KIỂM TRA BÀI CŨ Nêu các bước tính đạo hàm bằng định nghĩa của hàm số y = f(x) tại điểm x tùy ý? Đáp án Bước 1 : Giả sử x là số gia của đối số x. Tính : y=f(x+x)-f(x) Bước 2 : Lập tỷ số ( ) ( )y f x x f x x x ∆ + ∆ − = ∆ ∆ 0 lim x y x ∆ → ∆ ∆ Bước 3: Tìm . Kết luận 0 ' lim x y y x ∆ → ∆ = ∆ KIỂM TRA BÀI CŨ Áp dụng: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số y = x 3 tại điểm x tùy ý, từ đó dự đoán đạo hàm của hàm số y = x 10 tại điểm x Đáp án  Giả sử x là số gia của đối số tại x tuỳ ý, y=(x+ x) 3 -x 3 =(x+x –x)[(x+x) 2 +(x+x).x+x 2 ] 2 2 2 0 0 lim lim [( ) ( ). ] 3 x x y x x x x x x x x ∆ → ∆ → ∆ = + ∆ + +∆ + = ∆  Và  Tỷ số 2 2 ( ) ( ). y x x x x x x x ∆ = +∆ + +∆ + ∆ Dự đoán hàm số y = x hàm số y = x 10 10 có đạo hàm tại x là 10x 9 Vậy: (x 3 )’=3x 2 Tiết học này sẽ kiểm chứng phần dự đoán và giải quyết bài toán tính đạo hàm của hàm số nêu trên. Nhưng với hàm số y = x 10 + – 5 nếu tính đạo hàm theo định nghĩa thì rất phức tạp. x 1.Định lý 1: (x n )’ = nx n-1 Nội dung I. ĐẠO HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP I. ĐẠO HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP Ta có : a n – b n = (a-b)(a n-1 + a n-2 .b + …+ a.b n-2 + b n-1 ). Từ đó các em áp dụng tính : y = f(x+x) – f(x) =(x+x) n - x n Quay lại vấn đề, các em hãy dự đoán đạo hàm của hàm số y = x n (n ∈ N, n>1) tại giá trị x tuỳ ý và dùng định nghĩa chứng minh. Để giúp các em tính y,chúng ta bắt đầu từ các hằng đẳng thức a 2 –b 2 =(a-b)(a+b); a 3 – b 3 =( a- b)(a 2 +ab + b 2 ) đã biết. 1.Định lý 1: (x n )’ = nx n-1 Nội dung I. ĐẠO HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP I. ĐẠO HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP Giải:Giả sử x là số gia của x, ta có: y=y(x+ x)-y(x)= (x+ x) n – x n = (x+ x – x)[(x+ x) n-1 +(x+ x) n-2 .x +… +(x+ x).x n-2 + x n-1 ] =x[(x+ x) n-1 +(x+ x) n-2 .x +… +(x+ x).x n-2 + x n-1 ]. 1 2 2 1 ( ) ( ) . ( ). y n n n n x x x x x x x x x x ∆ − − − − = +∆ + +∆ + + +∆ + ∆ 1 2 2 lim lim [( ) ( ) . ( ). 0 0 1 1 1 1 1 1 ] ân y n n n x x x x x x x x x x x n n n n n n x x x x x nx n l ∆ − − − = +∆ + +∆ + + +∆ ∆ ∆ → ∆ → − − − − − − + = + + + + = 1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 2 4 4 4 4 4 4 4 4 4 43 1.Định lý 1: (x n )’ = nx n-1 Nội dung I. ĐẠO HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP I. ĐẠO HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP Định lý 1: Hàm số y = x n ( n ∈ N, n > 1) có đạo hàm tại mọi x ∈ R và (x n )’ = n.x n-1 . Định lý 1: (x n )’ = nx n-1 Các em hãy làm bài trắc nghiệm sau: Câu 1:Hàm số : y = x 2009 có đạo hàm tại giá trị x tuỳ ý là ? A. 2010.x 2009 B. 2009.x 2010 C. 2009.x 2008 D. 2008.x 2009 C Câu 2:Hàm số : y = x 2010 có đạo hàm tại giá trị x 0 = -1 là ? A. 2010 B. -2010 C. 2009 D. -2009 B 1.