SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT NÔNG CỐNG III  SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đề tài SỬ DỤNG MỐI LIÊN HỆ GIỮA ĐƯỜNG TRÒN, HÌNH TRÒN VÀ MIỀN NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ NHẰM NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG ĐỐI VỚI HỌC SINH LỚP 10 Người thực hiện: Nguyễn Thị Hiền Chức vụ: Giáo viên SKKN môn: Toán THANH HOÁ NĂM 2013 1 A. ĐẶT VẤN ĐỀ Hiện nay, chúng ta đang tiến hành đổi mới giáo dục phổ thông. Mục tiêu của các cấp học đều hướng đến việc hình thành năng lực nhận thức, năng lực hành động, năng lực giải quyết vấn đề, năng lực thích ứng cho học sinh, phát huy tính tích cực, chủ động, độc lập sáng tạo trong nhận thức của người học, bồi dưỡng năng lực tự học, gắn học với hành, tác động đến tình cảm đem lại niềm vui hứng thú học tập cho học sinh. Trong môn Toán ở trường phổ thông các bài toán về giải bất phương trình và hệ bất phương trình chứa tham số ngày càng được quan tâm đúng mức và có sức hấp dẫn mạnh mẽ nhờ vào vẻ đẹp, tính độc đáo của các phương pháp giải chúng. Bài tập về bất phương trình và hệ bất phương trình chứa tham số rất phong phú và đa dạng cả về nội dung và phương pháp giải. Để tìm nghiệm hoặc điều kiện có nghiệm của bất phương trình và hệ bất phương trình chứa tham số có thể xuất phát từ nhiều kiến thức khác nhau và giải bằng nhiều phương pháp khác nhau, trong đó có phương pháp đồ thị dùng để tìm nghiệm hoặc điều kiện có nghiệm của bất phương trình và hệ bất phương trình chứa tham số. Với mục đích thay đổi hình thức của bài toán đại số thông thường thành việc sử dụng đồ thị để giải. Phương pháp này tuy không phải là chiếc chìa khoá vạn năng để có thể giải được cho mọi bài toán về bất phương trình và hệ bất phương trình chứa tham số và chưa chắc phương pháp này đã là phương pháp thích hợp nhất nhưng nó lại có nét lý thú và độc đáo riêng của nó, giúp học sinh thấy được sự liên hệ mật thiết, qua lại giữa các phân môn của môn Toán với nhau. Đó là nội dung mà tôi muốn đề cập đến trong phạm vi của sáng kiến kinh nghiệm này: “Sử dụng mối liên hệ giữa đường tròn, hình tròn và miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn để giải một số bất phương trình và hệ bất phương trình chứa tham số nhằm nâng cao chất lượng đối với học sinh lớp 10”. 2 B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I. THỰC TRẠNG Ngày nay trong các đề thi đại học, cao đẳng hàng năm thường hay có một câu liên quan đến bất phương trình hoặc hệ bất phương trình. Thấy được tầm quan trọng đó nên trong quá trình ôn luyện cho học sinh lớp 10 ở trường THPT Nông Cống III. Tôi nhận thấy phần lớn học sinh gặp rất nhiều khó khăn khi gặp các bài toán về bất phương trình và hệ bất phương trình chứa tham số. Các em không tìm được hướng giải quyết cho bài toán hoặc sử dụng những phương pháp rất phức tạp. Trong năm học 2011 – 2012, qua kết quả khảo sát ở lớp 10C4, 10C5 ở trường THPT Nông cống III. Kết