CHUN ĐỀ TỐN CHIA HẾT NHĨM THỰC HIỆN Trần Văn Minh Vũ Văn Quyết Hoàng Vĩnh Linh Triệu Thị Thảo Ngô Thị Phương Loan Thái Nguyên tháng năm 2009 Thành phần chuyên đề gồm: I TÓM LƯỢC LÝ THUYẾT CHIA HẾT II CÁC DẠNG TỐN I TĨM LƯỢC LÝ THUYẾT CHIA HẾT: ĐỊNH NGHĨA PHÉP CHIA HẾT: - Với hai số nguyên a b ,ta nói rằng a chia hết cho b (b ≠0) nếu tồn tại số nguyên k cho a = kb - Kí hiêêu : a  b ⇔ a = kb -Hay a bôêi b kí hiêêu a ∈ B(b) Hoăêc a b -Hay b ước a kí hiêêu b ∈ Ư(a) Hoăêc b\ a TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÉP CHIA HẾT b 1) Nếu a,b nguyên dương mà a  , thì a ≥ b 2) Tâêp hợp ước –1 3) Nếu  với mọi i = 1, n thì b (a1 + a2 + a3 + + an)  b 4) Nếu  với mọi i = 1, n Nếu ak  b b 5) Nếu b \ a thì b\(-a) ; -b \ a ; -b \ -a ; b \ a 6) Với a,b Z , Nếu b \ a a\ b thì a = b 7) Với a , b, c Z nếu a\b b\c thì a\c 8) Với a1 ,a2 , , an ∈ Z nếu b \a1 ; b \ a2 , ,b\ an thì với x1, x2 , , xn ∈Z ta có b \a1x1 + a2x2+ + anxn 9) Bất số khác chia hết cho chính nó 10) Tính chất bắc cầu: Nếu a chia hết cho b b chia hết cho c thì a chia hết cho c 11) Số chia hết cho mọi số b khác 12) Bất số chia hết cho 13) Nếu a b chia hết cho m thì a + b chia hết cho m , a– b chia hết cho m Hệ quả: Nếu tổng hai số chia hết cho m hai số chia hết cho m thì số lại cùngchia hết cho m 14) Nếu hai số a b chia hết cho m, số không chia hết cho m thì a + b không chia hết cho m, a – b không chia hết cho m Hệ quả: Nếu a chia hết cho b thì an chia hết cho bn CÁC DẤU HIỆU CHIA HẾT: Dấu hiệu chia hết cho 2: số x có tận 0, 2, 4, 6, thì chia hết cho 2 Dấu hiệu chia hết cho 3: số x có tổng chữ số chia hết cho thì chia hết cho Dấu hiệu chia hết cho 4: số x có chữ số tận chia hết cho thì chia hết cho 4 Dấu hiệu chia hết cho 5: số x có tận bằng thì chia hết cho 5 Dấu hiệu chia hết cho 6: chữ số vừa có thể chia hết cho vừa có thể chia hết cho thì chia hết cho 6 Dấu hiệu chia hết cho 7: gọi x số cần kiểm tra dấu hiệu chia hết cho gọi m số tận x gọi l =2m, y x b? ?i chữ số m ta có: y -l =k nếu k chia hết cho thì x chia hết cho Ví dụ: ta lấy số 3456789 dể kiểm tra: Ta có: 345678 -18 làm cho tới ta tìm được số k chia hết cho thì 3456789 chia hết cho nếu k không chia hết cho thì x không chia hết cho 7 Dấu hiệu chia hết cho 8: số x có chữ số tận chia hết cho thì x chia hết cho 8 Dấu hiệu chia hết cho 9: Số x có tổng chữ số chia hết cho thì chia hết cho 9 Dấu hiệu chia hết cho 10: số x có tận bằng thì chia hết cho 10 10 Dấu hiệu chia hết cho 11: nếu tổng tất chữ số vị trí chẵn bằng tổng chữ số vị trí lẻ thì x chia hết cho 11 11 Dấu hiệu chia hết cho 12: nếu x vừa chia hết cho vừa chia hết cho thì x chia hết cho 12 