ĐẠI HỌC THÁI NGUN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - - - - - - - - - - - - - - - - - - Lê Quang Việt MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP VÀ KỸ THUẬT ĐẾM CƠ BẢN TRONG LÝ THUYẾT TỔ HỢP VÀ ÁP DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC Chun ngành: PHƯƠNG PHÁP TỐN SƠ CẤP Mã số: 60460113 Người hướng dẫn khoa học GS. TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU THÁI NGUN - NĂM 2013 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 1 . Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 2 Mục lục Mở đầu 4 Lời cảm ơn 5 1 Các quy tắc đếm cơ bản trong tổ hợp 6 1.1 Một số kiến thức cơ bản của tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.1 Tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2 Cơng thức tính lực lượng của tập hợp . . . . . . . . . 7 1.1.3 Cơng thức bao hàm và loại trừ . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Hai quy tắc cơ bản của phép đếm . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.1 Quy tắc cộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.2 Quy tắc nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3 Hốn vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.1 Hốn vị khơng lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.2 Hốn vị có lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4 Chỉnh hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4.1 Chỉnh hợp khơng lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4.2 Chỉnh hợp có lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.5 Tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.5.1 Tổ hợp khơng lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.5.2 Tổ hợp có lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.5.3 Khai triển lũy thừa của nhị thức . . . . . . . . . . . . 22 1.5.4 Tính số phần tử của một tập hợp các tập hợp . . . . . 23 2 Các phương pháp đếm sử dụng hàm sinh 27 2.1 Chuỗi lũy thừa hình thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.1.2 Các phép tốn trên C N . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2 Phương pháp đếm bằng hàm sinh thơng thường . . . . . . . . 30 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 3 2.2.1 Định nghĩa hàm sinh thường . . . . . . . . . . . . . 30 2.2.2 Sử dụng hàm sinh thường để giải các bài tốn đếm . 33 2.3 Phương pháp đếm bằng hàm sinh mũ . . . . . . . . . . . . . 37 2.3.1 Định nghĩa hàm sinh mũ . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.3.2 Sử dụng hàm sinh mũ để giải các bài tốn đếm . . . 37 3 Phương pháp đếm bằng các cơng thức nghịch đảo 40 3.1 Cơng thức nghịch đảo các đồng nhất thức tổ hợp . . . . . . . 43 3.2 Cơng thức nghịch đảo nhị thức . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.3 Cơng thức nghịch đảo Stirling . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.4 Cơng thức sàng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 4 Mở đầu Trong lý thuyết tổ hợp các phép đếm ln chiếm một phần vơ cùng quan trọng và có ứng dụng vơ cùng đa dạng. Các phương pháp đếm số lượng phần tử của một tập hợp đóng vai trò quan trọng trong một số mơn khoa học, đặc biệt là Tin học và Tốn học ứng dụng. Đối với chương trình tốn phổ thơng các phương pháp đếm ln là chun đề quan trọng và hết sức cần thiết trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi Tốn ở bậc học phổ thơng, đồng thời các ứng dụng đa dạng của nó cũng ln đem lại sự hấp dẫn đối với nhiều đối tượng học sinh và giáo viên khi nghiên cứu vấn đề này. Mục tiêu của Luận văn " Một số phương pháp và kĩ thuật đếm cơ bản trong lý thuyết tổ hợp và áp dụng" nhằm trình bày một số phép đếm cơ bản nhất và những ứng dụng của nó nhằm tạo ra được một đề tài phù hợp cho việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh trung học phổ thơng. Luận văn bao gồm phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và 3 Chương. Chương 1 trình bày tóm tắt một số kiến thức cơ bản của tổ hợp và các quy tắc cơ bản của phép đếm. Trong chương này cũng trình bày một số ví dụ và các bài tốn về tính lực lượng tập hợp, bài tốn về khai triển nhị thức. Chương 2 trình bày các phương pháp đếm bằng hàm sinh thơng thường và phương pháp đếm bằng hàm sinh mũ cùng các ví dụ áp dụng. Chương 3 trình bày các phương pháp đếm bằng các cơng thức nghịch đảo các đồng nhất thức tổ hợp bao gồm cơng thức nghịch đảo nhị thức, nghịch đảo Stirling, cơng thức sàng và các ví dụ áp dụng. Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 5 Lời cảm ơn Trong suốt q trình làm luận văn, tơi ln nhận được sự hướng dẫn và giúp đỡ tận tình của GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu. Tơi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến thầy. Trong q trình học tập tơi cũng đã nhận được sự quan tâm giúp đỡ và sự giảng dạy nhiệt tình của các Thầy, các Cơ dạy lớp cao học tốn K5B (2011 -2013), tơi xin được bày tỏ lòng biết ơn đến các Thầy, các Cơ. Tơi xin chân thành cảm ơn các Thầy cơ trong BGH trường ĐH Khoa Học - ĐH Thái Ngun đã tạo kiều kiện thuận lợi cho tơi trong suốt thời gian học cao học. Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp của q thầy, cơ và bạn đọc để luận văn được hồn thiện hơn. Xin trân trọng cảm ơn ! Hải phòng, tháng 5 năm 2013 Người viết Luận văn Lê Quang Việt Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 6 Chương 1 Các quy tắc đếm cơ bản trong tổ hợp 1.1 Một số kiến thức cơ bản của tổ hợp 1.1.1 Tập hợp Khái niệm về tập hợp Tập hợp ( còn gọi là tập ) là một khái niệm cơ bản của tốn học, khơng định nghĩa. Giả sử cho tập hợp A. Để chỉ a là một phần tử của tập hợp A, ta viết a ∈ A ( đọc là a thuộc A). Để chỉ a khơng là một phần tử của tập hợp A, ta viết a /∈ A ( đọc là a khơng thuộc A). Một tập hợp được coi là xác định nếu ta có thể chỉ ra được tất cả các phần tử của nó. Các cách xác định tập hợp: Tập hợp được xác định bằng một trong hai cách sau: - Liệt kê chúng(thường dùng để biểu thị các tập hữu hạn). Ví dụ: Tập các số tự nhiên chẵn nhỏ hơn 10 A = {0, 2, 4, 6, 8} - Chỉ ra tính chất đặc trưng của chúng. Ví dụ: B =  x ∈ Z|x 2 − 3x + 2 ≥ 0  Tập con. - Tất cả các phần tử của tập B đều thuộc tập A thì ta nói tập B là tập con của tập A và viết B ⊆ A - Trường hợp B ⊆ A và B = A thì B được gọi là