I.ĐẶT VẤN ĐỀ Lý chọn đề tài: Bồi dưỡng nhân tài, phát triển nguồn nhân lực nhiệm vụ vô quan trọng mà Đảng Nhà nước giao cho ngành Giáo dục Vì lẽ Bộ Giáo dục & Đào Tạo nói chung, trường THPT nói riêng quan tâm đến việc phát hiện, bồi dưỡng học sinh khá, giỏi Trong năm gần số lượng chất lượng giải kì thi học sinh giỏi ngày tăng kết đầu tư, quan tâm cấp quản lí giáo dục Đối với mơn Tốn, mơn học quan trọng việc bồi dưỡng học sinh khá, giỏi xem trọng Chủ đề “Bất đẳng thức” nội dung thiếu việc bồi dưỡng học sinh khá, giỏi Trong kì Đại học – Cao Đẳng, nội dung bất đẳng thức thường nội dung giúp phân loại, chọn lựa học sinh khá, giỏi Đối với hầu hết giáo viên học sinh THPT xem “Bất đẳng thức” nội dung khó dạy, khó học Tuy nhiên học sinh học tốt chủ đề “Bất đẳng thức” phát huy tốt khả tư sáng tạo từ học tốt chủ đề khác, môn học khác Thực tiễn qua q trình dạy học tơi nhận thấy nhiều học sinh khơng thích học chủ đề “Bất đẳng thức” chủ yếu chưa có phương pháp học tập phù hợp cộng với tâm lý ngại sợ học nội dung Bất đẳng thức Bunhiacopxki bất đẳng thức kinh điển Toán học Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki công cụ hay, hữu hiệu để giải nhiều toán liên quan đến bất đẳng thức Học sinh THPT thường yếu kĩ vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki nên việc tăng cường rèn luyện kĩ vận dụng bất đẳng thức cho học sinh việc làm thiết thực Những lí nêu với kết tích cực từ thực tiễn dạy học chủ đề “Bất đẳng thức” thân sở để chọn đề tài nghiên cứu: “Rèn luyện kĩ vận dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki bồi dưỡng học sinh khá, giỏi THPT” II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Cơ sở lí luận đề tài a Các tính chất bất đẳng thức 1/ a > b b > c ⇒ a > c 2/ a > b ⇒ a + c > b +c Hệ quả: a > b + c ⇔ a - c > b 3/ a > b c > d ⇒ a + c > b + d 4/ a > b ⇔ ac > bc ( c > ); ac < bc ( c < ) 5/ a > b > bà c > d > ⇒ ac > bd 6/ a > b > 0, n nguyên dương ⇒ a n > b n 7/ a > b > 0, n nguyên dương ⇒ n a > n b Hệ quả: a > b ≥ 0: a ≥ b ⇔ a ≥ b ⇔ a ≥ b 8/ a > b, ab > ⇒ a < b 9/ + a > 1, m n nguyên dương, m > n ⇒ a m > a n + < a < 1, m n nguyên dương, m > n ⇒ a m < a n b Bất đẳng thức Bunhiacopxki * Bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng đơn giản Cho số dương a, b, c, d ta có bất đẳng thức: (ab + cd ) ≤ ( a + c )(b + d ) (1) Dấu “=” xảy ad = bc * Bất đẳng thức Bunhiacopxki với hai dãy số không âm Cho hai dãy số khơng âm a1,a2,…và b1,b2,…bn ta có: (a1b1+ a2b2 + …+ anbn)2 ≤ (a12 +a22 + …+ an2)(b12 +b22 + …+bn2) (2) Dấu xẩy ⇔ a a1 a = = = n b1 b2 bn (với quy ước mẫu tử 0) c Bất đẳng thức Bunhiacovski mở rộng: Cho m dãy số thực khơng âm, dãy có n phần tử: a , a , , a   b , b , , b   n n m dãy  c1, c2 , , cn  Khi ta có bất đẳng thức sau: ( a1b1 c1 + a2 b2 c2 + + an bn cn ) m ≤ (a1m + am + + am) (b1m + bm + + bm) … (c + c n n m m m + + cn ) (3) Dấu đẳng thức xẩy khi: