NỘI DUNG 1. Định nghĩa: Cho V và W là hai không gian vec-tơ. Ánh xạ f: V-> W gọi là 1 ánh xạ tuyến tính nếu f thỏa mãn hai tính chất sau đây: (L1): f(u + v ) = f(u) + f(v), mọi u,v thuộc V (tính bảo toàn phép cộng) (L2): f(λu) = λf(u), mọi λ thuộc R , mọi u thuộc V (tính bảo toàn phép nhân với vô hướng) - Nhận xét: Từ hai điều kiện trên, dễ dàng nhận thấy rằng: f : V > W là ánh xạ tuyến tính: f ( λ 1 u 1 + λ 2 u 2 ) = λ 1 f(u 1 ) + λ 2 f(u 2 ) , λ 1 , λ 2 thuộc R , u 1 , u 2 Є V 2. Các phép toán về ánh xạ tuyến tính: Cho f : V-> W và g: V-> W là hai ánh xạ tuyến tính: a. Tổng của hai ánh xạ tuyến tính: mọi u Є V , ( f + g )( u ) = f ( u ) + g ( u ) Є W. b. Tích của ánh xạ f và số thực λ , kí hiệu là λf , là ánh xạ xác định bởi : mọi u Є V , ( λf ) (u) = λf (u) Є W. c. Gỉa sữ V, W, U là ba không gian veto f: V->W và g: W-> V, là hai ạnh xạ tuyến tính. Khi đó , ánh xạ hợp dược xác định bởi: mọi u Є V , ( g 0 f ) (u) = g ( f(u) ) Є U là một ánh xạ từ V tới U. Như thế hợp của hai ánh xạ là một ánh xạ tuyến tính 3. Tính chất: Cho là ánh xạ tuyến tính V, W là hai không gian vec-tơ trên trường số K. Khi đó: 1. 2. Chứng minh: 1. Ta có: Suy ra: (*) Mặt khác: (**) Do đó, từ (*), (**) ta có: f(0 V ) = 0w 2. Ta có: 4. Các ví dụ áp dụng: . 1anh xạ hằng giá trị không: là một ánh xạ tuyến tính và gọi là ánh xạ không. 2Ánh xạ đồng nhất , là một phép biến đổi tuyến tính trên V và gọi là phép biến đổi đồng nhất (hay toán tử đồng nhất) trên V. 3. Phép lấy đạo hàm là một phép biến đổi tuyến tính trên không gian R[x] các đa thức thực một biến x. 4.hép lấy tích phân xác định: là một ánh xạ tuyến tính từ không gian C[a,b] các hàm số thực liên tục trên [a,b] đến không gian R. 5: Cho điểm . Phép lấy đối xứng qua trục Oy là một phép biến đổi tuyến tính. Nghĩa là: là một phép biến đổi tuyến tính. 6 Các ánh xạ sau co phải ánh xạ tuyến tính không? a. f: R 3 -> R 3 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = (x 1 – x 3 , x 2 , 5) b.f : R 3 -> R 3 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = (x 2 – x 3 , x 1 , x 2 ) Giải: a. x = ( x 1 , x 2 , x 3 ) Є R 3 y = ( y 1 y 2 , y 3 ) Є R 3 x + y = ( x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , x 3 + y 3 ) f ( x +y) = ( x 1 + y 1 – x 3 –y 3 , x 2 + y 2 , 5) f ( x) = f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = ( x 1 – x 3 , x 2 , 5 ) f ( y ) = f ( y 1 , y 2 , y 3 ) = ( y 1 -y 3 , y 2 , 5) vậy f ( x+y ) khác f(x) + f(y) mọi x y Є R 3 Vậy f không phải là ánh xạ tuyến tính. b. * x= ( x 1 ,x 2 , x 3 ) Є R 3 y = (y 1 , y 2 ,y 3 ) Є R 3 x + y = ( x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , x 3 +y 3 ) f (x+y) = (x 2 + y 2 – x 3 – y 3 , x 1 + y 1 , x 2 + y 2 ) f(x) = f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = ( x 2 – y 3 , x 1 , x 2 ) f (y) = f ( y 1 , y 2 ,y 3 ) = ( y 2 – y 3 , y 1, y 2 ) Như vậy f ( x + y ) = f(x) + f(y) mọi x,y Є R 3 • λx = (λx 1 , λx 2 , λx 3 ) f ( λx) = ( λx 2 – λx 3 , λx 1 , λx 2 ) = λ ( x 2 – x 3 , x 1 , x 2 ) = λ . f(x) Vậy f là một ánh xạ tuyến tính. 7 . Cho ánh xa tuyến tính sau: a. f: V-> R ,f(v 1 ) = 2 , f(v 2 ) = -3 tính f ( 5v 1 + 9v 2 ) b. f: V-> R f( x+ 2) =1, f(1) = 5 f ( x 2 + x) =0 Tính f ( 2-x+3x 2 ) Giải a. f(5v 1 + 9v 2 ) = f (5v 1 ) + f(9v 2 ) = 5f (v 1 ) + 9f(v 2 ) = 5 .2 + 9. (-3) = -17 b. f (1) = 5 => f(2) = 2f(1) = 2.5= 10 f( x+2) = 1 => f(x) + f(2) = 1 => f(x) = -9 f(x 2 + x) =0 => f(x 2 ) + f(x) =0  f(x 2 ) = 9 f( 2-x+3x 2 ) = 10 + 9 +27 = 46. . phép toán về ánh xạ tuyến tính: Cho f : V-> W và g: V-> W là hai ánh xạ tuyến tính: a. Tổng của hai ánh xạ tuyến tính: mọi u Є V , ( f + g )( u ) = f ( u ) + g ( u ) Є W. b. Tích của ánh xạ. , ( g 0 f ) (u) = g ( f(u) ) Є U là một ánh xạ từ V tới U. Như thế hợp của hai ánh xạ là một ánh xạ tuyến tính 3. Tính chất: Cho là ánh xạ tuyến tính V, W là hai không gian vec-tơ trên trường. dụng: . 1anh xạ hằng giá trị không: là một ánh xạ tuyến tính và gọi là ánh xạ không. 2Ánh xạ đồng nhất , là một phép biến đổi tuyến tính trên V và gọi là phép biến đổi đồng nhất (hay toán tử đồng