A. ĐẶT VẤN ĐỀ I. LỜI MỞ ĐẦU Trong chương trình ôn thi tốt nghiệp THTP và Đại học – Cao đẳng hiện nay, bài toán về tính thể tích của một khối đa diện xuất hiện khá phổ biến. Bài toán hình học không gian nói chung và bài toán về tính thể tích khối đa diện nói riêng là một phần kiến thức khó đối với học sinh THPT. Đa số học sinh bây giờ đang còn học theo kiểu “làm nhiều rồi quen dạng, làm nhiều rồi nhớ”, nếu học như thế sẽ không phát triển được tư duy sáng tạo, sẽ không linh hoạt khi đứng trước một tình huống mới lạ hay một bài toán tổng hợp. Vì lí do đó, để giúp học sinh tháo gỡ những vướng mắc trên, nhằm nâng cao chất lượng dạy và học, đáp ứng nhu cầu đổi mới giáo dục và giúp học sinh có thêm phương pháp trong giải toán, tôi đã quyết định chọn đề tài: “Một số phương pháp tính thể tích khối đa diện nhằm nâng cao chất lượng dạy – học hình học lớp 12 ”. Mục tiêu của sáng kiến kinh nghiệm là nghiên cứu phương pháp tính thể tích khối đa diện một cách hệ thống và sáng tạo để giúp giáo viên trang bị kiến thức cơ bản nhất về phương pháp tích thể tích khối đa diện cho học sinh, từ đó phát triển tư duy sáng tạo giải quyết các bài toán khó. II. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU 1. Thực trạng Trong chương trình phổ thông, phần kiến thức về tính thể tích khối đa diện được đưa vào giảng dạy ở lớp 12. Đây là phần kiến thức 1 rất hay và khó đối với học sinh trong quá trình làm bài tập; đây cũng là phần kiến thức xuất hiện từ nhu cầu thực tế và được ứng dụng rất nhiều trong thực tế. Để giải bài toán về tính thể tích khối đa diện có hai phương pháp cơ bản là phương pháp tính trực tiếp và phương pháp tính gián tiếp. Phương pháp tính trực tiếp là dựa vào việc tính chiều cao và diện tích đáy từ đó suy ra thể tích khối đa diện; phương pháp tính gián tiếp tức là ta chia khối đa diện thành nhiều khối nhỏ để xác định thể tích. Đứng trước một bài toán học sinh thường lúng túng và đặt ra câu hỏi: “Phải định hướng lời giải bài toán từ đâu?”. Một số học sinh có thói quen không tốt là khi đọc đề chưa kỹ đã vội làm ngay, có khi thử nghiệm đó sẽ dẫn đến kết quả, tuy nhiên hiệu suất giải toán như thế là không cao. Với tình hình ấy để giúp học sinh định hướng tốt hơn trong quá trình giải toán, người giáo viên cần tạo cho học sinh thói quen xét bài toán dưới nhiều góc độ, khai thác các yếu tố đặc trưng của bài toán để tìm lời giải. Trong đó việc hình thành cho học sinh khả năng tư duy theo các phương pháp giải là một điều cần thiết. Việc trải nghiệm qua quá trình giải toán sẽ giúp học sinh hoàn thiện kỹ năng định hướng và giải toán. Đặc biệt đối với bài toán về hình học không gian nói chung và bài toán tính thể tích khối đa diện nói riêng thì đối với hầu hết học sinh, kể cả những học sinh khá giỏi cũng gặp rất nhiều khó khăn khi giải bài tập. Nguyên nhân của thực trạng trên là học sinh chưa trang bị cho mình một kiến thức về phương pháp tính đầy đủ và hệ thống nên rất lúng túng khi đứng trước một bài toán. 2. Kết quả của thực trạng 2 Trước khi áp dụng nghiên cứu này vào giảng dạy tôi đã tiến hành khảo sát chất lượng học tập của học sinh hai lớp 12A3, 12A4 trường THPT