QUÁCH ĐĂNG THĂNG 0 log b x a a b x b > = ⇔ = PHƯƠNG TRÌNH MŨ CHUYÊN ĐỀ www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com Chuyên đề - Phương trình Mũ Quách Đăng Thăng - Trường THPT Phù Cừ ~ 1 PHƯƠNG TRÌNH MŨ Phương pháp 1: Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương. I. Trọng tâm kiến thức: Bài toán sử dụng phương pháp biến đổi tương đương để giải phương trình mũ là bài toán cơ bản của phương trình mũ. Dạng chính của phương pháp này là sử dụng phương pháp biến đổi tương đương để biến đổi phương trình mũ về dạng cơ bản hoặc dạng có cùng cơ số. Phương pháp: Ta sử dụng phép biến đổi tương đương sau Dạng 1: Phương trình ( ) ( ) = f x g x a a + Khi cơ số a là một hằng số thỏa mãn 0 1 < ≠ a thì ( ) ( ) ( ) ( ) = ⇔ = f x g x a a f x g x . + Khi cơ số a là một hàm số của ẩn x thì ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 =   < ≠ = ⇔     =   f x g x a a a a f x g x ho ặ c ( ) ( ) ( ) 0 1 0 >    − − =       a a f x g x . Dạng 2: Ph ươ ng trình ( ) = f x a b Cách gi ả i: ( ) ( ) 0 1, 0 log < ≠ >  = ⇔  =  f x a a b a b f x b Đặc biệt: + Khi 0 = b ho ặ c 0 < b thì k ế t lu ậ n ngay ph ươ ng trình vô nghi ệ m. + Khi 1 = b ta vi ế t 0 = b a . Suy ra ph ươ ng trình ( ) ( ) ( ) 0 0 = ⇔ = ⇔ = f x f x a b a a f x . + Khi 1 ≠ b mà b có th ể bi ể u di ễ n thành = c b a . Suy ra ph ươ ng trình ( ) ( ) ( ) = ⇔ = ⇔ = f x f x c a b a a f x c . Tuy nhiên có nhi ề u tr ườ ng h ợ p v ớ i ph ươ ng trình ( ) ( ) = f x g x a b ta c ầ n ch ọ n ph ầ n t ử trung gian c để bi ế n đổ i ph ươ ng trình v ề d ạ ng ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ⇔ = ⇔ = f x g x f x g x c c c c f x g x α β α β α β Chú ý: Tr ướ c khi bi ế n đổ i ph ươ ng trình chúng ta ph ả i tìm đ i ề u ki ệ n để ( ) f x và ( ) g x có ngh ĩ a. II. Bài tập chọn lọc, điển hình: www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com Chuyên đề - Phương trình Mũ Quách Đăng Thăng - Trường THPT Phù Cừ ~ 2 Bài 1: Gi ả i các ph ươ ng trình sau: a) 2 1 1 2 4.9 3.2 + − = x x . b) 1 2 4 3 7.3 5 3 5 + + + + − = − x x x x . c) 2 3 5 125 − = x x . d) ( ) 7 4 3 4 5 4 3 [ 27 ] 3 − + = x x x x . Hướng dẫn giải a) Ta có ( ) ( ) 2 1 2 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 3 4.9 3.2 4.3 3. 2 3 4 + − + + − − = ⇔ = ⇔ = x x x x x x ( ) ( ) ( ) 2 1 2 3 2 3 2 3 4 2 3 3 2 2 + − − − ⇔ = ⇔ = x x x x 2 3 3 3 ( ) 1 2 3 0 2 2 − ⇔ = ⇔ − = ⇔ = x x x . V ậ y ph ươ ng trình có nghi ệ m 3 2 = x . b) Ta có 1 2 4 3 1 1 1 1 7.3 5 3 5 7.3 5.5 27.3 25.5 + + + + + + + + − = − ⇔ − = − x x x x x x x x 1 1 1 1 1 3 20.5 20.3 3 5 1 1 0 1 5 + + + + +   ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ + = ⇔ = −     x x x x x x x . V ậ y ph ươ ng trình có nghi ệ p 1 = − x . c) Ta có 2 3 2 3 3 0 3 0 3 3 5 125 5 5 2 3 3 2 3 3 5 3 2 3 3 5 − − ≥  ≥     = −  = ⇔ = ⇔ − = ⇔ ⇔ ⇔ = − =         − = − =      x x x x x x x x x x x x x x x V ậ y ph ươ ng trình có hai nghi ệ m 3 5 = x . d) Đ i ề u ki ệ n: 0 ≥ x . ( ) ( ) ( ) 2 2 . 