a1: b1:…:c1 = a2: b2:…: c2 =…= an: bn:…: cn Nhận xét: Bằng cách cho m;n giá trị cụ thể ta thu được: + Với m=2; n=2 thì: ( a1b1 + a2 b2) ≤ (a12 + a2) (b12 + b2) 2 Dạng (1) + m=2; n∈ N n>2 ta có bất đẳng thức: ( a1b1 + a2 b2 + + an bn ) ≤ (a12 + a2 + + a2 ) (b12 + b2 + + b2 ) n n ⇒ Dạng (2) + m=3; n=3 ta có: ( a1b1 c1 + a2 b2 c2 + a3 b3 c3) ≤ (a13 + a3 + a3) (b13 + b3 + b3) (c13 + c3 + c3) 3 (4) ………………………………… Thực trạng đề tài: Qua q trình thực tiễn dạy học tơi nhận thấy dạy học chủ đề “Bất đẳng thức” nói chung, dạy học bất đẳng thức Bunhiacopxki nói riêng có thực trạng sau: + Đa số học sinh ngại chí “sợ” giải tốn bất đẳng thức Từ tâm lý ngại sợ dẫn đến tình trạng học sinh không tâm học chủ đề “ Bất đẳng thức”, nhiều học sinh gặp toán bất đẳng thức bỏ, không chịu tư để giải toán + Việc áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki học sinh đa số dừng lại mức nhận biết, học sinh thục kỹ sáng tạo vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki vào giải tốn + Nhiều thầy giáo chưa thực quan tâm đầu tư dạy học chủ đề “Bất đẳng thức” nói chung, dạy học bất đẳng thức Bunhiacopxki nói riêng + Bất đẳng thức Bunhiacopxki khơng dạy chương trình SGK, giới thiệu dạng đơn giản (dạng (1)) số tiết theo phân phối chương trình dành cho chủ đề “ Bất đẳng thức” nên ảnh hưởng khơng nhỏ đến việc dạy học chủ đề + Chủ đề “ Bất đẳng thức” thường dành ưu tiên đề bồi dưỡng học sinh khá, giỏi nên khó để giáo viên tổ chức dạy học lớp có nhiều đối tượng học sinh 3.Giải pháp tổ chức thực Khi dạy học chủ đề “bất đẳng thức” cho học sinh dành phần thời lượng chương trình để tập trung rèn luyện kĩ vận dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho học sinh Tùy theo lực học sinh tập thể học sinh để chuẩn bị giáo án phù hợp Các tập để học sinh vận dụng bất đẳng thức Bunhiacơpxki tơi soạn theo mức là: Mức độ 1: Dành cho học sinh đại trà, học sinh Các tập chủ yếu dừng mức độ nhận biết, giúp học sinh bước đầu biết cách vận dụng lí thuyết để giải tập Mức độ 2: Dành cho học sinh khá, giỏi Các tập mức thông hiểu, để giải tập học sinh việc phải nắm trắc kiến thức phải biết linh hoạt sử dụng nhiều kiến thức, kĩ toán học khác Mức độ 3: Dành cho học sinh giỏi Các tập mức cao đòi hỏi học sinh phải phát huy tốt tư toán học, để giải tập ngồi kiến thức tốn học vững vàng học sinh thường phải sử dụng nhiều hoạt động toán học phán đốn, phân tích, biến đổi, so sánh, tổng hợp, khái quát… Với mức độ tập áp dụng vào thực tiễn dạy học thông qua giải pháp cụ thể sau: 3.1.Giải pháp 1: Rèn luyện kĩ vận dụng bất đẳng thức Bunhiacơpxki chứng minh bất đẳng thức: Ví dụ 1: Bài tập mức độ Cho số dương a, b, c với a, b ≤ c Chứng minh: a (c − b ) + b (c − a ) ≤ c Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ( dạng (1)) cho số ( a ; c − a ) ( c − b ; b ) ta có: ( a(c − b) + b(c − a) ) ≤ c ⇒ đpcm Ví dụ 2: Bài tập mức độ ( Đề thi ĐH - CĐ khối A - năm 2003) Cho x, y, z > thỏa : x + y + z ≤ Cmr: 1 P = x + x + y + y + z + z ≥ 82 Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho số ( x; ) (1; 9) ta x có: ( x + ) ≤ 82.