Hậu Lộc 4 (về vấn đề tính thể tích khối đa diện) và thu được kết quả như sau: Lớp Sĩ số Giỏi Khá TB Yếu Kém SL % SL % SL % SL % SL % 12A 3 45 1 2 8 18 24 53 10 22 2 5 12A 4 45 0 0 3 7 21 47 16 36 5 10 Như vậy số lượng học sinh nắm bắt các dạng này không nhiều do chưa nắm vững được nguồn kiến thức và kĩ năng cần thiết. Để thực hiện để tài vào giảng dạy, trước hết tôi nhắc lại công thức tính thể tích các khối đa diện, tiếp đó đưa ra các phương pháp tính và ví dụ cụ thể để hướng dẫn học sinh thực hiện, cuối cùng tôi đưa ra bài tập tổng hợp để học sinh rèn luyện phương pháp tính. B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I. GIẢI PHÁP TỔ CHỨC THỰC HIỆN Thực hiện nghiên cứu và ứng dụng vào thực tiễn giảng dạy tôi chia nội dung thành 3 phần dạy cho học sinh vào 3 buổi, mỗi buổi 3 tiết; trong mỗi buổi có các thí dụ minh họa và bài tập cho học sinh tự rèn luyện về phương pháp tính. Sau đây là nội dung cụ thể: Phần I 3 Để tính thể tích khối đa diện, phương pháp quan trọng nhất và được ứng dụng rộng rãi nhất trong quá trình tính toán là tính trực tiếp, tức là dựa vào chiều cao của các khối và diện tích đáy. Như vậy mấu chốt của phương pháp này là phải xác định được chiều cao và diện tích đáy, ta xét một số ví dụ minh họa như sau: Các thí dụ minh họa Thí dụ 1. Cho khối chóp .S ABC có 2BC a= , · · 0 90 ,BAC ACB α = = . Mặt phẳng ( )SAB vuông góc với mặt phẳng ( )ABC , tam giác SAB cân tại S và tam giác SBC vuông. Tính thể tích của khối chóp .S ABC . Lời giải. (h.1) Tam giác ABC có 2 sin , 2 cosAB a AC a α α = = nên 2 sin 2 ABC S a α = . Vì ( ) ( )SAB ABC⊥ và SA SB= nên ( )SH ABC⊥ với H là trung điểm cạnh AB . Bây giờ ta xác định tam giác SBC vuông tại đỉnh nào. Nếu SBC ∆ vuông tại đỉnh B thì CB BA ⊥ (theo định lí ba đường vuông góc), điều này vô lý vì ABC ∆ vuông ở A . Tương tự, nếu SBC ∆ vuông ở C thì · 0 90HCB = (Vô lí). Từ đó suy ra SBC ∆ vuông tại S. Gọi K là trung điểm cạnh BC thì 2 2 2 2 2 1 1 , / / à cos 2 2 sin sin . SK BC a HK AC v HK AC a SH SK HK a SH a α α α = = = = ⇒ = − = ⇒ = Từ đó: 4 s Hình 1 A B C H K . 2 3 1 . 3 1 sin 2 . sin 3 1 = sin 2 .sin . 3 S ABC ABC V S SH a a a α α α α = = Nhận xét: Ở ví dụ trên dễ dàng nhận thấy SH là chiều cao của khối chóp từ giả thiết ( ) ( )SAB ABC⊥ và SA SB= và việc còn lại là xác định SH. Thí dụ 2. Cho hình lập phương 1 1 1 1 .ABCD A B C D có cạnh bằng a . Gọi ,M N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh ,AB BC và 1 2 ,O O thứ tự là tâm các mặt 1 1 1 1 1 1 ,A B C D ADD A . Tính thể tích khối tứ diện 1 2 MNO O . Lời giải. (h.2) Ta có 1 2 ( ) ( )mp NO O mp ABCD⊥ và chúng cắt nhau theo giao tuyến NE ( E là trung điểm cạnh AD ). Gọi O là tâm của hình vuông ABCD thì MO NE ⊥ . Suy ra MO là đường cao của hình chóp 1 2 . O OM N . Ta có: 1 2 1 1 1 1 1 1 2 2 O O EE 2 2 2 2 2 ( ) 1 ( ) 2 2 4 2 3 . 8 N N N NN O E O O ENO S S S S S a a a a a = − + + = − + + = 5 A C Hình 2 O1 O2 D B A1 D1 B1 C1 E N N1 E1 M O 1 2 1 2 . O O O O 2 3 1 Nên . 3 1 3 . . 3 8 2 . 