Chủ đề 13: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN 1. Trong khơng gian, cho điểm M(2 ; 1 ; 0) và đường thẳng d có phương trình: Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M, cắt và vng góc với đường thẳng d. Giải: Gọi H là hình chiếu vng góc của M trên d, ta có MH là đường thẳng đi qua M, cắt và vng góc với d. Vì H ∈ d nên tọa độ của H có dạng : (1 + 2t ; − 1 + t ; − t). Suy ra : MH uuuur = (2t − 1 ; − 2 + t ; − t) Vì MH ⊥ d và d có một vectơ chỉ phương là u r = (2 ; 1 ; −1), nên : 2.(2t – 1) + 1.(− 2 + t) + (− 1).(−t) = 0 ⇔ t = 2 3 . Vì thế, MH uuuur = 1 4 2 ; ; 3 3 3   − −  ÷   . Suy ra, phương trình tham số của đường thẳng MH là: x 2 t y 1 4t z 2t = +   = −   = −  2. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng ( ) ( ) : 2 2z + 5 = 0; Q : 2 2z -13 = 0.P x y x y+ − + − Viết phương trình của mặt cầu (S) đi qua gốc tọa độ O, qua điểm A(5;2;1) và tiếp xúc với cả hai mặt phẳng (P) và (Q). Giải : Gọi I(a;b;c) là tâm và R là bán kính của mặt cầu (S). Từ giả thiết ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , , OI AI OI AI d I P d I Q OI d I P d I P d I Q  =   = = = ⇔ =   =   Ta có: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 5 2 1 10 4 2 30 (1) OI AI OI AI a b c a b c a b c = ⇔ = ⇔ + + = − + − + − ⇔ + + = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 | 2 2 5| , 9 2 2 5 (2) 3 a b c OI d I P a b c a b c a b c + − + = ⇔ + + = ⇔ + + = + − + ( ) ( ) ( ) ( ) | 2 2 5| | 2 2 13| , , 3 3 2 2 5 2 2 13 ( ) 2 2 4 (3) 2 2 5 2 2 13 a b c a b c d I P d I Q a b c a b c a b c a b c a b c + − + + − − = ⇔ = + − + = + − −  ⇔ ⇔ + − =  + − + = − − + +  lo¹i Từ (1) và (3) suy ra: 17 11 11 4a ; (4) 3 6 3 a b c − = − = Từ (2) và (3) suy ra: 2 2 2 9 (5)a b c+ + = x 1 2t y 1 t z t = +   = − +   = −  Thế (4) vào (5) và thu gọn ta được: ( ) ( ) 2 221 658 0a a− − = Như vậy 2a = hoặc 658 221 a = .Suy ra: I(2;2;1) và R = 3 hoặc 658 46 67 ; ; 221 221 221 I   −  ÷   và R = 3. Vậy có hai mặt cầu thỏa mãn u cầu với phương trình lần lượt là: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 9x y z− + − + − = và 2 2 2 658 46 67 9 221 221 221 x y z       − + − + + =  ÷  ÷  ÷       3. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2 ; 1 ; 0) và đường thẳng d có phương trình: x 1 y 1 z 2 1 1 − + = = − . Viết phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm M, cắt và vng góc với đường thẳng d. Giải : Gọi H là hình chiếu vng góc của M trên d, ta có MH là đường thẳng đi qua M, cắt và vng góc với d. d có phương trình tham số là: x 1 2t y 1 t z t = +   = − +   = −  Vì H ∈ d nên tọa độ của H có dạng : (1 + 2t ; − 1 + t ; − t). Suy ra : MH uuuur = (2t − 1 ; − 2 + t ; − t) Vì MH ⊥ d và d có một vectơ chỉ phương là u r = (2 ; 1 ; −1), nên : 2.(2t – 1) + 1.(− 2 + t) + (− 1).(−t) = 0 ⇔ t = 2 3 . Vì thế, MH uuuur = 1 4 2 ; ; 3 3 3   − −  ÷   . Suy ra, phương trình chính tắc của đường thẳng MH là: x 2 y 1 z 1 4 2 − − = = − − 4. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3 2 1 0x y z− + + = , đường thẳng ( ) 5 : 2 3 1 x t d y t z t = +   = − +   = −  . Lập phương trình đường thẳng ( ) ∆ nằm trong mặt phẳng (P), cắt và vng góc với đường thẳng (d). Hướng dẫn +) (3; 1;2), (1;3; 1) P d n u= − = − uur uur . Giao điểm của (d) và (P) là điểm A(15; 28; - 9) +) Đường thẳng (d’) cần tìm qua A nhận , ( 4;5;10) P d n u   = −   uur uur là VTCP ( ') :d⇒ 15 28 9 4 5 10 x y z − − + = = − 5. Trong khơng gian với hệ toạ độ ,Oxyz cho hình vng MNPQ có )4;3;2(),1;3;5( −− PM . Tìm toạ độ đỉnh Q biết rằng đỉnh N nằm trong mặt phẳng .06:)( =−−+ zyx γ Giải : - Gi¶ sư );;( 000 zyxN . V× )1(06)( 000 =−−+⇒∈ zyxN γ - MNPQ là hình vuông MNP vuông cân tại N = = 0.PNMN PNMN =++++ +++=+++ 0)4)(1()3()2)(5( )4()3()2()1()3()5( 00 2 000 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 zzyxx zyxzyx =++++ =+ )3(0)4)(1()3()2)(5( )2(01 00 2 000 00 zzyxx zx - Từ (1) và (2) suy ra += += 1 72 00 00 xz xy . Thay vào (3) ta đợc 065 0 2 0 =+ xx === === 2,1,3 1,3,2 000 000 zyx zyx hay )2;1;3( )1;3;2( N N . - Gọi I là tâm hình vuông I là trung điểm MP và NQ ) 2 5 ;3; 2 7 ( I . Nếu )13;2( N thì ).4;3;5( Q Nếu )2;1;3( N thì ).3;5;4( Q 6. Trong khụng gian vi h to ,Oxyz cho cỏc im )2;3;0(),0;1;0(),0;0;1( CBA v mt phng .022:)( =++ yx Tỡm to ca im M bit rng M cỏch u cỏc im CBA ,, v mt phng ).( Giaỷi : Giả sử );;( 000 zyxM . Khi đó từ giả thiết suy ra 5 22 )2()3()1()1( 002 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 ++ =++=++=++ yx zyxzyxzyx ++ =++ ++=++ ++=++ )3( 5 )22( )1( )2()2()3()1( )1()1()1( 2 00 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 yx zyx zyxzyx zyxzyx Từ (1) và (2) suy ra = = 00 00 3 xz xy . Thay vào (3) ta đợc 2 00 2 0 )23()1083(5 +=+ xxx = = 3 23 1 0 0 x x ). 3 14 ; 3 23 ; 3 23 ( )2;1;1( M M 7. Vit phng trỡnh ng vuụng gúc chung ca hai ng thng sau: 1 2 x 1 2t x y 1 z 2 d : ; d : y 1 t 2 1 1 z 3 = + + = = = + = Giaûi: Gọi ( ) ( ) 1 2 M d M 2t;1 t; 2 t ,N d N 1 2t ';1 t ';3∈ ⇒ − − + ∈ ⇒ − + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 MN 2t 2t' 1;t t '; t 5 2 2t 2t ' 1 t t ' t 5 0 MN.u 0 2 2t 2t ' 1 t t' 0 MN.u 0 6t 3t ' 3 0 t t ' 1 3t 5t ' 2 0 M 2;0; 1 , N 1;2;3 ,MN 1;2;4 x 2 y z 1 PT MN : 1 2 4 ⇒ − + − + − +   − + − − + + − + = =   ⇔   − + − + + = =     − + + =  ⇔ ⇔ = =  − + − =  ⇒ − − − + ⇒ = = − uuuur uuuur uur uuuur uur uuuur 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng: 2 5 1 1 3 4 : 1 − + = − − = − zyx d 13 3 1 2 : 2 zyx d = + = − Viết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng d 1 và d 2 Giaûi : Giả sử một mặt cầu S(I, R) tiếp xúc với hai đương thẳng d 1 , d 2 tại hai điểm A và B khi đó ta luôn có IA + IB ≥ AB và AB ≥ ( ) 1 2 ,d d d dấu bằng xảy ra khi I là trung điểm AB và AB là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng d 1 , d 2 Ta tìm A, B : ' AB u AB u  ⊥   ⊥   uuur r uuur ur A∈d 1 , B∈d 2 nên: A(3 + 4t; 1- t; -5-2t), B(2 + t’; -3 + 3t’; t’) ⇒ AB uuur (….)… ⇒ A(1; 2; -3) và B(3; 0; 1) ⇒ I(2; 1; -1) Mặt cầu (S) có tâm I(2; 1; -1) và bán kính R= 6 Nên có phương trình là: ( ) 2 2 2 2 ( 1) ( 1) 6x y z− + − + + = 9. Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1;0;0); B(0;2;0); C(0;0;-2) tìm tọa độ điểm O’ đối xứng với O qua (ABC). Giaûi : *Từ phương trình đoạn chắn suy ra pt tổng quát của mp(ABC) là:2x+y-z-2=0 *Gọi H là hình chiếu vuông góc của O l ên (ABC), OH vuông góc với (ABC) nên )1;1;2(// −nOH ; ( ) H ABC∈ Ta suy ra H(2t;t;-t) thay vào phương trình( ABC) có t= 3 1 suy ra ) 3 1 ; 3 1 ; 3 2 ( −H *O’ đoái xứng với O qua (ABC) ⇔ H là trung điểm của OO’ ⇔ ) 3 2 ; 3 2 ; 3 4 (' −O 10. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) α và mặt cầu (S) có phương trình ( ) : 2 2 3 0x y z α − + − = và ( ) 2 2 2 : 2 4 8 4 0S x y z x y z+ + − + − − = . Giaûi: Xét vị trí tương đối của mặt cầu (S) và mặt phẳng ( ) α . Viết phương trình mặt cầu (S’) đối xứng với mặt cầu (S) qua mặt phẳng ( ) α . ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 : 1 2 4 25S x y z− + + + − = , tâm ( ) 1; 2;4I − và R = 5 Khoảng cách từ I đến ( ) α ( ) ( ) , 3d I R α = < Vậy ( ) α và mặt cầu (S) cắt nhau. Gọi J là điểm đối xứng của I qua ( ) α PT đường thẳng IJ : 1 2 2 4 2 x t y t z t = +   = − −   = +  Toạ độ giao điểm H của IJ và ( ) α thoả ( ) 1 2 1 2 1 1; 1;2 4 2 1 2 2 3 0 2 x t t y t x H z t y x y z z = + = −     = − − = −   ⇔ ⇒ − −   = + = −     − + − = =   Vì H là trung điểm của IJ nên ( ) 3;0;0J − Mặt cầu (S’) có tâm J bán kính R’ = R = 5 nên có PT: ( ) ( ) 2 2 2 ' : 3 25S x y z+ + + = 11. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) α và mặt cầu (S) có phương trình ( ) : 2 2 3 0x y z α − + − = và ( ) 2 2 2 : 2 4 8 4 0S x y z x y z+ + − + − − = . Xét vị trí tương đối của mặt cầu (S) và mặt phẳng ( ) α . Viết phương trình mặt cầu (S’) đối xứng với mặt cầu (S) qua mặt phẳng ( ) α . 12. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(2;3;0), mặt phẳng (P ) : x + y + 2z +1 = 0 và mặt cầu (S) : x 2 + y 2 + z 2 - 2x + 4y - 6z +8 = 0 . a) Tìm điểm N là hình chiếu của điểm M lên mặt phẳng (P) . b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S) . x y 2z 11 0+ + − = 13. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng 1 1 2 ( ) : 2 2 x t y t z t = +   ∆ = −   = −  và 2 2 ' ( ): 5 3 ' 4 x t y t z = −   ∆ = − +   =  a) Chứng minh rằng đường thẳng 1 ( )∆ và đường thẳng 2 ( )∆ chéo nhau b) Viết phương trình mặt phẳng ( P ) chứa đường thẳng 1 ( )∆ và song song với đường thẳng 2 ( )∆ . 14. Trong không gian Oxyz cho các điểm A(2,0,0); B(0,4,0); C(2,4,6) và đường thẳng (d) 6x 3y 2z 0 6x 3y 2z 24 0 − + =   + + − =  1. Chứng minh các đường thẳng AB và OC chéo nhau. 2. Viết phương trình đường thẳng ∆ // (d) và cắt các đường AB, OC. 16 Trong không gian Oxyz cho hai điểm A (-1;3;-2), B (-3,7,-18) và mặt phẳng (P): 2x - y + z + 1 = 0 a. Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mp (P). b. Tìm tọa độ điểm M ∈ (P) sao cho MA + MB nhỏ nhất. 17. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình 011642 222 =−−+−++ zyxzyx và mặt phẳng ( α ) có phương trình 2x + 2y – z + 17 = 0. Viết phương trình mặt phẳng ( β ) song song với ( α ) và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có chu vi bằng 6π. 18. Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d: 3 2 12 1 − + == − zyx và mặt phẳng 012:)( =−++ zyxP .Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d với mặt phẳng )(P . Viết phương trình của đường thẳng ∆ đi qua điểm A vuông góc với d và nằm trong )(P . 19. Cho (∆):      = +−= += 4 21 3 z ty tx ; (∆’)      += = +−= uz uy ux 42 2 22 ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng vu«ng gãc chung cña (∆) vµ (∆’) + Gäi ®êng vu«ng gãc 20. Trong không gian Oxyz cho hai điểm A (-1;3;-2), B (-3,7,-18) và mặt phẳng (P): 2x - y + z + 1 = 0.Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mp (P). . Chủ đề 13: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN 1. Trong khơng gian, cho điểm M(2 ; 1 ; 0) và đường thẳng d có phương trình: Viết phương trình. − 4. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3 2 1 0x y z− + + = , đường thẳng ( ) 5 : 2 3 1 x t d y t z t = +   = − +   = −  . Lập phương trình đường thẳng ( ) ∆ nằm trong. 9 4 5 10 x y z − − + = = − 5. Trong khơng gian với hệ toạ độ ,Oxyz cho hình vng MNPQ có )4;3;2(),1;3;5( −− PM . Tìm toạ độ đỉnh Q biết rằng đỉnh N nằm trong mặt phẳng .06:)( =−−+ zyx γ Giải