Bài tập toán cao cấp Tập 2 Nguyễn Thủy Thanh NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2007, 158 Tr. Từ khoá: Bài tập toán cao cấp, Giới hạn dãy số, Giới hạn hàm số, Tính liên tục của hàm số, Hàm liên tục, Phép tính vi phân hàm một biến, Đạo hàm, Vi phân, Công thức Taylor, Đạo hàm riêng, Vi phân của hàm nhiều biến, Cực trị của hàm nhiều biến. Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể sử dụng cho mục đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn phục vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và tác giả. NGUY ˆ E ˜ N THUY ’ THANH B ` AI T ˆ A . P TO ´ AN CAO C ˆ A ´ P Tˆa . p2 Ph´ep t´ınh vi phˆan c´ac h`am NH ` AXU ˆ A ´ TBA ’ NDA . IHO . CQU ˆ O ´ C GIA H ` AN ˆ O . I Mu . clu . c 7 Gi´o . iha . n v`a liˆen tu . ccu ’ a h`am sˆo ´ 3 7.1 Gi´o . iha . ncu ’ a d˜ay sˆo ´ 4 7.1.1 C´ac b`ai to´an liˆen quan t´o . id i . nh ngh˜ıa gi´o . iha . n. 5 7.1.2 Ch´u . ng minh su . . hˆo . itu . cu ’ a d˜ay sˆo ´ du . . a trˆen c´ac di . nh l´y vˆe ` gi´o . iha . n 11 7.1.3 Ch´u . ng minh su . . hˆo . itu . cu ’ a d˜ay sˆo ´ du . . atrˆend iˆe ` u kiˆe . ndu ’ dˆe ’ d˜ay hˆo . itu . (nguyˆen l´y Bolzano-Weierstrass) . . . . . . . . . . . . . . . 17 7.1.4 Ch´u . ng minh su . . hˆo . itu . cu ’ a d˜ay sˆo ´ du . . atrˆend iˆe ` u kiˆe . ncˆa ` nv`adu ’ dˆe ’ d˜ay hˆo . itu . (nguyˆen l´y hˆo . itu . Bolzano-Cauchy) . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 7.2 Gi´o . iha . n h`am mˆo . tbiˆe ´ n 27 7.2.1 C´ac kh´ai niˆe . mv`adi . nh l´y co . ba ’ nvˆe ` gi´o . iha . n 27 7.3 H`am liˆen tu . c 41 7.4 Gi´o . iha . n v`a liˆen tu . ccu ’ a h`am nhiˆe ` ubiˆe ´ n 51 8 Ph´ep t´ınh vi phˆan h`am mˆo . tbiˆe ´ n60 8.1 D - a . oh`am 61 8.1.1 D - a . o h`am cˆa ´ p1 61 8.1.2 D - a . o h`am cˆa ´ pcao 62 8.2 Viphˆan 75 8.2.1 Vi phˆan cˆa ´ p1 75 2MU . CLU . C 8.2.2 Vi phˆan cˆa ´ pcao 77 8.3 C´ac di . nh l´y co . ba ’ nvˆe ` h`am kha ’ vi. Quy t˘a ´ c l’Hospital. Cˆong th´u . cTaylor 84 8.3.1 C´ac di . nh l´y co . ba ’ nvˆe ` h`am kha ’ vi 84 8.3.2 Khu . ’ c´ac da . ng vˆo di . nh. Quy t˘a ´ c Lˆopitan (L’Hospitale) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 8.3.3 Cˆong th´u . cTaylor 96 9Ph´ep t´ınh vi phˆan h`am nhiˆe ` ubiˆe ´ n 109 9.1 D - a . oh`amriˆeng 110 9.1.1 D - a . o h`am riˆeng cˆa ´ p1 110 9.1.2 D - a . o h`am cu ’ a h`am ho . . p 111 9.1.3 H`am kha ’ vi 111 9.1.4 D - a . o h`am theo hu . ´o . ng 112 9.1.5 D - a . o h`am riˆeng cˆa ´ pcao 113 9.2 Vi phˆan cu ’ a h`am nhiˆe ` ubiˆe ´ n 125 9.2.1 Vi phˆan cˆa ´ p1 126 9.2.2 ´ Ap du . ng vi phˆan d ˆe ’ t´ınh gˆa ` nd´ung . . . . . . . 126 9.2.3 C´ac t´ınh chˆa ´ tcu ’ a vi phˆan . . . . . . . . . . . . 127 9.2.4 Vi phˆan cˆa ´ pcao 127 9.2.5 Cˆong th´u . cTaylor 129 9.2.6 Vi phˆan cu ’ a h`am ˆa ’ n 130 9.3 Cu . . c tri . cu ’ a h`am nhiˆe ` ubiˆe ´ n 145 9.3.1 Cu . . c tri . 145 9.3.2 Cu . . c tri . c´o d iˆe ` ukiˆe . n 146 9.3.3 Gi´a tri . l´o . n nhˆa ´ tv`ab´e nhˆa ´ tcu ’ a h`am . . . . . . 147 Chu . o . ng 7 Gi´o . iha . nv`aliˆen tu . ccu ’ a h`am sˆo ´ 7.1 Gi´o . iha . ncu ’ a d˜ay sˆo ´ 4 7.1.1 C´ac b`ai to´an liˆen quan t´o . idi . nh ngh˜ıa gi´o . i ha . n 5 7.1.2 Ch´u . ng minh su . . hˆo . itu . cu ’ a d˜ay sˆo ´ du . . a trˆen c´ac d i . nh l´y vˆe ` gi´o . iha . n 11 7.1.3 Ch´u . ng minh su . . hˆo . itu . cu ’ a d˜ay sˆo ´ du . . a trˆen d iˆe ` ukiˆe . ndu ’ dˆe ’ d˜ay hˆo . itu . (nguyˆen l´y Bolzano-Weierstrass) . . . . . . . . 17 7.1.4 Ch´u . ng minh su . . hˆo . itu . cu ’ a d˜ay sˆo ´ du . . a trˆen d iˆe ` ukiˆe . ncˆa ` nv`adu ’ dˆe ’ d˜ay hˆo . itu . (nguyˆen l ´y h ˆo . itu . Bolzano-Cauchy) . . . . . . . . . . 25 7.2 Gi´o . iha . n h`am mˆo . tbiˆe ´ n 27 7.2.1 C´ac kh´ai niˆe . mv`ad i . nh l´y co . ba ’ nvˆe ` gi´o . iha . n27 7.3 H`am liˆen tu . c 41 7.4 Gi´o . iha . n v`a liˆen tu . ccu ’ a h`am nhiˆe ` ubiˆe ´ n. 51 4Chu . o . ng 7. Gi´o . iha . n v`a liˆen tu . ccu ’ a h`am sˆo ´ 7.1 Gi´o . iha . ncu ’ ad˜ay sˆo ´ H`am sˆo ´ x´ac di . nh trˆen tˆa . pho . . p N du . o . . cgo . i l`a d˜ay sˆo ´ vˆo ha . n. D˜ay sˆo ´ thu . `o . ng du . o . . cviˆe ´ tdu . ´o . ida . ng: a 1 ,a 2 , ,a n , (7.1) ho˘a . c {a n }, trong d´o a n = f(n), n ∈ N du . o . . cgo . il`asˆo ´ ha . ng tˆo ’ ng qu´at cu ’ a d˜ay, n l`a sˆo ´ hiˆe . ucu ’ asˆo ´ ha . ng trong d˜ay. Ta cˆa ` nlu . u ´y c´ac kh´ai niˆe . m sau dˆay: i) D˜ay (7.1) du . o . . cgo . il`abi . ch˘a . nnˆe ´ u ∃M ∈ R + : ∀n ∈ N ⇒|a n |  M; v`a go . i l`a khˆong bi . ch˘a . nnˆe ´ u: ∀M ∈ R + : ∃n ∈ N ⇒|a n | >M. ii) Sˆo ´ a d u . o . . cgo . i l`a gi´o . iha . ncu ’ a d˜ay (7.1) nˆe ´ u: ∀ε>0, ∃N(ε):∀n  N ⇒|a n − a| <ε. (7.2) iii) Sˆo ´ a khˆong pha ’ i l`a gi´o . iha . ncu ’ a d˜ay (7.1) nˆe ´ u: ∃ε>0, ∀N : ∃n  N ⇒|a n − a|  ε. (7.3) iv) D˜ay c´o gi´o . iha . nd u . o . . cgo . i l`a d˜ay hˆo . itu . , trong tru . `o . ng ho . . p ngu . o . . c la . i d˜ay (7.1) go . i l`a d˜ay phˆan k`y. v) D˜ay (7.1) go . i l`a d˜ay vˆo c`ung b´e nˆe ´ u lim n→∞ a n =0v`ago . i l`a d˜ay vˆo c`ung l´o . nnˆe ´ u ∀A>0, ∃N sao cho ∀n>N⇒|a n | >Av`a viˆe ´ t lim a n = ∞. vi) Diˆe ` ukiˆe . ncˆa ` ndˆe ’ d˜ay hˆo . itu . l`a d˜ay d´o pha ’ ibi . ch˘a . n. Ch´u´y:i) Hˆe . th ´u . c (7.2) tu . o . ng du . o . ng v´o . i: −ε<a n − a<ε⇔ a −ε<a n <a+ ε. (7.4) 7.1. Gi´o . iha . ncu ’ a d˜ay sˆo ´ 5 Hˆe . th ´u . c (7.4) ch´u . ng to ’ r˘a ` ng mo . isˆo ´ ha . ng v´o . ichı ’ sˆo ´ n>Ncu ’ a d˜ay hˆo . itu . d ˆe ` un˘a ` m trong khoa ’ ng (a − ε, a + ε), khoa ’ ng n`ay go . il`aε-lˆan cˆa . ncu ’ adiˆe ’ m a. Nhu . vˆa . y, nˆe ´ u d˜ay (7.1) hˆo . itu . dˆe ´ nsˆo ´ a th`ı mo . isˆo ´ ha . ng cu ’ a n´o tr`u . ra mˆo . tsˆo ´ h˜u . uha . nsˆo ´ ha . ng dˆe ` un˘a ` m trong ε-lˆan cˆa . nbˆa ´ tk`yb´ebao nhiˆeu t`uy ´y cu ’ ad iˆe ’ m a. ii) Ta lu . u´yr˘a ` ng d˜ay sˆo ´ vˆo c`ung l´o . n khˆong hˆo . itu . v`a k´y hiˆe . u lim a n = ∞ (−∞)chı ’ c´o ngh˜ıa l`a d˜ay a n l`a vˆo c`ung l´o . nv`ak´yhiˆe . ud ´o ho`an to`an khˆong c´o ngh˜ıa l`a d˜ay c´o gi´o . iha . n. 7.1.1 C´ac b`ai to´an liˆen quan t´o . id i . nh ngh˜ıa gi´o . i ha . n Dˆe ’ ch´u . ng minh lim a n = a b˘a ` ng c´ach su . ’ du . ng d i . nh ngh˜ıa, ta cˆa ` ntiˆe ´ n h`anh theo c´ac bu . ´o . csaud ˆay: i) Lˆa . pbiˆe ’ uth´u . c |a n − a| ii) Cho . n d˜ay b n (nˆe ´ udiˆe ` ud´o c ´o l o . . i) sao cho |a n − a|  b n ∀n v`a v´o . i ε du ’ b´e bˆa ´ tk`ybˆa ´ tphu . o . ng tr`ınh dˆo ´ iv´o . i n: b n <ε (7.5) c´o thˆe ’ gia ’ imˆo . t c´ach dˆe ˜ d`ang. Gia ’ su . ’ (7.5) c´o nghiˆe . ml`an>f(ε), f(ε) > 0. Khi d´o ta c´o thˆe ’ lˆa ´ y n l`a [f(ε)], trong d´o[f(ε)] l`a phˆa ` n nguyˆen cu ’ a f(ε). C ´ AC V ´ IDU . V´ı du . 