BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO

BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO. Trần Duy Tiến Sưu tầm 1 Chương VI: GÓC LƯỢNG GIÁC VÀ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1. Góc và cung lượng giác: . Đường tròn bán kính R có độ dài bằng 2R và có số đo bằng 360 0 . . Chia đường tròn thành 360 phần bằng nhau thì mỗi cung tròn này có độ dài bằng 180 R  và có số đo 1 0 . . Cung tròn bán kính R có số đo a 0 (0  a  360) thì có độ dài bằng 180 aR  . . Radian là số đo của một cung có độ dài bằng bán kính của đường tròn. . Cung có số đo bằng a 0 ứng với  radian công thức đổi đơn vị là:    0 0 180 a . . Độ dài của một cung tròn được tính theo công thức: l = R.. y . Góc lượng giác (Ox, Oy) theo thứ tự này là góc quét bởi tia Oz, theo một chiều nhất định từ z Ox đến Oy. .Đường tròn lượng giác là đường tròn O x Bán kính bằng đơn vị mà trên đó ta chọn một chiều làm chiều dương (+). Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, ta quy ước đường tròn lượng giác là đường tròn tâm O(0; 0) và đi qua A(1; 0), B(0; 1), A’(1; 0), B’(0; 1); chiều dương là chiều ngược kim đồng hồ. . Cung lượng giác AC với hai điểm A, C trên đường tròn lượng giác là cung vạch bởi điểm M di chuyển trên đường tròn lượng giác theo một chiều nhất định từ A đến C. . Số đo của góc và cung lượng giác: sđ(Ox, Oy) = a 0 + k360 0 hoặc sđ(Ox, Oy) =  + k2. sđAM = a 0 + k360 0 hoặc sđAM =  + k2. y B S M P T A’ O Q A x B’ . Hệ thức Salơ: + Với ba tia Ox, Oy, Oz tùy ý, ta có: sđ(Ox, Oy) + sđ(Oy, Oz) = sđ(Ox, Oz). + Với M, N, K tùy ý trên đường tròn lượng giác thì: sđMN + sđNK = sđMK. 2. Các công thức lượng giác cơ bản: Điểm M(x; y) trên đường tròn lượng giác với sđAM =  + k2 (k  Z). BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO. Trần Duy Tiến Sưu tầm 2 Ta có: . cot , tan , sin , cos BS AT y OP x OQ           Nhận xét: 1  cos  1, 1  cos  1. cos( + k2) = cos, sin( + k2) = sin, tan( + k) = tan, cot( + k) = cot . tan =   cos sin xác định khi   , 2   k  cot =   sin cos xác định khi     k sin = tancos, cos = cotsin, tancot = 1, sin 2  + cos 2  + 1. . sin 1 cot 1 , cos 1 tan 1 2 2 2 2         . Giá trị lượng giác của những cung đặc biệt: Góc 0 0 30 0 45 0 60 0 90 0 120 0 135 0 150 0 180 0 TS . 0 6  4  3  2  3 2  4 3  6 5   sin 0 2 1 2 2 2 3 1 2 3 2 2 2 1 0 cos 1 2 3 2 2 2 1 0 2 1  2 2  2 3  1 tan 0 3 3 1 3  3  1 3 3  0 cot  3 1 3 3 0 3 3  1 3   3.Giá trị lượng giác của những cung có liên quan đặc biệt: . Cung đối nhau:  và : cos() = cos, sin() = sin, tan() = tan, cot() = cot. . Cung bù nhau:   và : sin( ) = sin, cos( ) = cos, tan( ) = tan, cot( ) = cot. . Cung hơn kém :  +  và : sin( + ) = sin, cos( ) = cos, tan( + ) = tan, cot + ) = cot. . Cung phụ nhau: 2   và : sin          2 = cos, cos          2 = sin, tan          2 = cot, cot          2 = tan. . Cung hơn kém 2  : 2  +  và : sin          2 = cos, cos          2 = sin, tan          2 = cot, cot          2 = tan. BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO. Trần Duy Tiến Sưu tầm 3 4. Các công thứ lượng giác khác: . Công thức cộng: cos( + ) = coscos – sinsin, sin( + ) = sincos + cossin. cos(– ) = coscos + sinsin, sin(– ) = sincos – cossin. tan( + ) =     tan tan 1 tan tan   , tan(– ) =     tan tan 1 tan tan   . . Công thức nhân đôi: cos2 = cos 2  sin 2  = 2cos 2  1 = 1 – 2sin 2 ; sin2 = 2sincos; tan2 = . tan 1 tan 2 2    . Công thức hạ bậc: sincos = . 2 2 cos 1 sin ; 2 2 cos 1 cos ; 2 sin 2 1 2 2          . Công thức biến đổi tích thành tổng: coscos =     ; ) sin( ) sin( 2 1 cos sin ; ) cos( ) cos( 2 1                  sinsin =   . ) cos( ) cos( 2 1        . Công thức biến đổi tổng thành tích: cos + cos = ; 2 cos 2 cos 2       cos – cos = ; 2 sin 2 sin 2        sin + sin = ; 2 cos 2 sin 2       sin – sin = . 2 sin 2 cos 2       I. Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác 1. Định nghĩa các giá trị lượng giác Cho OA OM ( , )   . Giả sử M x y ( ; ) .   x OH y OK AT k BS k cos sin sin tan cos 2 cos cot sin                               Nhận xét:  , 1 cos 1; 1 sin 1           CHƯƠNG VI GÓC – CUNG LƯỢNG GIÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC cosin O cotang sin tang H A M K B S  T BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO. Trần Duy Tiến Sưu tầm 4  tan xác định khi k k Z , 2        cot xác định khi k k Z ,      k sin( 2 ) sin       k tan( ) tan      k cos( 2 ) cos      k cot( ) cot      2. Dấu của các giá trị lượng giác 3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt 4. Hệ thức cơ bản: 2 2 sin cos 1     ; tan .cot 1    ; 2 2 2 2 1 1 1 tan ; 1 cot cos sin         5. Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt 0 6  4  3  2  2 3  3 4   3 2  2 0 0 30 0 45 0 60 0 90 0 120 0 135 0 180 0 270 0 360 0 sin 0 1 2 2 2 3 2 1 3 2 2 2 0 –1 0 cos 1 3 2 2 2 1 2 0 1 2  2 2  –1 0 1 tan 0 3 3 1 3 3  –1 0 0 cot 3 1 3 3 0 3 3  –1 0 Phần tư Giá trị lượng giác I II III IV cos + – – + sin + + – – tan + – + – cot + – + – Góc đối nhau Góc bù nhau Góc phụ nhau cos( ) cos     sin( ) sin      sin cos 2            sin( ) sin      cos( ) cos       cos sin 2            tan( ) tan      tan( ) tan       tan cot 2            cot( ) cot      cot( ) cot       cot tan 2            BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO. Trần Duy Tiến Sưu tầm 5 II. Công thức lượng giác 1. Công thức cộng 2. Công thức nhân đôi sin2 2sin .cos     2 2 2 2 cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin            2 2 2tan cot 1 tan2 ; cot 2 2cot 1 tan           3. Công thức biến đổi tổng thành tích sin( ) sin .cos sin .cos a b a b b a    sin( ) sin .cos sin .cos a b a b b a    cos( ) cos .cos sin .sin a b a b a b    cos( ) cos .cos sin .sin a b a b a b    tan tan tan( ) 1 tan .tan a b a b a b     tan tan tan( ) 1 tan .tan a b a b a b     Hệ quả: 1 tan 1 tan tan , tan 4 1 tan 4 1 tan                             Góc hơn kém  Góc hơn kém 2  sin( ) sin       sin cos 2            cos( ) cos       cos sin 2             tan( ) tan      tan cot 2             cot( ) cot      cot tan 2             Công thức hạ bậc Công thức nhân ba () 2 2 2 1 cos2 sin 2 1 cos2 cos 2 1 cos2 tan 1 cos2               3 3 3 2 sin3 3sin 4sin cos3 4cos 3cos 3tan tan tan3 1 3tan                  BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO. Trần Duy Tiến Sưu tầm 6 4. Công thức biến đổi tích thành tổng VẤN ĐỀ 1: Dấu của các giá trị lượng giác Để xác định dấu của các giá trị lượng giác của một cung (góc) ta xác định điểm nhọn của cung (tia cuối của góc) thuộc góc phần tư nào và áp dụng bảng xét dấu các GTLG. VẤN ĐỀ 2: Tính các giá trị lượng giác của một góc (cung) Ta sử dụng các hệ thức liên quan giữa các giá trị lượng giác của một góc, để từ giá trị lượng giác đã biết suy ra các giá trị lượng giác chưa biết. I. Cho biết một GTLG, tính các GTLG còn lại 1. Cho biết sin, tính cos, tan, cot  Từ 2 2 sin cos 1      2 cos 1 sin      . – Nếu  thuộc góc phần tư I hoặc IV thì 2 cos 1 sin     . – Nếu  thuộc góc phần tư II hoặc III thì 2 cos 1 sin      .  Tính sin tan cos     ; 1 cot tan    . 2. Cho biết cos, tính sin, tan, cot  Từ 2 2 sin cos 1      2 sin 1 cos      . – Nếu  thuộc góc phần tư I hoặc II thì 2 sin 1 cos     . – Nếu  thuộc góc phần tư III hoặc IV thì 2 sin 1 cos      .  Tính sin tan cos     ; 1 cot tan    . cos cos 2cos .cos 2 2 a b a b a b     cos cos 2sin .sin 2 2 a b a b a b      sin sin 2sin .cos 2 2 a b a b a b     sin sin 2cos .sin 2 2 a b a b a b     sin( ) tan tan cos .cos a b a b a b    sin( ) tan tan cos .cos a b a b a b    sin( ) cot cot sin .sin a b a b a b    b a a b a b sin( ) cot cot sin .sin    sin cos 2.sin 2.cos 4 4                        sin cos 2sin 2 cos 4 4                         1 cos .cos cos( ) cos( ) 2 1 sin .sin cos( ) cos( ) 2 1 sin .cos sin( ) sin( ) 2 a b a b a b a b a b a b a b a b a b                         BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO. Trần Duy Tiến Sưu tầm 7 3. Cho biết tan, tính sin, cos, cot  Tính 1 cot tan    .  Từ 2 2 1 1 tan cos      2 1 cos 1 tan      . – Nếu  thuộc góc phần tư I hoặc IV thì 2 1 cos 1 tan     . – Nếu  thuộc góc phần tư II hoặc III thì 2 1 cos 1 tan      .  Tính sin tan .cos     . 4. Cho biết cot, tính sin, cos, tan  Tính 1 tan cot    .  Từ 2 2 1 1 cot sin      2 1 sin 1 cot      . – Nếu  thuộc góc phần tư I hoặc II thì 2 1 sin 1 cot     . – Nếu  thuộc góc phần tư III hoặc IV thì 2 1 sin 1 cot      . II. Cho biết một giá trị lượng giác, tính giá trị của một biểu thức  Cách 1: Từ GTLG đã biết, tính các GTLG có trong biểu thức, rồi thay vào biểu thức.  Cách 2: Biến đổi biểu thức cần tính theo GTLG đã biết III. Tính giá trị một biểu thức lượng giác khi biết tổng – hiệu các GTLG Ta thường sử dụng các hằng đẳng thức để biến đổi: A B A B AB 2 2 2 ( ) 2     A B A B A B 4 4 2 2 2 2 2 ( ) 2     A B A B A AB B 3 3 2 2 ( )( )      A B A B A AB B 3 3 2 2 ( )( )      IV. Tính giá trị của biểu thức bằng cách giải phương trình  Đặt t x t 2 sin , 0 1     x t 2 cos  . Thế vào giả thiết, tìm được t. Biểu diễn biểu thức cần tính theo t và thay giá trị của t vào để tính.  Thiết lập phương trình bậc hai: t St P 2 0    với S x y P xy ;    . Từ đó tìm x, y. VẤN ĐỀ 3: Tính giá trị lượng giác của biểu thức bằng các cung liên kết Sử dụng công thức các góc (cung) có liên quan đặc biệt (cung liên kết) VẤN ĐỀ 4: Rút gọn biểu thức lượng giác – Chứng minh đẳng thức lượng giác Sử dụng các hệ thức cơ bản, công thức lượng giác để biến đổi biểu thức lượng giác. Trong khi biến đổi biểu thức, ta thường sử dụng các hằng đẳng thức. Chú ý: Nếu là biểu thức lượng giác đối với các góc A, B, C trong tam giác ABC thì: A B C     và A B C 2 2 2 2     VẤN ĐỀ 5: Công thức cộng BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO. Trần Duy Tiến Sưu tầm 8 sin( ) sin .cos sin .cos a b a b b a    sin( ) sin .cos sin .cos a b a b b a    cos( ) cos .cos sin .sin a b a b a b    cos( ) cos .cos sin .sin a b a b a b    tan tan tan( ) 1 tan .tan a b a b a b     tan tan tan( ) 1 tan .tan a b a b a b     Hệ quả: 1 tan 1 tan tan , tan 4 1 tan 4 1 tan                             VẤN ĐỀ 6: Công thức nhân Công thức nhân đôi sin2 2sin .cos     2 2 2 2 cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin            2 2 2tan cot 1 tan2 ; cot 2 2cot 1 tan           VẤN ĐỀ 7: Công thức biến đổi 1. Công thức biến đổi tổng thành tích 2. Công thức biến đổi tích thành tổng cos cos 2cos .cos 2 2 a b a b a b     cos cos 2sin .sin 2 2 a b a b a b      sin sin 2sin .cos 2 2 a b a b a b     sin sin 2cos .sin 2 2 a b a b a b     sin( ) tan tan cos .cos a b a b a b    sin( ) tan tan cos .cos a b a b a b    sin( ) cot cot sin .sin a b a b a b    b a a b a b sin( ) cot cot sin .sin    Công thức hạ bậc Công thức nhân ba () 2 2 2 1 cos2 sin 2 1 cos2 cos 2 1 cos2 tan 1 cos2               3 3 3 2 sin3 3sin 4sin cos3 4cos 3cos 3tan tan tan3 1 3tan                  sin cos 2.sin 2.cos 4 4                        sin cos 2sin 2 cos 4 4                         BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO. Trần Duy Tiến Sưu tầm 9 B. BÀI TẬP RÈN LUYỆN: 1. a) Trên mặt phẳng tọa độ, biểu diễn các góc lượng giác (OA, OB) có các số do sau: 45 0 , 1200 0 , 830 0 . b) Trên đường tròn lượng giác, lấy điểm gốc A, xác đinh điểm M sao cho cung AM có số đo bằng: . 