1 MỘT VÀI DẠNG TOÁN CHỨA THAM SỐ TRONG CÁC KÌ THI ðẠI HỌC, CAO ðẲNG Cao Minh Quang, THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm, Vĩnh Long. E-mail: kt13quang@yahoo.com ***** Bài toán tìm tham số, thường là m , ñể phương trình, hệ phương trình, bất phương trình (ñại số) có nghiệm, vô nghiệm hoặc nghiệm ñúng trong một ñoạn, khoảng, nửa khoảng nào ñó trong cấu trúc của ñề thi tuyển sinh ñại học, cao ñẳng thường ở mức ñộ khó, ñể giải ñược những dạng toán này, học sinh cần nắm vững cơ sở lý thuyết liên quan. Cho tập D ≠ ∅ . Khi ñó a) Dạng 1. Phương trình ( ) m f x = có nghiệm trên D ( ) ( ) min max f x m f x ⇔ ≤ ≤ . b) Dạng 2. B ấ t ph ươ ng trình ( ) m f x > có nghi ệ m trên D ( ) min m f x ⇔ > . c) Dạng 3. B ấ t ph ươ ng trình ( ) m f x ≥ có nghi ệ m trên D ( ) min m f x ⇔ ≥ . d) Dạng 4. B ấ t ph ươ ng trình ( ) m f x < có nghi ệ m trên D ( ) max m f x ⇔ < . e) Dạng 5. B ấ t ph ươ ng trình ( ) m f x ≤ có nghi ệ m trên D ( ) max m f x ⇔ ≤ . f) Dạng 6. B ấ t ph ươ ng trình ( ) m f x > nghi ệ m ñ úng v ớ i m ọ i x D ∈ ( ) max m f x ⇔ > . g) Dạng 7. B ấ t ph ươ ng trình ( ) m f x ≥ nghi ệ m ñ úng v ớ i m ọ i x D ∈ ( ) max m f x ⇔ ≥ . h) Dạng 8. B ấ t ph ươ ng trình ( ) m f x < nghi ệ m ñ úng v ớ i m ọ i x D ∈ ( ) min m f x ⇔ < . i) Dạng 9. B ấ t ph ươ ng trình ( ) m f x ≤ nghi ệ m ñ úng v ớ i m ọ i x D ∈ ( ) min m f x ⇔ ≤ . j) Dạng 10. B ấ t ph ươ ng trình ( ) m f x > vô nghi ệ m ⇔ B ấ t ph ươ ng trình ( ) m f x ≤ có nghi ệ m. L ư u ý: Gi ả s ử ( ) f x là m ộ t hàm ñơ n ñ i ệ u trên D . N ế u [ ] , D a b = thì hàm s ố ( ) f x luôn t ồ n t ạ i giá tr ị l ớ n nh ấ t, giá tr ị nh ỏ nh ấ t. N ế u [ ) , D a b = ho ặ c ( ] , a b ho ặ c ( ) , a b , a có th ể là −∞ , b có th ể là +∞ , thì hàm s ố có th ể không t ồ n t ạ i giá tr ị l ớ n nh ấ t, giá tr ị nh ỏ nh ấ t. Trong tr ườ ng h ợ p này thì ta c ầ n l ậ p b ả ng bi ế n thiên c ủ a hàm s ố ñể kh ả o sát. T ừ nh ữ ng l ư u ý này, ta nh ậ n th ấ y r ằ ng, vi ệ c xác ñị nh chính xác t ậ p D là r ấ t quan tr ọ ng, ta c ầ n có các k ỉ n ă ng ñ ánh giá ñể tìm t ậ p D ở m ỗ i bài toán c ụ th ể . Sau ñ ây là m ộ t s ố ví d ụ minh h ọ a cho d ạ ng toán này. Bài toán 1. Xác ñị nh m ñể ph ươ ng trình ( ) ( ) 2 2 1 3 2 7 0 x x m x x m − − + − + + + = (1) có nghiệm. Lời giải. ðặt ( )( ) ( ) 2 1 3 1 4 t x x x = − + = − + + . Do ñ ó 0 2 