7 7 7 4 3 4 3 4 3 4 3 4 4 4 5 5 5 4 3 [ 27 ] 3 27 3 27 3         − − + −       +                 = ⇔ = ⇔ = x x x x x x x x x x ( ) 2 2 2 3 3 16 7 . 7 216 3 4 5 5 48 4 3 3 16 7 27 3 3 3 . 3 16 140 5 48 4 − − − ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ − = x x x x x x x x ( ) ( ) 2 14 loai 3 3 16 140 0 10 /  = −  ⇔ − − = ⇔  =   x x x x t m . www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com Chuyên đề - Phương trình Mũ Quách Đăng Thăng - Trường THPT Phù Cừ ~ 3 V ậ y ph ươ ng trình có nghi ệ m x=10. Bài 2: Gi ả i các ph ươ ng trình sau: a) 2 4 5 7 49 − + = x x x . b) 3 2 2 2 2 3 8 4 − + + + = x x x x . c) 2 8 1 3 2 4 − + − = x x x . d) 1 2 3 4 3 3 3 3 750 + − − − + − + = x x x x . Hướng dẫn giải a) Ta có 2 2 4 5 4 5 2 2 2 2 7 49 7 7 4 5 2 6 5 0 3 − + − + =  = ⇔ = ⇔ − + = ⇔ − + = ⇔  =  x x x x x x x x x x x x x . Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 2, x = 3. b) Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 3 2 2 3 2 2 2 3 2 2 3 3 2 2 8 4 2 2 3 2 2 2 3 − + + + − + + + = ⇔ = ⇔ − + = + + x x x x x x x x x x x x ( ) 3 2 2 2 0 0 4 22 3 8 2 0 3 8 2 0 3 3 8 2 0 4 22 3   =  =  −  ⇔ − − = ⇔ − − = ⇔ ⇔ =   − − =   +  =   x x x x x x x x x x x x V ậ y ph ươ ng trình có 3 nghi ệ m 4 22 4 22 0, , 3 3 − + = = =x x x . c) Ta có ( ) 2 2 2 1 3 8 1 3 8 2 2 4 2 2 8 2 6 − − + − − + = ⇔ = ⇔ − + = − x x x x x x x x x 2 3 5 6 0 2 = −  ⇔ + + = ⇔  = −  x x x x . V ậ y ph ươ ng trình có 2 nghi ệ m 3, 2 = − = − x x . d) Ta có 1 2 3 4 3 3 3 3 3 3 3 750 3.3 750 9 27 81 + − − − + − + = ⇔ + − + = x x x x x x x x 5 1 1 1 250 3 .3 750 .3 750 3 3.81 3 3 5 9 27 81 81   ⇔ + − + = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ =     x x x x x . V ậ y ph ươ ng trình có nghi ệ m x = 5. Bài 3: Gi ả i các ph ươ ng trình sau: a) ( ) ( ) 1 1 1 5 2 5 2 − − + + = − x x x . www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com Chuyên đề - Phương trình Mũ Quách Đăng Thăng - Trường THPT Phù Cừ ~ 4 b) ( ) ( ) 3 1 1 3 10 3 10 3 − + − + + = − x x x x . c) ( ) ( ) 2 5 2 1 2 1 2 5 6 35 6 35 + − + − + = − x x x x . d) ( ) ( ) 2 2 9 2 7 7 48 7 48 − + − + = − x x x . Hướng dẫn giải a) Đ i ề u ki ệ n 1 ≠ − x . Vì ( ) ( ) 5 2 5 2 5 4 1 + − = − = nên ( ) 1 1 5 2 5 2 5 2 − − = = + + . Ph ươ ng trình đượ c vi ế t thành ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 