( x + ) tương tự ta có: x x 9 ( y + ) ≤ 82.( y + ) ; ( z + ) ≤ 82.( z + ) Cộng vế với vế ta được: y y z z 9 1 P 82 ≥ x + y + z + x+ y+ z ≥ 81( x + y + z ) + 9( x + y + z ) − 80( x + y + z ) ≥ 1 2.9.3 ( x + y + z )( + + ) − 80 ≥ 162 - 80 = 82 ⇒ đpcm x y z Ví dụ 3: Bài tập mức độ a Cho a;b;c ba số dương Chứng minh rằng: a b c + + ≥1 b + 2c c + 2a a + 2b b Cho a;b;c>0;m nguyên dương p;q>0 ( a + b + c ) m−1 am bm cm + + ≥ Chứng minh rằng: N = pb + qc pc + qa pa + qb ( p + q ).3 m−2 Lời giải: a Áp dụng bất đẳng thức (4) Ta có (a+b+c) = (3 a b c a(b + 2c) a + b(c + 2a ) b + c( a + 2b) c ) b + 2c c + 2a a + 2b ≤( a b c + + ) (ab+2ac+bc+2ab+ac+2bc).(a+b+c) b + 2c c + 2a a + 2b Chia hai vế cho: 3(ab+bc+ac).(a+b+c) , ta được: a b c (a + b + c) + + ≥ b + 2c c + 2a a + 2b 3( ab + bc + ac) Hiển nhiên ta có : (a+b+c) ≥ 3(ab + bc + ac) đó: (a + b + c) ≥1 3(ab + bc + ac) Từ suy ra: a b c + + ≥1 b + 2c c + 2a a + 2b (đpcm) Dấu xảy khi: a=b=c Sau cho học sinh giải tập giáo viên nên đặt câu hỏi, dẫn dắt để học sinh hiểu bất đẳng thức câu b thực chất bất đẳng thức tổng quát bất đẳng thức chứng minh ý a b Ta có: (a+b+c) m = m   a b c m pb + qc1.1 + m pc + qa1.1 + m pa + qb1.1 1 ≤       m pb + qc m pc + qa m pa + qb m− m−2 m−2   N ( pb + qc + pc + qa + pa + qb )(1 + 1 1) ( + + 1)  +   m− Suy ra: (a+b+c) m ≤ N ( p + q ) ( a + b + c ).3 m−2 Cho nên: ( a + b + c ) m−1 N≥ ( p + q ).3m−2 mà a+b+c > (đpcm) Dấu xẩy khi: a = b = c Nhận xét: Việc tham số hố trở lại thích hợp ta có loại toán mới: a b c ≥ + + b+c c+a a+b m =1;p=1;q=1: a b c ≥1 + + b + 2c c + 2a a + 2b m=1; p = 1; q = 2: a 4b b 4c c4a + + m =3; p = 2; q = : abc 2ab + 2bc + 2ca + (a + b + c) abc ≥ 2abc + ∗ p=q=1;m∈ N : am bm cm a+b+c + + ≥   b+c c+a a+b   m −1 Ví dụ : Bài tập mức độ a Cho a,b,c >0 a2 b2 c2 a+b+c + ≥ CMR: + b+c c+a a+b b Cho a,b,c>0 k1 , k , k tham số dương CMR: a2 b2 c2 (a + b + c) + + ≥ b + k1c c + k a a + k 3b (1 + k ) a + (1 + k )b + (1 + k1 )c Lời giải: a Ta có: ( a + b + c) 2 b c  a  = b+c + c+a + a + b ≤ c+a a+b  b+c  a2 b2 c2 ≤ ( ) (b+c+c+a+a+b) + + b + c c+a a+b a+b+c a2 b2 c2 ≥ Hay + + b+ c c+a a+b (đpcm) Nhận xét:  Bất đẳng thức chứng minh nhiều cách  Tham số hoá bất đẳng thức câu a ta toán tổng quát bất đẳng thức câu b b ( a + b + c)   a b c = b + k1c + c + k2a + a + k 3b  ≤ c + k2a a + k 3b  b + k1c    a2 b2 c2 + + ).(a + b + c + k1c + k a + k 3b) ≤ ( b + k1c c + k a a + k 3b Suy ( (a+b+c) ≤ a2 b2 c2 + + ).