45 ; 4 6 ; 2 3 0      k k k     c) Tính giá trị lượng giác của các cung đã biểu diễn ở câu a) và b). 2. Xác định điểm cuối M của cung lượng giác  biết cos  0,5. Tìm miền giá trị của sin, tan và cot. 3. Chứng minh các đẳng thức sau: a) sin 4 x + cos 4 x = 1 – 2sin 2 x cos 2 x; b) sin 6 x + cos 6 x = 1 – 3sin 2 xcos 2 x; x; tan tanx) 2x tanx)(sin (tan2x d) ; cosx 1 sinx sinx cosx 1 c) 2    ; cos4x 1 2cos4x 6 x cot x tan g) x; tan x sin x sin x cos x cos x cos x sin e) 2 2 4 4 2 2 4 2 2        h) tan 2 x – sin 2 x = tan 2 xsin 2 x; i) cosx. x 3 2 cos 3 2x cos 6 x cos 3 2x sin                                  4. Rút gọn các biểu thức sau: ; 1 cosx x 2cos 1 cosx cos2x cos3x C ; tanx) x(1 cos cotx) x(1 sin B ; sinx 1 x 2cos A 2 2 2 2           ; cosx 1 cosx 1 cosx 1 cosx 1 E ; x sin cosx) (1 1 sinx cosx 1 D 2 2               ; cos4a cos3a cos2a a cos sin4a sin3a sin2a sina F        ; cosb cosa ) )sin(a sin(a G    ; cos98 2cos638 ) cos(188 2520 sin 2 tan368 1 H 0 0 0 0 0    . 2 x tan cosx 1 cosx 1 I 2   5. Tính tổng: S1 = sina + sin2a + sin3a + . . . + sinna; S 2 = 1 + cosa + cos2a + cos3a + . . . + cosna. 1 cos .cos cos( ) cos( ) 2 1 sin .sin cos( ) cos( ) 2 1 sin .cos sin( ) sin( ) 2 a b a b a b a b a b a b a b a b a b                         BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO. Trần Duy Tiến Sưu tầm 10 6. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x, y: A = cos 2 x + cos 2 (x + a) – 2cosxcosacos(x + a); B = cos 6 x + 2sin 4 xcos 2 x + 3sin 2 xcos 4 x + sin 4 x; 3 3 x cos 6 x cos 4 x cos 3 x cos C                                      ; cos sin 2 1 x cos x sin x cos x sin E ; x 3 2 cos 3 2 x cos x cos D 2 2 2 2 8 8 2 2 2 x x                     F = 3(sin 8 x – cos 8 x) + 4(cos 6 x – 2sin 6 x) + 6sin 4 x; y xcot cot y xsin sin y sin x cos G 2 2 2 2 2 2  7. CMR: sinxcosxcos2xcos4x = . 8 sin 8 1 x Áp dụng: Tính giá trị các biểu thức: A = sin6 0 .sin42 0 .sin66 0 .sin78 0 ; . 7 5 .cos 7 3 .cos 7 cos B     8. a) Cho cosx = . 270 x 108 và 5 3 0 0   Tính sinx, tanx và cotx. b) Biết tan . 2 a m  Tính ; sina tana sina tana  c) Biết tana + cota = m, , 2 a 0    tính sin2a, sin4a. Tìm điều kiện của m. d) Cho sina + cosa = m với . 2 m 2   Tính sin2a, sina, cosa. 9. Không dùng bảng tính và MTĐT, tính: . 24 11 .sin 24 7 .sin 24 5 .sin 24 sin B ; 12 5 .cos 12 11 sin A         C = cos10 0 .cos50 0 .cos70 0 ; D = cos20 0 .cos40 0 .cos80 0 . E = sin160 0 .cos110 0 + sin250 0 .cos340 0 + tan110 0 .tan340 0 . F = sin10 0 .sin50 0 .sin70 0 ; . 12 5 tan 12 tan G 2 2     H = tan5 0 tan55 0 tan65 0 . H = tan9 0 – tan27 0 – tan63 0 + tan81 0 ; I = cos10 0 cos20 0 cos30 0 . . . cos80 0 . ; 7 3 cos 7 2 cos 7 cos K      . 24 sin 24 5 sin 12 7 sin 12 5 cos M      10. Chứng minh định lý tang trong tam giác ABC: . 2 A C tan 2 A C tan a c a c ; 2 C B tan 2 C B tan c b c b ; 2 B A tan 2 B A tan b a b a          11. Chứng minh các đẳng thức sau: a) tana + tanb + tanc – tana.tanb.tanc = ; cosc cosa.cosb. c) b sin(a   b) a; tana.tan3 a 2a.tan tan 1 a tan 2a tan 2 2 2 2  . b acos cos b) b)sin(a sin(a b tan a tan c) 2 2 2 2   BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO. Trần Duy Tiến Sưu tầm 11 cos4x 4 1 4 3 x cos x sin f) ; sina cosa sina cosa sin2a 1 cos2a e) 0; 2 3 cos4x 2 1 2cos2x x 4cos d) 4 4 4        . 8 3 .sin80 .sin40 sin20 h) 0; 9 7 cos 9 5 cos 9 cos g) 0 0 0        12) Chứng minh rằng: a) Nếu 2 1 y) cos(x y) cos(x   thì tanxtany = . 3 1 b) x, y là hai góc nhọn thỏa mãn các điều kiện 3sin 2 x + 2sin 2 y = 1 và 3sin2x 2sin2y thì . 2 2y x    13. CMR: a) Nếu cos(a + b) = 0 thì sin(a + 2b) = sina; b) Nếu sin(2a + b) = 3sinb thì tan(a + b) = 2tana. 14. CMR: trong mọi ABC ta đều có: a) sinA + sinB + sinC = ; 2 C cos 2 B cos 2 A 4cos ; 2 C sin 2 B sin 2 A 4sin 1 cosC cosB cosA b)     c) sin2A + sin2B + sin2C = 4sinAsinBsinC; d) cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C = 1 – 2cosAcosBcosC; e) sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C = 2 + 2cosAcosBcosC; f) tanA + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC; g) bcosB + ccosC = acos(B – C) h) ; 2 C .cot 2 B .cot 2 A cot 2 C cot 2 B cot 2 A cot    i) cotA.cotB + cotB.cotC + cotC.cotA = 1; 0; 2 B cot a) (c 2 A cot c) (b 2 C cot b) (a k)    l) S = 2R 2 sinAsinBsinC; ; 2 C sin 2 B sin 2 A 4Rsin r m)  1; 2 A .tan 2 C tan 2 C .tan 2 B tan 2 B .tan 2 A tan n)    ; 2 C .cos 2 B cos 2 A p.sin a o)  ; sinC B) sin(A c b a p) 2 2 2  ; 2 C .tan 2 B .tan 2 A p.tan r q)  ; 2 A sin 2 C .sin 2 B asin r r)  ; 2 C .cos 2 B .cos 2 A 4cos p R s)  ; 2 C sin 2 B sin 