5 2 5 2 5 2 5 2 1 1 − − − − − + + − + = − ⇔ + = + ⇔ − = − + x x x x x x x x x ( ) ( )( ) 1 1 1 1 0 1 1 0 1 2 0 2 1 1 =  −   − + = ⇔ − + = ⇔ − + = ⇔    = − + +    x x x x x x xx x (th ỏ a mãn). V ậ y ph ươ ng trình có 2 nghi ệ m x = - 2, x = 1. b) Đ i ề u ki ệ n 1 0 1 3 0 3 − ≠ ≠   ⇔   + ≠ ≠ −   x x x x . Vì ( ) ( ) 10 3 10 3 10 9 1 + − = − = nên ( ) 1 1 10 3 10 3 10 3 − − = = + + . Khi đó: ( ) ( ) ( ) ( ) 3 1 3 1 1 3 1 3 3 1 10 3 10 3 10 3 10 3 1 3 − + − + − − + − + − + + = − ⇔ + = + ⇔ = − − + x x x x x x x x x x x x ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 3 1 1 9 1 2 10 ⇔ − + = − + − ⇔ − = − + ⇔ = x x x x x x x 2 5 5 5  = ⇔ = ⇔  = −   x x x (th ỏ a mãn). V ậ y ph ươ ng trình có 2 nghi ệ m 5, 5 = − =x x . c) Đ i ề u ki ệ n 1 2 1 0 2 2 5 0 5 2  ≠ −  + ≠   ⇔   − ≠   ≠   x x x x . Vì 6 35. 6 35 36 35 1 1 + − = − = = www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com Chuyên đề - Phương trình Mũ Quách Đăng Thăng - Trường THPT Phù Cừ ~ 5 nên ( ) 1 1 6 35 6 35 6 35 − − = = + + . Khi đ ó ( ) ( ) ( ) ( ) 2 5 2 1 2 5 2 1 2 1 2 5 2 1 2 5 6 35 6 35 6 35 6 35 + − + − − + − + − + = − ⇔ + = + x x x x x x x x 2 5 2 1 2 1 2 5 + − ⇔ = − + − x x x x ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 5 2 5 2 1 2 1 4 25 4 1 ⇔ + − = − − + ⇔ − = − + x x x x x x 2 2 13 13 2 8 26 4 13 2  = −   ⇔ = ⇔ = ⇔  =   x x x x (th ỏ a mãn). V ậ y ph ươ ng trình đ ã cho có 2 nghi ệ m 13 2 13 2  = −    =   x x . d) Vì ( ) 2 2 2 9 1 8 0, − + = − + > ∀ ∈ x x x x » nên đ i ề u ki ệ n c ủ a ph ươ ng trình là ∀ ∈ x » . Mà ( ) ( ) 7 48 7 48 49 48 1 + − = − = . Suy ra ( ) ( ) ( ) 1 1 7 48 7 48 7 48 − − = = + + . Khi đ ó ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 9 2 7 2 9 2 7 2 7 48 7 48 7 48 7 48 2 9 2 7 − + − − + − + + = − ⇔ + = + ⇔ − + = − + x x x x x x x x x ( ) 2 2 2 7 7 2 2 7 0 2 2 2 2 9 2 7 3 26 40 0 20 3  ≤   − + ≥  ≤    ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = =     − + = − +      − + =    =   x x x xx x x x x x x (th ỏ a mãn). V ậ y ph ươ ng trình có nghi ệ m x = 2. www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com Chuyên đề - Phương trình Mũ Quách Đăng Thăng - Trường THPT Phù Cừ ~ 6 Chú ý: Ta có: ( ) ( ) 2 2 1 1 + − − − x x M M M M ( ) ( ) 2 2 1 1   = + − − −   x M M M M ( ) 2 2 1 1 1   = − − = =   x x M M . Suy ra ( ) ( ) 2 2 1 1 − − − = + − x x M M M M . Bài 4: Giải phương trình: ( ) ( ) sin 2 3cos 2 2 2 2 − + − = + − x x x x x Hướng dẫn giải Ph ươ ng trình đượ c bi ế n đổ i v ề d ạ ng: ( ) ( ) 2 2 2 1 2(*) 2 0 1 0(1) 2 1 sin 2 3cos 0 sin 3cos 2(2) − < <  + − >    − − =  ⇔   + − − − + =     + =   x x x x x x x x x x x Gi ả