Chuyên đề: Hàm số Dạng Ứng dụng hàm số đồng biến, nghịch biến để chứng minh bất đẳng thức Nội dung  Dạng Ứng dụng hàm số đồng biến, nghịch biến để chứng minh bất đẳng thức:  Dạng 6A: Bất đẳng thức hàm số mũ, log  Dạng 6B: Bất đẳng thức hàm số lượng giác  Dạng 6C: Sử dụng đạo hàm bậc cao Dạng 6A Bất đẳng thức hàm số mũ, logarit Dạng 6A Bất đẳng thức hàm Bài tập mẫu số mũ,minh x > e > + x log Chứng  x Giải Xét hàm số f(x) = ex – (1 + x) Ta có f ’(x) = ex – > ∀x > 0, suy hàm số f(x) đồng biến R Do x > => f(x) = ex – – x > => ex > + x ∀x > (đpcm) Dạng 6A Bất đẳng thức hàm số mũ, log  Lưu ý  Bài toán: chứng minh f(x) > thoả mãn với x khoảng (a ; b)  Cách giải thường gặp:    Sử dụng đạo hàm để xét biến thiên hàm số Nếu hàm số đồng biến khoảng (a ; b) ∀x∈ (a ; b) => f(a) < f(x) < f(b) Nếu hàm số nghịch biến khoảng (a ; b) ∀x∈ (a ; b) => f(b) < f(x) < f(a) Từ suy đpcm Dạng 6A Bất đẳng thức hàm số mũ, log   x2  Bài tập tương tự ln  + x + ÷ < x 2 Chứng minh x >  Giải Xét hàm số  x2  f(x) = ln  + x + ÷ − x 2  Ta có f '(x) = 1+ x ,suy hàm số f(x) −1= − x < ∀x > x (thực chất hàmsố nghịch biến R)  x2 nghịch biến + x> 1x + 1 + x + ÷ 2  Do (đpcm)   x2  x2  x > ⇒ f(x) = ln 1 + x + ÷− x < f(0) = ⇒ ln 1 + x + ÷ < x ∀x > 2 2   Dạng 6A Bất đẳng thức hàm số mũ, log  Bài tập tương tự (tt)  Lưu ý Ta có bất đẳng thức sau: n x x + + ∀x > 0,n ∈ N * n!  x2 xn  ln  + x + + + ÷ < x ∀x > 0,n ∈ N * n!   ex > + x + Dạng 6B Bất đẳng thức hàm số lượng giác Dạng 6B Bất đẳng thức hàm Bài tập mẫu số lượng giác Chứng minh π sinx < x < tanx    0 ∀x : < x < π co s2 x Vậy sinx < x < tanx  π  0; ÷   π 0 co s x + − =  co s x − ÷ >0 2 co đồng co co s x  Suy hàm số f(x) s x biến s x  Do f(x) = sinx + tanx – 2x > f(0) =  π => sinx + tanx > 2x (đpcm)  0; ÷  2 π 0 x2  Với x, có bất đẳng thức − ≤ cos x  Nếu 2sinx + tanx > 3x π 0 x  Giải Xét hàm số sin x > x − x3 x2 f(x) = hàm số ⇒ f đồng biến suy rasin x − x + f ’’(x) '(x) = co s x − + R Do x > f ’’(x) > f ’’(0) = 0, suy hàm số f ’(x) x ⇒ f ''(x) = − sin x⇒f đồng biến khix +x > 0'''(x) = −co s x + = 2sin ≥ ∀x Do x > f ’(x)> f’(0) = 0, suy hàm số f(x) đồng biến x>0 Do x > (đpcm) x3 x3 f(x) = sin x − x + > f(0) = ⇒ sin x > x − 6 Dạng 6C Sử dụng đạo hàm bậc tương tự cao Bài tậpminh với số thực x, ta có bất đẳng thức Chứng  Dấu đẳng thức xảy nào? Giải Xét hàm số Ta có x2 e + co s x ≥ + x − x  x2  f(x) = e + co s x −  + x − ÷ suy hàm số f ’(x) đồng biến  R  x f x − x − ’(x) Do '(x) = e > sinthì f + x =ex – sinx – + x > f’(0) = , suy hàm số f(x) đồng biến xx > Do x x > x f ''(x) = e − co s x + = e + sin > ∀x x  x2  f(x) = e x + co s x −  + x − ÷ > f(0) = 2  Dạng 6C Sử dụng đạo hàm bậc cao  Bài tập tương tự (tt) Do x < f’(x) = ex – sinx – + x < f(0) = , suy hàm số f(x) nghịch biến x < Do x <  x2  f(x) = e + co s x −  + x − ÷ > f(0) = 2  Ta trường hợp có bất đẳng thức x dấu đẳng thức xảy x = 0x(đpcm) x f(x) ≥ ⇔ e + co s x ≥ + x − ∀x ... dung  Dạng Ứng dụng hàm số đồng biến, nghịch biến để chứng minh bất đẳng thức:  Dạng 6A: Bất đẳng thức hàm số mũ, log  Dạng 6B: Bất đẳng thức hàm số lượng giác  Dạng 6C: Sử dụng đạo hàm bậc cao... Bất đẳng thức hàm số mũ, logarit Dạng 6A Bất đẳng thức hàm Bài tập mẫu số mũ ,minh x > e > + x log Chứng  x Giải Xét hàm số f(x) = ex – (1 + x) Ta có f ’(x) = ex – > ∀x > 0, suy hàm số f(x) đồng. ..  Cách giải thường gặp:    Sử dụng đạo hàm để xét biến thiên hàm số Nếu hàm số đồng biến khoảng (a ; b) ∀x∈ (a ; b) => f(a) < f(x) < f(b) Nếu hàm số nghịch biến khoảng (a ; b) ∀x∈ (a ; b) =>