( (1 + k )a + (1 + k )b + (1 + k1 )c ) b + k1c c + k a a + k 3b Vậy a2 b2 c2 (a + b + c) + + ≥ b + k1c c + k a a + k 3b (1 + k ) a + (1 + k )b + (1 + k1 )c (đpcm) a = b = c k1 = k = k Dấu xảy khi:  3.2.Giải pháp 2: Rèn luyện kĩ vận dụng bất đẳng thức Bunhiacơpxki giải tốn tìm min, max ; tìm giá trị nhỏ (GTNN), giá trị lớn (GTLN) Ví dụ 5: a Bài tập mức độ Cho a; b > a+b= Tìm Min biểu thức: S = + 4a b b Bài tập mức độ Cho a;b>0; a-b=1 X;Y>0; X+Y= a b Chứng minh rằng: b + ≥a X bY Lời giải: a Do a;b > nên áp dụng bất đẳng thức (1) cho dãy: a 25 = ; b a; b ta được:   a+ b  ≤ ( + )(a+b)  4a b b 2 a  Hay: Suy ra: S= 25 ≤ ( + ) 4a b 4 (vì a+b = ) 4 + ≥ 4a b  : a= : b 2 a b    a = ⇔ Dấu xẩy khi: a + b =  b =  a; b >   Vậy MinS = a = ; b = b Vận dụng bất đẳng thức (1) cho dãy: ; bY b X (1 + b ) =    bY  b (1 + b ) Hay: b Suy ra: Y; b X Y+ ta được: X b   + ( X + Y ) X ≤    bY X   b a  +  ≤   bY X  b b + ≥a X bY (do a=1+b) (đpcm)  : Y =  bY   a Dấu xẩy khi:  X + Y = b   X ;Y >   b : X X X =  ⇔ Y = b  Ví dụ : Bài tập mức độ Cho x>1;y>2 x+y= Lời giải: Ta có x+y= 25 + Tìm giá trị nhỏ S = 6( x − 1) y − 25 ⇒ (x-1)+(y-2)= x>1;y>2 nên x-1>0;y6 2>0 Áp dụng bất đẳng thức(1) cho dãy: ; x − 1; y − 6( x − 1) y − ta được:   49  6  = x −1 + y − 2 ≤   6( x − 1) + y − ( ( x − 1) + ( y − 2) )    6( x − 1) y−2     49 ≤ S ⇒S ≥7 Hay 6  x −1 y −2 =   25  x = ⇔ Dấu “=” xẩy :  x + y =  y =   x > 1; y >   Vậy MinS=7 x= ;y=3 3.3.Giải pháp 3: Rèn luyện kĩ vận dụng bất đẳng thức Bunhiacơpxki để giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình Ví dụ : Bài tập mức độ Giải phương trình: x − + − x = x − 12 x + 14 Lời giải : Giải phương trình: x − + − x = x − 12 x + 14 ⇔ 2x − + − 2x = 3( x − 2) + 2 2 x − ≥ ĐK: 5 − x ≥ ⇔ 1,5 ≤ x ≤ 2,5  Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki cho hai số không âm (1:1) ( x − : − 2x ) ta có: ( 2x − + − 2x ⇒ ) ≤ ( + ) (   2 2x − + − 2x ≤ 2 ) +( ) − x  ≤ 2.2 =   Do x − + − x > 2x − Dấu “=” xảy ⇔ x − = − x ⇔ x = 2 ( x − ) + ≥ dấu”=” xẩy ⇔ x = Vậy pt có nghiệm x = Ví dụ : Bài tập mức độ Giải phương trình: x − + x + = 2( x − 3) + x − 10 x − + x + = 2( x − 3)2 + x − Lời giải: (a) Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki cho số không âm ( ( (1 ; 1) ta có: ( ) x − + x − 3) ≤ x −1 ; x – 3) x − + x − ≤ ( 12 + 12 ) ( x − 1) + ( x − 3)    2( x − 1) + 2( x − 3) (b) (a)và (b) xảy khi: x −1 = x − ⇔ x – 6x + = x – ⇔ x2 – 7x + 10 = ⇔ x=2 x = x = không thoả mãn; x = thoả mãn S = { 5} Ví dụ : Bài tập mức độ Giải phương trình: x 2 − x − = x − x 4 Lời giải: x 2 − x − = x − x ⇔ x 2 − x − = x3 ( x − 1) Đ K : x4 ≤ Vì x = khơng phải nghiệm nên phương trình ⇔ − x4 + x = + x2 x + x2 ≥ 2 x Ta có: dấu “=” xảy ⇔ x = x2 ⇔ x2 = (c) Mặt khác: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:  − x  ≤ 12 + 12 ) − x4 + x2 ⇔  ÷ (   ⇔ ( ⇒ 2− x + x 4 ) ( ≤4 − x2 + x ≤ ( 2− x ) +x ) 2 ≤ 4.2 ( − x + x ) = 16 16 = (d) Dấu “=” xảy khi x = Từ (c) (d) suy phương trình có nghiệm x = Ví dụ 10 Bài tập mức độ Giải phương trình 1− x2 + 1+ x + x = 11 Giải: Đk : -1 x Theo bât đẳng thc C«-si ta cã: − x = (1 − x)(1 + x) 1.(1 + x) − x = 1.