Bộ môn KHCB- Bài tập Phương trình vi phân 1 BÀI TẬP MÔN PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN- HỆ ĐẠI HỌC CHÍNH QUY Chương I: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP I 1.1 Giải các phương trình vi phân có biến số phân ly 1. cos2 sin 0 y y y    2. cos sin 1 cos sin 1 y y y x x       3. 2 2 2 1 y x xy y      4. 1 1 y x y     5. 2 1 1y y    6.   2 4 1 y x y     7. 2 2 y x y x     8.     2 2 1 1 0 x y y e dx e dy y dy          9.     2 2 2 2 1 2 2 2 2 0 xy y x dx x y xy x y x dy            10.       1 m n p x y y x y x y        11.   2 2 1 1 x y x x      12. 2 2 2 y y x    13.     2 2 2 4 4 1 0 y x y y x y       14. 1 1 y x y     15. 1 x y y e     16. 4 2 1 y x y     17.     2 2 2 2 0 y xy dx x yx dy     18.   2 2 2 1 0 y y y dx x dy     19.     2 2 2 1 1 1 dy x x dx x x      20. 2 2 2 y y xy x      1.2 Giải các phương trình vi phân thuần nhất 21. 2 2 xdy ydx x y dx    22. y x xy y xe    23. cos ln y xy y x         24. 2 2 2 3 2 0 x y xyy y      25.   2 2 xy y yy     26. 2 2 2 0 xyy x y     27. 2 2 2 2 (3 ) ( ) 0 x y y y x xy      28.   2 2 2 2 2 ( 2 ) 0 x xy y dx y xy x dy       29.     2 1 4 2 3 0 x y dx x y dy       30. sin y y y x x    , với   1 2 y   31.     1 ln ln , 1 xy y y x y e      32. 2 2 y x y xyy     33.     2 4 6 3 0 x y dx x y dy       34.     1 2 0 x y y x y        35. 2 2 2 2 2 2 4 dx dy x xy y y xy     36. dx dy y x y x    37.     2 2 2 0 x x y dx x y dy     38.     2 2 4 0 y dx x y dy      39.   ln x y xy y x y x      40. cos cos 0 y y x y dx x dy x x          1.3 Giải các phương trình vi phân tuyến tính 41. 2 arctan xy y x x    42. 2 2 2 (1 ) 2 (1 ) x y xy x      43. 2 2 x y xy xe     Bộ môn KHCB- Bài tập Phương trình vi phân 2 44.     2 2 1 1 2 0 x x y x y x       45. sin 1 cos y x y x     46.   2 sin cot 1 y x y y    47.   2 1 y e x y    48.   1 2 xy y   ( 1) y y   49. 3 y xy x    50. 2 1 0 2 y x y     51.   3 2 , y y ye y y xe    52.   2 0 x y dx xdy    53.   2 2 3 , 1 1 y y y x x     54. 1 2 1 xy y x     55.     2 1 3 4 2 1 0 x x y x y x x        56. 2 sin xy y x x    57. 2 cos tan y x y x    thỏa mãn điều kiện y(0)=0. 58. 2 1 arcsin y x y x     thỏa mãn điều kiện y(0) =0. 1.4 Giải các phương trình Becnuli 59. 2 ln xy y y x    60. 2 3 3 1 y y ay x     61.   2 3 1 xy x y y    62. 3 sin ' 2 y x y xy y    63.   2 3 1 sin 2 cos 2 2 x y y x y x x      64.   2 y x e y    65. 2 1 x y y e     66.   2 2 2 2 2( 1) 0 x y x y dx y dy       67.   2 x y y x y    68. 2 2 2 cos y x ydx xdy dy y   thỏa mãn điều kiện   0y   . 69.   y xy dx xdy   70.   2 2 2 2 x y y xy y     (coi x = x(y)) 71. tan cos x y y y    72. y x y x y    73. 2 2 2 cos y y y x x    74. 2 2 4 xy x y y    75. 2 xyy y x     ( là tham số) 1.5 Giải các phương trình vi phân toàn phần 76.   2 2 2 1 0 x x y dx x ydy      . 77.   4 3 2 2 ln 2 3 0 x x xy dx x y dy    . 78.   2 2 3 0 y dx xy dy    79.   2 2 2 2 0 x x e x y dx e ydy     80.     2 cos sin cos sin 1 y x x dy y x y x dx    81.     2 2 3 2 3 3 x x y dx y x dy    82. 2 2 2 1 sin cos 1 1 1 cos sin 0 x y y dx y y x x y x x dy x x y y y                    83.     2 cos sin 1 sin cos 0 y x y x dx x y x dy     84. 1 0 x x y y x x e dx e dy y                   thỏa mãn điều kiện y(0) = 2. 85.     3 2 2 2 2 1 3 1 0 y dx y xy y dy      86.   2 2 1 cos 2 0 sin 2sin x y x dx y y           87.     sin cos 0 x x y e y dx x e y dy     88.     sin cos sin 0 x y dx x y y dy     Bộ môn KHCB- Bài tập Phương trình vi phân 3 89. 3 2 3 (1 ln ) 2 x x y dx y dy y          90.   2 2 2 2 sin 2 2 cos2 ln 0 y x y dx x x x y x dy             91.   2 2 1 cos 2 sin 2sin x y x dx dy y y          92.   