1. Gia ’ su . ’ a n = n (−1) n .Ch´u . ng minh r˘a ` ng: i) D˜ay a n khˆong bi . ch˘a . n. ii) D˜ay a n khˆong pha ’ il`avˆoc`ung l´o . n. Gia ’ i. i) Ta ch´u . ng minh r˘a ` ng a n tho ’ a m˜an di . nh ngh˜ıa d˜ay khˆong bi . ch˘a . n. Thˆa . tvˆa . y, ∀M>0sˆo ´ ha . ng v´o . isˆo ´ hiˆe . u n = 2([M]+1)b˘a ` ng n v`a l´o . nho . n M.Diˆe ` ud´o c´o ngh˜ıa l`a d˜ay a n khˆong bi . ch˘a . n. 6Chu . o . ng 7. Gi´o . iha . n v`a liˆen tu . ccu ’ a h`am sˆo ´ ii) Ta ch´u . ng minh r˘a ` ng a n khˆong pha ’ i l`a vˆo c`ung l´o . n. Thˆa . tvˆa . y, ta x´et khoa ’ ng (−2, 2). Hiˆe ’ n nhiˆen mo . isˆo ´ ha . ng cu ’ a d˜ay v´o . isˆo ´ hiˆe . ule ’ d ˆe ` u thuˆo . c khoa ’ ng (−2, 2) v`ı khi n le ’ th`ı ta c´o: n (−1) n = n −1 =1/n ∈ (−2, 2). Nhu . vˆa . y trong kho ’ ng ( −2, 2) c´o vˆo sˆo ´ sˆo ´ ha . ng cu ’ a d˜ay. T`u . d ´o, theo di . nh ngh˜ıa suy ra a n khˆong pha ’ i l`a vˆo c`ung l´o . n.  V´ı d u . 2. D`ung d i . nh ngh˜ıa gi´o . iha . n d˜ay sˆo ´ d ˆe ’ ch´u . ng minh r˘a ` ng: 1) lim n→∞ (−1) n−1 n =0. 2) lim n→∞ n n +1 =1. Gia ’ i. D ˆe ’ ch´u . ng minh d˜ay a n c´o gi´o . iha . nl`aa, ta cˆa ` nch´u . ng minh r˘a ` ng dˆo ´ iv´o . imˆo ˜ isˆo ´ ε>0 cho tru . ´o . cc´othˆe ’ t`ım du . o . . csˆo ´ N (N phu . thuˆo . c ε) sao cho khi n>N th`ı suy ra |a n −a| <ε. Thˆong thu . `o . ng ta c´o thˆe ’ chı ’ ra cˆong th´u . ctu . `o . ng minh biˆe ’ udiˆe ˜ n N qua ε. 1) Ta c´o: |a n − 0| =    (−1) n−1 n    = 1 n · Gia ’ su . ’ ε l`a sˆo ´ du . o . ng cho tru . ´o . ct`uy ´y. Khi d´o: 1 n <ε⇔ n> 1 ε · V`ıthˆe ´ ta c´o thˆe ’ lˆa ´ y N l`a sˆo ´ tu . . nhiˆen n`ao d´o tho ’ am˜andiˆe ` ukiˆe . n: N> 1 ε ⇒ 1 N <ε. (Ch˘a ’ ng ha . n, ta c´o thˆe ’ lˆa ´ y N =[1/ε], trong d ´o[1/ε] l`a phˆa ` n nguyˆen cu ’ a1/ε). Khi d ´o ∀n  N th`ı: |a n − 0| = 1 n  1 N <ε. 7.1. Gi´o . iha . ncu ’ a d˜ay sˆo ´ 7 Diˆe ` ud´o c´o ngh˜ıa l`a lim n→∞ (−1) n n =0. 2) Ta lˆa ´ ysˆo ´ ε>0bˆa ´ tk`yv`at`ımsˆo ´ tu . . nhiˆen N(ε) sao cho ∀n> N(ε) th`ı:    n n +1 − 1    <ε. Bˆa ´ td ˘a ’ ng th´u . c |a n − 1| <ε⇔ 1 n +1 <ε⇔ 1 ε − 1. Do d ´o ta c´o thˆe ’ lˆa ´ ysˆo ´ N(ε) l`a phˆa ` n nguyˆen cu ’ a 1 ε − 1, t´u . c l`a: N(ε)=E((1/ε) −1). Khi d ´ov´o . imo . i n  N ta c´o:    n n +1 − 1    = 1 n +1  1 N +1 <ε⇒ lim n→∞ n n +1 =1.  V´ı du . 