Đang tải... (xem toàn văn)
CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN Bảng công thức tích phân bất định : 0dx C dx x C 1 1 1 C n n x x dx n n dx x C x ln 1 e dx e C x x C a a a dx x x ln sin xdx cosx C cosxdx sin x C dx x C x tan cos 1 2 dx x C x cot sin 1 2 dx u x C u x u x ln ( ) ( ) ( ) C x a x a a dx x a ln 2 1 1 2 2 x x a C a x a x x adx 2 2 2 ln 2 2 Phương pháp biến số phụ : Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn a;b có nguyên hàm là F(x) . Giả sử u(x) là hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn , và có miền giá trị là a;b thì ta có : f u(x).u(x)dx F(x)u(x)C BÀI TẬP Tính các tích phân sau : a) 1 0 1 2 x 1 xdx I b) 1 0 2 1 x x e e dx I c) e x xdx I 1 3 1 ln Bài làm : a) Đặt 2 1 2 2 dt t x dt xdx xdx Đổi cận : 1 2 0 1 x t x t Vậy : ln 2 2 1 ln 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 t t dt x xdx I b) Đặt t e dt e dx x x 1 Chuyên đề Tích phân Email: caotua5lg3gmail.com STBS: Cao Văn Tú Page 2 Blog: www.caotu28.blogspot.com Đổi cận : 2 1 1 1 2 x t e x t e Vậy : ln ln( 1) 1 1 1 1 1 1 0 2 2 2 t e t dt e e dx I e e e e x x c) Đặt dx x t x tdt 1 1ln Đổi cận : 2 1 1 x e t x t Tích phân lượng giác : Dạng 1 : I sin mx.cosnxdx Cách làm: biến đổi tích sang tổng . Dạng 2 : I x x dx m n sin .cos . Cách làm : Nếu m,n chẵn . Đặt t tan x Nếu m chẵn n lẻ . Đặt t sin x (trường hợp còn lại thì ngược lại) Dạng 3 : a x b x c dx I .sin .cos Cách làm : Đặt : 2 2 2 1 1 cos 1 2 sin 2 tan t t x t t x x t Dạng 4 : dx c x d x a x b x I . .sin .cos .sin .cos Cách làm : Đặt : c x d x B c x d x A c x d x a x b x .sin .cos ( .cos .sin ) .sin .cos .sin .cos Sau đó dùng đồng nhất thức . Dạng 5: dx c x d x n a x b x m I . .sin .cos .sin .cos Cách làm :
Chun đề Tích phân Email: caotua5lg3@gmail.com CHUN ĐỀ TÍCH PHÂN Bảng cơng thức tích phân bất định : 0dx C n x dx dx x C x n 1 C n 1 n 1 x dx ln x C ax C ln a cos xdx sin x C x x e dx e C x a dx sin xdx cos x C cos x dx tan x C sin u( x) dx ln u( x) C x u( x) x2 adx 2 x dx cot x C 1 xa dx ln C a 2a x a x a x a ln x x2 a C 2 Phương pháp biến số phụ : Cho hàm số f (x) liên tục đoạn a;b có nguyên hàm F (x) Giả sử u (x) hàm số có đạo hàm liên tục đoạn , có miền giá trị a;b ta có : f u(x).u' (x)dx F (x)u(x) C BÀI TẬP Tính tích phân sau : xdx a) I1 x 1 e e x dx b) I x e 1 c) I3 1 ln xdx x Bài làm : a) Đặt t x2 dt 2xdx xdx x t x t dt Đổi cận : 2 xdx dt 1 Vậy : I1 ln t ln 21 t 2 x 1 b) Đặt t e x dt e x dx ST&BS: Cao Văn Tú Page Blog: www.caotu28.blogspot.com Chuyên đề Tích phân Email: caotua5lg3@gmail.com x t e Đổi cận : x t e 1 e x dx Vậy : I x e 1 e2 1 e2 1 dt 1 t ln t ln( e 1) e e1 c) Đặt t ln x tdt dx x x t Đổi cận : x e t e I3 ln xdx 2 t dt t (2 1) x 3 Tích phân lượng giác : Dạng : I sin mx.cos nxdx