2 A sin 4R r ) t  cosC; cosB cosA R r 1 u)     ccosC; bcosB acosA R 2pr v)    ; 2 C tan 2 B tan 2 A tan p r 4R w)     0; )cotC b (a )cotB a (c )cotA c (b x) 2 2 2 2 2 2    ; B) 2sin(A )sinAsinB b (a S y) 2 2   . A 2 sin b sin2B a 4 1 S z) 2 2   15. CMR: trong mọi ABC ta đều có: BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO. Trần Duy Tiến Sưu tầm 12   3p; c p b p a p p b) ; abc R c b a cotC cotB cotA a) 2 2 2          ; c 1 b 1 a 1 2 c p 1 b p 1 a p 1 c)            d) Nếu a 4 = b 4 + c 4 thì 2sin 2 A = tanB.tanC 16. Nhận dạng tam giác ABC nếu nó thỏa mãn một trong các điều kiện sau: . c b a c b a a 4 3 sinBsinC c) ; 1 3cosB C) A cos( a a c b a c b b) 2; sinBcosC sinA a) 3 3 3 2 2 3 3 3                     ; c b a c b a a 4 1 cosBcosC e) ; a a c b a c b a 2bcosC d) 3 3 3 2 2 3 3 3                    C sin B sin A sin R 3 2 S f) 3 3 3 2    ; 8 1 sC cosAcosBco i) ; 2 C 2cot tanB tanA h) ; cosC cosB sinC sinB sinA g)       k) 3(cosB + 2sinC) + 4(sinB + 2cosC) = 15; . 3 cosC cosB cosA sinC sinB sinA l)      17. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để ABC vuông là: a) cos2A + cos2B + cos2C = 1; b) tan2A + tan2B + tan2C = 0; c) sinA + sinB + sinC = 1 + cosA + cosB + cosC. 18. Chứng minh ABC vuông khi: tanA. cosA sinB cosB sinA c) ; b c a 2 B cot b) ; sinBsinC a cosC c cosB b a)        . 2 C sin 2 B sin 2 2p h f) sin2B; a 4 1 S e) ; a 2bc C) cos(B d) a 2 2    19. Chứng minh rằng ABC là vuông hoặc cân khi: . a c b C) sin(B b) ; 2 B C tan b c b c a) 2 2 2          20. Chứng minh rằng ABC là cân khi và chỉ khi: BtanC; tan tanC 2tanB b) ; 2 B A b)tan (a b.tanB a.tanA a) 2       B); cot A cot ( 2 1 B sin A sin B cos A cos d) B); tan(A 2 1 cosB cosA sinB sinA c) 2 2 2 2 2 2         ; sinC 2sinAsinB 2 C cot f) ; 2 C sinB)cot (sinA cos B sin cosA A sin e) 2 2    ; 2 B ptan 2 C cot b) (p h) ; 2 A cos 2 B sin 2 B cos 2 A sin g) 3 3   0 A) bsin(C C) asin(B l) btanB); (atanA 2 C tan b a k) ; c 4a c 2a sinB cosB 1 i) 2 2         21. Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu nó thỏa mãn biểu thức sau: BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO. Trần Duy Tiến Sưu tầm 13 a) (b 2 + c 2 )sin(C B) = c 2 – b 2 )sin(C + B); ; tanC tanB C sin B sin b) 2 2  . cos2B 1 C) cos(B 1 2. b c) (b d) ; sinA sinB cosC 2cosB cosC 2cosA c) 2 2     22. CMR: ABC là tam giác đều nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau: a) sinA + sinB + sinC = sin2A + sin2B + sin2C; b) a(1 – 2cosA) + b(1 – 2cosB) c(1 – 2cosC) = 0; c) 2(a 3 + b 3 + c 3 ) = a( 2 + c 2 ) + b(c 2 + a 2 ) + c(a 2 + b 2 ); . 3 h 2 a c b d) a    23. Tam giác ABC có đặc điểm gì khi thỏa mãn một trong các điều kiện sau: a) sin3A + sin3B + sin3C = 0; b) sin4A + sin4B + sin4C = 0; c) a 3 = 3 + c 3 ; d) sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C  2; e) c = c.cos2B + b.sin2B 2; cotB) cotA)(1 (1 f)    g) sin 2 A + sin 2 B = 5sin 2 C; h) A, B, C là nghiệm của phương trình: . 3 3 2 2 x tan tanx  24. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: . sinx cosx cosx sinx y   (ĐH An ninh 1998) 25. CMR: nếu ba góc A, B, C của ABC thỏa điều kiện: sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C thì A, , C đều là ba góc nhọn. (ĐH An ninh 1998) 26. Cho ABC có các góc thỏa 1 2 B tan 2 A tan   . CMR: 1. 2 C tan 4 3   (ĐH Bách khoa Hà nội 1998) 27. Cho ABC. CMR: 2b = a + c  3. 2 C cot 2 A cot   (ĐH Cần thơ 1998) 29. CMR: trong tất cả các tam giác nội đường tròn cho trước thì tam giác đều có diện tích lớn nhất. (ĐH Công đoàn 1998) 30. Cho ABC. CMR: . 4S c b a cotC cotB cotA 2 2 2      (ĐH Dược hà nội 1998) 31. Cho ABC. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M = 3cosA + 2(cosB + cosC). (ĐH Luật Hà nội 1998) 32. Cho ABC. CMR: . c b a sinC B) sin(A 2 2 2  (ĐH Ngoại ngữ 1998) 33. CMR: trong mọi AC ta đều có: . 2 C .cot 2 B .cot 2 A cot 2 C tan 2 B tan 2 A tan 2 1 sinC 1 sinB 1 sinA 1             (ĐH Ngoại thương 1998) BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO. Trần Duy Tiến Sưu tầm 14 34. Cho ABC sao cho: 2 sinC sinB sinA a c b 2 2 2            . Tính các góc của ABC. (ĐH Ngoại thương 1998) 35. CMR: trong mọi ABC ta luôn có: . 3 C cos 3 B cos 3 A cos 4 3 8 3 3 C cos 3 B cos 3 A cos 3 3 3             (ĐH Quốc gia Hà nội 1998) 36. a) Cho tam giác nhọn ABC thỏa mãn hệ thức: . 2 C sin 1 2 B sin 1 2 A sin 1 cosC 1 cosB 1 cosA 1      CMR: ABC đều. b) ABC có đặc điểm gì, nếu các góc thỏa mãn biểu thức: 2cosA sinC sinB  . (ĐH An ninh 1999) 37. CMR: điều kiện cần và đủ để ABC đều là có hệ thức:   . 3 cotC cotB cotA sinC 1 sinB 1 sinA 1      (ĐH Bách khoa Hà nội 1999). 38. CMR: Điều kiện cần và đủ để ABC vuông là: 1 + cos2A + cos2B + cos2C = 0. (ĐH Cảnh sát nhân dân 1999). 39. ABC thỏa mãn hệ thức: a + b + c = 2(acosA + bcosB + ccosC). CMR: ABC là tam giác đều. (ĐH Dược Hà nội 1999). 40. CMR: nếu ABC có: a.tanA + b.tanB = a + b) 2 B A tan  thì ABC cân. (ĐH Hàng hải 1999). 