Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chơng trình Toán THCS A - phần mở đầu I- Lý do chọn đề tài 1- Cơ sở khoa học: Nh chúng ta đã biết, thông qua việc học toán học sinh có thể nắm vững đợc nội dung toán học và phơng pháp giải toán từ đó học sinh vận dụng vào các môn học khác nhất là các môn khoa học tự nhiên. Hơn nữa toán học còn là cơ sở của mọi ngành khoa học khác, chính vì thế toán học có vai trò quan trọng trong nhà trờng phổ thông, nó đòi hỏi ngời thầy giáo mọi sự lao động nghệ thuật sáng tạo, để tạo ra những phơng pháp dạy học giúp học sinh học và giải quyết các bài toán. Bất đẳng thức là một nội dung quan trọng trong chơng trình toán học từ tiểu học đến trung học. Việc nắm vững các phơng pháp giải Bất đẳng thức không những giúp học sinh học tốt bộ môn toán mà còn có tác dụng hỗ trợ cho nhiều môn học khác nh hoá học, vật lý, tin học. Đặc biệt việc phát triển t duy sáng tạo cho học sinh từ tiểu học đến trung học. Nhng vấn đề đặt ra cho mỗi giáo viên toán hiện nay là giúp học sinh học tốt bộ môn toán nói chung v Bất đẳng thức nói riêng. 2- Cơ sở thực tiễn: Bất đẳng thức là loại toán mà học sinh THCS coi là loại toán khó. Nhiều học sinh không biết giải Bất đẳng thức thì phải bắt đầu từ đâu và phơng pháp giải toán Bất đẳng thức nh thế nào. Thực tế cho thấy toán Bất đẳng thức có nhiều trong chơng trình THCS, nhng không đợc hệ thống thành những phơng pháp nhất định, gây cho học sinh nhiều khó khăn khi gặp, khi giải toán Bất đẳng thức. Các bài toàn có liên quan tới Bất đẳng thức hầu nh có mặt ở mọi đề thi kể cả các đề thi tốt nghiệp tới đề thi học sinh giỏi các cấp và thi vào lớp 10 THPT. -1- Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chơng trình Toán THCS Đối với học sinh khắc phục đợc những hạn chế trớc đây giúp cho học sinh có tinh thần tự tin trong học tập bộ môn toán. II - Mục đích nghiên cứu: Góp phần quan trọng trong việc giảng dạy toán học nói chung và Bất đẳng thức nói riêng. Đặc biệt là việc bồi dỡng học sinh giỏi và học sinh thi vào lớp 10 THPH chuyên. Giúp học sinh biết phân loại và vận dụng các phơng pháp giải Bất đẳng thức một cách nhanh chóng và hiệu quả. Phát huy đợc tính tích cực, chủ động sáng tạo của học sinh trong quá trình học tập. III - Ph ơng pháp nghiên cứu: - Nghiên cứu các phơng pháp giải Bất đẳng thức. - Thông qua nội dung phơng pháp và các bài tập mẫu nhằm củng cố Lý thuyết và phát triển trí tuệ cho học sinh. - Rèn kỹ năng học sinh qua các bài tập đề nghị. IV - Phạm vi nghiên cứu và sử dụng: - Các phơng pháp chứng minh Bất đẳng thức ở THCS. - Bồi dỡng cho giáo viên và học sinh THCS. B - Những kiến thức cơ bản về Bất đẳng thức I - Định nghĩa: Cho hai số: a, b ta nói số a lớn hơn số b, ký hiệu là: a > b nếu a - b > 0 số a nhỏ hơn số b, ký hiệu là: a < b nếu a - b < 0 II - Tính chất: 1) a > b b < a 2) a < b, b < c a < c (tính chất bắc cầu) 3) a < b a + c < b + c (tính chất đơn điệu) 4) a < b, c < d a + c < b +d (Cộng hai vế của một Bất đẳng thức cùng chiều ta đợc một Bất đẳng thức cùng chiều với chúng) -2- Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chơng trình Toán THCS 5) a < b, c > d a - c < b - d (trừ hai Bất đẳng thức ngựoc chiều ta đợc một Bất đẳng thức có chiều là chiều của Bất đẳng thức bị trừ) 6) Nhân hai vế của một Bất đẳng thức a < b với cùng một số m . 7) a<b <> >< 0, 0, mmbma mmbma 8) Nhân hai vế của hai Bất đẳng thức không âm cùng chiều ta đợc một Bất đẳng thức cùng chiều: 0 <a<b, 0<c<d a.c<b.d 9) a> b >0 a n > b n; 0>a>b a n+1 >b 2n+1 và a n <b 2n so sánh hai luỹ thừa cùng cơ số: m>n>0 ; a>1 a m > a n; a m < a n với 0 < a <1 10) Ngịch đảo hai vế của một Bất đẳng thức ta đợc một Bất đẳng thức đổi chiều: a b ba 11 Các tính chất trên có thể chứng minh nhờ định nghĩa và các tính chất trớc. III - Một số Bất đẳng thức cân nhớ: 1) A 2k 0 với mọi A, Dấu"=" xảy ra khi A=0 2) AA ,0 Dấu "=" xảy ra khi A=0. 3) AAA 4) BABA ++ Dấu "=" xảy ra khi A.B 0 5) BABA Dấu "=" xảy ra khi A.B 0 và BA Chú ý: - Ngoài các Bất đẳng thức trên còn một số các Bất đẳng thức đúng khác mang tính tổng quát hơn nên khi giải bài tập cần chú ý. - Khi chứng minh song Bất đẳng thức a b ta phải xét trờng hợp Dấu = xảy ra khi nào. c- các phơng pháp chứng minh Bất đẳng thức I -Ph ơng pháp 1 : PP DUNG ĐINH NGHĩA: -3- Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chơng trình Toán THCS 1 -Nội dung ph ơng pháp: Để chứng minh Bất đẳng thức A>B ta chứng minh Bất đẳng thức A-B >0 2- Kiến thức cần vận dụng - Các hằng đẳng thức đáng nhớ đặc biệt là: (A+B) 2 = A 2 +2AB+B 2 - Tổng quát: jiAjAiAiAi n ji n i n i <+= === ;.2)( 2.,1, 2 1 2 1 Các k năng biến đổi đồng nhất để biến đổi hiệu hai vế về các Bất đẳng thức đúng hay điều kiện đúng của đề bài: 3-Bài tập áp dụng Bài 1- Chứng minh Bất đẳng thức a 2 +b 2 ab Giải Xét hiệu: a 2 +b 2 - ab = (a 2 + 4 1 b 2 - 2 1 .2 ab)+ 4 3 b 2 =( a- 2 1 b) 2 + 4 3 b 2 0 đúng với mọi a, b vì ( a- 2 1 b) 2 0; 4 3 b 2 0 Dấu "=" xảy ra khi (a- 2 1 b) 2 = 4 3 b 2 =0 suy ra a = b = 0 Vậy Bất đẳng thức đợc chứng minh. Chứng minh tơng tự cho Bài a 2 +b 2 ab Ta có thể chứng minh cho Bài toán tổng quát: (a n ) 2 +(b n ) 2 nn ba . Bài 2 - Cho ba số a, b, c thoả mãn 0<a b c chứng minh rằng: b c c a a b a c c b b a ++++ Giải -4- Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chơng trình Toán THCS Xét hiệu: )( 1 222222 acbacbbcabca abcb c c a a b a c c b b a ++=++ )]()()[( 1 222222 acbcbaabcbca abc ++= = abc 1 [c(a-b)(a+b)-ab(a-b)-c 2 (a-b)]= abc 1 (a-b)[c(a+b)-ab-c 2 ] = abc 1 (a-b)(b-c)(c-a) 0 (do 0<a b c ) Dấu "=" xảy ra khi a=b hoặc b=c hoặc a=c Vậy Bất đẳng thức đợc chứng minh. Bài 3: Cho a b c và x y z hãy chứng minh rằng: 22 . 