tập con khơng tầm thường Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 7 (hay tập con thực sự) của tập A và viết B ⊂ A Tập rỗng -Tập hợp rỗng (hay tập hợp trống) là tập hợp khơng chứa một phần tử nào và thường được ký hiệu là ∅ - Quy ước tập rỗng là con của bất kỳ tập nào Hợp, giao, hiệu và phần bù của hai tập hợp. Giả sử có các tập A, B. - Tập hợp gồm các phần tử hoặc thuộc tập A hoặc thuộc tập B được gọi là hợp của tập A và tập B và ký hiệu là A ∪ B hoặc A ∨ B. - Tập hợp gồm các phần tử thuộc đồng thời cả tập A và tập B được gọi là giao của tập A và tập B ký hiệu là A ∩ B hoặc A ∧ B. - Tập hợp gồm các phần tử thuộc tập A mà khơng thuộc tập B được gọi là hiệu của tập A và tập B. Kí hiệu A\B - Trường hợp tập B là tập con của tập A. Hiệu của tập A và tập B được gọi là tập phần bù (hay phần bù) của tập B (đối với tập A) và ký hiệu hoặc bằng hoặc bằng C A (B) hoặc bằng C (B). Lực lượng của tập hợp. Giả sử có tập A. Số phần tử trong tập A được gọi là lực lượng của tập A, ký hiệu là |A|. 1.1.2 Cơng thức tính lực lượng của tập hợp Với hai tập hợp V 1 , V 2 ta có |V 1 ∪ V 2 | = |V 1 | + |V 2 | − |V 1 ∩ V 2 |. (1.1) Với ba tập hợp V 1 , V 2 , V 3 ta có |V 1 ∪ V 2 ∪ V 3 | = |V 1 | + |V 2 | + |V 3 | − |V 1 ∩ V 2 | − |V 2 ∩ V 3 | − |V 1 ∩ V 3 | + |V 1 ∩ V 2 ∩ V 3 |. (1.2) Tổng qt với các tập tùy ý V 1 , V 2 , . . . , V n bằng phương pháp quy nạp Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 8 theo n (n ≥ 2) ta có cơng thức      n  i=1 V i      = n  i=1 | V i | −  i=j | V i ∩ V j | + | V 1 ∩ V 2 ∩ V 3 | + | V 1 ∩ V 2 ∩ V 4 | + ··· + | V n−2 ∩ V n−1 ∩ V n | − ··· − (−1) n | V 1 ∩ V 2 ∩··· ∩ V n |. (1.3) Ví dụ 1.1 (Tài liệu tập huấn phát triển chun mơn giáo viên trường THPT Chun - 2012). Chứng minh rằng bản báo cách thành tích cuối năm của một lớp sau đây là sai. "Lớp có 45 học sinh, trong đó có 30 em nam. Lớp có 30 em đạt loại giỏi và trong số này có 16 nam. Lớp có 25 em chơi thể thao và trong số này có 18 em nam và 17 em đạt loại giỏi. Có 15 em nam vừa đạt loại giỏi và chơi thể thao." Giải. Kí hiệu : V = 45 là tổng số học sinh của lớp V 1 số học sinh nam V 2 số học sinh đạt giỏi V 3 số học sinh chơi thể thao. Khi đó |V 1 ∪ V 2 ∪ V 3 | = |V 1 |+|V 2 |+|V 3 |−|V 1 ∩ V 2 |−|V 2 ∩ V 3 |−|V 1 ∩ V 3 |+|V 1 ∩ V 2 ∩ V 3 | = (30 + 30 + 25) − 16 − 18 − 17 + 15 = 49 > 45 = |V | Vậy bản báo cáo thành tích của lớp đó là sai. Ví dụ 1.2 (VMO 2005, Bảng B). Tìm kết quả học tập của một lớp học, người ta thấy: hơn 2 3 số học sinh đạt điểm giỏi ở mơn Tốn cũng đồng thời đạt điểm giỏi ở mơn Vật Lý ; hơn 2 3 số học sinh đạt điểm giỏi ở mơn Vật Lý cũng đồng thời đạt điểm giỏi ở mơn Ngữ văn; hơn 2 3 số học sinh đạt điểm giỏi ở mơn Ngữ Văn cũng đồng thời đạt điểm giỏi ở mơn Lịch sử; hơn 2 3 số học sinh đạt điểm giỏi ở mơn Lịch Sử cũng đồng thời đạt điểm giỏi ở mơn Tốn. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một học sinh đạt điểm giỏi ở cả bốn mơn nêu trên. Giải. Ký hiệu T, L, V, S lần lượt là tập hợp các học sinh đạt điểm giỏi ở mơn Tốn, Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 9 Vật Lý, Ngữ Văn, Lịch Sử. Đặt T l = T ∩L, L v = L ∩V, V s = S ∩ V . Từ giả thiết suy ra: |T l | > 2 3 |T |, |L v | > 2 3 |L|, |V s | > 2 3 |V | Ta cần chứng minh : |T ∩L ∩V ∩S| > 0. Vì T ∩ L ∩ V ∩ S = (T ∩ L) ∩ (L ∩V ) ∩ (V ∩ S) nên ta cần chứng minh |(T ∩L) ∩(L ∩V ) ∩(V ∩ S)| > 0. Thật vậy, khơng mất tính tổng qt, giả sử |T | ≥ |L| ≥ |V | ≥ |S|. Ta có |T l ∩ L v ∩ V s | = |(T l ∩ L v ) ∩ V s | = |T l ∩ L v | + |V s | − |(T l ∩ L v ) ∪ V s | = |T l | + |L v | + |V s | − |T l ∪ L v | − |(T l ∩ L v ) ∪ V s | > 2 3 |T |+ 2 3 |L| + 2 3 |V | − |L| − |V | = 2 3 |T |− 1 3 |L| − 1 3 |V | ≥ 2 3 |T |− 1 3 |T |− 1 3 |T | = 0. Vậy ta có điều phải chứng minh. 1.1.3 Cơng thức bao hàm và loại trừ Cho V là tập hữu hạn và V 1 ⊂ V . Ta sẽ có V 1 = V \V 1 Khi đó   V 1   = |V | − |V 1 |. (1.4) Cho tập hợp V và V 1 , V 2 ⊂ V . Khi đó   V 1 ∩ V 2   = |V | − |V 1 ∪ V 1 | = |V | − |V 1 | − |V 1 | + |V 1 ∩ V 1 |. (1.5) Cho tập hợp V và V 1 , V 2 , V 3 ⊂ V . Khi đó.   V 1 ∩ V 2 ∩ V 3   = |V | − |V 1 ∪ V 2 ∪ V 3 | = |V |−|V 1 |−|V 2 |−|V 3 |+ |V 1 ∩ V 2 |+ |V 2 ∩ V 3 |+ |V 1 ∩ V 3 |−|V 1 ∩ V 2 ∩ V 3 |. (1.6) Tổng qt với các tập tùy ý V 1 , V 2 , . . . , V n ⊂ V bằng phương pháp quy nạp theo n (n ≥ 2) ta có cơng thức      n  i=1 V i      = |V | − n  i=1 | V i | +  i=j | V i ∩ V j | − | V 1 ∩ V 2 ∩ V 3 | − | V 1 ∩ V 2 ∩ V 4 | −··· − | V n−2 ∩ V n−1 ∩ V n | + ··· + (−1) n | V 1 ∩ V 2 ∩··· ∩ V n |. (1.7) Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ [...]... chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số chia hết cho 5 gồm 11 chữ số, trong đó chữ số 1 có mặt 4 lần, chữ số 2 có mặt 3 lần, chữ số 3 có mặt 2 lần, chữ số 4 có mặt 1 lần và tổng số lần xuất hiện của chữ số 0 và chữ số 5 là 1 Giải Gọi số cần lập là n = a1 a2 a3 a11 Do n chia hết cho 5 nên n phải tận cùng bằng 0 hoặc 5 Vì tổng số lần xuất hiện trong n của 0 và 5 bằng 1 nên nếu n tận cùng Số hóa... 1.13 Một lớp học có 25 học sinh Muốn chọn ra một lớp trưởng, một lớp phó và một thủ quỹ mà khơng cho kiêm nhiệm Hỏi có bao nhiêu cách chọn ? Giải Mỗi cách chọn tra một lớp trưởng, một lớp phó và một thủ quỹ là một chỉnh hợp chập ba 3 của tập 25 phần tử Số các chỉnh hợp là : A3 = 25 25! = 13800 (25 − 3)! Vậy có 13800 cách chọn ra một lớp trưởng, một lớp phó và một thủ quỹ trong lớp học có 25 học sinh Số. .. các số 1,2,3,4,5 ta có P5 = 5! = 120 Nếu sắp sếp 6 chữa số trên thành số có 6 chữ số trong đó có cả trường hợp số 0 đứng vị trí đầu tiên ta sẽ có P6 = 6! = 720 Vậy tổng số các số tự nhiên có 6 chữa số cần lập là : P6 − P5 = 600 số Ví dụ 1.10 ([1], Chun đề chọn lọc tổ hợp và tốn rời rạc - Nguyễn Văn Mậu) Cho tập S = {1, 2, , n} với n ≥ 1 và f là một hốn vị của tập S Phẩn tử i của S được gọi là một. .. Từ các chữ số 0,1,2,3,4 có thể lập được bao nhiêu số có bảy chữ số trong đó chữ số 4 có mặt đúng ba lần, còn các chữ số khác có mặt đúng một lần Giải Gọi n = a1 a2 a3 a7 (ai ∈ X = {0, 1, 2, 3, 4, 4, 4}) là số cần lập Áp dụng cơng thức ta có số n được lập kể cả các số n có dạng 0a2 a3 a7 là 7! 3! Số các số n có dạng 0a2 a3 a7 là 6! 3! Vậy số các số n đúng u cầu bài tốn là : 7! − 6! = 720 số 3! 