t ≤ ≤ . Ph ươ ng trình trên tr ở thành 2 2 4 2 2 4 0 t t t mt m m + + + + + = ⇔ =− (2). Ph ươ ng trình (1) có nghi ệ m n ế u ph ươ ng trình (2) có nghi ệ m [ ] 0,2 t ∈ hay [ ] ( ) [ ] ( ) 0,2 0,2 min max f t m f t ≤ ≤ , trong ñ ó ( ) 2 4 2 t t f t + + = − . Xét hàm s ố ( ) 2 4 2 t t f t + + = − , [ ] 0, 2 t ∈ . ðạ o hàm c ủ a hàm này là ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 4 4 4 2 2 ' t t t t t t t f t + − + + − + + = − = − . Ta có ( ) ' 0 2 2 2 2 2 2( ) f t t t l = ⇔ = − ∨ = − − . 2 Giá trị của hàm số tại ñiểm tới hạn và ñiểm biên: ( ) ( ) ( ) 0 2, 2 2 2 4 4 2, 2 2 f f f = − − = − = − . Do ñó [ ] ( ) [ ] ( ) 0,2 0,2 min 2,max 4 4 2 f t f t = − = − . Suy ra 2 4 4 2 m − ≤ ≤ − . Bài toán 2. Xác ñị nh m ñể ph ươ ng trình 4 2 cos sin cos 2 x x x m − = + có nghi ệ m. Lời giải. Chú ý rằng 2 2 cos 2 cos sin x x x = − . Do ñó nếu ñặt 2 cos t x = , phương trình ñã cho ñược viết lại dưới dạng 2 m t t = − hay ( ) m f t = (3), trong ñó ( ) [ ] 2 , 0,1 f t t t t = − ∈ . ð i ề u ki ệ n ñể ph ươ ng trình (3) có nghi ệ m là [ ] ( ) [ ] ( ) 0,1 0,1 min max f t m f t ≤ ≤ . Xét hàm s ố ( ) [ ] 2 , 0,1 f t t t t = − ∈ . Ta có ( ) ( ) [ ] 1 2 ' 2 1, ' 0 0,1 f t t f t t = − = ⇔ = ∈ . Giá tr ị c ủ a hàm s ố t ạ i các ñ i ể m biên và ñ i ể m t ớ i h ạ n là ( ) ( ) ( ) 1 1 2 4 0 0, 1 0,f f f = = = − . Do ñ ó [ ] ( ) [ ] ( ) 1 4 0,1 0,1 min , max 0 f t f t = − = . Suy ra 1 4 0 m − ≤ ≤ . Bài toán 3. Xác ñịnh m ñể phương trình 2 2 2 sin cos sin 1 3 2 .3 .12 x x x m + = có nghi ệ m thu ộ c ñ o ạ n [ ] 4 0, π . Lời giải. Phương trình ñã cho tương ñương với ( ) ( ) 2 2 2 2 2 sin sin sin sin sin 1 1 6 36 2 3 .12 x x x x x m m − + = ⇔ + = . ðặt ( ) 2 sin 1 6 x t = , phương trình ñược viết lại dưới dạng 2 t t m + = (4). Vì 4 0 x π ≤ ≤ nên 2 1 2 0 sin x ≤ ≤ , suy ra 1 6 1 t ≤ ≤ . Ph ươ ng trình (4) có nghi ệ m khi và ch ỉ khi ( ) ( ) 1 1 6 6 ,1 ,1 min min f t m f t             ≤ ≤ , trong ñ ó ( ) 2 f t t t = + . Vì ( ) f t là hàm ñồ ng bi ế n trên ñ o ạ n [ ] 1,2 nên ( ) ( ) 1 6 1 6 6 1 2 f m f m + ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ . V ậ y 1 6 6 2 m + ≤ ≤ . Bài toán 4. Xác ñị nh m ñể b ấ t ph ươ ng trình ( ) ( ) 2 1 1 3 1 0 x x x x m + + + + − > (5) th ỏ a mãn v ớ i m ọ i 0 x > Lời giải. ðặt 1 x x t + = , với 0 x > ta có 2 2 x x t ≥ = . B ấ t ph ươ ng trình (5) ñượ c vi ế