41. Tìm giá trị nhỏ nhất của iểu thức: P = cot 4 a + cot 4 b + 2tan 2 a.tan 2 b + 2. (ĐH Giao thông vận tải 1999). Bài 1. Xác định dấu của các biểu thức sau: a) A = 0 0 sin50 .cos( 300 )  b) B = 0 21 sin215 .tan 7  c) C = 3 2 cot .sin 5 3          d) D = c 4 4 9 os .sin .tan .cot 5 3 3 5     Bài 2. Cho 0 0 0 90    . Xét dấu của các biểu thức sau: a) A = 0 sin( 90 )   b) B = 0 cos( 45 )   c) C = 0 cos(270 )   d) D = 0 cos(2 90 )   Bài 3. Cho 0 2     . Xét d ấu của các biểu thức sau: a) A = cos( )    b) B = tan( )    BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO. Trần Duy Tiến Sưu tầm 15 c) C = 2 sin 5          d) D = 3 cos 8          Bài 4. Cho tam giác ABC. Xét dấu của các biểu thức sau: a) A = A B C sin sin sin   b) B = A B C sin .sin .sin c) C = A B C cos .cos .cos 2 2 2 d) D = A B C tan tan tan 2 2 2   Bài 1. Cho biết một GTLG, tính các GTLG còn lại, với: a) a a 0 0 4 cos , 270 360 5    b) 2 cos , 0 2 5        c) a a 5 sin , 13 2      d) 0 0 1 sin , 180 270 3       e) a a 3 tan 3, 2      f) tan 2, 2         g) 0 cot15 2 3   h) 3 cot 3, 2        Bài 2. Cho biết một GTLG, tính giá trị của biểu thức, với: a) a a A khi a a a a cot tan 3 sin , 0 cot tan 5 2        ĐS: 25 7 b) a a B khi a a a a 2 0 0 8tan 3cot 1 1 sin , 90 180 tan cot 3        ĐS: 8 3 c) a a a a C khi a a a a a 2 2 2 2 sin 2sin .cos 2cos cot 3 2sin 3sin .cos 4cos        ĐS: 23 47  d) a a D khi a a a 3 3 sin 5cos tan 2 sin 2cos     ĐS: 55 6 e) a a a E khi a a a 3 3 3 8cos 2sin cos tan 2 2cos sin      ĐS: 3 2  g) a a G khi a a a cot 3tan 2 cos 2cot tan 3      ĐS: 19 13 h) a a H khi a a a sin cos tan 5 cos sin     ĐS: 3 2  Bài 3. Cho a a 5 sin cos 4   . Tính giá trị các biểu thức sau: a) A a a sin .cos  b) B a a sin cos   c) C a a 3 3 sin cos   ĐS: a) 9 32 b) 7 4  c) 41 7 128  Bài 4. Cho a a tan cot 3   . Tính giá trị các biểu thức sau: a) A a a 2 2 tan cot   b) B a a tan cot   c) C a a 4 4 tan cot   ĐS: a) 11 b) 13  c) 33 13  Bài 5. a) Cho x x 4 4 3 3sin cos 4   . Tính A x x 4 4 sin 3cos   . ĐS: 7 A 4  BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO. Trần Duy Tiến Sưu tầm 16 b) Cho x x 4 4 1 3sin cos 2   . Tính B x x 4 4 sin 3cos   . ĐS: B = 1 c) Cho x x 4 4 7 4sin 3cos 4   . Tính C x x 4 4 3sin 4cos   . ĐS: C C 7 57 4 28    Bài 6. a) Cho x x 1 sin cos 5   . Tính x x x x sin , cos , tan , cot . b) Cho x x tan cot 4   . Tính x x x x sin , cos , tan , cot . ĐS: a) 4 3 4 3 ; ; ; 5 5 3 4    b) 1 2 3 ; ; 2 3; 2 3 2 2 2 3     hoặc 2 3 1 2 3; 2 3; ; 2 2 2 3     Bài 1. Tính các GTLG của các góc sau: a) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 120 ; 135 ; 150 ; 210 ; 225 ; 240 ; 300 ; 315 ; 330 ; 390 ; 420 ; 495 ; 2550 b) 7 13 5 10 5 11 16 13 29 31 9 ; 11 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 2 4 4 3 3 3 3 6 6 4                 Bài 2. Rút gọn các biểu thức sau: a) A x x x cos cos(2 ) cos(3 ) 2                b) B x x x x 7 3 2cos 3cos( ) 5sin cot 2 2                       c) C x x x x 3 2sin sin(5 ) sin cos 2 2 2                               d) D x x x x 3 3 cos(5 ) sin tan cot(3 ) 2 2                         Bài 3. Rút gọn các biểu thức sau: a) A 0 0 0 0 0 0 sin( 328 ).sin958 cos( 508 ).cos( 1022 ) cot 572 tan( 212 )       ĐS: A = –1 b) B 0 0 0 0 0 sin( 234 ) cos216 .tan36 sin144 cos126     ĐS: B 1   c) C 0 0 0 0 0 cos20 cos40 cos60 ... cos160 cos180       ĐS: C 1   d) D 2 0 2 0 2 0 2 0 cos 10 cos 20 cos 30 ... cos 180      ĐS: D 9  e) E 0 0 0 0 0 sin20 sin40 sin60 ... sin340 sin360       ĐS: E 0  f) x x x x 0 0 0 0 2sin(790 ) cos(1260 ) tan(630 ).tan(1260 )       ĐS: F x 1 cos   Bài 1. Chứng minh các đẳng thức sau: a) x x x 4 4 2 sin cos 1 2cos    b) x x x x 4 4 2 2 sin cos 1 2cos .sin    c) x x x x 6 6 2 2 sin cos 1 3sin .cos    d) x x x x x x 8 8 2 2 4 4 sin cos 1 4sin .cos 2sin .cos     BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO. Trần Duy Tiến Sưu tầm 17 e) x x x x 2 2 2 2 cot cos cos .cot   f) x x x x 2 2 2 2 tan sin tan .sin   g) x x x x x 1 sin cos tan (1 cos )(1 tan )       h) x x x x x x x x 2 2 sin .tan cos .cot 2sin .cos tan cot     i) x x x x x x sin cos 1 2cos 1 cos sin cos 1       k) x x x 2 2 2 1 sin 1 tan 1 sin     Bài 2. Chứng minh các đẳng thức sau: a) a b a b a b tan tan tan .tan cot cot    b) a a a a a a a a 2 2 sin cos 1 cot sin cos cos sin 1 cot       c) a a a a a a 2 2 sin cos 1 sin .cos 1 cot 1 tan      d) a a a a a a a a 2 2 sin sin cos sin cos sin cos tan 1       e) a a a a a 2 2 1 cos (1 cos ) 1 2cot sin sin           f) a a a a a a a 2 2 4 2 2 2 2 tan 1 cot 1 tan . 1 tan cot tan cot      g) a a a a a 2 2 1 sin 1 sin 4tan 1 sin 1 sin             h) a b a b a b a b 2 2 2 2 2 2 2 2 tan tan sin sin tan .tan sin .sin    i) a a a a a 2 2 6 2 2 sin tan tan cos cot    k) a a a a a a a a 3 3 3 3 2 2 tan 1 cot tan cot sin .cos sin cos     Bài 3. Cho x a vôùi a b a b a b 4 4 sin cos 1 , , 0.     