quả thu được như sau: Điểm Giỏi Điểm Khá ĐiểmTB Điểm Yếu Điểm Kém SL tỷ lệ SL tỷ lệ SL tỷ lệ SL tỷ lệ SL tỷ lệ 10C4 1/45 2,2% 4/45 8,9% 14/45 31,1% 19/45 42,2% 7/45 15,6% 10C5 1/47 2,1% 6/47 12,8% 18/47 38,3% 17/47 36,2% 5/47 10,6% Với mong muốn góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán ở trường phổ thông tôi chọn đề tài “Sử dụng mối liên hệ giữa đường tròn, hình tròn và miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn để giải một số bất phương trình và hệ bất phương trình chứa tham số nhằm nâng cao chất lượng đối với học sinh lớp 10”. Nhằm đơn giản các bài toán đại số, khắc sâu kiến thức cơ bản về hình học và hình thành kỹ năng giải bài toán về bất phương trình và hệ bất phương trình chứa tham số. 3 II. CƠ SỞ LÝ LUẬN 1. Kiến thức cơ bản Khi sử dụng phương pháp đồ thị: Sử dụng mối liên hệ giữa đường tròn, hình tròn và miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn để giải một số bất phương trình và hệ bất phương trình chứa tham số các em học sinh cần ôn lại các kiến thức về đường tròn, biểu diễn hình tròn, biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn để có thể nhanh chóng nhận dạng và tiếp cận được với phương pháp này. *Đường tròn * Hình tròn O b a x I Là tập hợp những điểm (x;y) thỏa mãn: (x – a) 2 + (y – b) 2 = R 2 (I) là đường tròn tâm I(a;b), bán kính R 4 y *Bất phương trình bậc nhất hai ẩn: (ax + by + c < 0, ax + by + c > 0, ax + by + c ≤ 0, ax + by + c ≥ 0 với a 2 + b 2 > 0) Cách xác định miền nghiệm của bất phương trình ax + by +c < 0. - Bước 1: Vẽ đường thẳng d: ax + by +c = 0. - Bước 2: Xét một điểm M(x 0 ; y 0 ) không nằm trên (d) Nếu ax 0 + by 0 +c < 0 thì nửa mặt phẳng (không kể bờ (d)) chứa điểm M là miền nghiệm của bất phương trình ax + by +c < 0. Nếu ax 0 + by 0 +c > 0 thì nửa mặt phẳng (không kể bờ (d)) không chứa điểm M là miền nghiệm của bất phương trình ax + by +c < 0. * Chú ý: Đối với các bất phương trình dạng ax + by +c ≤ 0, ax + by + c ≥ 0 thì miền nghiệm là nửa mặt phẳng kể cả bờ (là đường thẳng (d)). 2. Các bước thực hiện Bước 1: Xác định rõ bất phương trình hoặc mỗi bất phương trình trong hệ được viết dưới dạng nào. Hoặc mổi phương trình hay bất phương trình đó sau khi đặt ẩn phụ được đưa về dạng nào, dạng (I), (II), hay (III). Bước 2: Thực hiện vẽ hình và xét mối liên hệ giữa các hình vừa vẽ. 3. Các dạng thường gặp O Ib a y x Là tập hợp những điểm (x;y) thỏa mãn: (x – a) 2 + (y – b) 2 R 2 (II) là hình tròn tâm I(a;b), bán kính R 5 (III) Dạng 1: Hệ bất phương trình chứa 1 phương trình là phương trình đường tròn (dạng (I)) và 1 hoặc nhiều bất phương trình bậc nhất hai ẩn (dạng (III)). Dạng 2: Hệ bất phương trình chứa 1 bất phương trình là bất phương trình hình tròn (dạng (II)) và 1 hoặc nhiều bất phương trình bậc nhất hai ẩn (dạng (III)). Dạng 3: Sử dụng các phép biến đổi để đưa bất phương trình hoặc hệ bất phương trình về dạng 1 hoặc dạng 2 như ở trên. III. BÀI TOÁN MINH HỌA 1. Một số bài toán