Cách làm: biến đổi tích sang tổng Dạng : I sin m x.cosn x.dx Cách làm : Nếu m, n chẵn Đặt t tan x Nếu m chẵn n lẻ Đặt t sin x (trường hợp lại ngược lại) dx a sin x b cos x c Dạng : I Cách làm : 2t sin x t x Đặt : t tan 2 cos x t 1 t2 a sin x b cos x dx Dạng : I c sin x d cos x Cách làm : Đặt : a.sin x b cos x B(c cos x d.sin x) A c.sin x d cos x c.sin x d cos x Sau dùng đồng thức a sin x b cos x m dx c sin x d cos x n Dạng 5: I Cách làm : ST&BS: Cao Văn Tú Page Blog: www.caotu28.blogspot.com Chuyên đề Tích phân Email: caotua5lg3@gmail.com a sin x b cos x m B(c cos x d sin x) C Đặt : A c sin x d cos x n c sin x d cos x n c sin x d cos x n Sau dùng đồng thức BÀI TẬP Tính tích phân : 2 cos xdx a) I1 (sin x 1) b) I cos xdx c) I tan xdx 0 Bài làm : a) Đặt : t sin x 1 dt cosxdx x t Đổi cận : x t cos xdx dt Vậy : I1 3t (sin x 1) t 2 24 b) Đặt : t sin x dt cosxdx x t Đổi cận : x t Vậy : I cos xdx t 0 dt 1 t 2 2t dt t5 t3 t 15 0 c) Đặt : t tan x dt (tan x 1)dx x t Đổi cận : x t t dt t t 1 dt t 1 t 1 0 Vậy : I tan xdx t t 13 t du 5 15 0 ST&BS: Cao Văn Tú Page Blog: www.caotu28.blogspot.com Chuyên đề Tích phân Email: caotua5lg3@gmail.com Tính tích phân sau : a) I1 sin x.cos x a sin x b cos x 2 2 cos x dx cos x b) I dx Bài làm : a) Đặt : t a sin x b cos2 x dt 2(b a ) sin x.cos xdx x t a Đổi cận : x t b Nếu a b Vậy : sin x cos x dx 2 b a2 a sin x b cos x I1 t b a2 b a2 b2 dt a2 t ab 2 ab b a Nếu a b Vậy : sin x cos x I1 a sin x b cos2 x sin x cos xdx a dx 2 1 sin xdx cos x 2a 4a 2a b) Đặt : t sin x dt cosxdx x t Đổi cận : x t Vậy : I cos x dx cos x dt 2t dt t 3 cos u dt sin udu 2 t u Đổi cận : t u Đặt : t ST&BS: Cao Văn Tú Page Blog: www.caotu28.blogspot.com Chuyên đề Tích phân I2 Vậy : Email: caotua5lg3@gmail.com dt 2 t sin udu cos u du u 2 4 Tính tích phân sau : b) I sin x cos x dx sin x cos x dx sin x cos x a) I1 Bài làm : x x 2dt dt tan 1dx dx 2 t 1 x t Đổi cận : x t 1 dt 1 t I1 dt 2 2t 1 t 0 t 1 3 5 Vậy : 1 t 1 t a) Đặt : t tan 1 t2 sin x cos x cos x 3sin x C A B sin x cos x sin x cos x sin x cos x Dùng đồng thức ta được: A , B , C b)Đặt : Vậy : I2 sin x cos x cos x sin x dx 1 dx sin x cos x sin x cos x sin x cos x 0 x ln sin x cos x 02 I1 ln Bạn đọc tự làm : cos x a) I1 dx sin x b) I cos x sin xdx dx sin x c) I3 ST&BS: Cao Văn Tú Page Blog: www.caotu28.blogspot.com Chuyên đề Tích phân Email: caotua5lg3@gmail.com sin x sin x cos x dx d) I5 dx d) I dx c) I3 cos x sin x cos x sin x cos x 3 2 Tính nguyên hàm,tích phân hàm hữu tỷ dx 1 C với a, n C N 0,1 ta có : n n x an1 x a dx Nếu n , a R ta có : I ln x C xa , , a, b, c R x dx : Dạng : I n ax bx c b 4ac Dạng : I * Giai đoạn : ,làm xuất tử thức đạo hàm tam thức ax2 bx c , sai khác số : I 2a 2ax b 2a ax bx c b n dx 2a ax 2ax b bx