Chứng minh: x x a b a b 8 8 3 3 3 sin cos 1 ( )    . Bài 4. Rút gọn các biểu thức sau: a) x x x 2 2 2 (1 sin ) cot 1 cot    b) x x x x 2 2 (tan cot ) (tan cot )    c) x x x x x x 2 2 2 2 2 2 cos cos .cot sin sin .tan   d) x a y a x a y a 2 2 ( .sin .cos ) ( .cos .sin )    e) x x a x 2 2 2 2 sin tan cos cot   f) x x x x x x 2 2 4 2 2 4 sin cos cos cos sin sin     g) x x x x 2 2 sin (1 cot ) cos (1 tan )    h) x x x x x 1 cos 1 cos ; (0, ) 1 cos 1 cos        i) x x x x x 1 sin 1 sin ; ; 1 sin 1 sin 2 2                k) x x x x 2 2 3 cos tan sin ; ; 2 2            Bài 5. Chứng minh các biểu thức sau độc lập đối với x: a) x x x x 4 4 6 6 3(sin cos ) 2(sin cos )    ĐS: 1 b) x x x x x 8 8 6 6 4 3(sin cos ) 4(cos 2sin ) 6sin     ĐS: 1 c) x x x x 4 4 2 2 (sin cos 1)(tan cot 2)     ĐS: –2 d) x x x x x 2 2 2 2 2 cos .cot 3cos cot 2sin    ĐS: 2 e) x x x x x 4 4 6 6 4 sin 3cos 1 sin cos 3cos 1      ĐS: 2 3 BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO. Trần Duy Tiến Sưu tầm 18 f) x x x x x x 2 2 2 2 2 2 tan cos cot sin sin cos    ĐS: 2 g) x x x x 6 6 4 4 sin cos 1 sin cos 1     ĐS: 3 2 Bài 6. Cho tam giác ABC. Chứng minh: a) B A C sin sin( )   b) A B C cos( ) cos    c) A B C sin cos 2 2   d) B C A C cos( ) cos( 2 )     e) A B C C cos( ) cos2     f) A B C A 3 cos sin2 2      g) A B C C 3 sin cos 2    h) A B C C 2 3 tan cot 2 2    Bài 1. Tính các giá trị lượng giác của các góc sau: a) 0 0 0 15 ; 75 ; 105 b) 5 7 ; ; 12 12 12    Bài 2. Tính giá trị của biểu thức lượng giác, khi biết: a) khi 3 tan sin , 3 5 2                 ĐS: 38 25 3 11  b) khi 12 3 cos sin , 2 3 13 2                  ĐS: (5 12 3) 26  c) a b a b khi a b 1 1 cos( ).cos( ) cos , cos 3 4     ĐS: 119 144  d) a b a b a b sin( ), cos( ), tan( )    khi a b 8 5 sin , tan 17 12   và a, b là các góc nh ọn. ĐS: 21 140 21 ; ; . 221 221 220 e) a b a b tan tan , tan , tan  khi a b a b 0 , , 2 4       và a b tan .tan 3 2 2   . Từ đó suy ra a, b . ĐS: 2 2 2  ; a b a b tan tan 2 1, 8       Bài 3. Tính giá trị của các biểu thức lượng giác sau: a) A = o o o 2 2 2 sin 20 sin 100 sin 140   ĐS: 3 2 b) B = o o o 2 2 cos 10 cos110 cos 130   ĐS: 3 2 c) C = o o o o o o tan20 .tan80 tan80 .tan140 tan140 .tan20   ĐS: –3 d) D = o o o o o o tan10 .tan70 tan70 .tan130 tan130 .tan190   ĐS: –3 e) E = o o o o o cot 225 cot 79 .cot 71 cot 259 cot 251   ĐS: 3 f) F = o o 2 2 cos 75 sin 75  ĐS: 3 2  BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO. Trần Duy Tiến Sưu tầm 19 g) G = o 0 1 tan15 1 tan15   ĐS: 3 3 h) H = 0 0 tan15 cot15  ĐS: 4 HD: 0 0 0 0 0 0 40 60 20 ; 80 60 20     ; 0 0 0 0 0 0 50 60 10 ; 70 60 10     Bài 4. Chứng minh các hệ thức sau: a) x y x y x y 2 2 sin( ).sin( ) sin sin     b) x y x y x y x y 2sin( ) tan tan cos( ) cos( )       c) x x x x x x 2 2 tan .tan tan .tan tan .tan 3 3 3 3 3                                     d) x x x x 3 2 cos .cos cos .cos (1 3) 3 4 6 4 4                                    e) o o o o (cos70 cos50 )(cos230 cos290 )   o o o o (cos40 cos160 )(cos320 cos380 ) 0     f) x x x x x x 2 2 2 2 tan 2 tan tan .tan3 1 tan 2 .tan    Bài 5. Chứng minh các hệ thức sau, với điều kiện cho trước: a) a a b khi b a cos a b 2tan tan( ) sin sin . ( )     b) a a b khi b a b 2tan tan( ) 3sin sin(2 )     c) a b khi a b a b 1 tan .tan cos( ) 2cos( ) 3      d) k a b b khi a b k a k 1 tan( ).tan cos( 2 ) cos 1       HD: a) Chú ý: b = (a+b)–a b) Chú ý: b = (a+b)–a; 2a+b=(a+b)+a c) Khai triển giả thiết d) Chú ý: a+2b=(a+b)+a; a=(a+b)–b Bài 6. Cho tam giác ABC. Chứng minh: a) C A B B A sin sin .cos sin .cos   b) C A B A B A B 0 sin tan tan ( , 90 ) cos .cos    c) A B C A B C A B C 0 tan tan tan tan .tan .tan ( , , 90 )     d) A B B C C A cot .cot cot .cot cot .cot 1    e) A B B C C A tan .tan tan .tan tan .tan 1 2 2 2 2 2 2    f) A B C A B C cot cot cot cot .cot .cot 2 2 2 2 2 2    g) o C B B C A B A C A cos cos cot cot ( 90 ) sin .cos sin .cos     h) A B C A B C A B C A B C cos .cos .cos sin sin cos sin cos sin cos sin sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2    i) A B C A B C 2 2 2 sin sin sin 1 2sin sin sin 2 2 2 2 2 2     HD: a, b, c, d) Sử dụng (A + B) + C = 180 0 e, f) Sử dụng A B C 0 90 2 2 2          BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO. Trần Duy Tiến Sưu tầm 20 g) VT = VP = tanA h) Khai triển A B C cos 2 2 2         i) Khai triển A B C sin 2 2 2         . Chú ý: Từ B C A cos sin 2 2 2          B C A B C cos .cos sin sin .sin 2 2 2 2 2    A B C A A B C 2 sin .cos .cos sin sin .sin .sin 2 2 2 2 2 2 2   Bài 7. Cho tam giác A, B, C. Chứng minh: a) A B C ABC nhoïn tan tan tan 3 3, .      b) A B C ABC nhoïn 2 2 2 tan tan tan 9, .      c) A B C ABC nhoïn 6 6 6 tan tan tan 81, .      d) A B C 2 2 2 tan tan tan 1 2 2 2    e) A B C tan tan tan 3 2 2 2    HD: a, b, c) Sử dụng A B C A B C tan tan tan tan .tan .tan    và BĐT Cô–si d) Sử dụng a b c ab bc ca 2 2 2      và A B B C C A tan .tan tan .tan tan .tan 1 2 2 2 2 2 2    e) Khai triển A B C 2 tan tan tan 2 2 2         và sử dụng câu c) Bài 1. Biến đổi thành tổng: a) a b a b 2sin( ).cos( )   b) a b a b 2cos( ).cos( )   c) x x x 4sin3 .sin 2 .cos d) x x x 13 4sin .cos .cos 2 2 e) o o x x sin( 30 ).cos( 30 )   f) 2 sin .sin 5 5   g) x x x 2sin .sin2 .sin3 . h) x x x 8cos .sin2 .sin3 i) x x x sin .sin .cos2 6 6                 k) a b b c c a 4cos( ).cos( ).cos( )    Bài 2. Chứng minh: a) x x x x 4cos .cos cos cos3 3 3                  b) x x x x 4sin .sin sin sin3 3 3                  Áp dụng tính: o o o A sin10 .sin50 .sin70  o o o B cos10 .cos50 .cos70  C 0 0 0 sin20 .sin40 .sin80  D 0 0 0 cos20 .cos40 .cos80  Bài 3. Biến đổi thành tích: a) x 2sin4 2  b) x 2 3 4cos  c) x 2 1 3tan  d) x x x sin2 sin4 sin6   e) x x 3 4cos4 cos8   f) x x x x sin5 sin6 sin7 sin8    g) x x x 1 sin2 – cos2 – tan2  h) o o x x 2 2 sin ( 90 ) 3cos ( 90 )    BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO. Trần Duy Tiến Sưu tầm 21 i) x x x x cos5 cos8 cos9 cos12    k) x x cos sin 1   Bài 4. Rút gọn các biểu thức sau: a) x x x x A x x x x cos7 cos8 cos9 cos10 