www.VNMATH.com SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐẶC TRƯNG GIẢI PT-HPT Phần CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.Tính đơn điệu hàm số Hàm số y = f(x) gọi đồng biến ( tăng) khoảng (a ; b) với x1 ; x  (a;b) mà x1  x f (x1 )  f (x ) Hàm số y = f(x) gọi nghịch biến ( giảm) khoảng (a ; b) với x1 ; x  (a;b) mà x1  x f (x1 )  f (x ) Hàm số y = f(x) đồng biến nghịch biến (a;b) , ta nói hàm số y = f(x) đơn điệu (a ; b) Định lí Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm khoảng (a ; b) +Hàm số y = f(x) đồng biến khoảng (a ; b)  f ' (x)  với x  (a; b) f ' (x)  xảy số hữu hạn điểm khoảng (a ; b) + Hàm số y = f(x) nghịch biến khoảng (a ; b)  f ' (x)  với x  (a; b) f ' (x)  xảy số hữu hạn điểm khoảng (a ; b) + Nếu f ' (x)  với x  (a; b) f  x  liên tục  a; b  hàm số y  f  x  đồng biến  a; b  + Nếu f ' (x)  với x  (a; b) f  x  liên tục  a; b  hàm số y  f  x  nghịch biến  a; b  Phần CÁC TÍNH CHẤT a)Tính chất Nếu f(x) liên tục đơn điệu (a ; b ) ta có : f(u) = f(v)  u = v với u ,v  (a ; b ) b) Các bổ đề hỗ trợ: b.1 Nếu f(x) đơn điệu liên tục (a ; b) phương trình f(x) = có nhiều nghiệm x0  (a ; b) b.2 Nếu f(x); g(x) liên tục đơn điệu ngược chiều (a ; b) phương trình f(x) = g(x) có nhiều nghiệm (a ; b) b.3 + f(x) đồng biến ( a ; b) f(u) < f( v)  u  v + f(x) nghịch biến ( a ; b) f(u) < f( v)  u  v GV: NGUYỄN TRUNG SỸ_THPT LÝ TỰ TRỌNG –NAM ĐỊNH www.VNMATH.com SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐẶC TRƯNG GIẢI PT-HPT với  u , v  (a ; b) Nhận xét : Các tính chất bổ đề dễ dàng suy từ định nghĩa hàm số đồng biến , nghịch biến Phần VẬN DỤNG TÍNH CHẤT TRÊN VÀO VIỆC GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Trước hết ta vận dụng tính chất vào giải phương trình,và hệ phương trình Sau tập vận dụng Bài Giải phương trình sau tập số thực: x  15x  78x  141  2x  (1) (Olimpic 30-4 năm 2011) Lời giải: ĐKXĐ: x   PT (1)   x     x     2x    2x  (*) Xét hàm số đặc trưng : f  t   t  5t với t   Ta có: f '  t   3t   0t   suy hàm số đồng biến  Mà phương trình (*) có dạng: f  x    f  2x     x    2x   x  15x  73x  116    x    x  11x  29   x    x  11    Vậy phương trình cho có nghiệm x  4; x  11  Bài Giải phương trình: 2x   27x  27x  13x  GV: NGUYỄN TRUNG SỸ_THPT LÝ TỰ TRỌNG –NAM ĐỊNH (1) www.VNMATH.com SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐẶC TRƯNG GIẢI PT-HPT (Đề thi HSG Tỉnh Hải Phòng năm 2010) Lời giải: ĐKXĐ: x   PT (1)   2x  1  2x    3x  1   3x  1 (*) Xét hàm số đặc trưng : f  t   t  2t với t   Ta có: f '  t   3t   0t   suy hàm số đồng biến  Mà phương trình (*) có dạng: f  3x  1  f  2x    3x   2x    3x  1   2x  1  x  27x  27x     x  Vậy phương trình cho có nghiệm x  Bài Giải phương trình: x  