16 M N N V S MO a a a = = = Nhận xét: Khi gặp bài toán này nhiều học sinh nghĩ đến phương pháp tính gián tiếp, tuy nhiên các khối “bù” với khối 1 2 MNO O là quá nhiều và phức tạp. Nếu để ý mặt phẳng 1 2 ( )NO O nằm trong mặt phẳng 1 1 ( )NEE N thì việc xác định chiều cao và diện tích đáy của hình chóp 1 2 . O OM N trở nên đơn giản. Thí dụ 3. Cho khối chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Giả sử H là trung điểm cạnh AB và hai mặt phẳng ( ),( )SHC SHD cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích khối chóp nếu hình chóp có ba mặt bên là tam giác vuông. Lời giải. (h.3) Vì ( ) và ( )SHC SHD cùng vuông góc với đáy ( )ABCD nên SH là đường cao của khối chóp. Hai tam giác SAD và SBC lần lượt vuông tại A và B (theo định lí ba đường vuông góc). Tam giác SCD có SC SD = (vì HC HD = ) nên nó không thể vuông tại C hoặc D. 6 S Hình 3 B C A D H Nếu SCD ∆ vuông tại S thì SC CD a < = . Nhưng do SBC ∆ vuông tại B nên SC SB a > = . Từ đó SCD ∆ không là tam giác vuông. Từ giả thiết suy ra SAB∆ phải là tam giác vuông. Do SA SB = , (vì HA HB= ) nên SAB∆ vuông tại S, suy ra 1 . 2 2 a SH AB= = Vậy 3 2 . 1 1 . . . 3 3 2 6 S ABCD ABCD a a V S SH a= = = Thí dụ 4. Xét các khối chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành với 5 , 2 a AB a SA SB SC SD= = = = = . Khối chóp nào có thể tích lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó. Lời giải. (h.4) Vì khối chóp .S ABCD có các cạnh bên bằng nhau nên đáy phải nội tiếp. Suy ra ABCD là hình chữ nhật. Gọi H là giao của vàAC BD thì ( ).SH ABCD⊥ Đặt ( 0)BC x x= > thì 2 2 2 2 2 4 , ( 2 ) 4 ABCD a x S ax SH SA AH x a − = = − = < 2 2 2 2 2 . 1 4 (4 ). 3 4 6 S ABCD a x a V ax x a x − ⇒ = = − Vì 2 2 2 2 (4 ) 4x a x a+ − = nên theo BĐT Cauchy .S ABCD V đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi 2 2 2 4 2x a x x a= − ⇔ = . Lúc đó 3 . ax 3 S ABCD a M V = . 7 x a S H Hình 4 B C A D Bài tập tự luyện Bài 1. (Đề thi ĐH khối A năm 2012) Cho hình chóp .S ABC có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ( )ABC là điểm H thuộc cạnh AB sao cho 2HA HB = . Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ( )ABC bằng 0 60 . Tính thể tích khối chóp .S ABC và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a . Bài 2. Cho hình hộp . ' ' ' 'ABCD A B C D có đáy là hình thoi cạnh a và · 0 60BAD = . Hai mặt chéo ( ' ')và ( DD' ')ACC A B B cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi ,M N lần lượt là trung điểm của , ' 'CD B C và 'MN BD ⊥ . Tính thể tích của hình hộp. Bài 3. Cho khối chóp .S ABC có · · · 0 0 0 1, 2, 3,AS 60 ,AS 90 , 120SA SB SC B C BSC= = = = = = . Tính thể tích khối chóp đó. Bài 4. Cho khối chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a và · 0 60BAD = . Các mặt phẳng ( ),( ),( )SAB SBD SAD nghiêng đều với đáy ( )ABCD một góc α . Tính thể tích khối chóp đó. Bài 5. Cho khối chóp .S ABCD có đáy là hình thang cân, đáy lớn AB bằng 4 lần đáy nhỏ CD , chiều cao của đáy bằng a . Bốn đường cao của bốn mặt bên ứng với đỉnh S có độ dài bằng nhau và bằng b . Tính thể tích của hình chóp. Bài 6. Cho khối chóp .S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Tam giác SAB cân tại đỉnh S và mặt phẳng ( ) ( )SAB ABC⊥ . Giả sử E là trung điểm 8 SC và hai mặt phẳng ( ),( )ABE SCD vuông góc với nhau. Tính