sin7 sin8 sin9 sin10        b) x x x B x x x sin2 2sin3 sin4 sin3 2sin4 sin5      c) x x x C x x 2 1 cos cos2 cos3 cos 2cos 1       d) x x x D x x x sin4 sin5 sin6 cos4 cos5 cos6      Bài 5. Tính giá trị của các biểu thức sau: a) A 2 cos cos 5 5     b) B 7 tan tan 24 24     c) o o o C 2 2 2 sin 70 .sin 50 .sin 10  d) o o o o D 2 2 sin 17 sin 43 sin17 .sin43    e) o o E 1 2sin70 2sin10   f) o o F 1 3 sin10 cos10   g) o o o o o o G tan80 cot10 cot 25 cot 75 tan25 tan75     h) H 0 0 0 0 tan9 tan27 tan63 tan81     ĐS: A 1 2  B 2( 6 3)   C 1 64  D 3 4  E = 1 F = 4 G = 1 H = 4 Bài 6. Tính giá trị của các biểu thức sau: a) 7 13 19 25 sin sin sin sin sin 30 30 30 30 30      ĐS: 1 32 b) o o o o o 16.sin10 .sin30 .sin50 .sin70 .sin90 ĐS: 1 c) o o o o cos24 cos48 cos84 cos12    ĐS: 1 2 d) 2 4 6 cos cos cos 7 7 7      ĐS: 1 2  e) 2 3 cos cos cos 7 7 7      ĐS: 1 2 f) 5 7 cos cos cos 9 9 9      ĐS: 0 g) 2 4 6 8 cos cos cos cos 5 5 5 5        ĐS: –1 h) 3 5 7 9 cos cos cos cos cos 11 11 11 11 11          ĐS: 1 2 Bài 7. Chứng minh rằng: a) o o o o tan9 tan27 tan63 tan81 4     b) o o o tan20 tan40 tan80 3 3    c) o o o o tan10 tan50 tan60 tan70 2 3     d) o o o o o 8 3 tan30 tan40 tan50 tan60 .cos20 3     e) o o o o o tan20 tan40 tan80 tan60 8sin40     BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO. Trần Duy Tiến Sưu tầm 22 f) o o o 6 4 2 tan 20 33tan 20 27tan 20 3 0     Bài 8. Tính các tổng sau: a) S n k 1 cos cos3 cos5 ... cos(2 1) ( )              b) n S n n n n 2 2 3 ( 1) sin sin sin ... sin .           c) n S n n n n 3 3 5 (2 1) cos cos cos ... cos .          d) S vôùi a a a a a a a 4 1 1 1 ... , . cos .cos2 cos2 .cos3 cos4 .cos5 5       e) n S x x x x 5 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 1 cos cos2 cos3 cos2                            ĐS: n S 1 sin2 2sin    ; S n 2 cot 2   ; S n 3 cos    ; a a S a 4 tan5 tan 1 5 sin     ; n x S x 1 5 tan2 tan 2   Bài 9. a) Chứng minh rằng: x x x 3 1 sin (3sin sin3 ) (1) 4   b) Thay n n n n a a a a x vaøo tính S 3 3 1 3 2 (1), sin 3sin ... 3 sin . 3 3 3 3       ĐS: n n n a S a 1 3 sin sin . 4 3         Bài 10. a) Chứng minh rằng: a a a sin2 cos 2sin  . b) Tính n n x x x P 2 cos cos ... cos . 2 2 2  ĐS: n n n x P x sin . 2 sin 2  Bài 11. a) Chứng minh rằng: x x x 1 cot cot sin 2   . b) Tính n n S k 1 1 1 1 1 ... (2 ) sin sin2 sin2             ĐS: n S 1 cot cot 2 2      Bài 12. a) Chứng minh rằng: x x x x 2 tan .tan2 tan2 2tan   . b) Tính n n n n a a a a a S a 2 2 1 2 2 1 tan .tan 2tan .tan ... 2 tan .tan 2 2 2 2 2       ĐS: n n n a S a tan 2 tan 2   Bài 13. Tính x 2 sin 2 , biết: x x x x 2 2 2 2 1 1 1 1 7 tan cot sin cos     ĐS: 8 9 BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO. Trần Duy Tiến Sưu tầm 23 Bài 14. Chứng minh các đẳng thức sau: a) x x x x cot tan 2tan2 4cot 4    b) x x x x 2 1 2sin 2 1 tan2 1 sin4 1 tan2      c) x x x x 2 6 6 2 1 3tan tan 1 cos cos    d) x x x x x x 1 sin2 cos2 tan4 cos4 sin2 cos2     e) x x x x x x tan6 tan4 tan2 tan2 .tan4 .tan6    f) x x x x x sin7 1 2cos2 2cos4 2cos6 sin     g) x x x x x x cos5 .cos3 sin7 .sin cos2 .cos4   Bài 15. a) Cho a b b sin(2 ) 5sin   . Ch ứng minh: a b a 2tan( ) 3 tan   b) Cho a b a tan( ) 3tan   . Chứng minh: a b a b sin(2 2 ) sin2 2sin2    Bài 16. Cho tam giác ABC. Chứng minh: a) A B C A B C sin sin sin 4cos cos cos 2 2 2    b) A B C A B C cos cos cos 1 4sin sin sin 2 2 2     c) A B C A B C sin2 sin2 sin2 4sin .sin .sin    d) A B C A B C cos2 cos2 cos2 1 4cos .cos .cos      e) A B C A B C 2 2 2 cos cos cos 1 2cos .cos .cos     f) A B C A B C 2 2 2 sin sin sin 2 2cos .cos .cos     Bài 17. Tìm các góc của tam giác ABC, biết: a) B C vaø B C 1 sin .sin . 3 2     ĐS: B C A , , 2 6 3       b) B C vaø B C 2 1 3 sin .cos . 3 4      ĐS: A B C 5 , , 3 12 4       Bài 18. Chứng minh điều kiện cần và đủ đê tam giác ABC vuông: a) A B C cos2 cos2 cos2 1     b) A B C tan2 tan2 tan2 0    c) b c a B C B C cos cos sin .sin   d) B a c b cot 2   Bài 19. Chứng minh điều kiện cần và đủ đê tam giác ABC cân: a) A B a A b B a b tan tan ( ) tan 2     b) B C B C 2 2tan tan tan .tan   c) A B A B A B sin sin 1 (tan tan ) cos cos 2     d) C A B C 2sin .sin cot 2 sin  Bài 20. Chứng minh bất đẳng thức, từ đó suy ra điều kiện cần và đủ đê tam giác ABC đều: a) A B C 3 3 sin sin sin 2    HD: Cộng sin 3  vào VT. b) A B C 3 cos cos cos 2    HD: Cộng cos 3  vào VT. c) A B C tan tan tan 3 3    (với A, B, C nhọn) BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO. Trần Duy Tiến Sưu tầm 24 d) A B C 1 cos .cos .cos 8  HD: Biến đổi A B C 1 cos .cos .cos 8  về dạng hằng đẳng thức. Bài 5. Tính giá trị của biểu thức lượng giác, khi biết: a) khi 5 3 cos2 , sin2 , tan2 cos , 13 2            b) khi cos2 , sin2 , tan2 tan 2      c) khi 4 3 sin , cos sin2 , 5 2 2           d) khi 7 cos2 , sin2 , tan2 tan 8      Bài 6. Tính giá trị của biểu thức sau: a) o o o o A cos20 .cos40 .cos60 .cos80  ĐS: 1 16 b) o o o B sin10 .sin50 .sin70  ĐS: 1 8 c) C 4 5 cos .cos .cos 7 7 7     ĐS: 1 8 d) D 0 0 0 cos10 .cos50 .cos70  ĐS: 3 8 e) o o o o E sin6 .sin42 .sin66 .sin78  ĐS: 1 16 f) G 2 4 8 16 32 cos .cos .cos .cos .cos 31 31 31 31 31       ĐS: 1 32 h) o o o o o H sin5 .sin15 .sin25 .... sin75 .sin85  ĐS: 2 512 i) I 0 0 0 0 0 cos10 .cos20 .cos30 ...cos70 .cos80  ĐS: 