2 byaxyxba + ++ Giải Xét hiệu: 22 . 2 byaxyxba + ++ = 4 1 (ax+ay+by+bx-2ax-2by) = 4 1 [(ay-ax)+(bx-by)]= 4 1 (x-y)(b-a) 0 ( do x y và a b ) Dấu "=" xảy ra khi x=y hoặc a=b Vậy Bất đẳng thức thực đợc chứng minh Chứng minh tơng tự ta đợc Bất đẳng thức: 33 . 3 czbyaxzyxcba ++ ++++ Bạn đọc có thể tổng quát bài toán. Bài 4: Cho a, b, c, d ,e là các số thực chứng minh rằng: a 2 +b 2 +c 2 +d 2 +e 2 a(b+c+d +e) Giải Xét hiệu: a 2 +b 2 +c 2 +d 2 +e 2 - a(b+c+d +e) = a 2 +b 2 +c 2 +d 2 +e 2 - ab-ac-ad -ae -5- Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chơng trình Toán THCS = 4 1 ( 4a 2 +4b 2 +4c 2 +4d 2 +4e 2 - 4ab-4ac-4ad -4ae) = 4 1 [(a 2 +4b 2 +4ab)+(a 2 +c 2 +4ac)+(a 2 +4d 2 +4ad)+(a 2 +4e 2 +4ae)] = 4 1 [(a+2b) 2 +(a+2c) 2 +(a+2d) 2 +(a+2e ) 2 ] 0 Do (a+2b) 2 0 và (a+2c) 2 0 và (a+2d) 2 0 và (a+2e ) 2 0 Dấu "=" xảy ra khi b = c = d = e = 2 a Vậy Bất đẳng thức đợc chứng minh. Vậy Bất đẳng thức đợc chứng minh. Bài 5: Tổng quát bài 4 Cho a i i=1,2, ,n là các sổ thực. chứng minh rằng: Chứng minh tơng tự bài 4 4- Bài tập áp dụng: Hãy chứng minh các Bất đẳng thức sau: 1/ 4.x 2 +y 2 4xy 2/ x 2 +y 2 +1 xy +x+y 3/ (x+y) (x 3 +y 3 ) (x 7 +y 7 ) 4(x 11 +y 11 ) 4/ x 1996 +y 1996 +z 1996 ):( x 1995 +y 1995 +z 1995 ) (x+y+z):3 5/ (a 3 +b 3 +c 3 ) (a+b+c)(a 2 +b 2 +c 2 ): a,b,c >0 6/ Cho các số dơng a,b,c chứng minh rằng: a/ cbaabc cba 111 )( 3 888 ++ ++ b/ abc a bc c ab b ca b ac a cb c ba 6 333333 +++++ II - Ph ơng pháp 2 : DùNG T/C CUA BĐT Để BIÊN ĐÔI TƯƠNG ĐƯƠNG: -6- == n i i n i i aa n a 2 1 1 2 1 2 Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chơng trình Toán THCS 1) Nội dung ph ơng pháp: Khi chứng minh một Bất đẳng thức nào đó ta biến đổi Bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với một Bất đẳng thức đúng hoặc một Bất đẳng thức đã đợc chứng minh hoặc điều kiện của đề bài. 2) Kiến thức cơ bản: Các tính chất của Bất đẳng thức. Các Bất đẳng thức thờng dùng. Kỹ năng biến đổi tơng đơng một Bất đẳng thức. Các HĐ thức 3- Bài tập mẫu Bài 1: Chứng minh rằng: x 2 +2y 2 +2z 2 2xy +2yz+2z-1 (*) Giải (*) x 2 +2y 2 +2z 2 -2xy -2yz-2z +1 0 (x 2 -2xy+y 2 )+(y 2 -2yz+z 2 )+(z 2 -2z+1) (x-y) 2 +(y-z) 2 +(z-1) 2 0 Bất đẳng thức cuối cùng đúng với mọi x,y,z Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1 Vậy Bất đẳng thức dã cho đợc chứng minh. Bài 2 : Chứng minh Bất đẳng thức: (a 10 +b 10 ) (a 