c n dx 2a dx b n 2a ax bx c * Giai đoạn : Tính I dt 4a n dx b t 2 2a t 2ax ax bx c dx n n * Giai đoạn : Tính I Dạng : I Ta có : t 1 Pm x dx Qn x n dt tính hai phương pháp , truy hồi đặt t tan Pm x am x m a1x a0 Qn x bn x n b1x b0 Nếu : degP degQ ta thực phép chia Rr x có degR degQ Qn x Nếu : degP degQ ta có qui tắc sau : P A An 1 An *Qt 1: m x n n 1 x a x a x a x an n P x Ai Vdụ 1a : n m i x a i i1 x i 1 Vdụ 1b : Pm x R x phân số Am n x r Qn x Qn x i Pm x A B C D ( x a)( x b)( x c) x a x b x c x c2 ST&BS: Cao Văn Tú Page Blog: www.caotu28.blogspot.com Chuyên đề Tích phân Email: caotua5lg3@gmail.com Pm x An1 x Bn1 An x Bn A1 x B1 n1 ax bx c ax bx c ax bx c ax bx c m n Pt x Ai Ai x B1 *Qt 3: n i m x ax bx c i 1 x k 1 ax2 bx c i Pt x A Bx C Vdụ : ( x ) ax bx c x ax bx c Pt x B x C1 B2 x C2 A 21 Vdụ : 2 x ax bx c x ax bx c ax bx c *Qt 2': n n với BÀI TẬP Tính tích phân sau : 1 dx a) I1 x 3x b) I x dx 3x Bài làm : a) I1 1 dx dx dx x 3x x 1x 2 x x ln x ln x 0 ln 1 dx dx dx b) I 2 2 x 1 x 2 x 1x 2 x 3x 2 0 1 2ln x ln x OK x 1 x 0 Tính tích phân sau : 1 dx a) I1 x 3x b) I 4x dx x x 2 Bài làm : dx x arctan C với a x a a a 1 dx dx 1 I1 dx 2 x 3x x 1x 3 x x a)* Bạn đọc dễ dàng chứng minh I 1 x arctan x arctan 92 2 30 ST&BS: Cao Văn Tú Page Blog: www.caotu28.blogspot.com Chuyên đề Tích phân Email: caotua5lg3@gmail.com 4x A Bx C x A B x2B C 2C A x 2x 1 x x x 2x 1 A B A 2 Do ta có hệ : 2B C B 2C A C b) Đặt : Vậy : I 4x 2 2x dx dx x x 1 x x 2 0 ln x ln x2 2 ln ln ln ln ln Bạn đọc tự làm : a) I1 2 x 1 dx x x 1 dx x 2x b) I x3 c) I dx 4x x d) I 2 x x dx 3x HD: x 1 A B C A B 2 b) x 1 x x 1 x x x 2x x 1 x 3 x 1 x4 x A B C D 1 c) x2 x 12 x 1 d) x 3x x x 4x x x x a) Đẳng thức tích phân : Muốn chứng minh đẳng thức tích phân ta thường dùng cách đổi biến số nhận xét số đặc điểm sau * Cận tích phân , chẵn lẻ , tuần hồn , cận + cận dưới, … Chúng ta cần phải nhớ đẳng thức nầy xem bổ đề áp dụng BÀI TẬP 1 Chứng minh : x 1 x dx x n 1 xm dx m n Bài làm : Xét I x m 1 xn dx Đặt : t 1 x dt dx dx dt ST&BS: Cao Văn Tú Page Blog: www.caotu28.blogspot.com Chuyên đề Tích phân Email: caotua5lg3@gmail.com x t x t Đổi cận : 1 Vậy : I x m 1 x n dx 1 t m t n dt 1 t m t n dt (đpcm) Chứng minh f (x) hàm lẻ liên tục đoạn a, a : a I f xdx a Bài làm : I a f ( x)dx a Xét a f xdx a f x dx f x dx 1 Đặt t x dt dx dx dt a x a t a x t Đổi cận : a a a V ậy : 0 f xdx f t dt f t dt Thế vào (1) ta : I (đpcm) Tương tự bạn đọc chứng minh : Nếu f (x) hàm chẳn liên tục đoạn a, a I a a a f x dx 2 f x dx Cho a f x hàm chẵn , liên tục xác định R f x Chứng minh : x dx f x dx a 1 f x f x f x dx x dx x dx x 1 a 1 a 1 Xét a Bài làm : 1 f x dx Đặt t x dt dx dx dt x 1 a x t x t Đổi cận : f x f t at f t Vậy : x dx t dt t a 1 a 1 a 1 0 