Hướng dẫn giải đề thi tuyển sinh Cao đẳng năm 2014 Môn Toán HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO ĐẲNG NĂM 2014 MÔN: TOÁN Câu 1 a. Khảo sát hàm số Hàm số: 3 2 3 1y x x= − + − 1. Tập xác định: D = (- ∞ ; + ∞ ) 2. Sự biến thiên a) Đạo hàm y' = -3x 2 +6x y' = 0 <=> x = 0 ; x = 2. => Hàm số đạt 2 cực trị tại: A ( 0 ; -1 ), B ( 2 ; 3 ) b) Giới hạn và các đường tiệm cận + Giới hạn tại vô cực lim x y −>+∞ = - ∞ lim x y −>−∞ = + ∞ c) Bảng biến thiên d) Chiều biến thiên và các cực trị + Hàm số nghịch biến trên (- ∞ ; 0 ) + Hàm số đồng biến trên ( 0 ; 2 ) + Hàm số nghịch biến trên ( 2 ; + ∞ ) + Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 2; giá trị cực đại của hàm số là y = 3 + Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 0; giá trị cực tiểu của hàm số là y = -1 3. Đồ thị a) Giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ + Giao điểm của hàm số với trục Ox y = 0 <=> x = -0,532089 ; x = 0,652704 ; x = 2,879385 . + Giao điểm của hàm số với trục Oy x = 0 <=> y = -1. b) Nhận xét + Đồ thị hàm số nhận điểm uốn F( 0 ; 3 ) làm tâm đối xứng c) Vẽ đồ thị hàm số b. Gọi điểm thuộc (C) có hoành độ là 1 là M, thì M có tung độ: y M = -1 3 + 3.1 2 -1 = 1. Vậy M (1,1). Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm thuộc (C) có hoành độ 1 là: (y – y M ) = y ’ (x M ).(x – x M ) Û y – 1 = 3(x - 1) Û y = 3x - 2 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 1 - Hướng dẫn giải đề thi tuyển sinh Cao đẳng năm 2014 Môn Toán Câu 2. 2 2 5z iz i − = + Gọi z a bi = + z a bi ⇒ = − 2( ) ( ) 2 5a bi i a bi i ⇔ + − − = + 2 2 2 5a bi ai b i ⇔ + − − = + 2 (2 ) 2 5a b b a i i ⇔ − + − = + 2 2 3 2 5 4 a b a b a b − = =   ⇔ ⇔   − = =   => Phần thực của z là: 3 Phần ảo của z là: 4 Câu 3: 2 2 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2 x 2ln x 2 ln x dx xdx dx x x 2 x 2 ln x.d(ln x) 1 2 2 1 2 ln x 12 3 ln 2 2 + = + = + = - + = + ò ò ò ò Câu 4: Giải phương trình ( ) 2 1 2 3 4.3 1 0 3. 3 4.3 1 0 x x x x + − + = ⇔ − + = Đặt: 3 ( 0) x t t= > 2 3 4 1 0 1 1 3 t t t t ⇔ − + = =   ⇔  =  Với t = 1 thì 0x = Với 1 1 3 t x= ⇔ = − Vậy phương trình có nghiệm 0 1 x x =   = −  Câu 5 Đường thẳng (d’) đi qua A vuông góc với (d) nên ta có: 4( 2) 3( 5) 0 4 3 7 0 x y x y + + − = ⇔ + − = Mặt khác ta lại có: 2 3 3.( 2) 4.5 1 ( ;( )) 5 3 4 d A d − − + = = + Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 2 - Hướng dẫn giải đề thi tuyển sinh Cao đẳng năm 2014 Môn Toán Suy ra M là hình chiếu A lên (d) nên M chính là giao điểm của (d) và (d’) Vậy tọa độ M là nghiệm của hệ phương trình sau: 3 4 1 0 1 4 3 7 0 1 x y x x y y − + = =   ⇔   + − = =   Kết luận:Vậy M(1;1) Câu 6 Ta có phương trình đường thẳng d qua A và vuông góc với (P) có VTCP là VTPT