Định lý 1: (x n )’ = nx n-1 Nội dung I. ĐẠO HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP I. ĐẠO HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP Định lý 1: (x n )’ = nx n-1 Lớp chia thành nhóm chứng minh các kết quả sau bằng định nghĩa:  Hàm số : y = c, c là hằng số có ( c)’ =0  Hàm số : y = x có (x)’ = 1 Tại giá trị x tuỳ ý. Kết quả:Các hàm số : y = c và y = x có TXĐ : D = R Giả sử x là số gia của x thì : 1. Với hàm số y = c có y = y(x + x) – y(x) = c – c = 0. Do đó : 2. Với hàm số y = x có y = y(x + x) – y(x) = x + x – x = x Do đó : 0 à lim 0 0 y y v x x x ∆ ∆ = = ∆ ∆ ∆→ 1 à lim 1 0 y y v x x x ∆ ∆ = = ∆ ∆ ∆→ ( c)’ = 0 ( x)’ = 1 1.Định lý 1: (x n )’ = nx n-1 Nội dung I. ĐẠO HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP I. ĐẠO HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP Định lý 1: (x n )’ = nx n-1 ( c)’ = 0 ( x)’ = 1 Bài toán:Hãy tính đạo hàm của hàm số tại giá trị x dương bất kỳ theo định nghĩa? y x = ( )( ) ( ) 1 y x x x x x x x x x x x x x x x x x x ∆ + ∆ − +∆ − +∆ + ⇒ = = ∆ ∆ ∆ +∆ + = +∆ + Giải:Giả sử x là số gia của x dương sao cho x + x > 0. Ta có: ( )y x x x∆ = + ∆ − 0 0 1 1 lim lim 2 x x y x x x x x ∆ → ∆ → ∆ ⇒ = = ∆ + ∆ + Vậy : 1 ( )' 2 x x = 1.Định lý 1: (x n )’ = nx n-1 Nội dung I. ĐẠO HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP I. ĐẠO HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP Định lý 1: (x n )’ = nx n-1 ( c)’ = 0 ( x)’ = 1 Định lý 2: Hàm số có đạo hàm tại mọi x dương và y x = 1 ( )' 2 x x = Định lý 2: 1 ( )' 2 x x = Các em hãy làm bài trắc nghiệm sau: Câu 1:Hàm số : có đạo hàm tại giá trị x 0 =4 là ? y x = 1 2 1 8 1 4 1 16 A. B. C. D. C Câu 2:Hàm số : có đạo hàm tại giá trị x 0 = 0 là ? y x = A. 0 B. 1 C. D. Cả 3 đều sai 1 2 D 1.Định lý 1: (x n )’ = nx n-1 Nội dung I. ĐẠO HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP II. ĐẠO HÀM TỔNG, HiỆU, TÍCH, THƯƠNG II. ĐẠO HÀM CỦA TỔNG, HiỆU, TÍCH, THƯƠNG. 1. Định lý : 1)Định lí Định lý 3 Giả sử u = u(x), v = v(x) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Ta có: (u + v)’ = u’ + v’ (1) (u - v)’ = u’ - v’ (2) (u.v)’ = u’v + v’u (3) ' 2 ' ' ( ( ) 0) u u v v u v v x v v −   = = ≠  ÷   (4) II. ĐẠO HÀM CỦA TỔNG, HiỆU, TÍCH, THƯƠNG. 1. Định lý : (u+v)’=u’+v’ (u-v)’=u’-v’ (u.v)’=u’v+uv’ 2 ' ' ( )' u u v uv v v − =