về hệ bất phương trình Bài 1. Cho hệ:    =+ ≥−− )2( )1(0243 22 ayx yx Tìm a để hệ có nghiệm. Nhận xét: Bất phương trình (1) là bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Phương trình (2) là đường tròn có tâm là gốc tọa độ O, bán kính R = a , với a ≥ 0. Hệ (1), (2) có nghiệm khi đường tròn xác định bởi (2) và nửa mặt phẳng xác định bởi (1) có điểm chung. Giải Bất phương trình (1) là bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Phương trình (2) là phương trình đường tròn tâm O bán kính R = a , với a ≥ 0 (hiển nhiên khi a < 0 hệ vô nghiệm). 2 1 − 3 2 x H y O 0243 ≥−− yx 6 Nửa mặt phẳng xác định bởi (1) được biểu diễn bằng miền gạch chéo trong hình vẽ. Xét vị trí mà đường tròn (2) tiếp xúc với đường thẳng ∆ : 3x – 4y – 2 = 0 d(O, ∆ ) = R = a aa =⇔= −+ ⇔ 5 2 )4(3 2 22 . Hệ có nghiệm khi đường tròn và miền gạch chéo có điểm chung hay bán kính của đường tròn không nhỏ hơn khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng ∆ , tức là: R = 25 4 5 2 ≥⇔≥ aa Vậy hệ có nghiệm khi 25 4 ≥a . Bài 2. Cho hệ:    >+ −=+ )4( )3(1 222 ayx ayx Tìm những giá trị a > 0 để hệ có nghiệm. Nhận xét: Hiển nhiên hệ có nghiệm khi 01 2 ≥− a . Phương trình (3) là phương trình đường tròn có tâm là gốc tọa độ O, bán kính là R = 2 1 a− . Bất phương trình (4) là bất phương trình bậc nhất hai ẩn, có nghiệm là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng x + y – a = 0. Hệ có nghiệm khi nửa mặt phẳng và đường tròn có điểm chung. Giải Phương trình (3) là phương trình đường tròn có tâm là gốc tọa độ, bán kính là R = 2 1 a− (dĩ nhiên ta chỉ xét khi 01 2 ≥− a hay 11 ≤≤− a , vì khi a <-1 hoặc a > 1 thì hệ đã cho vô nghiệm). 7 Nửa mặt phẳng xác định bởi (4) là phần gạch chéo trong hình vẽ. Đường tròn (3) có điểm chung với nửa mặt phẳng gạch chéo khi khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng ∆ : x + y – a = 0 lớn hơn hoặc bằng bán kính R của đường tròn. Tức là: R ≥ OH 2 1 2 a a ≥−⇔ 2 1 2 2 a a ≥−⇔ 3 2 2 ≤⇔ a 3 6 0 ≤<⇔ a (do a > 0) Vậy hệ phương trình có nghiệm khi 3 6 0 ≤< a . Bài 3. Cho hệ:    =+ <++++ 4 024)25( 22 22 ax aaxax Tìm a để hệ có nghiệm. Nhận xét: Xét trong hệ tọa độ Oxa, bất phương trình thứ nhất đưa về tích của hai bất phương trình bậc nhất hai ẩn (ẩn x và ẩn a), phương trình thứ hai là phương trình đường tròn. Hệ có nghiệm khi các điểm M(x ; a) nằm trên cung đường tròn thõa mãn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Giải y a a x O x + y – a = 0, (a > 0) H 8 Xét hệ tọa độ Oxa. Điểm M trong hệ tọa độ có dạng (x ; a). Hệ đã cho được viết lại thành: )6( )5( 4 0)24)(( 22    =+ <+++ ax axax Bất phương trình (5) được viết lại    <++ <+ 024 0 ax ax hoặc    >++ >+ 024 0 ax ax . Phương trình (6) là phương trình đường tròn có tâm là gốc tọa độ O, bán kính R=2. Những điểm M(x ; a) thỏa mãn (5) nằm trong hai góc đối đỉnh ∠ AO 1 B và ∠ CO 1 D (không kể cạnh). Những điểm M(x ; a) thỏa mãn (6) là đường tròn tâm O, bán kính R = 2. Từ hình vẽ suy ra