Tổ chức cho học sinh thảo luận tìm kiếm sai lầm, cách khắc phục sai lầm phát  mx + 2my = m  3mx − my = Bài toán: Xác định m để hệ có vơ số nghiệm :  Lời giải học sinh:  m 2m   m 2m  D= = −7m ; Dx =    = − m − 2m = − m(m + 2) 3m − m   −m   m m Dy =   = m − 3m = m(1 − 3m) 3m  D =  −7 m =   Hệ có vơ số nghiệm ⇔  Dx = ⇔ − m(m + 2) = ⇔ m = D = m(1 − 3m) =   y Kết luận: Hệ có vơ số nghiệm ⇔ m = Đọc lời giải nghe trơi chảy, khơng thấy sai sót phép biến đổi 0 x + y = mà thay m=0 vào hệ có:   0x − y = Rõ ràng phương trình 0x – 0y = vô nghiệm Vậy hệ cho vơ nghiệm Hóa lời giải chưa Vậy lời giải sai chỗ nào? Hãy phát khắc phục chỗ sai lời giải Ta mong học sinh phát chỗ sai lời giải là: ax + by = c SGK xây dựng công thức cho hệ bậc ẩn:  a'x + b ' y = c ' với điều kiện a + b ≠ a '2 + b '2 ≠ Còn hệ ta phép áp dụng công thức SGK m + (2m) ≠ (3m) + (−m) ≠ tức m ≠ cịn trường hợp m = hệ khơng cịn hệ bậc ẩn mà trường hợp phải thay trực tiếp vào hệ để giải không áp dụng công thức Qua hoạt động giáo viên yêu cầu học sinh phát biểu qui trình giải ax + by = c biện luận hệ  với a, a’, b, b’ a'x + b ' y = c ' Ngời thực hiện: Tạ thị Vân 16 Sáng kiến kinh nghiÖm Mong đợi câu trả lời học sinh: Bước 1: Tính D; Dx; Dy Bước 2: Biện luận D  x= x   D - Nếu D ≠ hệ có nghiệm   y = Dy   D D =  - Nếu   Dx ≠ hệ vơ nghiệm  D ≠  y D = D = D = y  x - Nếu  hệ vơ nghiệm a = a ' = b = b ' =  c + c '2 ≠  D =  - Nếu  Dx = Dy = hệ có vơ số nghiệm theo ẩn số  2 2 a + a ' + b + b ' ≠ D = D = D =  x y - Nếu  hệ có vơ số nghiệm theo ẩn số a = a ' = b = b ' = c = c ' =  Bước 3: Kết luận Ví dụ 14 Khi dạy phần “phương trình, bất phương trình qui phương trình bậc nhất” chương trình Đại số 10 ta đưa tình sau nhằm kiểm tra kĩ chuyển đổi toán Bài toán: Xác định tham số m để phương trình sau vơ nghiệm: x−m x−3 + = (1) x−2 x x ≠ x ≠ Lời giải sẵn toán: Điều kiện:  Pt (1) ⇔ x(x - m) + (x - 2)(x - 3) = 2x(x - 2) ⇔ x(m + 1) = (2) Phương trình (1) vơ nghiệm ⇔ phương trình (2) vơ nghiệm ⇔m+1=0 ⇔m=-1 Ngời thực hiện: Tạ thị Vân 17 Sáng kiến kinh nghiƯm Kết luận: Phương trình (1) vơ nghiệm m = -1 Yêu cầu: Nhận xét lời giải toán Đây lời giải khơng học sinh, địi hỏi giáo viên phải hướng dẫn học sinh đánh giá thật xác lời giải để từ điều chỉnh sai sót Để học sinh thấy lời giải chưa xác giáo viên yêu cầu học sinh kiểm tra m = - m = phương trình cho có nghiệm hay khơng? + Với m = -1 phương trình (1) có dạng trình vơ nghiệm + Với m = phương trình (1) có dạng x +1 x − 3 + =2 ⇔ − = phương x−2 x x−2 x x −2 x −3 −3 + =2 ⇔ = phương trình vơ x−2 x x nghiệm Như lời giải sai Vậy sai chỗ nào? Giáo viên cần hướng dẫn học sinh đánh giá lời giải, cần tập trung vào yếu tố: + Đánh giá phép biến đổi; + Đánh giá kĩ tính tốn; + Đánh giá tính lơgíc Từ học sinh chắn phát chỗ sai