i (1) ta đượ c 1,2 1 5 2 ± =x tho ả mãn đ i ề u ki ệ n (*) Gi ả i (2): 1 3 sin cos 1 sin 1 2 2 , 2 2 3 3 2 6   + = ⇔ + = ⇔ + = + ⇔ = + ∈     x x x x x k x k k Z π π π π π π Để nghi ệ m tho ả mãn đ i ề u ki ệ n (*) ta ph ả i có: 1 1 1 2 2 1 2 0, 6 2 6 2 6     − < + < ⇔ − − < < − ⇔ = ∈         k k k k Z π π π π π π khi đ ó ta nh ậ n đượ c 3 6 = x π V ậ y ph ươ ng trình có 3 nghi ệ m phân bi ệ t 1,2 3 1 5 ; 2 6 ± = = x x π . Bài 5: Gi ả i ph ươ ng trình: ( ) ( ) 2 2 4 3 5 2 2 3 6 9 + − − + − = − + x x x x x x x Hướng dẫn giải Ph ươ ng trình đượ c bi ế n đổ i v ề d ạ ng: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 4 3 5 2 2 2( 4) 3 3 3 + − − + + −   − = − = −   x x x x x x x x x www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com Chuyên đề - Phương trình Mũ Quách Đăng Thăng - Trường THPT Phù Cừ ~ 7 2 2 2 3 1 4 4 0 3 1 3 4 5 3 5 2 2 2 8 7 10 0 − = =   =    < − ≠ < ≠ ⇔ ⇔ ⇔      =      − + = + − − + =     x x x x x x x x x x x x V ậ y ph ươ ng trình có 2 nghi ệ m phân bi ệ t x=4, x=5. Bài 6: Cho ph ươ ng trình ( ) 2 1 4 5 1 1 1 4 2 + − + = m x x . a) Gi ả i ph ươ ng trình v ớ i m = 0. b) Tìm m để ph ươ ng trình có 2 nghi ệ m trái d ấ u. c) Tìm m để ph ươ ng trình có 2 nghi ệ m thu ộ c kho ả ng ( ) 1,4 . Hướng dẫn giải Bi ế n đổ i ph ươ ng trình v ề d ạ ng: ( ) 2 2 4 5 2 2 1 4 5 2 2 1 1 1 1 4 2 2 2 4 5 2 2 4 3 2 0 2 − + + + − +     = ⇔ =         ⇔ − + = + ⇔ − + − = x x m m x x x x m x x m a) V ớ i m = 0, ta đượ c ph ươ ng trình 2 1 4 3 0 3 =  − + = ⇔  =  x x x x . V ậ y v ớ i m = 0 ph ươ ng trình có 2 nghi ệ m phân bi ệ t 1, 3 = = x x . b) Ph ươ ng trình (1) có 2 nghi ệ m trái d ấ u ⇔ Ph ươ ng trình (2) có 2 nghi ệ m trái d ấ u. ⇔ 3 2 3 0 0 3 2 0 1 2 − < ⇔ < ⇔ − < ⇔ > m P m m . V ậ y, v ớ i 3 2 > m thì ph ươ ng trình (1) có 2 nghi ệ m trái d ấ u. c) Ph ươ ng trình (1) bi ế n đổ i v ề d ạ ng ( ) 2 4 3 2 3 − + =x x m . Ph ươ ng trình (1) có 2 nghi ệ m thu ộ c kho ả ng ( ) 1,4 ⇔ Ph ươ ng trình (3) có 2 nghi ệ m thu ộ c kho ả ng ( ) 1,4 . Xét hàm s ố ( ) 2 4 3 = = − + y f x x x trên kho ả ng ( ) 1,4 ta có b ả ng bi ế n thiên www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com Chuyên đề - Phương trình Mũ Quách Đăng Thăng - Trường THPT Phù Cừ ~ 8 T ừ b ả ng bi ế n thiên suy ra ph ươ ng trình (3) có 2 nghi ệ m thu ộ c kho ả ng ( ) 1,4 1 2 0 ⇔ − < < m 1 0 2 ⇔ − < < m . Vậy, với 1 0 2 − < < m thì ph ươ ng trình (1) có 2 nghi ệ m thu ộ c kho ả ng ( ) 1,4 . Lưu ý: Ở câu c) chúng ta có th ể s ử d ụ ng đị nh lý đả o v ề tam th ứ c b ậ c hai để làm tuy nhiên ph ậ n ki ế n th ứ c này đ ã đượ c gi ả m t ả i không đư a vào n ữ a nên vi ệ c dùng ph ươ ng pháp hàm s