3x  4x    3x   3x  (1) (Đề thi HSG Tỉnh Quảng Bình năm 2010) Lời giải: ĐKXĐ: 3x    x   3 PT (1)   x  1   x  1   3x  1  1 3x      x  1   x  1    3x   3x  (*) Xét hàm số đặc trưng : f  t   t  t với t  Ta có: f '  t   3t   0t  suy hàm số đồng biến  0;   Mà phương trình (*) có dạng: f  x  1  f  3x    x   3x   x  2x   3x  GV: NGUYỄN TRUNG SỸ_THPT LÝ TỰ TRỌNG –NAM ĐỊNH www.VNMATH.com SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐẶC TRƯNG GIẢI PT-HPT x   x2  x    (Thỏa mãn ĐKXĐ) x0  Vậy phương trình cho có nghiệm phân biệt x  0; x  Bài Giải phương trình: 6x   8x  4x  (1) Lời giải: ĐKXĐ: x   PT (1)   6x  1  6x    2x    2x  *  Xét hàm số đặc trưng : f  t   t  t với t   Ta có: f '  t   3t   0t   suy hàm số đồng biến  Mà phương trình (*) có dạng: f   6x   f  2x   8x  6x   4x  3x  (2) Nếu x   1;1 Đặt x  cos t, t   0; π  , phương trình (2) trở thành:  4cos t  3cos t   Mà t   0; π   t  1 π 2π  cos3t   t    k k   2 π 5π 7π ; t  ;t  9 π 5π 7π Suy ra: x  cos ; x  cos ; x  cos 9 Do phương trình (2) phương trình bậc ba nên có khơng q nghiệm nên phương trình (2) có nghiệm π 5π 7π Vậy phương trình cho : x  cos ; x  cos ; x  cos 9 Bài Giải phương trình: 3x(2  9x  3)  (4x  2)(  x  x  1)  (1) (Olympic 30-4 ĐBSCL 2000) GV: NGUYỄN TRUNG SỸ_THPT LÝ TỰ TRỌNG –NAM ĐỊNH www.VNMATH.com SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐẶC TRƯNG GIẢI PT-HPT Giải: Ta thấy phương trình có nghiệm ( ;0) PT(1)   3x  (2  (3x)  3)  (2x  1)(2  (2x  1)  3)  u(2  u  3)  v(2  v  3) (1) Với u=-3x, v=2x+1; u,v>0 Xét hàm số f (t)  2t  t  3t với t>0 Ta có f '(t)   2t  3t t  3t  t  Suy hàm số f(t) đồng biến  0;  Mà phương trình (1)  f  u   f  v   u=v  -3x=2x+1  x   Vậy nghiệm phương trình cho x   5 Bài Giải phương trình: 2x 1  2x x  (x  1) (1) (ĐH Thủy Lợi 2001-2002) Lời giải: ĐKXĐ: x   Ta có: PT(1)  x 1  (x  1)  2x x  (x  x) (*) Xét hàm số f (t )  t  t với t   Do f ' (t)  t ln   với t  R  f(t) đồng biến R Mà (*) trở thành: f (x  1)  f (x  x)  x 1  x2  x  x 1 Vậy phương trình cho có nghiệm x = Bài Giải phương trình: 1 x x2 2 1 2x x2  1  x (1) GV: NGUYỄN TRUNG SỸ_THPT LÝ TỰ TRỌNG –NAM ĐỊNH www.VNMATH.com SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐẶC TRƯNG GIẢI PT-HPT Lời giải: ĐKXĐ : x  ; Do  2x  x 1   2(  ) x x x 1 x x2 1 x2  2 x t Xét hàm số f (t )   t với t   Nên phương trình (1)  1 2x x2 1  2x  2 x (*) Ta có f ' (t)  t ln   với t  R  Hàm số f(t) đồng biến R 1 x2  2x Mà phương trình (*) trở thành: f ( )  f ( ) x x   x  2x  x2 x2  x  (l)  x  2x     x  (t / m) Vậy x = nghiệm phương trình Bài Giải phương trình:  2x   log    3x  8x  (1)   x  12    (Đề thi HSG tỉnh Thái Bình năm 2010-2011) Lời giải: x  x     ĐKXĐ:  2x    x    2x   PT(1)  log      x  1   2x  1   x  