2 +b 2 ) (a 8 +b 8 ) (a 4 +b 4 ) Giải (a 10 +b 10 ) (a 2 +b 2 ) (a 8 +b 8 ) (a 4 +b 4 ) (a 10 +b 10 ) (a 2 +b 2 ) - (a 8 +b 8 ) (a 4 +b 4 ) 0 a 12 + a 10 b 2 + a 2 b 10 + b 12 -a 12 -a 8 b 4 - a 4 b 8 -b 12 0 ( a 10 b 2 -a 8 b 4 ) +( a 2 b 10 - a 4 b 8 0 a 8 b 2 (a 2 -b 2 ) -a 2 b 8 (a 2 -b 2 ) 0 a 2 b 2 (a 2 -b 2 )( a 2 -b 2 )(a 4 +a 2 b 2 +b 4 ) 0 a 2 b 2 (a 2 -b 2 ) 2 (a 4 +a 2 b 2 +b 4 ) 0 đúng với mọi a, b Dấu "=" xảy ra khi a 2 =b2 a=b hoặc a=-b và a=0 hoặc b=0 -7- Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chơng trình Toán THCS Vậy Bất đẳng thức ban đầu đợc chứng minh. *Nhận xét: Từ kết qủa bài toán trên ta có bài toán tơng tự: Cho 0 a b Chứng minh Bất đẳng thức: (a 5 +b 5 ) (a+b) (a 2 +b 2 ) (a 4 +b 4 ) Bài 3 : Chứng minh các Bất đẳng thức (x-1)(x-3)(x-4 )(x-6) - 9 a) Cho a c 0 và b c chứng minh )( cac + )( cbc ab Giải a) Nhận xét: Ta thấy 3+4=1+6 nên ta nhân (x-1)( x-6) và (x-3)(x-4 ) (x-1)(x-3)(x-4 )(x-6) - 9 (x-1)( x-6) (x-3)(x-4 )+9 0 (x 2 -7x +6)(x 2 -7x+12)+9 0 (x 2 -7x +6)(x 2 -7x+6+6)+9 0 (x 2 -7x +6) 2 +6(x 2 -7x+6) +9 0 (x 2 -7x +9) 2 0 Bất đẳng thức cuối cùng đúng với mọi giá trị của x => (x-1)(x-3)(x-4 )(x-6) - 9 Dấu "=" xảy ra khi x 2 -7x +9 =0 x= 2 137 b ) )( cac + )( cbc ab ( )( cac + )( cbc ) 2 ( ab ) 2 c(a-c)+c(b-c) +2 )( cac )( cbc ab c 2 +2c )( ca )( cb +(a-c)(b-c) 0 ( c- )( ca )( cb ) 2 0 Bất đẳng thức cuối cùng đúng với mọi giá trị của a,b,c thoả mãn điều kiện của đề bài vậy )( cac + )( cbc ab với a c 0 và b c Bài 4: Chứng minh Bất đẳng thức: -8- Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chơng trình Toán THCS ab 3 + cb 3 + ac 3 4 ( ba + 1 + bc + 1 + ca + 1 ) 2 . biết a,b,c >0 Giải Ta có ab 1 + cb 1 + ac 1 = abc cba )( ++ . Do a, b, c >0 và (a+b)(b+c)(c+a) 8abc => ab 1 + cb 1 + ac 1 ))()(( ).(8 accbba cba +++ ++ Hay ab 1 + cb 1 + ac 1 ))()(( )(4)(4)(4 accbba accbba +++ +++++ 2( ab 1 + cb 1 + ac 1 ) ))(( 8 cbca ++ + ))(( 8 caba ++ + ))(( 8 cbba ++ (1) Trong (1) Dấu "=" xảy ra khi a=b=c Mặt khác ta có (a+b) 2 4ab ab 1 2 )( 4 ba + tơng tự ta có cb 1 2 )( 4 bc + và ac 1 2 )( 4 ca + suy ra ab 1 + cb 1 + ac 1 2 )( 4 ba + + 2 )( 4 bc + + 2 )( 4 ca + (2) Trong (2) Dấu "=" xảy ra khi a=b=c Từ (1) và (2) Ta có ab 3 + cb 3 + ac 3 4 ( ba + 1 + bc + 1 + ca + 1 ) 2 Dấu "=" xảy ra khi a=b=c Nhận xét: Để chứng minh Bất đẳng thức nhiều khi ta biến đổi từ một Bất đẳng thức đúng có dạng tơng tự nh Bất đẳng thức cần chứng minh. Sau đây là một ví dụ: Bài 5: Cho 0 < a ,b, c và abc =1 chứng minh Bất đẳng thức sau: 1 1 33 ++ ba + 1 1 33 ++ bc + 1 1 33 ++ ca 1 Giải Do 0 a b c => (a-b) 2 (a+b) 0 Dấu "=" xảy ra khi a=b -9- Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chơng