- 1 BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY I. GIỚI THIỆU 1/ Bđt Cauchy cho 2 số không âm Cho 2 số thực không âm a, b. Ta luôn có bđt: . Dấu bằng xảy ra <=> a = b. 2/ Bđt Cauchy cho n số không âm Với n số thực không âm , ta có: . Dấu bằng xảy ra <=> tất cả các số hạng đều bằng nhau. Chứng minh: * Cách 1: Quy nạp - n = 2: đúng. - Giả sử bđt đúng đến n. Ta chứng minh bđt đúng đến n + 1. Đặt: Theo giả thiết quy nạp ta có: => đpcm. Dấu bằng xảy ra <=> a1 = a2 = … = an. * Cách 2: Quy nạp - n = 2: đúng. - Giả sử bđt đúng với n = k. Ta chứng minh bđt đúng với n = k + 1. Giả sử thì . - 2 Đặt thì ta có , và khi đó, Theo giả thiết quy nạp, ta có: . Ta có: => đpcm. Chú ý: Bđt (2) có được là do khai triển nhị thức Newton: * Cách 3: Quy nạp Cauchy - Bước 1: n = 2: đúng. - Bước 2: Bước quy nạp. Ta chứng minh 2 nhận xét sau: + Nhận xét 1: Nếu bđt đúng với n số thì nó cũng đúng với 2n số. Thật vậy, áp dụng Cauchy cho n số không âm: Vậy bđt đúng với 2n số, và do đó cũng đúng khi n là một luỹ thừa của 2. + Nhận xét 2: Nếu bđt đúng với n số thì nó cũng đúng với n - 1 số. Ta cm như sau: Ta đặt: Khi đó ta có: - 3 B. BÀI TẬP Bài 1. Cho a, b, c > 0. CMR: ( ) 3 3 3 a b b c c a abc a b c+ + ≥ + + HD: + Quan sát VT và VP + Từ a 3 b, muốn xuất hiện a 2 bc, áp dụng cô si cho hai số a 3 b và abc 2 . + Các hạng tử còn lại tương tự. Bài 2. Cho 2 2 2 1x y z+ + = . CMR: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 x y y z z x z x y + + ≥ HD: + VP = 1 2 2 2 x y z= + + + Từ 2 2 2 x y z , muốn xuất hiện x 2 , áp dụng cô si cho hai số 2 2 2 2 2 2 ; x y x z z y . + Các hạng tử còn lại tương tự. Bài 3. Cho a, b, c > 0. CMR: 3 3 3 2 2 2 a b c a bc b ca c ab+ + ≥ + + HD: + Từ a 3 , muốn xuất hiện 2 a bc , áp dụng cô si cho 2 số a 3 ; abc. + Các hạng tử còn lại tương tự. Bài 4. Cho a, b, c ≠ 0. CMR: 2 2 2 2 2 2 a b c a b c b c a b c a + + ≥ + + HD: + Từ 2 2 a b , muốn xuất hiện a b , áp dụng cô si cho 2 số 2 2 a b và 1. + Các hạng tử còn lại tương tự. Bài 5. Cho a, b > 0. CMR: 3 3 3 3 1 1a a b b a b a b + + ≥ + + HD: + Từ 3 1 a , muốn xuất hiện 1 a , áp dụng cô si cho 3 số: 3 1 ; 1; 1 a . + Các hạng tử còn lại tương tự. Bài 6. Cho a, b, c > 0. CMR: 2 2 2 2 a b c a b c b c c a a b + + + + ≥ + + + - 4 HD: + Quan sát VT và VP, VP = 2 2 2 a b c + + + Từ hạng tử 2 a b c+ , muốn xuất hiện a, áp dụng cô si cho hai số 2 a b c+ và 4 b c+ . + Các hạng tử còn lại tương tự. Bài 7. CMR: 12 15 20 3 4 5 , 5 4 3 x x x x x x x R       + + ≥ + + ∀ ∈  ÷  ÷  ÷       + Muốn xuất hiện 3 x , áp dụng cô si cho hai số 12 15 ; 5 4 x x      ÷  ÷     . + Các hạng tử còn lại tương tự. Bài 8. Cho a, b, c > 0. CMR: 3 3 3 3 3 3 a b c a b c b c a b c a + + ≥ + + HD: + Từ 3 3 a b , muốn xuất hiện a b , áp dụng cô si cho 3 số 3 3 3 3 ; ; 1. a a b b + Các hạng tử còn lại tương tự. Bài 9. Cho a + b + c = 0. CMR: ( ) 8 8 8 2 2 2 1 a b c a b c + + ≥ + + HD: Đặt x = 2 a , y = 2 b , z = 2 c + (1) ⇔ 3 3 3 x y z x y z+ + ≥ + + , với . . 1 , , 0 x y z x y z =   >  + Từ x 3 , muốn xuất hiện x, áp dụng cô si cho 3 số x 3 ; 1 ; 1. + Các hạng tử còn lại tương tự. Bài 10. Cho 2 2 2 1a b c+ + ≥ . CMR: HD: + VP 2 2 2 1 1 ( ) 2 2 a b c≥ + + ≥ - 5 3 3 3 1 2 a b c b c c a a b + + ≥ + + + + Từ 3 a b c+ , muốn xuất hiện a 2 , áp dụng cô si cho hai số 3 ( ) ; 4 a a b c b c + + . + Các hạng tử còn lại tương tự. Bài 11. Cho x, y, z > 0; 3 3 3 3x y z+ + = . CMR: 2 2 2 ) 3 ) 3 a x y z b x y z + + ≤ + + ≤ HD: a) + Từ x 3 , muốn xuất hiện x 2 , áp dụng cô si cho ba số x 3 ; x 3 ; 1. + Các hạng tử còn lại tương tự. b) + Từ x 3 , muốn xuất hiện x, áp dụng cô si cho ba số x 3 ; 1; 1. + Các hạng tử còn lại tương tự. Bài 12. Cho x, y ≥ 0 và 2 3 3 4 x y x y+ ≥ + . CMR: 2 2 3 3 2 2 ) ) a x y x y b x y x y + ≥ + + ≥ + HD: a) + Từ y 2 , muốn xuất hiện y 3 , áp dụng cô si cho hai số y 2 và y 4 . b) + Từ x, muốn xuất hiện x 2 , áp dụng cô si cho hai số x và x 3 . + Hạng tử còn lại tương tự. Bài 13. Cho a > 0. CMR: ( ) 3 2 3 1 1a a a+ ≤ + HD: + Từ a, muốn xuất hiện 3 a , áp dụng cô si cho 3 số: a; 1; 1. + Từ a, muốn xuất hiện 3 2 a , áp dụng cô si cho 3 số: a; a; 1. Bài 14. Cho x, y, z > 0; x + y + z ≥ 1. CMR: 5 5 5 4 4 4 1 x y z y z x + + ≥ HD: + Từ 5 4 x y , muốn giảm dần bậc của x, áp dụng cô si cho 2 số 5 4 x y và x. ( ) 5 5 5 3 3 3 4 4 4 2 2 2 2 x y z x y z x y z y z x y y x   ⇒ + + ≥ + + − + +  ÷   - 6 + Từ 3 2 x y , muốn giảm dần bậc của x, áp dụng cô si cho 2 số 3 2 x y ; x. ( ) 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 x y z x y z x y z y z x y z x   ⇒ + + ≥ + + − + +  ÷   + Từ 2 x y , muốn xuất hiện x, áp dụng côsi cho 2 số 2 x y và y. 2 2 2 x y z x y z y z x ⇒ + + ≥ + + Bài 15: Cho x, y, z > 0. CMR: 3 1 1 1 2 1 x y z x y z y z x xyz     + +    + + + ≥ +  ÷  ÷  ÷ ÷  ÷        HD: + BĐT ⇔ 2 2 2 3 3 3 2 x x y y z z x y z y z x z x y yz zx xy   + + + + + ≥ + +  ÷  ÷   + Từ VT, muốn xuất hiện 2 3 x yz , áp dụng cô si cho 3 số ; ; 1 x x y z . + Các hạng tử còn lại tương tự. Bài 16. Cho x, y > 0, thỏa x + y = 1. Tìm GTNN của 1 Q xy xy = + HD: + Từ x + y, muốn xuất hiện xy, áp dụng cô si cho 2 số x, y ta được 1 4 xy ≤ . + Từ xy, 1 xy muốn xuất hiện hằng số, thử điều kiện dấu “=” xảy ra, áp dụng cô si cho 2 số: xy và 1 16xy . + 1 15 15 4 16 64 xy xy≤ ⇔ − ≥ − . + ĐS: MinQ = 17 4 Bài 17. Cho x, y > 0; x 2 , y 2 ≥ 4. Tìm GTNN của 6 10 2 3E x y x y = + + + HD: - 7 + Từ 6 x , muốn xuất hiện hằng số, thử điều kiện dấu “=” xảy ra, áp dụng cô si cho 2 số 3 6 ; 2 x x và 5 10 ; 2 y y . ( 2 3 6 4 2 x x x = ⇔ = ; 2 5 10 4 2 y y y = ⇔ = ) + 3 6 5 10 6 10 ( ) ( ) (2 3 ) 2 2 2 2 x y x y x y x y x y + + + = + + + − − + ĐS: MinE = 18 Bài 18. Tìm nghiệm dương của hệ phương trình: ( ) 2 2 2 32 (1) 4 4 2 96 2 xyz x xy y z =    + + + =   HD: + Muốn xuất hiện xyz ở PT (1), áp dụng cô si cho 2 số x 2 ; z 2 và z 2 ; 4y 2 . + 2 2 2 2 3 4 4 2 4 2 4 2.3 4( )x xy y z xy xz yz xyz+ + + ≥ + + ≥ . + ĐS: x = z = 4, y = 2. Bài 19. Cho x > 0, y > 0; x 2 + y 2 = 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 1 P x y = + HD: + Từ x 2 và 1 x , muốn xuất hiện hằng số, áp dụng cô si cho 3 số: 2 1 1 ; ; .x x x + Hạng tử còn lại tương tự. Bài 20. Cho 0, 0x y≥ ≥ ; x 3 + y 3 ≤ 2 Tìm giá trị lớn nhất của P = x 2 + y 2 HD: + Từ x 3 , muốn xuất hiện x 2 , áp dụng cô si cho 3 số x 3 ; x 3 ; 1. + Hạng tử còn lại tương tự. Bài 21. Cho x, y, z > 0. CMR 3 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 y x z x y y z z x x y z + + ≤ + + + + + HD: + Từ 3 2 2 x x y+ , muốn xuất hiện 1 xy và rút gọn 2 x , áp dụng cô si cho 2 số x 3 và y 2 . - 8 + Các hạng tử còn lại tương tự. Bài 22. Cho a, b, c > 0. CMR: 2 2 2 2 5 5 5 5 3 3 3 3 1 1 1 1a b c d b c d a a b c d + + + ≥ + + + HD: + Từ VT, muốn xuất hiện 3 1 b , áp dụng cô si cho 5 số: 2 2 2 5 5 5 3 3 1 1 ; ; ; ; a a a b b b a a . + Các hạng tử còn lại tương tự. Bài 23. Tìm nghiệm dương của hệ phương trình: ( ) ( ) 3 9 1 3 6 2 x y x y  =   + =   HD: + Muốn xuất hiện x 3 y ở phương trình (1), áp dụng cô si cho 4 số x; x; x; y. + 3 4 6 3 4x y x x x y x y= + = + + + ≥ . + ĐS: Hệ phương trình vô nghiệm. Bài 24. Cho a, b, c > 0, thỏa: 2000 2000 2000 3a b c+ + = Tìm GTLN của T = 2 2 2 a b c+ + HD: + Từ 2000 a , muốn xuất hiện a 2 , áp dụng cô si cho 2000 số gồm: 1998 số 1 và 2 số a 2000 . + Các hạng tử còn lại tương tự. + ĐS: Max T = 3 Bài 25. Cho x, y, z > 0, thỏa: x + y + z = 2004 Tìm GTNN của 30 30 30 21 21 21 x y z P y z x = + + HD: + Từ 30 21 x y , muốn xuất hiện x, áp dụng cô si cho 30 số dương gồm: 30 21 8 .668 x y ; 21 số y và 8 số 668. + Các hạng tử còn lại tương tự. + (Ví dụ: Áp dụng cô si cho 30 số dương gồm: 30 21 x y ; 21 số y và 8 số a > 0 nào đó. - 9 Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = a = 2004 668 3 = ). + ĐS: Min P = 3.(668) 9 MỠ RỘNG - 10