lời giải Lời giải tốn là: Vậy phương trình (1) vơ nghiệm phương trình (2) vơ nghiệm phương trình (2) có nghiệm x = x =  m = −1   m + ≠ ⇔  m = −1 ≠ ∀m ≠ −1 nên phương trình (1) vơ nghiệm ⇔   Do m =  m +1  =2   m + Ví dụ 15 Tập luyện cho học sinh đánh giá lời giải sau nhằm rèn luyện kĩ sử dụng phép biến đổi tương đương Bài tốn: Giải bất phương trình x − 4x + + x − 5x + ≥ x − 6x + (1) x ≥ Lời giải 1: Điều kiện:  x ≤1 Bpt (1) ⇔ ( x − 1)( x − 3) + ( x − 1)( x − 4) ≥ ( x − 1)( x − 5) ⇔ x − 1( x − + x − 4) ≥ x − x − ⇔ x − + x − ≥ x − (2) Ta có x − ≥ x − x − ≥ x − nên bất phương trình (2) ln x ≥ Vậy bất phương trình có nghiệm là:  x ≤1 Lời giải 2: Ngời thực hiện: Tạ thị Vân 18 Sáng kiến kinh nghiÖm x ≥ Điều kiện:  x ≤1 Bpt (1) ⇔ x − 4x + − x − 6x + + x − 5x + − x − 6x + ≥ ⇔ 2( x − 1) x − 4x + + x − 6x + ⇔ ( x − 1)( + x −1 x − 5x + + x − 6x + x − 4x + + x − 6x + 2 + ≥0 x − 5x + + x − 6x + )≥0 ⇔ x −1 ≥ ⇔ x ≥ x ≥ x ≥ Kêt hợp điều kiện  ta nghiệm bất phương trình là:  x ≤1 x = Hãy nhận xét hai lời giải trên? Dự kiến phương án trả lời: Lời giải 1: Sai chỗ biến đổi tách x − mà chưa biết x - số âm hay không âm A.B = A B A ≥ 0; B ≥ Lời giải 2: Sai chỗ chia cho lượng liên hợp mà chưa xét xem lượng liên hợp khác hay chưa Nếu x = khơng chia H? Khắc phục chỗ sai lời giải nào? Mong đợi câu trả lời: Nếu theo lời giải phải xét hai trường hợp x ≥ x ≤ + Nếu x ≥ bất phương trình ⇔ x − ( x − + x − - x − ) ≥ + Nếu x ≤ bất phương trình ⇔ − x ( − x + − x - − x ≥ Tập nghiệm: T = {1} ∪ [5; +∞) Nếu theo lời giải phải xét riêng trường hợp x = trường hợp x ≠ kết quả: T = {1} ∪ [5; +∞) Như với thời gian có hạn tơi đề cập đến số dạng hoạt động cần tập luyện cho học sinh nhằm góp phần phát triển khả nhận thức Tốn học q trình dạy học Đại số 10 trường THPT Tương ứng với dạng hoạt động tơi thiết kế số tình để tập luyện cho học sinh theo hướng tích cực hóa hoạt động người học IV KẾT QUẢ CỦA VIỆC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI: Để đánh giá khả tiếp thu nắm bắt kiến thức học sinh q trình áp dụng đề tài tơi áp dụng sáng kiến lớp 10A7 lớp 10A12 + Tại lớp 10A7: - Giáo viên dạy học theo hướng tăng cường tập luyện dạng hoạt động tương ứng với nội dung học đề xuất Quan sát hoạt động học tập học sinh, đánh giá hai mặt định tính định lượng để nhận định hiệu học tập học sinh Ngời thực hiện: Tạ thị Vân 19 Sáng kiến kinh nghiÖm + Tại lớp 10A12: - Giáo viên dạy học bình thường khơng tiến hành lớp10A7 quan sát điều tra kết học tập học sinh Sau dạy thực nghiệm, cho học sinh làm kiểm tra Kết làm kiểm tra học sinh lớp 10A7 học sinh lớp 10A12 thể thông qua bảng thống kê sau: Bảng phân loại học lực học sinh Sỉ Số Lớp Số % học sinh học Kém(1-2) Yếu(3-4) TB(5-6) Khá(7-8) Giỏi(9-10) 10A12 42 4,3 13 47,9 30,5 4,3 10A7 44 4,5 43,4 