trình Toán THCS (a-b)(a+b)(a-b) 0 (a 2 -b 2 )(a-b) 0 a 3 -a 2 b-ab 2 +b 3 0 a 3 +b 3 a 2 b+ab 2 a 3 +b 3 +1 a 2 b+ab 2 +abc a 3 +b 3 +1 (a+b+c)ab 1 1 33 ++ ba )( 1 cbaab ++ = )( cba c ++ (do abc= 1 => c ab = 1 ) suy ra 1 1 33 ++ ba )( cba c ++ Tơng tự ta có 1 1 33 ++ bc )( cba a ++ Dấu "=" xảy ra khi b=c và 1 1 33 ++ ca )( cba b ++ Dấu "=" xảy ra khi a=c Cộng vế với vế của ba Bất đẳng thức cuối cùng ta đợc: 1 1 33 ++ ba + 1 1 33 ++ bc + 1 1 33 ++ ca 1 Dấu "=" xảy ra khi a=b=c =1 4 - Bài tập áp dụng: Bài 1: Cho 0 x,y,z 1 chứng minh: A) 0 x+y+z -xy-yz-zx 1 B) x 2 +y 2 +z 2 1+x 2 y +y 2 z +z 2 x C) 1+yz x + 1+xz y + 1+yx z 2 Bài 2: Cho a, b,c là độ dài ba cạnh của tam giác, có chu vi bằng 2. Chứng minh rằng: a 2 +b 2 +c 2 +2abc < 2 Bài 3: Chứng minh với mọi x, y > 2 ta có: x 4 - x 3 y +x 2 y 2 -xy 3 +y 4 >x 2 +y 2 Bài 4: Cho a, b ,c là ba số tuỳ ý thuộc đoạn [0,1]. Chứng minh: 1- a 2 +b 2 +c 2 1+ a 2 b +b 2 c +c 2 a 2- 2(a 3 +b 3 +c 3 ) -(a 2 b+b 2 c+c 2 a) 3 3- 1+bc a + + +1ac b 1+ba c 2 -10- [...]... giả thiết hoặc các hằng Bất đẳng thức từ đó khẳng định A B là đúng 2- Kiến thức cần nhớ: Các tính chất của Bất đẳng thức Các Bất đẳng thức có sẵn -13- Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chơng trình Toán THCS Kỹ năng biến đổi tơng đơng một Bất đẳng thức Các hằng đẳng thức và hằng Bất đẳng thức 3- Bài tập mẫu: Bài 1: Cho 0 0,25; b (1-c) >0,25; c(1-a) > 0,25 có ít nhất một Bất đẳng thức sai Bài 2: Chứng minh rằng không có ba số x,y,z mà có thể thoả mãn đồng thời ba Bất đẳng thức sau: x < y z , y < x z , z < yx Giải: Giả sử phản chứng cả ba Bất đẳng thức trên không có Bất đẳng thức nào sai nghĩa là cả ba Bất đẳng thức đó đều đúng khi đó ta có: : x < y z ... một Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chơng trình Toán THCS Bài 2: Chứng minh các Bất đẳng thức sau: c) 2n+2 >2n+5 n 1, N n d) [(n+1)!]n 2!.4!.(2n)! n , N* n e) (2n)! < 22n(n!)2 n , N* n VI-Phơng pháp 6 DùNG BấT ĐẳNG THứC TRONG TAM GIáC 1- Nội dung phơng pháp Nhiều Bất đẳng thức mà các yếu tố có liên quan tới cả số và cả hình nên khi giải Bất đẳng thức đó ngoài việc vận dụng các tính chất của Bất. .. 1- Nội dung phơng pháp: -21- Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chơng trình Toán THCS Dùng các tính chất của Bất đẳng thức để đa một vế của Bất đẳng thức về dạng tính đợc tổng hữu hạn hoặc tích hữu hạn tức là biến Tổng Sn = u1 + u2 + + un =(a1 -a2) + (a2-a3) +( a3 -a4 )+.