(1 − x) ≤ ≤ 1− x 1+ x + 1+ 1+ x ≤ (i) 1+ x = (ii) 1+ 1− x (iii) Tõ (i),(ii),vµ(iii) áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta cã : − x + 1+ x + 1− x ≤ 1+ + x + − x ≤ DÊu “=” xÈy vµ chØ : + x = − x = ⇔ x=o KiÓm tra lại ta thấy x=0 nghiệm phơng trình 3.4.Gii pháp 4: Rèn luyện kĩ vận dụng Bunhiacôpxki giải số tốn hình học bất đẳng thức Ví dụ 11: Bài tập mức độ x2 y2 + = điểm M, N chuyển động Cho elip (E) : 16 tia Ox, Oy cho MN tiếp xúc với (E) Xác định tọa độ M, N để đoạn MN có độ dài nhỏ Tìm giá trị nhỏ Lời giải : Phương trình tiếp tuyến điểm M ( x0 ; y ) ∈ ( E ) Suy tọa độ M, N M ( x.x0 y y + =1 16 9 16 ;0) N (0; ) x0 y0 2 2 16 x0 y (16 + ) ⇒ MN = + = ( + ) 2 x0 y0 x0 y0 16 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki (dạng (1)) ta có : MN ≥ ( + 3) = 49 Khi MN đạt GTNN với M (2 ;0) N (0; 21) 12 Ví dụ 12 : Bài tập mức độ a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh : A = a b c + + ≥1 2b + 2c − a 2c + 2a − b 2a + 2b − c Lời giải : Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho số không âm a ; 2b + 2c − a b ; 2c + a − b b(2c + 2a − b) ; c 2a + 2b − c a (2b + 2c − a ) ; c(2a + 2b − c) ta có : A.(4ab + 4bc + 4ca − a − b − c ) ≥ (a + b + c) Bằng biến đổi tương đương dễ dàng chứng minh : (a + b + c) ≥ ⇒ A ≥ , dấu “=” xảy tam 4ab + 4bc + 4ca − a − b − c giác ABC tam giác Ví dụ 13: Bài tập mức độ Cho tam giác ABC.Chứng minh rằng: Sin Q= A B Sin + SinC Lời giải: + Sin C Sin + SinA + Sin C A Sin + SinB ≥ 2( Sin A B C + Sin + Sin ) 2 2 3(1 + ) Ta có Do 0 2;y>3 x+y= y − + 49( x − 2) 7( x − 2)( y − 3) Tìm Min P= Bài tập 5: Cho a;b;c> a+b+c=1 CMR: Bài tập 6: a b c + + ≥1 1+ b − a 1+ c − b 1+ a − c Cho a;b;c>0 CMR : a 3b ab + + b 3c bc + + c3a ca + ≥ abc(a + b + c) abc + Bài tập 7: Cho a;b;c độ dài ba cạnh tam giác.Gọi R;r bán kính đường trịn ngoại tiếp nội tiếp tam giác a3 b3 c3  abc  ≥  + +  b + c c + a a + b 24  R.r  CMR Bài tập 8: Cho a;b;c>0 CMR: a a + 8bc + b b + 8ac + c c + 8ab ≥1 (Đề thi ÔLympic ) Kết thực nghiệm đề tài Năm học 2012 – 2013 áp dụng giải pháp nêu đề tài vào thực tiễn dạy học, cụ thể lớp 10 A3 – Trường THPT Yên Định nội dung: Chủ đề tự chọn ( Ôn tập bất đẳng thức) Đồng thời với nội dung dạy học đối chứng lớp 10 A7 – Trường THPT Yên Định ( lớp 10 A7 lớp 10 A3 học theo chương trình bản, có lực học tương đương nhau) , lớp dạy học đối chứng không sử dụng giải pháp nêu đề tài 15 Sau nội dung ôn tập cho lớp làm kiểm tra ( nội dung chủ đề “Bất đẳng thức”) kết thống kế sau: Lớp Sĩ số Giỏi SL % Khá SL % Trung bình SL % Yếu SL % 10 A3 10 A7 48 15 31,2 25 16,7 0 45 13,3 10 24 53,3 11, 52, 22, Kém S % L 0 0 Những kết với kết định tính thăm dị, điều tra từ học sinh tơi mạnh dạn khẳng định giải pháp mà đề tài đưa hồn tồn khả thi áp dụng hiệu q trình dạy học nói chung, bồi dưỡng học sinh giỏi nói riêng III.KẾT LUẬN Từ kinh nghiệm thực tiễn thân trình dạy học, giúp đỡ đồng nghiệp, thông qua