1 C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN 1. ĐẠO HÀM HÀM SỐ MỘT BIẾN Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trong (a,b) và x 0  (a,b). Nếu tồn tại 0 0 xx xx ) x ( f ) x ( f lim 0    thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số f(x) tại x 0 . Ký hiệu f’(x 0 ), y’(x 0 ) Đặt x = x – x 0 , ta có x = x 0 + x và đặt y = f(x 0 + x) – f(x 0 ) thì x y lim'y 0 x      Ký hiệu dy/dx, df/dx Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com 2 C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN - Đạo hàm bên phải: - Đạo hàm bên trái: x y lim'y 0 x       x y lim'y 0 x       - Hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng (a,b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng đó, - f(x) có đạo hàm trên đoạn [a,b] nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng (a,b), có đạo hàm phải tại a và đạo hàm trái tại b Ví dụ: Tìm đạo hàm của y = x 2 , y = sinx Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com 3 C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Đạo hàm của tổng thương tích của hai hàm số: Nếu các hàm số u, v có đạo hàm tại x thì: • u + v cũng có đạo hàm tại x và (u + v)’ = u’ + v’ • u.v cũng có đạo hàm tại x và (u.v)’ = u’v + v’u • u/v cũng có đạo hàm tại x\V(x)0 và 2 ' v u'vv'u v u         Đạo hàm của hàm số hợp: Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm theo x, hàm y = f(u) có đạo hàm tương ứng u = u(x) thì hàm số hợp f(u) có đạo hàm theo x và y’(x) = y’(u).u’(x). Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com 4 C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Đạo hàm của hàm số ngược: Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x, f’(x) ≠ 0 và có hàm số ngược x = f -1 (y) thì hàm số x = f -1 (y) có đạo hàm tại y = f(x): )]y(f['f 1 )x('f 1 )y()'f( 1 1    Ví dụ, tìm đạo hàm của y = arcsinx Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com 5 C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản: (c)’ = 0 (x  )’ = x -1 (a x )’ = a x lna (e x )’ = e x a ln x 1 )'x(log a  x 1 )'x(ln  (sinx)’ = cosx (cosx)’ = -sinx x cos 1 )'tgx( 2  x sin 1 )'gx(cot 2  2 x 1 1 )'x(arcsin   2 x 1 1 )'x(arccos   2 x 1 1 )'arctgx(   2 x 1 1 )'gxcotarc(   Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com 6 C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Đạo hàm cấp cao : Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm thì y’ = f’(x) gọi là đạo hàm cấp 1. Đạo hàm, nếu có, của đạo hàm cấp 1 gọi là đạo hàm cấp 2. Ký hiệu: y’’(x), f’’(x) 2 2 2 2 dx fd , dx yd Tương tự, đạo hàm của đạo hàm cấp (n-1) là đạo hàm cấp n. Ký hiệu: f (n) (x), y (n) (x). n n n n dx fd , dx yd Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com 7 C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Công thức Leibniz: Giả sử hàm số u, v có đạo hàm liên tiếp đến n. Khi đó ta có: (u + v) (n) = u (n) + v (n)     n 0 k k)kn(k n )n( v.uC)uv( trong đó u (0) = u, v (0) = v Ví dụ: Cho y = x  (  R, x > 0), y = ke x , tìm y (n) Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com 8 C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN 2. VI PHÂN Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) khả vi, ta ký hiệu dy = y’dx (df = f’dx) được gọi là vi phân cấp 1 của hàm số f. Vi phân của tổng, tích, thương: d(u + v) = du + dv d(u.v) = vdu + udv 2 v udvvdu v u d         Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com 9 C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) và f( n-1) khả vi, ta ký hiệu d (n) y = y (n) dx n (d (n) f = f (n) dx) được gọi là vi phân cấp n của hàm số f. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com 10 C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN 3. CÁC ĐỊNH LÝ VỀ ĐẠO HÀM Định lý Rolle: Nếu f là hàm số liên tục trên [a,b], khả vi trong (a,b) và f(a) = f(b) thì tồn tại c  (a,b) sao cho f’(c) = 0. Định lý Lagrange: Nếu f là hàm số liên tục trên [a,b], khả vi trong (a,b) thì tồn tại c  (a,b) sao cho )c('f a b ) a ( f ) b ( f    Nhận xét: Định lý Rolle là một trường hợp đặc biệt của định lý Lagrange trong trường hợp f(b) = f(a). Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com [...]... C2 ĐẠO HÀM – VI PHÂN Định lý Taylor: Nếu hàm số f khả vi đến cấp (n +1) trong lân cận D của x0 thì x  D, x ≠ x0 thì tồn tại c nằm giữa x và x0 sao cho: f ' ( x0 ) f " ( x0 ) f ( x )  f ( x0 )  ( x  x0 )  ( x  x0 )2  1 ! 2! f (n ) ( x 0 ) f (n 1) (c )  ( x  x 0 )n  ( x  x 0 )n 1 n! (n  1) ! Số hạng cuối cùng được gọi là phần dư Lagrang f (n 1) (c ) Rn ( x )  ( x  x 0 )n 1 (n  1) ! 12 ... Unregistered Version - http://www.simpopdf.com C2 ĐẠO HÀM – VI PHÂN • Đa thức Taylor: f k ( x0 ) k Pn ( x )   ( x  x0 ) k 0 k! n Khi x0=0 thì công thức Taylor trở thành công thức Maclaurin f ' (0) f " (0) 2 f ( n ) (0) n f ( n 1) (c) n 1 f ( x )  f ( 0)  x x   x  x 1! 2! n! (n  1) ! 13 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com C2 ĐẠO HÀM – VI PHÂN L’Hospital khử... Unregistered Version - http://www.simpopdf.com C2 ĐẠO HÀM – VI PHÂN Định lý Cauchy: Nếu f , g cùng liên tục trên [a,b], khả vi trong khoảng (a,b) và g’(x) ≠ 0, x  (a,b) thì tồn tại c  (a,b) sao cho f (b )  f ( a ) f ' ( c )  g(b)  g(a) g' (c ) Nhận xét: Định lý Lagrange là một trường hợp đặc biệt của định lý Cauchy trong trường hợp g(x) = x 11 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com... Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com C2 ĐẠO HÀM – VI PHÂN 1 Dạng 0/0, / Ví dụ: Tìm các giới hạn sau (dạng 0/0) tgx  x x3  27 lim lim 2 x 0 x  sin x x 3 x  4 x  3   arctgx x  sin x lim lim 2 1 x 0 x  x3 x Ví dụ: Tìm giới hạn sau (dạng /) xn ln x ln x lim x lim n lim x   e x   x x 0  cot gx 15 ... khả vi trong (a,b), g’(x) ≠ 0 với mọi x  (a,b) f ' ( x) f ' ( x) lim  lim L lim f ( x )  lim g( x )  0 x a g' ( x ) x a g' ( x ) x a x a Nhận xét: Qui tắc L’Hospital vẫn đúng nếu: lim f ( x )  lim g( x )  0 x  x  lim f ( x )  lim g( x )   x a x a lim f ( x )  lim g( x )   x  x  • Qui tắc L’Hospital có thể áp dụng nhiều lần 14 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - . f’(x) gọi là đạo hàm cấp 1. Đạo hàm, nếu có, của đạo hàm cấp 1 gọi là đạo hàm cấp 2. Ký hiệu: y’’(x), f’’(x) 2 2 2 2 dx fd , dx yd Tương tự, đạo hàm của đạo hàm cấp (n -1 ) là đạo hàm cấp n. Ký. của hàm số ngược: Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x, f’(x) ≠ 0 và có hàm số ngược x = f -1 (y) thì hàm số x = f -1 (y) có đạo hàm tại y = f(x): )]y(f['f 1 )x('f 1 )y()'f( 1 1    Ví. Version - http://www.simpopdf.com 2 C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN - Đạo hàm bên phải: - Đạo hàm bên trái: x y lim'y 0 x       x y lim'y 0 x       - Hàm số f(x) có đạo hàm trên