3 256 k) K 96 3sin .cos .cos cos cos 48 48 24 12 6       ĐS: 9 l) L 2 3 4 5 6 7 cos .cos .cos .cos .cos .cos .cos 15 15 15 15 15 15 15         ĐS: 1 128 m) M sin .cos .cos 16 16 8     ĐS: 2 8 Bài 7. Chứng minh rằng: a) n n n a a a a a P a 2 3 sin cos cos cos ... cos 2 2 2 2 2 .sin 2   b) n n Q n n n 2 1 cos .cos ... cos 2 1 2 1 2 1 2         c) n R n n n 2 4 2 1 cos .cos ... cos 2 1 2 1 2 1 2          BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO. Trần Duy Tiến Sưu tầm 25 Bài 8. Chứng minh các hệ thức sau: a) x x 4 4 3 1 sin cos cos4 4 4    b) x x x 6 6 5 3 sin cos cos4 8 8    c) x x x x x 3 3 1 sin .cos cos .sin sin4 4   d) x x x x 6 6 2 1 sin cos cos (sin 4) 2 2 4    e) x x 2 1 sin 2sin 4 2           f) x x x 2 2 1 sin 1 2cot .cos 4 4                   g) x x x 1 cos 2 tan . 1 4 2 sin 2                           h) x x x 1 sin2 tan 4 cos2           i) x x x cos cot 1 sin 4 2           k) x x x x x x 2 2 2 2 tan 2 tan tan .tan3 1 tan .tan 2    l) x x x tan cot 2cot   m) x x x 2 cot tan sin2   n) x x vôùi x 1 1 1 1 1 1 cos cos , 0 . 2 2 2 2 2 2 8 2        BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG VI Bài 9. Chứng minh các đẳng thức sau: a) x x x x x x x 2 2 4 4 2 2 4 sin cos cos tan cos sin sin      b) x x x x x 2 (tan2 tan )(sin2 tan ) tan    c) x x x x 2 2 6 2cos4 tan cot 1 cos4     d) x x x x x x 1 cos 1 cos 4cot 1 cos 1 cos sin       e) x x x x x x 2 2 sin cos 1 sin .cos 1 cot 1 tan      f) x x x 0 0 cos cos(120 ) cos(120 ) 0      g) x x x x x 2 cos 2cos 4 tan 2sin 2 sin 4                    h) x x x x x 2 2 2 2 3 cot cot 2 2 8 3 cos .cos . 1 cot 2 2          BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO. Trần Duy Tiến Sưu tầm 26 i) x x x x 6 6 2 1 cos sin cos2 1 sin 2 4          k) x x x x 4 4 cos sin sin2 2 cos 2 4            Bài 10. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x: a) x x x x 4 4 6 6 3(sin cos ) 2(sin cos )    b) x x x x x x 6 4 2 2 4 4 cos 2sin cos 3sin cos sin    c) x x x x 3 cos .cos cos .cos 3 4 6 4                                  d) x x x 2 2 2 2 2 cos cos cos 3 3                   Bài 11. a) Chứng minh: 1 cot cot 2 sin2      . b) Chứng minh: x x x x x x 1 1 1 1 cot cot16 sin2 sin4 sin8 sin16      . Bài 12. a) Chứng minh: tan cot 2cot 2      . b) Chứng minh: n n n n x x x x x 2 2 1 1 1 1 tan tan ... tan cot cot 2 2 2 2 2 2 2 2      . Bài 13. a) Chứng minh: x x x 2 2 2 1 4 1 4cos sin 2 4sin   . b) Chứng minh: n n n n x x x x x 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 ... sin 4cos 4 cos 4 cos 4 sin 2 2 2 2      . Bài 14. a) Chứng minh: x x x 3 1 sin (3sin sin3 ) 4   . b) Chứng minh: n n n n x x x x x 3 3 1 3 2 1 sin 3sin ... 3 sin 3 sin sin 3 4 3 3 3             . Bài 15. a) Chứng minh: 1 tan2 1 cos2 tan      . b) Chứng minh: n n x x x 2 1 1 1 tan2 1 1 ... 1 cos2 tan cos2 cos2                       . Bài 16. a) Chứng minh: sin2 cos 2sin     . b) Chứng minh: n n n x x x x x 2 sin cos .cos ...cos 2 2 2 2 sin 2  . BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO. Trần Duy Tiến Sưu tầm 27 Bài 17. Đơn giản các biểu thức sau: a) o o o o o o o o o A tan3 .tan17 .tan23 .tan37 .tan43 .tan57 .tan63 .tan77 .tan83  b) B 2 4 6 8 cos cos cos cos 5 5 5 5         c) C 11 5 sin .cos 12 12    d) D 5 7 11 sin .sin .sin .sin 24 24 24 24      HD: a) o A tan27  . Sử dụng x x x x 0 0 tan .tan(60 ).tan(60 ) tan3    . b) B = –1 c) C 1 3 2 4   d) D 1 16  Bài 18. Chứng minh: a) 2 3 1 cos cos cos 7 7 7 2       b) o o 3 2 8sin 18 8sin 18 1   c) 8 4tan 2tan tan cot 8 16 32 32         d) o o 1 1 4 3 cos290 3.sin250   e) o o o o o 8 3 tan30 tan40 tan50 tan60 cos20 3     f) o o o o o 3 1 cos12 cos18 4cos15 .cos21 .cos24 2      g) o o o o tan20 tan40 3.tan20 .tan40 3    h) 3 9 1 cos cos ... cos 11 11 11 2        i) 2 4 10 1 cos cos ... cos 11 11 11 2         Bài 19. a) Chứng minh: x x x x x 1 sin .cos .cos2 .cos4 sin8 8  . b) Áp dụng tính: A 0 0 0 0 sin6 .sin42 .sin66 .sin78  , B 3 5 cos .cos .cos 7 7 7     . Bài 20. a) Chứng minh: x x x 4 3 1 1 sin cos2 cos4 8 2 8    . b) Áp dụng tính: S 4 4 4 4 3 5 7 sin sin sin sin 16 16 16 16         . ĐS: S 3 2  BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO. Trần Duy Tiến Sưu tầm 28 Bài 21. a) Chứng minh: x x x 1 cos2 tan sin2   . b) Áp dụng tính: S 2 2 2 3 5 tan tan tan 12 12 12       . Bài 22. Không dúng máy tính, hãy tính giá trị các biểu thức sau: a) 0 0 sin18 , cos18 b) A 2 0 2 0 0 0 cos 18 .sin 36 cos36 .sin18   c) B 2 0 2 0 sin 24 sin 6   d) C 0 0 0 0 0 0 0 0 0 sin2 .sin18 .sin22 .sin38 .sin42 .sin58 .sin62 .sin78 .sin82  HD: a) 0 5 1 sin18 4   . Chú ý: 0 0 sin54 cos36   0 0 sin(3.18 ) cos(2.18 )  b) A 1 16  c) B 5 1 4   d) C 5 1 1024   . Sử dụng: x x x x 0 0 1 sin .sin(60 ).sin(60 ) sin3 4    Bài 23. Chứng minh rằng: a) Nếu a b cos( ) 0   thì a b a sin( 2 ) sin   . b) Nếu a b b sin(2 ) 3sin   thì a b a tan( ) 2tan   . Bài 24. Chứng minh rằng trong tam giác ABC, ta có: a) b B c C a B C cos cos cos( )    b) S R A B C 2 2 sin .sin .sin  c) S R a A b B c C 2 ( cos cos cos )    d) A B C r R 4 sin sin sin 2 2 2  Bài 25. Chứng minh rằng: a) Nếu B C A B C sin sin sin cos cos    thì tam giác ABC vuông tại A. b) Nếu B B C C 2 2 tan sin tan sin  thì tam giác ABC vuông hoặc cân. c) Nếu B A C sin 2cos sin  thì tam giác ABC cân.