việc nghiên cứu tài liệu có liên quan đề tài hồn thành đạt kết sau đây: + Đề tài nêu lên thực trạng việc dạy học chủ đề “Bất đẳng thức” + Đề tài đề xuất số giải pháp thiết thực việc rèn luyện kĩ vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho học sinh khá, giỏi + Đề tài nêu ví dụ minh chứng điển hình cho giải pháp + Đã đưa số tập áp dụng theo mức độ khó, dễ khác phù hợp với nhiều đối tượng học sinh Mặc dù nhiều cố gắng xong thiếu xót, hạn chế đề tài tránh khỏi mong nhận góp ý thầy giáo, bạn đồng nghiệp Những góp ý sở để tơi hồn thiện đề tài nghiên cứu Tôi xin chân thành cảm ơn! 16 Xác nhận thủ trưởng đơn vị Thanh Hóa, ngày 16/05/2013 ……………………………………… Tơi xin cam đoan SKKN ……………………………………… viết, không chép nội dung ……………………………………… người khác ……………………………………… Người thực Trịnh Hữu Thực TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Bá Kim (2004), Phương pháp dạy học môn Toán, Nxb Đại học sư phạm Phạm Kim Hùng (2008), Sáng tạo bất đẳng thức, Nxb Hà Nội Pơlya G (1976), Tốn học suy luận có lý, Nxb Giáo dục 17 Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Nguyễn Xuân Liêm, Nguyễn Khắc Minh, Đặng Hùng Thắng (2007), Đại số 10 nâng cao, Nxb Giáo dục Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Phạm Khắc Ban, Tạ Mân (2007), Hình học 10 nâng cao, Nxb Giáo dục Trần Văn Hạo, Chuyên đề luyện thi đại học - Bất đẳng thức, Nxb Giáo dục Trần Phương, Võ Quốc Bá Cẩn, Trần Quốc Anh, Vẻ đẹp bất đẳng thức, Nxb Đại học quốc gia Hà Nội 18 MỤC LỤC I PHẦN MỞ ĐẦU: Lí chọn đề tài II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Cơ sở lí luận đề tài Thực trạng đề tài Giải pháp tổ chức thực 3.1 Giải pháp 1: Rèn luyện kĩ vận dụng bất đẳng thức Bunhiacơpxki chứng bất đẳng thức 3.1 Giải pháp 2: Rèn luyện kĩ vận dụng bất đẳng thức Bunhiacơpxki giải tốn tìm min, mác; tìm GTNN, GTLN 3.1 Giải pháp 3: Rèn luyện kĩ vận dụng bất đẳng thức Bunhiacơpxki để giải phương trình… 3.4 Giải pháp 4: Rèn luyện kĩ vận dụng bất đẳng thức Bunhiacơpxki giải số tập hình học 3.5 Một số tập áp dụng Kết thực nghiệm đề tài III KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT Tài liệu tham khảo Trang 01 01 01 03 03 03 07 09 11 13 14 15 16 19 20 21 ... ≥1 2b + 2c − a 2c + 2a − b 2a + 2b − c Lời giải : Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho số không âm a ; 2b + 2c − a b ; 2c + a − b b(2c + 2a − b) ; c 2a + 2b − c a (2b + 2c − a ) ; c(2a + 2b... dạy học chủ đề ? ?bất đẳng thức? ?? cho học sinh tơi dành phần thời lượng chương trình để tập trung rèn luyện kĩ vận dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho học sinh Tùy theo lực học sinh tập thể học sinh. .. vận dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki chứng bất đẳng thức 3.1 Giải pháp 2: Rèn luyện kĩ vận dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki giải tốn tìm min, mác; tìm GTNN, GTLN 3.1 Giải pháp 3: Rèn luyện kĩ vận