1     2x    log     x  1   2x  1   x  1       log  2x  1   2x  1  log 3  x  1   x  1  * Xét hàm số đặc trưng : f  t   log t  t với t  GV: NGUYỄN TRUNG SỸ_THPT LÝ TỰ TRỌNG –NAM ĐỊNH www.VNMATH.com SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐẶC TRƯNG GIẢI PT-HPT Ta có: f '  t     0t  suy hàm số đồng biến  0;  t ln Mà PT (*) có dạng :  f  2x  1  f  x  1  2x    x  1   3x  8x   x   t / m  x   t / m   Vậy phương trình cho có hai nghiệm phân biệt: x  2; x  *Bình luận: Điểm mấu chốt toán tách hệ số tự viết phương trình dạng f  u   f  v  để xét hàm số đặc trưng Bài Giải phương trình:  π sin 2x  cos x   log sin x (1) với x   0;   2  π Lời giải: Do x   0;  suy ra:  sin x ;cos x   2 Nên PT(1)  log cos x  sin 2x  cos x   log sin x  log cos x  log cos x  cos x  log sin 2x  sin 2x (*) Xét hàm số đặc trưng: f  t   log t  t với t   0;1 Ta có f '  t     0t   0,1 vì:  t    t ln  ln  ln e  t ln  1 1 1  t ln t ln Suy hàm số f  t  đồng biến khoảng  0;1 , mà phương trình (*) có dạng: GV: NGUYỄN TRUNG SỸ_THPT LÝ TỰ TRỌNG –NAM ĐỊNH www.VNMATH.com SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐẶC TRƯNG GIẢI PT-HPT f  cos x   f  sin 2x   cos x  sin 2x  sin x  π x Bình luận: Để giải tốn ta cần phải có kỹ thêm bớt khai thác triệt để giả thiết (điều kiện biến) Bài 10 Giải phương trình :  π log  cot x  tan x    cos 2x  sin 2x (2) với x   0;   4 Lời giải: cot x   π Do x   0;  nên   cot x  tan x   4 0  tan x  Và: cot x  tan x  cos x s inx 2cos 2x   sinx cos x sin 2x  2cos 2x  nên PT(2)  log     cos 2x  sin 2x  sin 2x   log cos2x  log sin 2x  cos2x  sin 2x  π 0  tR, nên hàm số y = f(t) đồng biến R x x Mà phương trình (*)  f    f (y)   y  x  y y  y Thay x = y2 vào (2) ta phương trình: 4x   x   (3) Xét hàm số g  x   4x   x   với x   GV: NGUYỄN TRUNG SỸ_THPT LÝ TỰ TRỌNG –NAM ĐỊNH www.VNMATH.com SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐẶC TRƯNG GIẢI PT-HPT Ta có g '  x     0x   4x  x    Mà g  x  liên tục   ;   nên g  x  đồng biến        ;    Suy phương trình g  x   có nghiệm có nghiệm mà g 1  Nên x  nghiệm phương trình (3) Với x =  y2 =  y =  Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (1;1) (1;-1) Bài 14 Tìm m để hệ phương trình:  x  y3  3y  3x    có nghiệm thực  x   x  2y  y  m    (Đề kỳ THTT 10/2011) Lời giải: 1  x  1  x   ĐKXĐ:    0  y  2y  y  Đặt t  x   t   0;2  , x  y3  3y  3x    t  3t  y3  3y 1 Xét hàm số f  u   u  3u  0; 2 ta có f '  u   3u  6u  0, u   0; 2 suy f  u  nghịch biến đoạn [0; 2] nên: 1  y  t  y  x  Khi x   x  2y  y  m   x   x  m  Đặt v   x  v[0; 1]  (2)  v2 + 2v  = m Xét hàm số g(v) = v2 + 2v  với v[0; 1] ta có g '  v   2v   v   0;1 g(v) liên tục trên[0; 1] Suy Min g(v)  g    1; Max g(v)  g 1  [0;1] [0;1] Vậy hệ phương