nghiệm của hệ (5), (6) chính là cung AB và CD của đường tròn (không kể 4 đầu mút (A, B, C, D) của cung). Do A, D là giao điểm của đường thẳng x + a = 0 với đường tròn x 2 + a 2 = 4, hai điểm B, C là giao điểm của đường thẳng x + 4a + 2 = 0 với đường tròn x 2 + a 2 = 4. Giải ra ta tìm được tọa độ của các điểm A(-2 ; 0), B(- 2 ; 2 ), C( 2 ; 2 ), D( 17 30 ; 17 16 − ). Từ đó, suy ra hệ có nghiệm khi 20 << a hoặc 17 16 2 −<<− a . -2 2 2 -2 a x O B A D C 2 2 − 17 16 − x+a=0 x+4a+2=0 O 1 9 Vậy hệ đã cho có nghiệm khi 20 << a hoặc 17 16 2 −<<− a . Bài 4. Cho hệ: )8( )7( 4 024)25( 22 22    ≤+ <++++ ax aaxax Tìm a để hệ có nghiệm. Nhận xét: Hệ (7), (8) được suy ra từ hệ (5), (6). Hệ có nghiệm khi phần hình tròn tâm O bán kính R = 2 thỏa mãn (7). Giải Làm tương tự như bài 3, ta thấy các điểm M(x ; a) thỏa mãn hệ đã cho được biểu diễn bằng miền gạch trong hình vẽ. Nhìn vào đồ thị ta thấy đường thẳng a = m cắt miền gạch chéo khi 22 ≤≤− m Vậy hệ có nghiệm khi 22 ≤≤− a . Đặc biệt, hệ có nghiệm duy nhất khi 2,2 −== aa hoặc 3 2 −=a . Bài 5. Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm duy nhất x a A B C D O 2 − x+4a+2=0 x+a=0 O 1 3 2 − 2 a = m 10 [...]... qua một số ví dụ trên có thể phần nào thấy được vai trò của bất phương trình và hệ bất phương trình trong việc giải toán Đại số Tuy nhiên, khi sử dụng phương pháp này giáo viên cần phải cung cấp cho học sinh một số vốn kiến thức nhất định và kỹ năng nhận dạng bài tập Phương pháp này cũng như mọi phương pháp khác không thể áp dụng được cho tất cả các bài toán về giải bất phương trình và hệ bất phương trình. .. trình và hệ bất phương trình và chưa hẳn đây đã là một phương pháp tối ưu, do vậy học sinh cần căn cứ vào đặc điểm của từng bài toán, khai thác giả thiết đã cho và nhận dạng bài tập để lựa chọn phương pháp giải cho thích hợp, từ đó sẽ có cách nhìn linh hoạt, uyển chuyển và có sự nhuần nhuyễn về kỹ năng khi giải các bài tập về bất phương trình và hệ bất phương trình có chứa tham số Qua thực tế giảng dạy... 65 2 2 Một số bài toán về bất phương trình Bài 1 Cho a > 0 Giải và biện luận bất phương trình sau: 2ax − x 2 ≥ a − x Giải Xét bất phương trình Đặt y = 2ax − x 2 2ax − x 2 ≥ a − x (với a > 0) y≥0  ⇔ 2 2  x + y − 2ax = 0 y≥0  ⇔ 2 2 2 ( x − a ) + y = a Do đó đồ thị y = 2ax − x 2 là nửa đường tròn có tâm I(a ; 0), bán kính R = a (với a > 0) Khi đó bất phương trình đã cho tương đương với hệ sau:... 7 8 Giải ra ta được:  Do 0 < a < nên giá trị thỏa mãn là a = 7 2 40 a = 40  Vậy bất phương trình có độ dài nghiệm thõa mãn yêu cầu bài toán a = 7 40 3 Một số bài tập đề nghị Bài 1 Cho bất phương trình: a 2 − x 2 ≥ 2 x Tìm a để tập hợp nghiệm của bất phương trình là đoạn có độ dài bằng 4 Bài 2 Cho bất phương trình: − 4 (4 − x)(2 + x) ≤ −2 x + 4a − 8 Tìm a để bất phương trình trên có nghiệm Bài. .. đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác Người viết Nguyễn Thị Hiền D MỤC LỤC Tiêu đề Trang A ĐẶT VẤN ĐỀ…………………………………………………… 