thể tích của khố chóp đó. Bài 7. Hình chóp .S ABC có SA a = , SA tạo với đáy một góc α , · · 90 , o ABC ACB ϕ = = . G là trọng tâm ABC ∆ . Hai mặt phẳng ( ),( )SGB SGC cùng vuông góc với mặt phẳng ( )ABC . Tính thể tích của khối chóp .S ABC . Bài 8. Cho hình lăng trụ . ' ' 'ABC A B C có đáy là tam giác đều cạnh a . Các cạnh ' , ' , 'A A A B A C nghiêng đều trên đáy một góc α . Tính diện tích xung quanh và thể tích của lăng trụ. Bài 9. Cho hình chóp 1 2 .A A ( 3) n S A n ≥ có diện tích đáy bằng D , chu vi đáy bằng P . Các mặt bên nghiêng đều trên đáy một góc α . Hình chiếu của S lên mặt phẳng đáy nằm trong đa giác 1 2 A A n A . Tính thể tích hình chóp đó. Phần 2 Trong các bài toán tính thể tích khối đa diện đôi khi việc xác định chiều cao và diện tích đáy gặp rất nhiều khó khăn, khi đó chúng ta có thể tính một cách gián tiếp bằng cách chia khối cần tính thành nhiều khối nhỏ hoặc tính thể tích các khối “bù” với khối cần tính. Từ đó bằng công thức cộng thể tích ta có thể suy ra thể tích khối cần tính. Sau đây là một số thí dụ minh họa cho phương pháp thứ 2. Thí dụ minh họa 9 A Hình 5 C B S I Thí dụ 1. Cho khối chóp .S ABC với tam giác ABC vuông cân tại B , 2AC a= , ( )SA ABC⊥ và SA a= . Giả sử I là điểm thuộc cạnh SB sao cho 1 3 SI SB= . Tính thể tích khối tứ diện SAIC . Lời giải. (h.5) Tam giác ABC vuông cân tại B có 2AC a= nên 2AB BC a= = . Do đó 2 1 . 2 ABC S AB BC a= = . Vì ( )SA ABC⊥ nên SA là chiều cao của hình chóp .S ABC . Suy ra 3 . 1 . 3 3 S ABC ABC a V SA S= = Mặt khác . . 1 . . 3 S AIC S ABC V SA SI SC V SA SB SC = = . Vậy 3 3 . . 1 1 . 3 3 3 9 S AIC S ABC a a V V= = = . Nhận xét: Trong bài toán trên ta hoàn toàn có thể tính trực tiếp, tuy nhiên việc tính gián tiếp dựa vào tỉ lệ thể tích thì tính toán trở nên đơn giản hơn rất nhiều. Thí dụ 2. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, 2 , ; 2AB a BC a SA SB SC SD a= = = = = = . Giả sử E là điểm thuộc cạnh SC sao cho 2SE SC= , F là điểm thuộc cạnh SD sao cho 1 3 SF FD= . Tính thể tích khối đa diện SABEF . Lời giải. (h.6) 10 S Hình 6 O A D B C E F [...]... cng c c nhng kin thc c bn Kt qu c th Lp 12A3 12A4 S s 45 45 Gii SL % Khỏ SL % TB SL % 10 5 18 17 17 22 22 11 40 38 38 49 Yu SL % 0 1 0 2 Kộm SL % 0 0 0 0 2 Kin ngh, xut - T chuyờn mụn cn t chc nhng din n trao i v chuyờn mụn giỏo viờn cú th hc hi kinh nghim v ph bin cỏc sỏng kin kinh nghim ca cỏ nhõn - Nh trng cn tng cng hn na nhng trang thit b h tr cho ging dy - S Giỏo dc v o to cn m nhng lp chuyờn... ; 5a ) mp( AMN ) có vectơ pháp tuyến là: n1 ( h ; h 3; 5a ) 8 8 3 8 3 3 mp(SBC) i ct Oy ti K (0; a a ;0) , Ox ti C( ;0;0) , Oz ti S(0;0;h) 3 3 nờn cú phng trỡnh theo on chn l: ur 3 3 1 u x y z 3 3 1 + + =1 x y + z = 1 mp( SBC) có vectơ pháp tuyến là: n 2 ( ; ; ) a a h a a h a a h 3 3 Ta cú uu r u r 3 3 5a 1 5 ( AMN ) ( SBC) n1 n2 = 0 ( h) + h 3.