3. Ch´u . ng minh r˘a ` ng c´ac d˜ay sau dˆay phˆan k`y: 1) a n = n, n ∈ N (7.6) 2) a n =(−1) n ,n∈ N (7.7) 3) a n =(−1) n + 1 n · (7.8) Gia ’ i. 1) Gia ’ su . ’ d˜ay (7.6) hˆo . itu . v`a c´o gi´o . iha . nl`aa.Talˆa ´ y ε =1. Khi d´o theo di . nh ngh˜ıa gi´o . iha . ntˆo ` nta . isˆo ´ hiˆe . u N sao cho ∀n>Nth`ı ta c´o |a n −a| < 1 ngh˜ıa l`a |n −a| < 1 ∀n>N.T`u . d ´o −1 <n−a<1 ∀n>N ⇔ a − 1 <n<a+1∀n>N. Nhu . ng bˆa ´ td˘a ’ ng th´u . c n<a+1,∀n>N l`a vˆo l´y v`ı tˆa . pho . . p c´ac sˆo ´ tu . . nhiˆen khˆong bi . ch˘a . n. 2) C´ach 1. Gia ’ su . ’ d˜ay a n hˆo . itu . v`a c´o gi´o . iha . nl`aa.Talˆa ´ y lˆan cˆa . n  a − 1 2 ,a+ 1 2  cu ’ adiˆe ’ m a.Taviˆe ´ t d˜ay d˜a cho du . ´o . ida . ng: {a n } = −1, 1, −1, 1, (7.9) 8Chu . o . ng 7. Gi´o . iha . n v`a liˆen tu . ccu ’ a h`am sˆo ´ V`ıdˆo . d`ai cu ’ a khoa ’ ng  a − 1 2 ,a+ 1 2  l`a b˘a ` ng 1 nˆen hai diˆe ’ m −1 v`a +1 khˆong thˆe ’ dˆo ` ng th`o . i thuˆo . c lˆan cˆa . n  a − 1 2 ,a+ 1 2  cu ’ adiˆe ’ m a, v`ı khoa ’ ng c´ach gi˜u . a −1v`a+1b˘a ` ng 2. Diˆe ` ud´o c´o ngh˜ıa l`a o . ’ ngo`ai lˆan cˆa . n  a − 1 2 ,a+ 1 2  c´o vˆo sˆo ´ sˆo ´ ha . ng cu ’ ad˜ayv`av`ıthˆe ´ (xem ch´u ´yo . ’ trˆen) sˆo ´ a khˆong thˆe ’ l`a gi´o . iha . ncu ’ a d˜ay. C´ach 2. Gia ’ su . ’ a n → a. Khi d´o ∀ε>0 (lˆa ´ y ε = 1 2 ) ta c´o |a n − a| < 1 2 ∀n  N. V`ı a n = ±1nˆen |1 − a| < 1 2 , |−1 −a| < 1 2 ⇒2=|(1 − a)+(1+a)|  |1 − a| + |a +1|  1 2 + 1 2 =1 ⇒2 < 1, vˆo l´y. 3) Lu . u´yr˘a ` ng v´o . i n =2m ⇒ a 2m =1+ 1 2m .Sˆo ´ ha . ng kˆe ` v´o . in´o c´o sˆo ´ hiˆe . ule ’ 2m +1(hay2m −1) v`a a 2m+1 = −1+ 1 2m +1 < 0 (hay a 2m−1 = −1+ 1 2m − 1  0). T`u . d ´o suy r˘a ` ng |a n − a n−1 | > 1. Nˆe ´ usˆo ´ a n`ao d ´o l`a gi´o . iha . ncu ’ ad˜ay(a n ) th`ı b˘a ´ tdˆa ` ut`u . sˆo ´ hiˆe . u n`ao d´o ( a n ) tho ’ a m˜an bˆa ´ td˘a ’ ng th´u . c |a n −a| < 1 2 . Khi d ´o |a n −a n+1 |  |a n − a|+ |a n+1 − a| < 1 2 + 1 2 =1. Nhu . ng hiˆe . ugi˜u . a hai sˆo ´ ha . ng kˆe ` nhau bˆa ´ tk`ycu ’ ad˜ayd˜a cho luˆon luˆon l´o . nho . n1. Diˆe ` u mˆau thuˆa ˜ n n`ay ch´u . ng to ’ r˘a ` ng khˆong mˆo . tsˆo ´ thu . . c n`ao c´o thˆe ’ l`a gi´o . iha . ncu ’ a d˜ay d ˜a cho.  [...]