3! Ví... 5 là số chẵn khi và chỉ khi d bằng 2 Mặt khác a, b, c có thể bằng nhau, nên y = abc là một chỉnh hợp lặp chập 3 của bốn phần tử 1, 2, 3, 5 Để thành lập số x ta chỉ cần lấy một số y nào đó rồi thêm 2 vào cuối Bởi vậy, số các số x = abc2 bằng các số y = abc và bằng A3 = 43 = 64 4 Chẳng hạn 1112, 1122, 1132, 1152, , 5542, 5552 Ví dụ 1.17 ( Bài tốn đếm số các hàm từ một tập hữu hạn vào một tập Số hóa... cách chia một lớp 40 học sinh thành bốn tổ, sao cho mỗi tổ có đúng 10 học sinh Giải Đầu tiên lập tổ 1 bằng cách chọn tùy ý 10 học sinh trong 40 học sinh của lớp, nên số cách chọn bằng đúng số tổ hợp chập 10 của 40 phần tử, tức bằng 40 40! 10 = 10!30! Tổ 2 có thể chọn 10 em tùy ý trong 30 em còn lại, nên số cách thành lập tổ 30 30! 2 sẽ bằng số tổ hợp chập 10 của 30 phần tử, tức bằng 10 = 10!20! Số hóa... 1+ 5 2 − Số hóa bởi trung tâm học liệu  √ 1+ 5 1 √  2 5 √ j 1− 5 2 √ j − 1− 5 2 j   xj cho mọi j = 0, 1, 2, http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 33 2.2.2 Sử dụng hàm sinh thường để giải các bài tốn đếm Phương pháp Giả sử các cấu hình tổ hợp dang cần đếm phụ thuộc vào số tự nhiên j Ta kí hiệu số các cấu hình tổ hợp này bằng aj và muốn tính được aj bằng một biểu thức dễ thực hiện chỉ phụ thuộc vàoj ở dạng... Từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên (số ngun khơng âm); mà trong mỗi số này các chữ số khơng lặp lại Giải Vì có 6 chữ số khác nhau, nên số dài nhất trong các số cần tìm cũng chỉ gồm 6 chữ số Ta lập các loại số tự nhiên dạng a1 a2 an Dùng S1 để kí hiệu tập số dạng a1 Dùng S2 để kí hiệu tập số dạng a1 a2 Dùng S3 để kí hiệu tập số dạng a1 a2 a3 Dùng S4 để kí hiệu tập số dạng... với |N | = n và |M | = m bằng An = mn m 1.5 1.5.1 Tổ hợp Tổ hợp khơng lặp Định nghĩa 1.5 Cho tập A gồm n phần tử Mỗi tập con gồm k (0 ≤ k ≤ n) phần tử thuộc A được gọi là tổ hợp chập k của n phần tử đã cho Nhận xét 1.1 Hai tổ hợp được coi là khác nhau khi và chỉ khi có ít nhất một phần tử khác nhau n Số tổ hợp chập k (0 ≤ k ≤ n) của n phần tử, được kí hiệu là k và được n n! tính theo cơng thức k =... của n phần tử thuộc A là một bộ gồm m phần tử, mà mỗi phần tử này là một trong những phần tử của A n ∗ Ta sử dụng m để kí hiệu số tổ hợp lặp chập m của n phần tử n ∗ Khi đó: m = n+m−1 m Ví dụ 1.19 (Lý thuyết tổ hợp và đồ thì - Ngơ Đắc Tân) Tại Việt Nam hiện đang có bán 10 loại máy vi tính khác nhau mà ta gọi là loại máy 1, , loại máy 10 Một cơ quan muốn mua 5 máy vi tính Hỏi cơ quan có bao nhiêu sự . " Một số phương pháp và kĩ thuật đếm cơ bản trong lý thuyết tổ hợp và áp dụng& quot; nhằm trình bày một số phép đếm cơ bản nhất và những ứng dụng của nó nhằm tạo ra được một đề tài phù hợp cho. - - - - - - Lê Quang Việt MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP VÀ KỸ THUẬT ĐẾM CƠ BẢN TRONG LÝ THUYẾT TỔ HỢP VÀ ÁP DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC Chun ngành: PHƯƠNG PHÁP TỐN SƠ CẤP Mã số: 60460113 Người hướng dẫn. Việt Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 6 Chương 1 Các quy tắc đếm cơ bản trong tổ hợp 1.1 Một số kiến thức cơ bản của tổ hợp 1.1.1 Tập hợp Khái niệm về tập hợp Tập hợp (