ố là h ữ u hi ệ u và nhanh nh ấ t. Bài 7: Cho ph ươ ng trình ( ) 3 2 2 2 3 2 2 1 27 1 9 − + − − − + = mx x x mx x . a) Gi ả i ph ươ ng trình v ớ i m = -3. b) Tìm m để ph ươ ng trình có 3 nghi ệ m phân bi ệ t d ươ ng. Hướng dẫn giải Bi ế n đổ i ph ươ ng trình v ề d ạ ng: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 3 2 2 3 2 3 2 2 3 2 2 2 3 3 3 2 3 2 2 2 3 3 7 2 0 3 2 2 1 0 3 2 0 2 1 0 2 − + − − − + − = ⇔ − + − = − − − + ⇔ − + + − = ⇔ − − + = − =  ⇔  − + =  mx x x mx x mx x x mx x mx m x x x mx x x mx x a) V ớ i m = -3, ta đượ c ph ươ ng trình 2 2 3 3 2 0 1 3 2 1 0 1 3  =  − =   ⇔ = −   − − + =   =   x x x x x x V ậ y, v ớ i m = -3 ph ươ ng trình có 3 nghi ệ m 1 2 1, , 3 3 = − = = x x x . x y 1 2 4 0 -1 3 t −∞ +∞ +∞ +∞ www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com Chuyên đề - Phương trình Mũ Quách Đăng Thăng - Trường THPT Phù Cừ ~ 9 b) Đặ t ( ) 2 2 1 = − + f x mx x . Ph ươ ng trình (1) có 3 nghi ệ m phân bi ệ t d ươ ng ⇔ Ph ươ ng trình (2) có 2 nghi ệ m phân bi ệ t d ươ ng khác 2 3 . ( ) ' (2) (2) 2 0 0 0 1 0 0 1 0 1 2 0 0 0 3 0 4 0 1 0 3 2 0 4 4 4 3 1 0 9 3       ≠ ≠  ≠   − >    ∆ > < < <         ⇔ > ⇔ > ⇔ > ⇔     ≠     >  >    >      ≠    ≠         − + ≠   m m m m m m S m m m m P m m f m . V ậ y, v ớ i ( ) 3 0,1 \ 4   ∈     m thì ph ươ ng trình (1) có 3 nghi ệ m phân bi ệ t d ươ ng. Phương pháp 2: Sử dụng phương pháp Lôgarit hóa và đưa về cùng cơ số I. Trọng tâm kiến thức: Để chuy ể n ẩ n s ố kh ỏ i s ố m ũ lu ỹ th ừ a ng ườ i ta có th ể logarit theo cùng 1 c ơ s ố c ả 2 v ế c ủ a ph ươ ng trình, ta có các d ạ ng: Dạng 1: Ph ươ ng trình: ( ) ( ) 0 1, 0 log < ≠ >  = ⇔  =  f x a a b a b f x b Đặc biệt: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 xaùc ñònh 1 1 0     >   = ⇔       =     ≠        =     g x f x f x g x f x f x g x Dạng 2: Ph ươ ng trình (c ơ s ố khác nhau và s ố m ũ khác nhau): ( ) ( ) ( ) ( ) log log ( ) ( ).log = ⇔ = ⇔ = f x g x f x f x a a a a b a b f x g x b www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com . PHƯƠNG TRÌNH MŨ CHUYÊN ĐỀ www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com Chuyên đề - Phương trình Mũ Quách Đăng Thăng - Trường THPT Phù Cừ ~ 1 PHƯƠNG TRÌNH MŨ Phương pháp 1: Sử dụng phương. dụng phương pháp biến đổi tương đương để giải phương trình mũ là bài toán cơ bản của phương trình mũ. Dạng chính của phương pháp này là sử dụng phương pháp biến đổi tương đương để biến đổi phương. www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com Chuyên đề - Phương trình Mũ Quách Đăng Thăng - Trường THPT Phù Cừ ~ 15 Vậy phương trình có nghiệm 0 = x . c) Phương trình được viết lại 2 1 1 1 1 1 2