1 2 B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ………………………………………… I THỰC TRẠNG……………………………………………… II CƠ SỞ LÝ LUẬN……………………………… III BÀI TOÁN MINH HỌA…………………………………… 1 Một số bài toán về hệ bất phương trình ……………… 2 Một số bài toán về bất phương trình ………………… 3 Một số bài tập đề... ), do đó những điểm thỏa mãn (4) và (6) là phần của đường tròn như trên hình vẽ Từ đồ thị ta thấy hệ bất phương trình có nghiệm khi: 0 ≤ R ≤ 2 hay 0 ≤ 2a ≤ 2 ⇔ 0 ≤ a ≤ 2 Vậy bất phương trình có nghiệm khi 0 ≤ a ≤ 2 Bài 3 Cho bất phương trình: 1 − ( x + 2a ) 2 ≥ 4 x 3 Tìm a để tập hợp nghiệm của bất phương trình là đoạn có độ dài bằng 9 5 Giải 4 3 Xét bất phương trình 1 − ( x + 2a) 2 ≥ x y≥0  ... thấy với ∀a > 0 , bất phương trình đều có nghiệm x0 ≤ x ≤ 2a (*) Với x0 là hoành độ giao điểm của đường thẳng x + y = a với nửa đường tròn (x – a)2 + y2 = a2 , (a > 0) Hay x0 là nghiệm của phương trình:  x≤a a( 2 − 2)  ⇔ x0 = a − x = 2ax − x 2 ⇔  2 2 2 2 x − 4ax + a = 0  Từ (*) suy ra ∀a > 0 thì nghiệm của bất phương trình đã cho là: a (2 − 2 ) ≤ x ≤ 2a 2 a (2 − 2 ) Kết luận: Với ∀a > 0 bất phương. .. Với ∀a > 0 bất phương trình có nghiệm ≤ x ≤ 2a 2 Bài 2 Tìm a để bất phương trình sau có nghiệm a+ x + a− x ≤2 Giải Ta chỉ xét a ≥ 0 ( vì khi a < 0 thì a − x không có nghĩa) Khi đó đặt: u = a + x , u ≥ 0 v ≥ 0 Bất phương trình đã cho trở thành: v= a− x ,  u ≥ 0, v ≥ 0   u+v≤ 2 u 2 + v 2 = 2a  (4) (5) (6) 14 v B 2 2 A O u u+v=2 Xét trên hệ trục Ouv, các điểm (u; v) thỏa mãn (4) và (5) là miền gạch... hình vẽ) y 1 I x 1 O x+y=1 Hệ (9’’), (10’’) có nghiệm duy nhất khi đường thẳng x + y = 1 tiếp xúc với đường tròn (x – 1)2 + (y – 1)2 = m + 1, tức là m + 1 = d ( I , ∆) ⇔ m +1 = 1 1 ⇔m=− 2 2 11 1 2 Vậy hệ có nghiệm duy nhất khi m = − Đặc biệt, nếu bài toán trở thành: tìm m để hệ bất phương trình (9), (10) có 1 2 nghiệm thì khi đó: R = m + 1 ≥ d ( I , ∆) ⇔ m ≥ − Bài 6 Tìm m để hệ sau có nghiệm không âm... 2a) 2 , y ≥ 0 ⇔  Do đó bất phương trình đã cho tương đương với hệ: y≥0   2 2 ( x + 2a ) + y = 1  4x − 3y ≤ 0  (7 ) (8) (9) Xét trên hệ trục tọa độ Oxy, các điểm (x; y) thỏa mãn (7), (8) là nửa đường tròn có tâm I(- 2a; 0), bán kính R = 1 (phần nửa đường tròn không nằm dưới trục hoành) Gọi L là độ dài tập nghiệm của bất phương trình 15 Trường hợp 1: Nếu tâm I(-2a; 0) trùng với điểm (-1; 0) hoặc . hình tròn và miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn để giải một số bất phương trình và hệ bất phương trình chứa tham số nhằm nâng cao chất lượng đối với học sinh lớp 10”. 2 B. GIẢI QUYẾT. ẩn để giải một số bất phương trình và hệ bất phương trình chứa tham số nhằm nâng cao chất lượng đối với học sinh lớp 10”. Nhằm đơn giản các bài toán đại số, khắc sâu kiến thức cơ bản về hình. GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ NHẰM NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG ĐỐI VỚI HỌC SINH LỚP 10 Người thực hiện: Nguyễn Thị Hiền Chức vụ: Giáo viên SKKN môn: Toán THANH