12 Dấu hiệu chia hết cho 13: gọi x số cần kiểm tra dấu hiệu chia hết gọi m chữ số cuối x gọi l = 4m gọi y là x b? chữ số tận ta có k = y+l ta có tiếp tục làm cho tới chắn có k chia hết cho 13 thì x chia hết 13 Ví dụ: 2345678 số cần kiểm tra dấu hiệu chia hết cho 13 ta lấy 234567+ 32 làm bước cho tới chắn k chia hết cho 13 thì x chia hết cho 13, nếu k không chia hết 13 thì x không chia hết cho 13 13 Dấu hiệu chia hết cho 14: x số chia hết cho 14 x chia hết cho x chia hết cho 14 Dấu hiệu chia hết cho 15: x chia hết cho 15 x chia hết cho x chia hết cho 15 Dấu hiệu chia hết cho 16: x số chia hết cho 16 x chia hết cho x chia hết cho Vậy 10n + 18n – chia hết cho 27 *Cách 2: (Phương pháp quy nạp toán học) + Nếu n = thì A = 10 + 18 – = 27 chia hết cho 27 Vậy mệnh đề với n = + Giả sử mệnh đề đúngv với n = k tức Ak = 10k + 18k -1 chia hết cho 27 Ta cần chứng minh mệnh đề với n = k + Thật Ak+1 = 10k+1 + 18(k + 1) – = 10k.10 + 18k + 18 – Ak+1 = 10 (10k + 18k -1) – 9.18k +27 A K+1 = 10 (10k +18k-1) - 27.6k + 27 M 10 ( 10k + 18k-1) M 27 27 6k M ; 27 M27 27     => A K+1 M27    Vậy 10n + 18n -1 chia hết cho 27 Bài toán 4: Với mọi n dương chứng minh: B = 7n +3n -1 chia hết cho Cách 1: (Phương pháp quy nạp toán học) +Nếu n = thì B = + - = 9 Giả sử mệnh đề với n = k tức Bk = 7k +3k -1 chia hết cho Ta cần chứng minh mệnh đề với n = k +1 Thật vậy: Bk+1 = 7k+1 + ( k+1) -1 Bk+1 = 7k + 3k + -1 Bk+1 = ( 7k + 3k -1) – 3k – Bk+1 = 7( 7k + 3k -1) – 9.2k -9 Bk+1 chia hết cho Vậy 7n + 3n -1 chia hết cho với mọi n nguyên dương Bài tập tương tự Bài1: Chứng minh rằng : a)-10n + 72n -1 chia hết cho 91 b)- 22n +15n-1 chia hết cho với mọi n nguyên dương Bài 2: Chứng minh rằng với mọi n tự nhiên thì (n+ 19931994 ) (n+ 19941993 ) chia hết cho Bài 3: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì122n+1 + 11n+2 chia hết cho 133 + Đối với số thì dạng tốn chia hết mà sớ mũ chứa chữ nên làm cần định hướng cho học sinh cách làm sau: Cách 1: Ta có: 122n+1+11n+2 = (122)n 12 + 11n 112 =144n 12 + 11n 121 =12( 144n – nn) + 12.11n + 121 nn = 12 133 M + 133 11n Mỗi số hạng hết cho 133 nên 122n+1 + 11n+2 chia hết cho 133 Cách 2: (Phương pháp quy nạp toán học) Với n =1 thì tổng 123 + 113 = (12 + 11) (122 -12 11 + 112) = 22.133 chia hết cho 133 Vậy mệnh đề với n=1 Giả sử mệnh đề với n=k Tức 122k+1+11k+2 chia hết 133 Ta cần chứng minh mệnh đề với n=k+1 Thật vậy: 122k+3 +11k+3=144 122k+1+11k+3 = 133 122k+1 +11 122k+1 + 11k+3 =133 122k+1 +11 (122k+1 + 11k+2 ) Vì 133 122k+1  133; 11(122k+1 +11k+2)  133 133 122k+1+11(132k+1 +11k+2) chia hết cho 133 Vậy 122n+1 + 11n+2 chia hết cho 133 Dạng 4:Tìm điều kiện để toán