ST&BS: Cao Văn Tú Page Blog: www.caotu28.blogspot.com Chuyên đề Tích phân Email: caotua5lg3@gmail.com f x a f x f x dx x dx x dx f x dx (đpcm) x 1 a 1 a 1 0 Thế vào (1) ta : a x Cho hàm số f x liên tục 0,1 Chứng minh : x f sin xdx 2 f sin x dx Bài làm : Xét x f sin x dx Đặt t x dt dx dx dt x t x t Đổi cận : Vậy : x f sin xdx t f sin t dt t f sin t dt 0 0 f sin t dt t f sin t dt 2 x f sin x dx f sin x dx x f sin xdx f sin xdx 0 Từ toán , bạn đọc mở rộng tốn sau Nếu hàm số f x liên tục a, b f a b x f x Thì ta ln có : b x f xdx a ab f x dx Cho hàm số f x liên tục,xác định , tuần hồn R có chu kì T T a Chứng minh : aT f xdx f xdx Bài làm : aT T aT a a T T aT 0 T f xdx f xdx f xdx f xdx f xdx f xdx a Xét a f xdx Đặt aT Vậy ta cần chứng minh a T f xdx f xdx t x T dt dx ST&BS: Cao Văn Tú Page 10 Blog: www.caotu28.blogspot.com Chuyên đề Tích phân Email: caotua5lg3@gmail.com Vậy : I1 e x sin xdx e x cos x e x cos xdx e J 1 0 u e du e dx dv cos xdx v sin x x Đặt : x Vậy : J e x cos xdx e x sin x e x sin xdx I 0 Thế vào (1) ta : 2I1 e I1 e u x du dx b) Đặt : dv cos2 x dx v tan x x 4 dx x tan x tan xdx ln cos x ln cos x 4 0 Vậy : I u cosln x du sin ln x dx c) Đặt : x dv dx v x e e Vậy : I cosln xdx x cosln x1 sin ln xdx e 1 J e 1 u sin ln x du cosln x dx Đặt : x dv dx v x e e Vậy : I sin ln xdx x sin ln x1 cosln xdx I e Thế vào (1) ta : 2I e 1 I e Bạn đọc tự làm : ln a) I1 x.e x dx c) I 1 dx ln x ln x e e b) I 1 ln x2 dx d) I ln x x dx e) I sin x ln tan x dx e f) I cos2 ln xdx h) I 7 g) I 7 x cos x ST&BS: Cao Văn Tú sin x x e dx cos x Page 13 Blog: www.caotu28.blogspot.com Chuyên đề Tích phân Tích phân hàm trị tuyệt đối, , max : Email: caotua5lg3@gmail.com b Muốn tính I f x dx ta xét dấu f x đoạn a, b, khử trị tuyệt đối a b Muốn tính I max f x, g xdx ta xét dấu f x gx đoạn a, b a b Muốn tính I f x, g xdx ta xét dấu f x gx đoạn a, b a Tính tích phân sau : b) I1 x x dx a) I1 x dx Bài làm : x a) x-2 - + x2 x2 Vậy : I1 x dx 2 xdx x 2dx 2x 2x 1 2 1 4 2 8 8 2 4 4 b) Lập bảng xét dấu x x , x 0,2 tương tự ta I1 x x dx x x dx x x dx 2 x x I1 3x x 3x x 0 1 Tính I a x x a dx với a tham số : Bài làm : x x-a - a + (Từ bảng xét dấu ta đánh giá ) ST&BS: Cao Văn Tú Page 14 Blog: www.caotu28.blogspot.com Chuyên đề Tích phân Nếu a Email: caotua5lg3@gmail.com I a x x a dx 0 x3 ax a x ax dx 0 3 Nếu a a I a x x a dx x ax dx x ax dx a a ax x3 ax x3 a a3 0 a 2 Nếu a 1 x3 ax2 a I a x x a dx x ax dx 3 2 0 3 0 1 Tính : a) I1 1, x dx I max x , x dx 0 Bài làm : a) Xét hiệu số : 1 x x 0,2 2 x3 Vậy : I1 1, x dx x dx dx x1 3 0 2 b) Xét hiệu số : xx 1 x 0,3 tương tự ta có 1 3 x2 x3 55 I max x , x dx xdx x dx 31 0 2 Bạn đọc tự làm : 3 a) I1 x, x 3dx b) I max sin x, cos xdx c) I sin x cos x dx 2 0 d) I max x ,4x 3dx