... ta c´: e o 2 + 2n · n; 2 1 + (2n + 2) (n + 1) 1 + 3 + 5 + · · · + (2n + 1) = 2 2 + 4 + 6 + · · · + 2n = o Do d´ an = n ⇒ lim an = 1 n +1 ´ 3) Nhu ta biˆt: e 12 + 22 + · · · + n2 = n(n + 1) (2n + 1) 6 ´ ’ a o 7 .1 Gi´.i han cua d˜y sˆ o 13 v` do d´: a o 6n3 n(n + 1) (2n + 1) 6 = lim = 3 (1 + 1/ n)(2 + 1/ n) lim an = lim V´ du 2 T` gi´.i han ı ım o 1 1 1 + + ··· + n 2 4 2 lim 1 1 1 1 + + + ··· + n 3 9 3 ˜... sˆ dˆu l` cˆp sˆ nhˆn nˆn 1+ 1 + ··· + 2 1 1 + + ··· + 3 1+ 1 2(2n − 1) = , 2n 2n 1 3(3n − 1) = 3n 2 · 3n v` do d´: a o 2n − 1 2 3n 2(2n − 1) 2 · 3n = 2 lim · · lim n 2n 3(3n − 1) 2n 3 3 1 1 4 2 2 = 2 lim [1 − (1/ 2)n ] · lim =2 1 1= · n 3 1 − (1/ 3) 3 3 lim an = lim V´ du 3 ı √ 1) an = n2 + n − n √ √ 2) an = 3 n + 2 − 3 n √ 3) an = 3 n2 − n3 + n ’ Giai ` ´ ’ a a a a e 1) Ta biˆn dˆi an b˘ng c´ch... − n3 + n2 n2 = √ √ 2 3 n2 − n3 − n 3 n2 − n3 + n2 1 = 2/3 − [1/ n − 1] 1/3 + 1 [1/ n − 1] 1 · 3 ’ a a V´ du 4 T` gi´.i han cua c´c d˜y sau ı ım o n n an = √ , bn = √ , 2+n 2 +1 n n 1 1 1 + ··· + √ · +√ cn = √ n +1 n2 + 2 n2 + n ` ’ Giai Dˆu tiˆn ta ch´.ng minh lim an = 1 Thˆt vˆy: a e u a a suy ra lim an = lim an = lim n n 1 + 1/ n = lim 1 1 + 1/ n = 1 ... /bn dˆn dˆn 0 ı a ` 14 Ch´.ng minh r˘ng u a n i) lim n = 0 n→∞ 2 n ii) lim n = 0 (a > 1) n→∞ a ’ ’ ˜ e u Chı dˆ n i) Su dung hˆ th´.c: a 2n = (1 + 1) n = 1 + n + n(n − 1) n2 n(n − 1) + ··· + 1 > n + > · 2 2 2 v` u.´.c lu.o.ng |an − 0| a o o.ng tu nhu i) Su dung hˆ th´.c: ’ e u ii) Tu an = [1 + (a − 1) ]n > n(n − 1) (a − 1) 2 ` a 15 Ch´.ng minh r˘ng u ´ lim an = 2 nˆu an = 1 + e 1 1 + ··· + n 2 2 ’... n + n) n 1 √ an = =√ = n2 + n + n n2 + n + n 1 + 1/ n + 1 Do d´ o lim an = 1 lim ( n→∞ 1 + 1/ n + 1) = 1 · 2 ´ ’ a Chu.o.ng 7 Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m sˆ o a e o 14 ´ ’ o 2) Biˆn dˆi an tu.o.ng tu nhu 1) ta c´: e o √ √ 3 3 3 n+2 − 3n an = √ √ √ √ 2 3 n+2 + 3n+2· 3n+ 3n 2 an = √ √ √ √ 2 3 n+2 + 3n+2· 3n+ 3n 2 2 ’ ˜ o a Biˆu th´.c mˆ u sˆ b˘ng: e u a ´ ` n2/3 3 1 + 2/n 2 + 3 1 + 2/n + 1 → ∞ o khi... e e an = 0, 22 2 = 22 2 2 + + ··· + n 10 10 10 n (DS lim an = 2/9) ´ ’ a Chu.o.ng 7 Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m sˆ o a e o 10 han 12 T` ım gi´.i o 0, 2; 0, 23; 0, 233; 0, 2333; , 0, 2 33 3, ’ cua d˜y a ´ sˆ: o n ’ ˜ ’ ˜ o Chı dˆ n Biˆu diˆn an du.´.i dang a e e an = 3 2 3 3 + + 3 + ··· + n 2 10 10 10 10 (DS 7/30) ´ ´ ` ´ ` o e o a a e a e a 13 Ch´.ng minh r˘ng nˆu d˜y an hˆi tu dˆn...