t l ạ i d ướ i d ạ ng 2 3 1 t t m + + > . Xét hàm s ố ( ) 2 3 1 f t t t = + + , [ ) 2, t ∈ +∞ . Ta có b ả ng bi ế n thiên T ừ b ả ng bi ế n thiên, ta th ấ y r ằ ng b ấ t ph ươ ng trình có nghi ệ m khi [ ) ( ) 2, min m f t +∞ < hay 11 m < . Bài toán 5. Xác ñị nh m ñể b ấ t ph ươ ng trình ( ) 1 2 2 log 2 3 x x m − + > − (6) ñ úng v ớ i m ọ i x thu ộ c [ ] 0, 2 . Lời giải. Ta c ầ n xác ñị nh m sao cho v ớ i m ọ i [ ] 0,2 x ∈ , ta ph ả i có t 2 +∞ ( ) ' f t + ( ) f t +∞ 11 3 ( ) 2 3 2 1 2 2 2 (6.1) 0 2 8 2 (6.2) m x x x x m m x x −   > − +  < − + < ⇔   − <− +   . ðiều kiện ñể (6.1) xảy ra là [ ] ( ) 0,2 max m f x > , ñ i ề u ki ệ n ñể (6.2) x ả y ra là [ ] ( ) 0,2 8 min m f x − < , trong ñ ó ( ) 2 2 f x x x = − + . Xét hàm s ố ( ) 2 2 f x x x = − + , [ ] 0,2 x ∈ . Ta có ( ) ( ) ' 2 2, ' 0 1 f x x f x x = − + = ⇔ = . Giá tr ị c ủ a hàm s ố t ạ i các ñ i ể m biên và ñ i ể m t ớ i h ạ n là ( ) ( ) ( ) 0 0, 1 1, 2 0 f f f = = = . Do ñ ó [ ] ( ) [ ] ( ) 0,2 0,2 max 1,min 0 f x f x = = . Suy ra 1 8 m < < . Bài toán 6. [Khối A_2002] Cho phương trình 2 2 3 3 log log 1 2 1 0 x x m + + − − = (7). ðịnh m ñể phương trình trên có ít nhất một nghiệm thuộc 3 1,3       . Lời giải. ðặ t 2 3 log 1 t x = + , phương trình (7) ñược viết lại dưới dạng 2 2 2 t t m + = + (8). V ới 3 1,3 x   ∈     thì [ ] 1,2 t ∈ . Ph ươ ng trình (7) có nghi ệ m 3 1,3 x   ∈     khi và ch ỉ khi ph ươ ng trình (8) có nghi ệ m [ ] 1,2 t ∈ hay [ ] ( ) [ ] ( ) 1,2 1,2 min 2 2 max f t m f t ≤ + ≤ , trong ñ ó ( ) 2 f t t t = + . Vì ( ) f t là hàm ñồ ng bi ế n trên ñ o ạ n [ ] 1,2 nên ( ) ( ) 1 2 2 2 2 2 2 6 0 2 f m f m m ≤ + ≤ ⇔ ≤ + ≤ ⇔ ≤ ≤ . V ậ y 0 2 m ≤ ≤ Bài toán 7 [Khối D_2004] Tìm m ñể h ệ ph ươ ng trình 1 1 3 x y x x y y m   + =     + = −    có nghi ệ m. Lời giải. ðặ t , , 0, 0 a x b y a b = = ≥ ≥ . H ệ ñ ã cho tr ở thành 3 3 1 1 1 3 a b a b a b m ab m   + = + =     ⇔     + = − =     Nh ư vậy , a b là hai nghiệm của phương trình 2 0 t t m − + = (9). Vì , 0 a b ≥ và 1 a b + = nên [ ] 0,1 t ∈ . Phương trình (9) có nghiệm [ ] 0,1 t ∈ khi và chỉ khi [ ] ( ) [ ] ( ) 0,1 0,1 min max f t m f t ≤− ≤ , v ớ i ( ) 2 f t t t = − . Ta có ( ) ( ) 1 2 ' 2 1, ' 0f t t f t t = − = ⇔ = . Giá tr ị c ủ a ( ) f t t ạ i ñ i ể m t ớ i h ạ n và ñ i ể m biên là ( ) ( ) ( ) 1 1 2 4 0 1 0,f f f = = = − . Do ñ ó [ ] ( ) [ ] ( ) 0,1 0,1 1 min ,max 