trình có nghiệm khi: 1  m Bài 15 Giải hệ phương trình: y 1   x  x  2x      y  y  2y   3x 1   GV: NGUYỄN TRUNG SỸ_THPT LÝ TỰ TRỌNG –NAM ĐỊNH www.VNMATH.com SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐẶC TRƯNG GIẢI PT-HPT (THTT năm 2009) Lời giải: u  u   3v  Đặt u  x -1; v  y -1 ta hệ   v  v   3u  1  2 Trừ vế với vế PT ta : u  u   3u  v  v   3v t Xét hàm số đặc trưng: f  t   t  t   ;f '  t   Vì t2   t t2 1 (*)  3t ln t   t   t  t   t   f '  t   0, t hàm số f(t) đồng biến R Nên PT (*)  u  v thay vào PT (1) ta u  u   3u (3)   Theo nhận xét u  u   nên PT (4)  ln u  u   u ln  (lấy ln hai vế)   Xét hàm số g  u   ln u  u   u ln 3; g'  u    ln   ln  0, u  R u 1 hay hàm g(u) nghịch biến R PT (3) có nghiệm u=0 nên PT (3) có nghiệm nhất: u=0 Từ ta nghiệm hệ ban đầu : x=y=1 *Bình luận: Để giải hệ phương trình ta phải nhận dạng hệ hệ đối xứng loại hai để trừ hai phương trình cho ta với xét hàm số đặc trưng Bài 16 Giải hệ phương trình:  y2  x x   e y 1  3log  x  2y    2log  x  y     (1) (2) (Đề thi HSG Tỉnh Đồng Tháp 2010) Lời giải: ĐKXĐ:  x  2y     x  2y   GV: NGUYỄN TRUNG SỸ_THPT LÝ TỰ TRỌNG –NAM ĐỊNH www.VNMATH.com SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐẶC TRƯNG GIẢI PT-HPT Khi đó: (1)  y  x  ln  x  1  ln  y  1  ln  x  1  x   ln  y  1  y  (3) Xét hàm số đặc trưng : f  t   ln t  t với t  , phương trình (3) có dạng: f  x  1  f  y  1 (4) Vì f '(t)   t  t  1;+   f (t) đồng biến 1;  t Nên: f  x  1  f  y  1  x   y   x   y  Với x   y , từ (2) ta được: log   x    x  , suy y  3 (t/m đk)  Với x  y , từ (2) ta được: 3log  x    2log  x  1 (5) Điều kiện: x  1 , ta đặt: log  x  1  3u  x   23u  x  23u  , phương trình (5) trở thành: 3log  x    6u  x   32u u Suy : u 1 8          (6) 9 9 3u 2u u u 1 8 Xét hàm số: g(u)       với u  R 9 9 u u 8 1 Vì : g '(u)    ln    ln  u  R  g'(u) nghịch biến R 9 9 Mặt khác: g(1)  nên u = nghiệm pt (6) Do đó: pt(6) có nghiệm u = Với u = suy x = y = (thỏa mãn đk) Vậy hệ cho có hai nghiệm (3;-3) (7;7) Bài 17 Giải hệ phương trình :  x  3x  ln  2x  1  y    y  3y  ln  2y  1  x  (Đề thi HSG quốc gia THPT, bảng B, năm 1994) 1 Lời giải: Điều kiện : x   ; y   2 Cộng vế với vế hai phương trình hệ ta có: GV: NGUYỄN TRUNG SỸ_THPT LÝ TỰ TRỌNG –NAM ĐỊNH www.VNMATH.com SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐẶC TRƯNG GIẢI PT-HPT x  4x  ln  2x  1  y  4y  ln  2y  1 1   Xét hàm số f  t   t  4t  ln  2t  1   ;     Ta có: f '  t   2t      0, t    ;   nên f  t  hàm số đồng biến 2t        ;   nên 1  f  x   f  y   x  y   x  y  Vậy hệ phương trình cho    x  2x  ln  2x  1     Xét hàm số f  x   x  2x  ln  2x  1   ;     Ta có: f '  x   2x      0, x    ;   2x      Suy f  x  hàm số đồng biến   ;     Mà f    nên f  x    x   y  