´ ’ a o 7 .1 Gi´.i han cua d˜y sˆ o 9 ˆ ` BAI TAP ’ ` H˜y su dung dinh ngh˜ gi´.i han dˆ ch´.ng minh r˘ng a ’ ıa o e u a 2n − 1 ´ 1 lim an = 1 nˆu an = e n→∞ 2n + 2 3 3n2 + 1 ´u an = e 2 lim an = nˆ n→∞ 5 5n2 − 1 ´t dˆu t` sˆ hiˆu N n`o th` ` u o e ´ B˘ a a a ı: |an − 3/5| < 0, 01 ´ e 3 lim an = 1 nˆu an = n→∞ (DS N = 5) 3n + 1 3n cos n = 0 n→∞ n 2n + 5 · 6n = 5 5... 5 5 lim n→∞ 3n + 6n √ 3 n2 sin n2 = 0 6 lim n→∞ n +1 ` ´ ’ a o ’ 7 Ch´.ng minh r˘ng sˆ a = 0 khˆng phai l` gi´.i han cua d˜y an = u a o o a 2 n −2 2n2 − 9 ` 8 Ch´.ng minh r˘ng u a 4 lim n2 + 2n + 1 + sin n lim = 1 n→∞ n2 + n + 1 ` a a a y 9 Ch´.ng minh r˘ng d˜y: an = ( 1) n + 1/ n phˆn k` u ` 10 Ch´.ng minh r˘ng d˜y; an = sin n0 phˆn k` u a y a a ’ a 11 T` gi´.i han cua d˜y: 0, 2; 0, 22; 0, 222; ,... o a o 16 Biˆt r˘ng d˜y an c´ gi´.i han, c`n d˜y bn khˆng c´ gi´.i han C´ e a a ’ ’ a thˆ n´i g` vˆ gi´.i han cua d˜y: e o ı ` o e i) {an + bn } ii) {an bn } ` o o a u (DS i) lim{an + bn } khˆng tˆn tai H˜y ch´.ng minh ´ ’ a o 7 .1 Gi´.i han cua d˜y sˆ o 11 ’ o o o ii) C´ thˆ g˘p ca hai tru.`.ng ho.p c´ gi´.i han v` khˆng c´ gi´.i han, o e a ’ o o a o v´ du: ı an = 7 .1. 2 n 1 , bn = ( 1) n ; n... = (2 + 4 + 6 + · · · + 2n)/ [1 + 3 + 5 + · · · + (2n + 1) ] 3) an = n3 / (12 + 22 + · · · + n2) ’ ´ ´ ´ ’ e ’ a a a a u y e a o Giai Dˆ giai c´c b`i to´n n`y ta d`ng l´ thuyˆt cˆp sˆ ˜ ´ ´ 1) Nhˆn tu sˆ v` mˆ u sˆ phˆn th´.c v´.i 7−n ta c´: a ’ o a a o a o u o 1 + 7n+2 7−n + 72 = an = 3 − 7n 3 · 7−n − 1 o Do d´ lim an = lim 7−n + 72 = −49 v` lim 7−n = 0, n → ∞ ı 3 · 7−n − 1 ˜ ´ e ´ ´ ´ ’ o a a o ` a . nhiˆe ` ubiˆe ´ n 10 9 9 .1 D - a . oh`amriˆeng 11 0 9 .1. 1 D - a . o h`am riˆeng cˆa ´ p1 11 0 9 .1. 2 D - a . o h`am cu ’ a h`am ho . . p 11 1 9 .1. 3 H`am kha ’ vi 11 1 9 .1. 4 D - a . o h`am theo hu . ´o . ng 11 2 9 .1. 5. ∀ε>0 (lˆa ´ y ε = 1 2 ) ta c´o |a n − a| < 1 2 ∀n  N. V`ı a n = ±1nˆen |1 − a| < 1 2 , | 1 −a| < 1 2 ⇒2=| (1 − a)+ (1+ a)|  |1 − a| + |a +1|  1 2 + 1 2 =1 ⇒2 < 1, vˆo l´y. 3) Lu . u´yr˘a ` ng. a 2m =1+ 1 2m .Sˆo ´ ha . ng kˆe ` v´o . in´o c´o sˆo ´ hiˆe . ule ’ 2m +1( hay2m 1) v`a a 2m +1 = 1+ 1 2m +1 < 0 (hay a 2m 1 = 1+ 1 2m − 1  0). T`u . d ´o suy r˘a ` ng |a n − a n 1 | > 1. Nˆe ´ usˆo ´ a