0 4 f t f t = − = . Suy ra 1 4 0 m − ≤− ≤ hay 1 4 0 m ≤ ≤ . Bài toán 8 [Khối A_2007] Tìm m ñể phương trình 2 4 3 1 1 2 1 x m x x − + + = − (10) có nghiệm. Lời giải. ðiều kiện 1 x ≥ . Phương trình (10) tương ñương với 24 1 1 1 1 3 1 2 1 1 3 2 x x x x x x m x m − − + + − − + − = + ⇔ − + = (11). ðặt 1 2 4 4 1 1 1 x x x t − + + = = − , vì 1 x ≥ nên 0 1 t ≤ < . Phương trình (11) trở thành 2 3 2 t t m − + = (12). Nh ư vậy phương trình (10) có nghiệm khi và chỉ khi (12) có nghiệm [ ) 0,1 t ∈ . ðặt ( ) 2 f t t t = − , ta có ( ) ( ) 1 3 ' 6 2, ' 0f t t f t t = − + = ⇔ = . 4 Hàm số ( ) f t ñồng biến trong ( ) 1 3 0, , nghị ch bi ế n trong ( ) 1 3 ,1 và ( ) ( ) ( ) 1 1 3 3 1 0 0, , lim 1 t f f f t → = = = − . Do ñó 1 3 1 m − < ≤ . Một số bài tập tự luyện 1. Xác ñịnh m ñể phương trình ( ) ( ) 3 6 3 6 x x x x m + + − − + − = có nghiệm. ðS. 6 2 9 2 3 m − ≤ ≤ . 2. Xác ñị nh m ñể ph ươ ng trình 6 4 4 2 2 3cos 2 sin cos 2 cos . 1 3cos 2 x x x m x x + + − = + có nghi ệ m. ð S. 3. Xác ñị nh m ñể b ấ t ph ươ ng trình 2 2 3 1 x x m x − + ≥ − th ỏ a mãn v ớ i m ọ i x ∈ ℝ . ð S. 2 2 m ≤ . 4. Xác ñị nh m ñể b ấ t ph ươ ng trình 2 2 5 x x m + − < có nghi ệ m. ð S. 2 5 m > . 5. Xác ñị nh m ñể ph ươ ng trình 2 2 cos 4 cos 3 sin x x m x = + có nghi ệ m trong ( ) 2 0, π . ðS. 3 1 m − ≤ < . 6. Xác ñịnh m ñể bất phương trình ( ) 2 .4 1 .2 1 0 x x m m m + + − + − > ñ úng v ớ i m ọ i x ∈ ℝ . ð S. 1 m ≤ . 7. Xác ñị nh m ñể ph ươ ng trình 2 2 9 4.3 0 x x m − − − − − − = có nghiệm. ðS. 3 0 m − ≤ < . 8. Xác ñịnh m ñể bất phương trình ( ) ( ) 1 4 2 4 log 1 2 log 1 2 0 x m x m + + + + + > ñúng với mọi 1 x ≥ . ðS. 2 m < . 9. [Kh ối B_2007] Chứng minh rằng phương trình ( ) 2 2 8 2 x x m x + − = − có hai nghiệm thực phân bi ệt với mọi giá trị dương của tham số m . 10. [Kh ối D_2007] Tìm giá trị của tham số m ñể hệ phương trình sau có nghiệm thực 3 3 1 1 3 3 1 1 5 15 10 x y x y x y x y m  + + + =      + + + = −    . MỘT VÀI DẠNG TOÁN CHỨA THAM SỐ TRONG CÁC KÌ THI ðẠI HỌC, CAO ðẲNG Cao Minh Quang, THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm, Vĩnh Long. E-mail: kt13quang@yahoo.com ***** Bài toán tìm tham số, thường là m ,. x m x + − = − có hai nghiệm thực phân bi ệt với mọi giá trị dương của tham số m . 10. [Kh ối D_2007] Tìm giá trị của tham số m ñể hệ phương trình sau có nghiệm thực 3 3 1 1 3 3 1 1 5 15