2 2 2 cos2 ln 2 2 sin2 0 y x y dx x y x dy y y             93.       2 2 4 x y xdy ydx a x x dx     (thừa số tích phân) 94.     cos sin sin cos 0 x y y y dy x y y y dx     .(thừa số tích phân) 95. Tìm hằng số a để   2 2 1 sin 2 cos y x dx ay xdy   là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) nào đó và giải phương trình vi phân   2 2 1 sin 2 cos 0 y x dx ay xdy    với a tìm được. 1.6 Giải các phương trình F(x, y’)=0, F(y, y’) = 0, F(x,y,y’)=0, 96. 3 ' 1 xy y    . 97. 2 . y y e y    . 98. 1 2 ' y y x e   , coi x là hàm, y là biến. 99.   1 cos y y y y      . 1.7 Giải các phương trình Lagrange- Klero 100. 2 sin y xy y     . 101. 2 3 2 y y x y y     102. 2 1 y x y y     103. ln xy y y     . 104.   2 2 1 y y xy     . 105. 3 2 ' ' y xy y   Chương II: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO 2.1 Giải các phương trình vi phân cấp cao 106. 2 2 1 y x    107.   2 4 1 y y     thoả mãn các điều kiện ban đầu: a) 0 , 2 0 y y khi x     . b) 0, 1 0 y y khi x     . 108.   2 2 1 1 0 x y y       109.   2 1 y y ay      . 110.   2 2 1 3 0 y y y y        111. 2 2 1 yy yy y x       dạng thuần nhất, 112. 2 yy y    . 113. 2 1 1 1 y y y x x      114. 2 2 2 2 2 yy y y y y y x        115. y y y e    116.   2 1 y y y y       117. 2 1 yy y     118. 2 2 1 xy y y      119.     2 1 x y x y y       120.   2 cos sin y y y y y      121. yy y    122. 2 xy y x     123. 2 y yy yy      124. xy y x     Bộ môn KHCB- Bài tập Phương trình vi phân 4 2.2 Phương trình vi phân tuyến tính hệ số biến thiên 125. 2 3 2 cos x y y x x    , biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là y 1 = x 2 126. Giải phương trình 2 cot gx y y y x x      biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng 1 sin x y x  127. Giải phương trình vi phân:   2 1 2 x x y y    biết một nghiệm 1 1 1y x   128. Giải phương trình vi phân   0y2y1x 2    nếu biết một nghiệm của nó có dạng đa thức. 129. Giải phương trình vi phân     2 2 1 2 1 2 x y x y y x x         biết nó có hai nghiệm riêng 2 2 1 2 4 1 1 2 2 x x x y y      130. Xác định hằng số  sao cho 2 x y e   là nghiệm riêng của phương trình vi phân   2 4 4 2 0 y xy x y       . Tìm nghiệm tổng quát của phương trình. 131. Giải phương trình 2 cot xy y xy x      biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng 1 sin x y x  132. Giải phương trình 2 3 ' 4 x y xy y x     , biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là y 1 = x 133. Giải phương trình 2 ' xy y x    134. Giải phương trình 1 ' 1 1 1 x y y y x x x        , biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là 1 x y e  135. Giải phương trình   2 ln 1 ' 0 x x y xy y      , biết một nghiệm riêng có dạng , y x    là hằng số. 136. Tìm nghiệm riêng của phương trình       2 2 2 2 ' 2 1 0 x x y x y x y        thỏa mãn     ' 1 0, 1 1 y y   , biết một nghiệm riêng của nó là x y e  137. Giải phương trình     2 2 2 1 ' 2 2 x x y x y y        , biết nó có hai nghiệm riêng là 1 2 1, y y x   138. Giải phương trình 2 2 2 1 ' 1 1 x y y x x      , biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là 1 1 y  139. Giải phương trình     2 1 4 2 ' 8 0 x y x y y       , biết một nghiệm riêng có dạng , ax y e     140. Tìm nghiệm riêng của phương trình 2 2 2 2 ' 1 1 x y y y x x       thỏa mãn     3 22, ' 1005 2000 y y  , biết một nghiệm riêng của nó là 1 y x  Bộ môn KHCB- Bài tập Phương trình vi phân 5 141. Giải phương trình 2 3 2 ' 2 cos x y xy y x x     , biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là 1 y x  142. Giải phương trình   2 1 2 ' 2 x y xy y x      , biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là 1 y x  143. Giải phương trình 2 2 2 2 2 1 ' 1 1 1 x y y y x x x        , biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là 1 y x  144. Giải phương trình 2 2 ' x e y y y x x     , biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là 1 x e y x  145. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân   2 2 3 1 2 6 4 12 x xy y xy x        biết rằng nó có hai nghiệm riêng   2 1 2 2 , 1 y x y x    2.3 Giải các phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng số 146. 13 12 0 y y y      . 147. 2 9 18 0 y y y y        . 148.   4 0 y y   . 149.   4 2 3 2 0 y y y y y         . 150.         7 6 5 4 3 3 0 y y y y     . 151. 2 4 cos x y y y e x       152. 2 2 3 2 3 2 x y y y e x       . 153. 2sin 4cos y y x x     . 154. 2 3 sin y n y nx    . 155. sin sin2 y y x x    . 156. 2 2 2 4 x y y x e    có nghiệm riêng 2 * x y e  . 157. Với những giá trị nào của p và q thì tất cả các nghiệm của phương trình. y py q     giới nội 0 x     0, 0 p q   . 158. , ? p q  thì tất cả các nghiệm của phương trình 0 y py q      là những hàm tuần hoàn của x   0, 0 p q   . 159. 2 2 ln x y xy y x x      ln t x  . 160.     2 2 1 4 2 1 8 8 4 x y x y y x            ln 2 1 t x   . 161.   2 1 1 2sin ln y y y x x x      ln t x  . 162.       2 1 1 4cosln 1 x y x y y x           ln 1 t x   . 163. Dùng phép biến đổi hàm 2 z y x  để giải phương trình vi phân:   2 2 4 2 x x y xy x y e       . 164.   sin cos x y y e x x       165.   2 3 2 1 x x x y e y e y e       bằng đổi biến x t e  166. x y y x e       167.   2 2 1 x y y y x e       168. 3 cos sin cos 0 y x y x y x      đặt t = sinx 169. 2 5 29 sin y y x x     170. 1 sin y y x    171.   2 4 2 4 x y y x e     172. 2 cos x e y y y x x       173. 2 x xy y xy e      bằng phép đổi hàm z xy  . Bộ môn KHCB- Bài tập Phương trình vi phân 6 174. 2 tan cos 0 y y x y x      dùng t = sinx 175. 2 5 sin3 y y y x x      176. 2(1 ) ( 2) x xy x y x y e         bằng phép đổi hàm z xy  177. 4 2 2 3 x y y y xe x       178. 2 2 2 0 y x y xy x      bằng phép biến đổi x = 1/t 179. 2 1 x e y y y x       180. 2 x y xy y x      bằng biến đổi t x e  181. x y y xe      182. 2 4 5 cos x y y y e x       183. 2 4 6 0 x y xy y      bằng biến đổi t x e  184. 2 4 4 1 ln x y y y e x        185. 2 4 8 sin 2 x y y y e x       186. 2 sin x e y y y x x        187. 2 x x y y xe e      188. 2 cos 3sin y y y x x       189. 2 2 2cos y y x     190. sin cos2 y y x x     Chương III: HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN. Giải các hệ phương trình vi phân 191. 5cos 2 dx y t dt dy x y dt            192. 5 3 0 3 0 dx x y dt dy x y dt              193. 2 4 dx x y dt dy y x dt            194. 3 4 dx x y dt dy y x dt            195. 2 dx x y z dt dy y x z dt dz x z dt                  196. 2 2 2 dx x y z dt dy x y z dt dz x y z dt                   197. 2 dx x y z dt dy x y z dt dz x y dt                  198. dx x z dt dy y z dt dz x y dt                199. 2 1 3 1 2 2 2 1 1 5 2 2 2 dx x y z dt dy x y z dt dz x y z dt                    . Bộ môn KHCB- Bài tập Phương trình vi phân 1 BÀI TẬP MÔN PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN- HỆ ĐẠI HỌC CHÍNH QUY Chương I: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP I 1.1 Giải các phương trình vi phân có biến số. Bộ môn KHCB- Bài tập Phương trình vi phân 4 2.2 Phương trình vi phân tuyến tính hệ số biến thiên 125. 2 3 2 cos x y y x x    , biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất. của phương trình vi phân   2 4 4 2 0 y xy x y       . Tìm nghiệm tổng quát của phương trình. 131. Giải phương trình 2 cot xy y xy x      biết một nghiệm riêng của phương trình