+(an-an+1) Tich T= u1 u2 un = a1a2 an a2 a3 an +1 2- Kiến thức cần vận dụng: Các tính chất của Bất đẳng thức Kỹ năng biến đổi tơng đơng... Chứng minh với mọi số tự nhiên n>1 ta có: -24- 2 3 k Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chơng trình Toán THCS 1 2 < 1 n +1 + 1 n+2 + + 1 n+n < 3 4 VIII- Phơng pháp 8: PP Sử DụNG BĐT CAUCHY Và BĐT BUNHIACOPXKYBất 1 - Kiến thức cơ bản Các kỹ năng biến đổi Bất đẳng thức - Bất đẳng thức Cauchy cho hai số a, b 0: a+b ab Dấu "=" xảy ra khi a=b 2 - Bất đẳng thức cauchy cho n số không âm a1, a2, , an a1 + a 2... minh rằng trong các Bất đẳng thức sau có ít nhất một Bất đẳng thức sai ax2+bx +c y ; ay2+by +c z ; az2 + bz +c x V- Phơng pháp 5: PHƯƠNG PHAP QUI NAP 1) Nội dung phơng pháp; Có rất nhiều bất đẳng thức mà bằng các cách chứng minh thông thờng thì không thể chứng minh đợc, các bất đẳng thức đó có dạng dãy số hoặc những bất đẳng thức tổng quát Để chứng minh các Bất đẳng thức kiểu nh vậy ta thờng dùng... vậy ta thờng dùng phơng pháp quy nạp 1 Để chứng minh một Bất đẳng thức đúng với mọi n ,bằng phơng quy nạp chứng ta thực hiện các bớc sau: Bớc 1 Kiểm tra xem Bất đẳng thức đúng với n = n 0 nào đo ( thông thờng ta chọn n0 = 0 hoặc 1) Bớc 2 Giả sử Bất đẳng thức đúng với n = k Bớc 3 ta chứng minh Bất đẳng thức đúng với n = k+1 Bớc 4 Kết luận Bất đẳng thức đúng với mọi n 2 Bài tập mẫu: Bài 1: Chứng minh rằng:... của đề bài +) Vậy Bất đẳng thức [(a+b):2]n (an+bn):2 với a+b 0 và N n đợc chứng minh b) + Với 1 Bất đẳng thức trở thành a < 1 + 4a + 1 2 a < 2 1 + 4a + 1 Ta có: 1 + 4a + 1 >1 +2 a >2 a đúng a + Giả sử Bất đẳng thức đúng với k tức là: a + a + + a < k , dau 1 + 4a + 1 a 0 2 + Ta chứng minh Bất đẳng thức đúng với k+1 tức là a + a + + a ( k + + 1),dau -17- < 1 + 4a + 1 a 0 2 Chuyên. .. các Bất đẳng thức sau là sai: a(2-b)>1; b(2-c) >1; c(2-a)>1 Bài 2 Cho a,b,c là ba số dơng thoả mãn abc =1 chứng minh rằng: S=(a-1 +b-1)( b-1+c-1)(c-1+a-1) 1 Bài 3 Cho a+b+2cd chứng minh rằng ít nhất một Bất đẳng thức sau đúng: c2> a: d2 > b a > 0 Bài 4: Cho a,b,c,x,y,z là các số thực thoả mãn: 2 (b 1) 4ac < 0 -15- Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chơng trình Toán THCS Chứng minh rằng trong các Bất đẳng . thiết hoặc các hằng Bất đẳng thức từ đó khẳng định A B là đúng. 2- Kiến thức cần nhớ: Các tính chất của Bất đẳng thức. Các Bất đẳng thức có sẵn. -13- Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chơng trình. -6- == n i i n i i aa n a 2 1 1 2 1 2 Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chơng trình Toán THCS 1) Nội dung ph ơng pháp: Khi chứng minh một Bất đẳng thức nào đó ta biến đổi Bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với một Bất đẳng thức. một Bất đẳng thức đã đợc chứng minh hoặc điều kiện của đề bài. 2) Kiến thức cơ bản: Các tính chất của Bất đẳng thức. Các Bất đẳng thức thờng dùng. Kỹ năng biến đổi tơng đơng một Bất đẳng thức. Các