Trường THCS VĨNH YÊN ĐỀ THI VÔ ĐỊCH LẦN 3 NĂM HỌC 2009 – 2010 MÔN: TOÁN 8 Thời gian làm bài: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề ) Câu 1: (2,5điểm) Giải các phương trình sau: a. 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 8( ) 4( ) 4( )( ) ( 4)x x x x x x x x x + + + − + + = + ; b. 4 2 3 4 2 3 2 4 3 (2 30 148) ( 5 4) (25 144)x x x x x x− + = − + − − − ; c. 1 1 1 1 3 2010 4 2008 12 2009 5 2007x x x x + = − − + − − . Câu 2: (1,5điểm) Cho a, b, c là các số thực thoả mãn a + b + c = 0 và abc ≠ 0. Tính giá trị của biểu thức 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 P a b c b c a c a b = + + + − + − + − . Câu 3: (1,0điểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 12x 2 + 6xy + 3y 2 = 28( x + y). Câu 4: (2,0điểm) Cho 3 số dương x; y; z thoả mãn x + y + z = 1. Chứng minh rằng 2 2 2 3 2 14 xy yz zx x y z + > + + + + . Câu 5: (3,0điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH . Gọi D, E lần lượt là hình chiếu vuông góc của H lên AB; AC. Gọi I là giao điểm của BE và CD. a. So sánh S ADIE và S BIC ; b. Chứng minh rằng 3 3 BD AB CE AC = ; c. Giả sử Ĉ = 30 0 . Tính tỷ số BH CH . HẾT Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. B ià Câu Néi dung Điểm 1 a ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 8 4 4 4x x x x x x x x x        + + + − + + = +  ÷  ÷  ÷ ÷        (1) Điều kiện để phương trình có nghiệm là : 0x ≠ (1) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 8 4 4x x x x x x x x x           ⇔ + + + + − + = +    ÷  ÷  ÷  ÷             ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 8 8 4 4 16x x x x x x     ⇔ + − + = + ⇔ + =  ÷  ÷     0 8 x x =  ⇔  = −  mà 0x ≠ Vậy phương trình đã cho có một nghiệm là 8x = − 0,25 0,25 0,25 b 4 2 3 4 2 3 2 4 3 (2 30 148) ( 5 4) (25 144)x x x x x x− + = − + − − − ⇔ 4 2 3 4 2 3 4 2 3 ( 5 4) ( 25 144) (2 30 148)x x x x x x− + + − + = − + Ta thấy 4 2 5 4x x− + + 4 2 25 144x x− + = 4 2 2 30 148x x− + Đặt 4 2 5 4x x− + = a; 4 2 25 144x x− + = b Khi đó (1) có dạng : a 3 + b 3 = (a + b) 3 ⇔ ab(a + b) = 0 ⇔ 0 0 0 a b a b =   =   + =  hay 4 2 4 2 4 2 5 4 0(1) 25 144 0(2) 2 30 148 0(3) x x x x x x  − + =  − + =   − + =  Giải (1) : 4 2 5 4x x− + = 0 ⇔ (x 2 - 1)(x 2 - 4) = 0 ⇔ x = ± 1 hoặc x = ± 2 Giải (2): 4 2 25 144x x− + =0 ⇔ (x 2 - 9)(x 2 - 16) = 0 ⇔ x = ± 3 hoặc x = ± 4 Giải (3): 4 2 2 30 148x x− + = 0 ( vô nghiệm) Tập nghiệm của phương trình là : S = { ± 1 ; ± 2 ; ± 3 ; ± 4}. 