( ) + =0h=a a a 12 3 h Vy VS ABC 1 1 5 a2 3... phng (SBC ) v ( ABC ) bng 600 Tớnh th tớch khi chúp S BMCN v khong cỏch gia hai ng thng AB v SN theo a II KT QU NGHIấN CU V KIN NGH XUT 1 Kt qu nghiờn cu Trong nm hc 2 012 2013, tụi c nh trng phõn cụng dy mụn toỏn ti cỏc lp 12A3, 12A4 ng trc thc trng hc sinh rt ngi khi i mt vi nhng bi toỏn hỡnh hc khụng gian, tụi ó mnh dn a vo chng trỡnh bi dng phng phỏp tớnh th tớch a din V thc t sau khi c hc mt... SA SB SC 3 2 1 a3 VS ABE = VS ABC = VS ABCD = 3 3 3 3 (1) VS AEE SA SE SF 2 1 1 = = = VS ACD SA SC SD 3 4 6 VS AEF 1 1 a3 = VS ACD = VS ABCD = 6 12 12 3 (2) T (1) v (2) ta cú: VSABEF = VS ABE + VS AEF = a3 a3 5a 3 3 + = 36 3 3 12 3 Nhn xột: Khi a din cn tớnh th tớch khụng thuc cỏc khi quen thuc (khụng cú cụng thc tớnh trc tip), nờn ta phi tỡm cỏch chia thnh cỏc khi nh quen thuc, v ta... Vy VS ABC 1 1 5 a2 3 a3 5 = SO.SABC = a = 3 3 12 4 24 Thớ d 3 ( thi HSG tnh Thanh Húa nm 2013) 17 Cho hỡnh lng tr ng ABC A ' B ' C ' ti C, cnh ỏy AB bng 2a v lng tr bng ABC A ' B ' C ', ã ABC cú ỏy ABC l tam giỏc cõn bng 300 Tớnh th tớch ca khi bit khong cỏch gia hai ng thng AB v CB ' a 2 Li gii (H.11) Gi M, N ln lt l trung im ca AB v AB Ta cú MN l ng cao ca lng tr Gi s MN = h Chn h trc ta Oxyz... MKDAB = a3 Suy ra VA ' MKDAB VA ' B 'C ' D ' MKCD 7a 3 17 a 3 = 24 24 = 7 17 12 Nhn xột: Trong hai thớ d u, ta ch yu da vo t l th tớch thỡ thớ d ny ta da vo vic tớnh th tớch cỏc khi bự vi khi cn tớnh Thớ d 4 Chi hỡnh chúp OA, OB, OC cú G ụi mt vuụng gúc vi OA = a, OB = b, OC = c ; nhau, OA ', OB ' OC ' O ABC ln lt l ng cao A ca cỏc tam giỏc B' OBC , OAC , OAB Tớnh th tớch khi chúp C C' O A ' B '...Ta cú S ABCD = AB.BC = 2a 2 p dng nh lý Pythagore cho tam giỏc vuụng ABD ta cú BD = AB 2 + AD 2 = a 5 Gi O = AC BD Xột tam giỏc thỡ SBD BO = cõn ti ng cao ca tam giỏc Chng minh tng t cao ca hỡnh chúp Ta cú 1 a 5 BD = 2 2 S cú SBD SO l trung tuyn nờn Suy ra SO AC SO ng thi l SO BD Suy ra SO ( ABCD) hay SO l ng S ABCD SO = SB 2 BO 2 = ( a 2) 2 ( a 5 2 a 3 )... = Do abc 6 OA OB, OA OC , OB OC , nờn cỏc tam giỏc OAB, OBC , OAC vuụng ti O p dng nh lý Pythagore ta cú: AC = a 2 + c 2 , AB = a 2 + b 2 , BC = b 2 + c 2 Xột tam giỏc OBC vuụng ti O cú OA ' l ng cao nờn: 1 1 1 b 2 c 2 OB 2 OC 2 2 = + OA ' = = OA '2 OB 2 OC 2 OB 2 + OC 2 b 2 + c 2 p dng nh lý Pythagore trong tam giỏc vuụng OC 2 = OA '2 + CA '2 CA ' = OC 2 OA '2 = OA ' C ta cú c2 b2 + c 2 Chng... Qua cỏc vớ d trờn ta thy vic gn h trc ta a bi toỏn hỡnh hc khụng gian thụng thng thnh bi toỏn hỡnh hc ta giỳp vic gii bi toỏn tr nờn n gin hn rt nhiu, nh vớ d 3 nu khụng dựng ta thỡ vic tớnh chiu cao h l rt khú khn iu quan trng l cn xỏc nh c nhng yu t vuụng gúc trong hỡnh la chn h trc ta hp lý Bi tp t luyn Bi 1 Cho hỡnh chúp SABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh a SA vuụng gúc vi ỏy v SA = a 2 . học sinh có thêm phương pháp trong giải toán, tôi đã quyết định chọn đề tài: Một số phương pháp tính thể tích khối đa diện nhằm nâng cao chất lượng dạy – học hình học lớp 12 ”. Mục tiêu của. toán về tính thể tích khối đa diện có hai phương pháp cơ bản là phương pháp tính trực tiếp và phương pháp tính gián tiếp. Phương pháp tính trực tiếp là dựa vào việc tính chiều cao và diện tích đáy. là nghiên cứu phương pháp tính thể tích khối đa diện một cách hệ thống và sáng tạo để giúp giáo viên trang bị kiến thức cơ bản nhất về phương pháp tích thể tích khối đa diện cho học sinh, từ đó