của (P) ( ) 2 1 : 1 2 ' 2 ,1 2 , 1 2 1 2 x t d y t A t t t z t = +   ⇒ = + ⇒ + + − −   = − −  A’ là giao điểm của d với (P) ( ) ( ) ( ) ' ( ) 2 2 1 2 2 1 2 3 0 2 2 4 2 4 3 0 9 9 0 1 ' 1, 1,1 A P t t t t t t t t A ⇒ ∈ ⇒ + + + − − − + = ⇔ + + + + + + = ⇔ + = ⇒ = − ⇒ − ( 1;1;4)AB = − uuur . ( ) (1;2; 2) P n = − uuur Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa A, B và ⊥ (P) là: ( ) , ( 10;2; 3) P n AB n   = = − −   uur uuur uuur => Mặt phẳng cần tìm là: -10(x-2)+2(y-1)-3(z+1)=0  -10x+2y-3z+15=0 Câu 7 Do ABCD là hình vuông cạnh a nên ta có AC là đường chéo nên có cạnh là 2a Do SC tạo với đáy một góc bằng 45 độ,mà SA lại vuông góc với (ABCD) nên ta có: 0 .tan 45SA AC= = 2a Vậy thể tích khối chóp S.ABCD= 3 1 1 2 . . . 2. . 3 3 3 ABCD a SA S a a a= = (đvtt) Ta lại có CD vuông góc với AD,và CD vuông góc với SA nên CD sẽ vuông góc với (SAD) ,do đó (SCD) vuông góc với (SAD).Từ A kẻ AH vuông góc với SD tại H.Suy ra AH chính là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) Vậy: 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2AH SA AD a a = + = + Suy ra 2 2 2 2 3 3 a a AH AH= ⇒ = Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 3 - Hướng dẫn giải đề thi tuyển sinh Cao đẳng năm 2014 Môn Toán Câu 8. 2 2 2 2 7(1) 2 2 (2) x xy y x xy y x y  + + =   − − = − +   Từ pt (2): 2 2 ( 1) 2 2 0x x y y y − − − − = Có 2 2 ( 1) 8 8x y y y ∆ = − + + 2 2 9 6 1 (3 1)x y y y ∆ = + + = + 1 (3 1) 1 2 1 3 1 2 2 y y x y y y x y − − +  = = − −  ⇒  − + +  = =   * Với x = 2y thay vào (1) ta được: 2 2 2 2 4 2 7 7 7 1 2 y y y y y x + + = ⇔ = ⇔ = ± ⇒ = ± * Với 1x y = − − thay vào (1) ta được: 2 2 2 2 2 1 7 6 0 2 3 3 2 y y y y y y y y x y x + + − − + = ⇔ + − = = ⇒ = −  ⇔  = − ⇒ =  Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm: ( ) ( ) ( ) ( ) 2;1 , 2; 1 , 3;2 , 2; 3 − − − − Câu 9. ( ) 2 5f x x x= + − TXĐ: [ ] 0;5 Có: 1 1 2 5 '( ) 2 5 2 . 5 x x f x x x x x − − = − = − − '( ) 0 2 5 0f x x x=> = ⇔ − − = 2 5 x x ⇔ − = 4(5 )x x ⇔ − = 20 5 4x x TXD ⇔ = ⇔ = ∈ Ta có: (0) 5; (5) 2 5; (4) 2.2 1 5f f f= = = + = => Max f(x) = 5 tại x = 4 Min f(x) = 5 tại x = 0 Nguồn: Hocmai.vn Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 4 - . Hướng dẫn giải đề thi tuyển sinh Cao đẳng năm 2014 Môn Toán HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO ĐẲNG NĂM 2014 MÔN: TOÁN Câu 1 a. Khảo sát hàm số Hàm số:. chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 1 - Hướng dẫn giải đề thi tuyển sinh Cao đẳng năm 2014 Môn Toán Câu 2. 2 2 5z iz i − = + Gọi z a bi = + z a bi ⇒ = − 2( ) ( ). chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 2 - Hướng dẫn giải đề thi tuyển sinh Cao đẳng năm 2014 Môn Toán Suy ra M là hình chiếu A lên (d) nên M chính là giao điểm của