d) I x x x x dx 2 Ngun hàm , tích phân hàm số vơ tỷ : Trong phần nầy ta nghiên cứu trường hợp đơn giản tích phân Abel Dạng 1: R x, ax bx c dx ta xét dạng hữu tỷ a 2ax b ax bx c 1 4a ST&BS: Cao Văn Tú Page 15 Blog: www.caotu28.blogspot.com Chuyên đề Tích phân Rx, S t, ax bx c dx Email: caotua5lg3@gmail.com t dt Tới , đặt t tan u 2 axb t a 2ax b ax bx c Dạng 2: 1 4a Rx, ax bx c dx S t, t dt Tới , đặt t sin u axb t a 2ax b ax bx c Dạng 3: 1 4a Rx, t t dt Tới đây, đặt t axb x Dạng (dạng đặc biệt) : S t, ax bx c dx dx Một số cách đặt thường gặp : 2 đặt x a cost S x, a x dx S x, S x, a2 x x d a x d đặt x a tan t ax bx c t x sin u dt t t t t 2 a x2 đặt x t k cos t 2 ax bx c xt c ; c S x, ax bx c dx đặt ax bx c t x x0 ; ax0 bx0 c ax bx c a x t ; a0 ax b ax b ; ad cb đặt t m S x, m cx d cx d Tính : I x dx 4x Bài làm : x dx 4x t x2 t dt 3 Đặt : t tan u dt 3tan u 1du ST&BS: Cao Văn Tú Page 16 Blog: www.caotu28.blogspot.com Chuyên đề Tích phân Email: caotua5lg3@gmail.com tan u du cos udu 3 tan u 3 tan u 1 t x2 sin u C C C 2 3 t 1 x 4x Ta có I tan u Tính : a) I xdx b) I x x 1 dx x x 2x Bài làm : xdx a) I x2 x 1 x 1 t xdx 3t t2 1 dt 1 x 2 3t dt t ln t t C 2 t 1 x1 t 1 x x ln x x x C 2 dt b)Đặt : x dx t t dx dt t 1 I arcsin C 2 x x 2x 1 t 1 x t 1 x C arcsin x C arcsin 2 Tìm nguyên hàm sau a) I dx 1 x 1 x b) I dx x 1 x 1 Bài làm : a)Đặt : t x t x 6t 5dt dx Vậy : I dx t dt t t 1 dt t 1 t t 1 x 1 x t 6 1 x t 6 1 x 2t 3t 6t ln t C x 33 x 66 x ln x C dx 1 x x 1 x 1 dx x 1dx dx x x 1 x 1 x ST&BS: Cao Văn Tú Blog: www.caotu28.blogspot.com b) I Page 17 Chuyên đề Tích phân Email: caotua5lg3@gmail.com 1 x 1 x x dx 1 2 x x 1 2t x 1 x dx dt dx Đặt : t x t 1 x t 12 Xét Vậy : x 1 dx 2 x t t dt x1 t 12 OK x Tìm nguyên hàm sau : a) I x x 9dx b) I 16 x x 4dx Bài làm : t2 t2 I1 . 2t 2t Vậy : t2 t2 dx dt 2t 2t 2 t2 t 81 dt dt 4t 16 t5 x2 x t x a)Đặt : 162 6561 t4 6561 dt 162 ln t C t t 4 16 t 16 4t x x2 6561 162 ln x x 16 4 x x2 x2 x t x b)Đặt : C t2 t2 dx dt 2t 2t t2 4 t2 4 t2 t 16 . I 16 dt dt 2t 2t 4t t5 2 t4 36 256 64 t dt 36 ln t C 4 t t t x x2 36 ln x x C x x 4 64 Tính tích phân sau : a) I1 x x dx ST&BS: Cao Văn Tú 8 dx dx x 1 x 3 b) I Page 18 Blog: www.caotu28.blogspot.com Chuyên đề Tích phân Email: caotua5lg3@gmail.com Bài làm : I1 x x dx 1 2 x 1 dx 2 2 Đặt : 2x sin t dx cos tdt x t Đổi cận : x t 12 1 Vậy : I1 cos tdt 1 cos 2t dt 1 sin 2t 40 80 8 0 0 0 16 b) Đặt : t x 2tdt dx x 3 t x 8 t Đổi cận : 8 3 dx tdt dt dx 2 2 Vậy : I 1 t t 1 t 3 x x 2 t 1 ln ln ln 1 ln t 1 Bạn đọc tự làm : a) I1 dx x x2 d) I x dx c) I b) I x x dx d) I 5 x2 1 x2 dx d) I 6 x dx 4 1 x2 dx Bất đẳng thức tích phân : b Nếu f x x a, b f x dx a b b a a Nếu f x g x x a, b f x dx g x dx ST&BS: Cao Văn Tú Page 19 Blog: www.caotu28.blogspot.com Chuyên đề Tích phân Email: caotua5lg3@gmail.com b Nếu m f x x a, b mb a f xdx M b a a Trong trường hợp nầy ta thường dùng khảo sát , Bunhiacopxki, AM-GM Và bước chặn sinx,cosx BÀI TẬP Chứng minh bất đẳng thức sau : a) x1 xdx b) c) x x dx x dx x 1 Bài làm: a)Áp dụng AM-GM ta có : x 1 x x1 x x 0,1 1 1 Vậy : x1 xdx dx (đpcm) 40 x b) Xét hàm số : f x x 1,2 x 1 Đạo hàm : f x x2 x 1 x f x x 1 f 1 Ta có : f 2 x x 1,2 x 1 2 2 x Vậy : dx dx dx 51 x 1 21 2 x dx x 1 Áp dụng Bunhicopxki ta có : x x 12 12 x x x 0,1 Vậy : x x dx 21 0 ST&BS: Cao Văn Tú Page 20 Blog: www.caotu28.blogspot.com Chuyên đề Tích phân Email: caotua5lg3@gmail.com 1 x x dx (đpcm) Chứng minh : e sin x dx x 1 12e x Bài làm : x 1, e x sin x 2 x 1 ex 1 Xét ex 1 e x e sin x dx dx x 1 1 ex 1 x 1 e x dx 1 Đặt : x tan t dx tan t 1dt x t Đổi cận : x t Do : tan t 1dt dt etan t 1 e 12 Từ ta đpcm Bạn đọc tự làm : Chứng minh : dx a) 16 cos x 10 3 sin x dx b) x c) x2 x3 6 d*) Cho hàm số liên tục : dx f : 0,1 0,1 ; g : 0,1 0,1 1 1 Chứng minh : f x .g x dx f x dx. g x dx 0 0 Một số ứng dụng tích phân thường gặp : 1)Tính diện tích : Cho hai hàm số f x& f x liên tục đoạn a, b Diện tích hình phẳng giới hạn đường : ST&BS: Cao Văn Tú Page 21 Blog: www.caotu28.blogspot.com Chuyên đề Tích phân Email: caotua5lg3@gmail.com x a x b ; y f x y g x Được tính sau : b S f x g x dx a 2)Tính thể tích : Nếu diện tích S x mặt cắt vật thể mặt phẳng vng góc với trục tọa độ , hàm số liên tục đoạn a, b thể tích vật thể tính : b V f x dx a Nếu hàm số f x liên tục a, b (H) hình phẳng giới hạn đường: x a , x b y f x Ox Khi (H) quay quanh Ox ta vật thể trịn xoay Lúc thể tích tính : b V f x dx a Tương tự ta tính thể tích vật thể quay quanh oy 3)Tính giới hạn : b n xi 1 i x lim f i .xi f x dx n i 1 a x xi xi 1 Từ ta xây dựng tốn giới hạn sau : n i i Viết dãy số thành dạng : Sn f sau lập phân hoạch 0,1, chọn i xi i 1 n n n n i ta có lim f f xdx n i 1 n n 4)Tính độ dài cung đường cong trơn: Nếu đường cong trơn cho phương trinh y f x độ dài đường cung tính sau : b l y dx với a, b hoành độ điểm đầu cung a 4)Tính tổng khai triển nhị thức Newton Tìm cơng thức tổng qt , chọn số liệu thích hợp,sau dùng đồng thức, bước cuối tính tích phân ST&BS: Cao Văn Tú Page 22 Blog: www.caotu28.blogspot.com Chun đề Tích phân Email: caotua5lg3@gmail.com Hình1a hình1b hình1c hình1d BÀI TẬP Tính diện tích hình trịn , tâm O , bán kính R Bài làm : (hình 1a) Phương trình đường trịn có dạng : x2 y R2 y R2 x2 R Do tính đối xứng đồ thị nên : S 4 R x dx Đặt : x R sint dx R costdt x t Đổi cận : x R t x t x R t S 4 R sin t R cos tdt 2R Vậy : 1 cos 2t dt 2 2R x sin 2t R 2 0 ST&BS: Cao Văn Tú 2 dvdt Page 23 Blog: www.caotu28.blogspot.com Chuyên đề Tích phân Email: caotua5lg3@gmail.com Xét hình chắn phía Parabol y x , phía đường thẳng qua điểm A(1,4) hệ số góc k Xác định k để hình phẳng có diện tích nhỏ Bài làm (hình 1b) Phương trình đường thẳng có dạng y k x 1 Phương trình hồnh độ giao điểm x k x 1 x kx k Phương trình ln có hai nghiệm , giả sử x1 x2 Vậy diện tích : x2 S x1 x2 x 1 x dx x k x 4 k x k x1 x2 x1 x2 x1 x2 x12 k x2 x1 4 k x2 x1 k Với : x2 x1 k x2 x1 2 x 2 x 21 x2 x1 k 4k 4 Thế vào * ta : S k 4k 16 k 4k 4 k 4 k k 4k 16 k 4k 16 3 1 k 22 12 k 4k 16 6 Vậy : S k * Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường : ax y ay x Bài làm : (hình 1c) Do tính chất đối xứng đồ thị mà ta cần xét a ax y x y x y a Xét : ay x ay x a a Với x y ta : ST&BS: Cao Văn Tú Page 24 Blog: www.caotu28.blogspot.com Chuyên đề Tích phân Email: caotua5lg3@gmail.com x y x a ay x x a n l Với x y a ta : x ax a x y a x a ay x ay x x a a n l Ta lại có : y ax ax y x2 ay x y a a a Vậy diện tích cần tính : a a x2 x2 S ax dx a x dx a a 0 0 a 3 x3 ax a2 3a 2 dvtt Bạn đọc tự làm : Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường : x y a) x y x y x2 b) y x y x y c) x y 0 y x2 y2 1 d) a b a, b Hình vẽ tương ứng ↓↓↓ hình a ST&BS: Cao Văn Tú hình b Page 25 Blog: www.caotu28.blogspot.com Chun đề Tích phân Email: caotua5lg3@gmail.com hình c hình d Với số nguyên dương n ta đặt : Sn 15 25 35 n n6 Tính lim Sn n Bài làm : Sn n 5 5 5 n n n n n i i 1 n n n Xét hàm số f x x 0,1 Ta lập phân hoạch 0,1 với điểm chia : x0 x1 x2 .xn1 xn chiều dài phân hoạch l xi xi1 n n i i Chọn i xi ta có lim xi xi1 f i n n i 1 i 1 n n lim S n lim S n x dx l 0 n n Với số nguyên dương n ta đặt : Sn 1 1 n 1 n n nn Tính lim Sn n Bài làm : ST&BS: Cao Văn Tú Page 26 Blog: www.caotu28.blogspot.com Chuyên đề Tích phân Email: caotua5lg3@gmail.com 1 1 1 Sn n n 1 1 1 1 n n n n n 1 i i 1 n 1 n Xét hàm số f x 0,1 x 1 Ta lập phân hoạch 0,1 với điểm chia : x0 x1 x2 .xn1 xn chiều dài phân hoạch l xi xi1 n i Chọn i xi ta có lim xi xi1 f i n i n i 1 i 1 n 1 n 1 dx lim S n lim S n ln x ln x 1 l 0 n n n ST&BS: Cao Văn Tú Lớp: CNTT_K12D Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email: caotua5lg3@gmail.com Blog: www.caotu28.blogspot.com ST&BS: Cao Văn Tú Page 27 Blog: www.caotu28.blogspot.com ... ln xdx 2 t dt t (2 1) x 3 Tích phân lượng giác : Dạng : I sin mx.cos nxdx Cách làm: biến đổi tích sang tổng Dạng : I sin m x.cosn x.dx Cách làm : Nếu m, n chẵn Đặt... x x a) Đẳng thức tích phân : Muốn chứng minh đẳng thức tích phân ta thường dùng cách đổi biến số nhận xét số đặc điểm sau * Cận tích phân , chẵn lẻ , tuần hoàn , cận + cận dưới, … Chúng ta... phân số Am n x r Qn x Qn x i Pm x A B C D ( x a )( x b )( x c) x a x b x c x c2 ST&BS: Cao Văn Tú Page Blog: www.caotu28.blogspot.com Chuyên đề Tích phân