Chuyên đề về các bài toán có chữ số giống nhau 1Lý thuyết: Cấu tạo số có chữ số giống nhau: Số 1, 11, 111, 1111, 11111có thể viết thành 1 2 10 1 1 9 10 1 11 9 − = − = vv đến số 11 1 ở đó có n số 1có thể viết 10 1 111111 11 . 9 n n − = 1 4 2 4 3 999 9 1000 0 1 10 1 111 1 . 9 9 9 k k k k − − = = = 6 7 8 6 7 8 12 3 Các chữ số 2, 22, 222, có viết thành: 1 2 10 1 2 2 9 10 1 2 22 9 10 1 2 22 2 9 n − = − = − = ở đó có n số 2 và các số khác cũng có thể viết theo quy tắc trên: 2. Bài tập: Bài 1: cho số tự nhiên n có k chứ số 9.Chứng tỏ tổng các chữ số của số n 2 là 9k. Giải: Ta viết 10 1 999 9 9(111 1) 9 10 1. 9 k k k N − = = = = − 1 2 3 Tính chữ số của N 2 theo công thức: 2 2 2 2 1 1 . (999 9).(10 1) 999 9000 0 999 9 999 98000 01 k k k k k k N N N N N N − − = = − = − = 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 Vậy tổng các chữ số là: 9( 1) 8 1 9 .k k− + + = GV: Hoàng Thị Tuyết - THCS Ngọc Sơn - Hải Dương 1 Bài 2: Cho các số 49, 4489, 444889, , là số ta viết thêm số 48 vào giữa các chữ số của số 49, chứng tỏ rằng tất cả các số viết theo quy tắc như vậy là bình phương của số tự nhiện Giải: Ta iết các số dưới dạng: : 1 2 3 49 4.1.10 8.1 1 4489 4.11.10 8.11 1 444889 4.111.10 8.111 1 = + + = + + = + + Và cứ thế, cứ thế. { 1 444 488 89 4.111 1.10 8.111 1 1. n n n n n N − = = + + 1 2 3 12 3 12 3 Mà theo lý thuyết 10 1 11 11 9 n n − = 12 3 nên: 2 2 4 8 (10 1).10 (10 1) 1 9 9 4 4 8 8 10 10 10 1 9 9 9 9 2.10 1 3 n n n n n n n N N N = − + − + = − + − +   + =  ÷   Số 2.10 1 n + é chia hết cho 3, vậy chứng tỏ N là bình phương của số tự nhiên. Bài 3: Cho số A(n) và B(n) với 2n chữ số 1 và n chữ số 2 . Có thể hay không A(n) – B(n) là bình phương của số tự nhiện ? Giải: Ta có: 2 ( ) ( ) 111 1 222 2 n n A n B n− = − 123 1 2 3 Mà 10 1 222 2 2 9 n n − = 1 2 3 và 2 2 10 1 111 1 , 9 n n − = 12 3 nên: 2 10 1 10 1 ( ) ( ) 2 9 9 n n A n B n − − − = − (10 1)(10 1) 10 1 ( ) ( ) 2 9 9 n n n A n B n − + − − = − (10 1)[(10 1) 2] ( ) ( ) 9 n n A n B n − + − − = 2 (10 1) ( ) ( ) 9 n A n B n − − = 2 2 (10 1) ( ) ( ) . 3 n A n B n − − = Vâyj ( ) ( )A n B n− số chính phương Bài 4 : Tính giá trị của B= 2 (999.999.999) . GV: Hoàng Thị Tuyết - THCS Ngọc Sơn - Hải Dương 2 Giải: Ta viết 2 9 2 18 9 18 9 10 1 (999.999.999) 9. 10 2.10 1 1000 0 2000 0 1 9   − = = − + = − +  ÷   1 2 3 1 2 3 Vậy: 2 8 8 (999.999.999) 999 98000 01= 1 2 3 1 2 3 Bài 5: Cho số 666 666 6A = 1 2 3 và số 666 333 3B = 1 2 3 . Tính AB ? Giải: Ta có 666 666 666 6 6.111 1A = = 1 2 3 12 3 và 666 666 666 10 1 333 3 3.111 1 3. , 9 B − = = = 1 2 3 1 2 3 Vậy 666 10 1 3.6.(111 1). 9 AB − = 666 2.(111 1)(10 1)AB = − 666 (222 2)(10 1)AB = − 666 (222 2).10 222 2AB = − 666 666 666 222 2000 0 222 2AB = − 1 2 3 1 2 3 1 2 3 665 665 222 21777 78AB = 1 2 3 1 2 3 ở tích AB: - có một số 1; - có một số 8; - có 665 số 2; - có 665 số 7. 3. Bài tập tự học ở nhà. 1. Tính tổng : 2 22 222 2+ + + ở số hạng cuối cùng có n chũ số 2. 2. Chứng minh rằng : 2 2 111 1 222 2 (333 3) . n n n = + 12 3 1 2 3 1 2 3 3. Chứng minh rằng 111 1 n 1 2 3 chia hết cho 41 nếu n chia hết cho 5. 4. Có thể hay không trong các số : 11,111,1111,11111, có một số là số chính phương. 5. Có thể hay không các : 1111,111111, , ở đó có chẵn chữ số 1, là hợp số GV: Hoàng Thị Tuyết - THCS Ngọc Sơn - Hải Dương 3 . Cho số 66 6 66 6 6A = 1 2 3 và số 66 6 333 3B = 1 2 3 . Tính AB ? Giải: Ta có 66 6 66 6 66 6 6 6.111 1A = = 1 2 3 12 3 và 66 6 66 6 66 6 10 1 333 3 3.111 1 3. , 9 B − = = = 1 2 3 1 2 3 Vậy 66 6 10. Vậy 66 6 10 1 3 .6. (111 1). 9 AB − = 66 6 2.(111 1)(10 1)AB = − 66 6 (222 2)(10 1)AB = − 66 6 (222 2).10 222 2AB = − 66 6 66 6 66 6 222 2000 0 222 2AB = − 1 2 3 1 2 3 1 2 3 66 5 66 5 222 21777 78AB. 3 1 2 3 ở tích AB: - có một số 1; - có một số 8; - có 66 5 số 2; - có 66 5 số 7. 3. Bài tập tự học ở nhà. 1. Tính tổng : 2 22 222 2+ + + ở số hạng cuối cùng có n chũ số 2. 2. Chứng minh rằng :