chia hết cho số cho biểu thức Bài tốn 1: tìm sớ tự nhiên n cho n2 +4  +1 n Ta có n2 + = n −1+ n +1 n +1 để (n2 + 4) (n+1) thì  n+1 hay n+1 ∈ Ư(5) Mà Ư(5) ={1; 5} Với n+1 = -> n = (thoả mãn) Với n+1 = -> n = (thoả mãn) Vậy với n = ; n = thì n2 + chia hết cho n+1 Bài tốn 2: tìm sớ tự nhiên n để : 32n+3 + 24n +1)  25 đặt A = 32n+3 + 24n +1) =27.32n + 24n = 25 32n + 2(32n+24n) = M.25 + 2(9n + 16n) + Nếu n lẻ thì 9n +16n  đó A chia hết cho 25 25 +Nếu n chẵn thì 9n có tận 1, còn16n có tận ⇒ 2( 9n +16n) có tận Vậy A không chia hết cho 25 Vậy với n lẻ thì 32n+3 + 24n +1)  25 Bài toán 3: Cho đa thức f(x) = a2x3 +3ax2 -6x -2a (a ∈Q) Xác định a cho f(x) chia hết cho (x +1) +Cách 1: đặt phép chia đa thức a2 x3 +3ax2 -6x -2a = (x +1) a2x2 +(3a –a2 )x + (a2-3a -6) +(-a2 +a +6) để f(x)  (x+1), ta phải có: -a2 + a + =  (a+2) (3-a) = => a+2 = (3-a) = nên a = -2; a = Kết luận: Vậy với a=-2; a=3 thì f(x)  (x+1) +Cách 2: dùng hệ số bất định Đa thức bị chia có bậc ba, đa thức chia có bậc nên thương đa thức bậc hai Gọi thương phép chia là:a2x2 + bx-2, Ta có f(x) = (x+1) (a2x2 +bx -2a)  a2x3 +3ax2 -6x -2a =a2x3 +(a2 +b)x2 +(b-2a) x -2a a + b = 3a ⇒ b − 2a = −6 Giải hệ phương trình ta được a= -2 thì b=-10 a=3 thì b=0 +Cách 3: Gọi thương phép chia f(x) cho (x+1) q(x)  a2x3 +3ax2 -6x -2a =(x+1) q(x) Vì đẳng thức với mọi x nên cho x =-1 ta được -a2 +3a +6 -2a =0  -a2 +a + =0 từ đó => a = -2; a = Với a = -2 thì f(x) = 4x3 - 6x2 - 6x + q(x) = 4x2 -10x +4 Với x =3 thì f(x) = 9x3 + 9x2 - 6x - q(x) = 9x2 - *Bài tập tương tự: Bài 1: Tìm k để k(k2 -1) (k2 -4) chia hết cho 480 HD: để ý rằng tích số nguyên liên tiếp chia hết cho 120 Đáp số : k = 8t, k = 4t +2, k =16t +1, k =16t - Bài 2: Tìm n để 5n - 2n chia hết cho HD: Lần lượt xét n=3k ,n =3k +1, n=3k +2 Chỉ có n =3k thì 5n -2n chia hết cho Bài 3: Xác định hằng số a,b để a) x4 + ax2 +b  –x +1 x b) ax3 + bx2 + 5x – 50 x + 3x - 10 HD: thực phép chia a) x4 + ax2 + b = (x2 –x +1) (x2 +x +a) + (a-1) x + b –a Muốn chia hết thì đa thức dư phải đồng bằng 0, đó a=1, b=a b) Đặt phép chia : Tính được a=1, b=8 ...Thành phần chuyên đề gồm: I TÓM LƯỢC LÝ THUYẾT CHIA HẾT II CÁC DẠNG TỐN I TĨM LƯỢC LÝ THUYẾT CHIA HẾT: ĐỊNH NGHĨA PHÉP CHIA HẾT: - Với hai số nguyên a b ,ta nói rằng a chia hết cho b... không chia hết 13 thì x không chia hết cho 13 13 Dấu hiệu chia hết cho 14: x số chia hết cho 14 x chia hết cho x chia hết cho 14 Dấu hiệu chia hết cho 15: x chia hết cho 15 x chia hết... hết cho x chia hết cho 15 Dấu hiệu chia hết cho 16: x số chia hết cho 16 x chia hết cho x chia hết cho 17 Dấu hiệu chia hết cho 18: x số chia hết cho 18 x chia hết cho x chia hết cho