Vậy hệ phương trình cho có nghiệm  0;0  BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài Giải phương trình: a) 3x   x  3x  x  b) c) 6x   8x  4x  d) 8x  6x   e)  5x    3x   x  3x  x  | x |  3x  3x  x 1  x2  5x  x 1 f) 2x  x  2x  3x   3x   x  g) 2 x3  10 x  17 x   x x  x (HSG Tỉnh Bình Định 2010) Bài Giải phương trình: a) sin x  cos x - sin x.cos x   ln sin x  cos x   sin x.cos x GV: NGUYỄN TRUNG SỸ_THPT LÝ TỰ TRỌNG –NAM ĐỊNH www.VNMATH.com SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐẶC TRƯNG GIẢI PT-HPT  sin x  cos x   b) cos2x  cos x  log 2012     sin x.cos x   3x   c) log    2x  7x    x  1    d) 2x  6x   log e) log 2x  (x  1) x  x  12  x   x  x  12 7x  x2  x   f) log    x  3x   2x  4x   x  4x  g)  x    log  2x  2x  2 2x    h) log  x    x   log  1    x  2 x  x (ĐH Vinh 2010) Bài 3.Chứng minh với m>0 phương trình sau ln có nghiệm  x  mx   log    2x  x  mx     2x    Bài Giải phương trình: a) 2x 1  x  x  d) e x 5  e x 1  c) 16sin x  8sin x  sin 3x 5 e) cos x.  2 sin x 5  sin x.  2 b) 2011sin x  2011cos x  cos2x 1  2x  x  cos x f) 6x  3log 1  5x   2x  g) x 1  6log  6x    h) 2x  3log  3x  1  Bài Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực: 2 2012 x  2mx   20122 x  4mx  m   x  2mx  m Bài Giải hệ phương trình sau:  x11  xy10  y 22  y12    x  3x  y  3y a)  b)  x  y   4x   y     GV: NGUYỄN TRUNG SỸ_THPT LÝ TỰ TRỌNG –NAM ĐỊNH www.VNMATH.com SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐẶC TRƯNG GIẢI PT-HPT 1    x 1  y 1  x 1 y 1 c)   x  y  30  8x  y3  3y  5y  4x   e)   2x  y   2x   x 2  2x   y  f)  y 2  2y   x   x  3x   ln  x  x  1  y   h)  y  3y   ln  y  y  1  z  z  3z   ln  z  z  1  x  Bài 7.Chứng minh hệ phương trình:   x2  x   y  d)    y2  y   x   x  y3  x  9y  30  28y  e)   2x   x  y(2)   x  3x  3x    y    g)  y  3y  3y    z   z  3z  3z    x    x  2x  6.log   y   x   i)  y  2y  6.log   z   y   z  2z  6.log   x   z  y  x e  2011   y2    e y  2011  x  x2 1  x  có nghiệm thỏa mãn điều kiện  y  Nam Trực, ngày 28 tháng 10 năm 2011 Nguyễn Trung Sỹ GV: NGUYỄN TRUNG SỸ_THPT LÝ TỰ TRỌNG –NAM ĐỊNH ...www.VNMATH.com SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐẶC TRƯNG GIẢI PT-HPT với  u , v  (a ; b) Nhận xét : Các tính chất bổ đề dễ dàng suy từ định nghĩa hàm số đồng biến , nghịch biến Phần VẬN DỤNG TÍNH CHẤT... VÀO VIỆC GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Trước hết ta vận dụng tính chất vào giải phương trình,và hệ phương trình Sau tập vận dụng Bài Giải phương trình sau tập số thực: x  15x... y2 vào (2) ta phương trình: 4x   x   (3) Xét hàm số g  x   4x   x   với x   GV: NGUYỄN TRUNG SỸ_THPT LÝ TỰ TRỌNG –NAM ĐỊNH www.VNMATH.com SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐẶC TRƯNG