0,5 0,25 0,25 c 1 1 1 1 3 2010 4 2008 12 2009 5 2007x x x x + = − − + − − (1) Điều kiện để phương trình có nghiệm là: 2010 2008 2007 2009 ; ; ; 3 4 5 12 x x x x≠ ≠ − ≠ ≠ (1) ⇔ 1 1 1 1 3 2010 4 2008 5 2007 12 2009x x x x + + = − + − − (2) Nhận thấy 3x – 2010 + 4x + 2008 + 5x – 2007 = 12x – 2009 Đặt a = 3x – 2010 ; b = 4x + 2008 ; c = 5x – 2007 Khi đó phương trình (2) trở thành: 1 1 1 1 a b c a b c + + = + + Biến đổi ta được: a = - b hoặc b = - c hoặc c = - a Thay vào ta tìm được x. Tập nghiệm của phương trình là: S = { 2 7 ; 1 9 − ; 4017 8 }. 0,25 0,25 0,25 2 Với a + b + c = 0 thì: 2 2 2 a b c+ − = -2ab; 2 2 2 b c a+ − = -2bc; 2 2 2 c a b+ − = -2ca Vậy P = 0 0,5 1 3 12x 2 + 6xy + 3y 2 = 28(x + y) ⇔ 9x 2 = -3(x + y) 2 + 28(x + y) = 2 2 14 14 196 3 ( ) 3 3 3 x y   − + − ≤     2 7x⇒ ≤ 2 x⇒ ∈ { 0; 1; 4} ⇒ x ∈{ 0; ± 1 ; ± 2} ⇒ y∈{ 0; 8; 10} Nghiệm nguyên ( x; y) của phương trình là: (0; 0); (1; 8); (-1; 10). 0,5 0,5 4 (x+y+z) 2 ≥ 3(xy+yz+zx) ⇒ 1 3 xy yz zx ≤ + + ( vì x + y + z = 1). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1 3 Chứng minh được: 2 2 2 2 1 1 4 2( ) ( )xy yz zx x y z x y z + ≥ + + + + + + = 4 Khi đó: 2 2 2 2 2 2 3 2 4 2 2 2.3 2.4 14 2( ) 2( )xy yz zx x y z xy yz zx xy yz zx x y z + = + + ≥ + = + + + + + + + + + + Đẳng thức không xảy ra, ta có điều phải chứng minh. 0,5 0,5 0,5 5 a Do HD//AC ⇒ S ADC = S AHC Do HE // AB ⇒ S AHC = S BEC ( = S ABC - S AHB = S ABC - S ABE ) Suy ra: S ADC = S BEC ⇒ S ADC - S EIC = S BEC - S EIC ( Đpcm ) 1 b 2 2. ( ) . 2 AHB CHA SBD HB HB AH AB HE HC HC AH S AC = = = = (1) Do HE // AB ⇒ HE AB CE AC = ( Hệ quả định lý Ta - lét) (2) Từ (1) và (2) ⇒ 3 BD AB CE AC   =  ÷   1 c Với Ĉ = 30 0 ⇒ AB = ½ BC Với Ĉ = 30 0 ⇒ ∠BAH = 30 0 ⇒ BH = ½ AB Suy ra: BH = ¼ BC Vậy BH/CH = 1/3 1 d Gọi M là trung điểm của BC ⇒ 2 3 3 2 16 2 AH AH BM BM   = ⇒ =  ÷   Đặt BM = a ⇒ AH = 3 a Mà BM = AM ⇒ AM = Suy ra: HM = a/2 Trong tam giác AHM có HM = AM/2 ⇒ ∠AMB = 60 0 Vậy ∠ B= 60 0 0,5 . YÊN ĐỀ THI VÔ ĐỊCH LẦN 3 NĂM HỌC 2009 – 2010 MÔN: TOÁN 8 Thời gian làm bài: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề ) Câu 1: (2,5điểm) Giải các phương trình sau: a. 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 8( . (1) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 8 4 4x x x x x x x x x           ⇔ + + + + − + = +    ÷  ÷  ÷  ÷             ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 8 8 4 4 16x x x x x x     ⇔. − + = + ⇔ + =  ÷  ÷     0 8 x x =  ⇔  = −  mà 0x ≠ Vậy phương trình đã cho có một nghiệm là 8x = − 0,25 0,25 0,25 b 4 2 3 4 2 3 2 4 3 (2 30 1 48) ( 5 4) (25 144)x x x x x x− +