40,8 11,3 Kết luận chung hai kiểm tra: Bài kiểm tra cho thấy kết đạt lớp 10A7 cao lớp 10A12, đạt giỏi Một nguyên nhân phủ nhận lớp 10A7 học sinh thường xuyên thực hoạt động trình học tập, kĩ quan tâm rèn luyện Như phương pháp dạy lớp 10A7 tốt so với phương pháp dạy lớp 10A12 tương ứng C KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Thông qua thực tế giảng dạy thực nghiệm đề tài này, khẳng định ‘‘Tập luyện cho học sinh dạng hoạt động nhằm góp phần phát triển khả nhận thức tốn q trình dạy học đại số 10 trường THPT” việc làm bổ ích ,đã gây hứng thú học tập cho học sinh.Nó đem lại hiệu cao thiết thực trình giảng dạy Tốn Tơi mong rằng, kinh nghiệm nhỏ góp phần nhỏ vào việc đổi phương pháp giảng dạy Toán trường THPT XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày 10 tháng năm 2013 Tơi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Người viết Tạ Th Võn Ngời thực hiện: Tạ thị Vân 20 Sáng kiÕn kinh nghiÖm TÀI LIỆU THAM KHẢO STT Tên sách tham khảo Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) (2006), Đại số 10, Nxb Giáo dục, Hà Nội Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) (2006), Đại số 10 (Sách giáo viên), Nxb Giáo dục, Hà Nội Toán nâng cao cho học sinh Đại số 10 NXB: Đại học Quốc gia Hà Nội Nguyễn Vĩnh Cận, Lê Thống Nhất, Phan Thanh Quang (1997), Sai lầm phổ biến giải toán, Nxb Giáo dục, Hà Nội Trương Thị Vinh Hạnh (2006), Dạy Toán 10 theo tinh thần đổi phương pháp dạy học, Nxb Giáo dục, Hà Nội Phó Đức Hịa, Ngơ Quang Sơn (2008), Ứng dụng cơng nghệ thơng tin dạy học tích cực, Nxb Giỏo dc, H Ni Ngời thực hiện: Tạ thị Vân 21 S¸ng kiÕn kinh nghiƯm MỤC LỤC ĐỀ TÀI A: ĐẶT VẤN ĐỀ B: NỘI DUNG I Cơ sở lí luận vấn đề nghiên cứu II Thực trạng Thực trạng giảng dạy Toán giáo viên Thực trạng học mơn Tốn học sinh III Giải pháp tổ chức thực 1.Hoạt động nhận dạng thể 2.Hoạt động ngơn ngữ 3.Hoạt động tìm tịi phát 4.Hoạt động biến đổi đối tượng 5.Hoạt động khám phá 6.Hoạt động mơ hình hóa 7.Hoạt động đánh giá IV Kết việc thực đề tài C: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Tài liệu tham khảo Mc lc ti Ngời thực hiện: Tạ thị Vân Trang 2 2 3 11 12 14 20 20 21 22 22 ... luyện cho học sinh trình dạy học Đại số 10 trường THPT đề xuất số tình tập luyện cho học sinh trình dạy học Đại số 10 trường THPT nhằm góp phần phát triển khả nhận thức tốn học sinh Hoạt động nhận. .. đến số dạng hoạt động cần tập luyện cho học sinh nhằm góp phần phát triển khả nhận thức Tốn học q trình dạy học Đại số 10 trường THPT Tương ứng với dạng hoạt động thiết kế số tình để tập luyện cho. .. qua thực tế giảng dạy thực nghiệm đề tài này, khẳng định ‘? ?Tập luyện cho học sinh dạng hoạt động nhằm góp phần phát triển khả nhận thức toán trình dạy học đại số 10 trường THPT? ?? việc làm bổ ích