Gii tớch 12NC Thy: Lờ Vn nh http://www.anhlevan.tk 1 anh leõ vaờn TCH PHN A. NH NGHA V CC TNH CHT CA TCH PHN 1. nh ngha: Cho hm s y=f(x) liờn tc trờn [ ] ; a b . Gi s F(x) l mt nguyờn hm ca hm s f(x) thỡ: [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) b b a a f x dx F x F b F a = = ( Cụng thc NewTon - Leiptnitz) 2. Cỏc tớnh cht ca tớch phõn: Tớnh cht 1 : Nu hm s y=f(x) xỏc nh ti a thỡ : ( ) 0 a a f x dx = Tớnh cht 2 : ( ) ( ) b a a b f x dx f x dx = Tớnh cht 3: Vi c l hng s thỡ ( ) b a cdx c b a = Tớnh cht 4: Nu f(x) liờn tc trờn [ ] ; a b v ( ) 0 f x thỡ ( ) 0 b a f x dx Tớnh cht 5: Nu hai hm s f(x) v g(x) liờn tc trờn [ ] ; a b v ( ) ( ) , x a;b f x g x Thỡ ( ) ( ) b b a a f x dx g x dx Tớnh cht 6: Nu f(x) liờn tc trờn [ ] ; a b v ( ) ( m,M laứ hai haống soỏ) m f x M thỡ ( ) ( ) ( ) b a m b a f x dx M b a Tớnh cht 7: Nu hai hm s f(x) v g(x) liờn tc trờn [ ] ; a b thỡ [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx = Tớnh cht 8: Nu hm s f(x) liờn tc trờn [ ] ; a b v k l mt hng s thỡ . ( ) . ( ) b b a a k f x dx k f x dx = Tớnh cht 9: Nu hm s f(x) liờn tc trờn [ ] ; a b v c l mt hng s thỡ ( ) ( ) ( ) b c b a a c f x dx f x dx f x dx = + Tớnh cht 10: Tớch phõn ca hm s trờn [ ] ; a b cho trc khụng ph thuc vo bin s , ngha l : ( ) ( ) ( ) b b b a a a f x dx f t dt f u du = = = Giải tích 12NC Thầy: Lê Văn Ánh http://www.anhlevan.tk 2 anh leâ vaên B. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN I. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ : 1) DẠNG 1: Tính I = b ' a f[u(x)].u (x)dx ∫ bằng cách đặt t = u(x) Công thức đổi biến số dạng 1 : [ ] ∫ = ∫ )( )( )()('.)( bu au b a dttfdxxuxuf (1) Cách thực hiện: Bước 1 : Đặt dxxudtxut )()( ' =⇒= Bước 2: Đổi cận : )( )( aut but ax bx = = ⇒ = = Bước 3 : Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được [ ] ∫ = ∫ = )( )( )()('.)( bu au b a dttfdxxuxufI (tiếp tục tính tích phân mới) 2) DẠNG 2 : Tính I = b a f(x)dx ∫ bằng cách đặt x = (t) ϕ Công thức đổi biến số dạng 2: [ ] ∫ = ∫ = β α ϕϕ dtttfdxxfI b a )(')()( Cách thực hiện: Bước 1 : Đặt dttdxtx )()( ' ϕϕ =⇒= Bước 2 : Đổi cận : α β = = ⇒ = = t t ax bx Bước 3 : Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được [ ] ∫ = ∫ = β α ϕϕ dtttfdxxfI b a )(')()( (tiếp tục tính tích phân mới) Chú ý: Nếu f(x) có chứa : • 2 2 n (a x ) − thì đặt x a .sin t = với t ∈ ; 2 2 −π π         , hoặc x a .cos t = với [ ] t 0; ∈ π . • 2 2 n (a x ) + thì đặt x a .tan t = với t ; 2 2 −π π     ∈      , hoặc x a .cot t = với ( ) t 0; ∈ π . • ( ) n 2 2 x a − thì đặt a x sin t = hoặc a x cos t = . Giải tích 12NC Thầy: Lê Văn Ánh http://www.anhlevan.tk 3 anh lê văn II. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN : Cơng thức tích phân từng phần: [ ] ∫ ∫ −= b a b a b a dxxuxvxvxudxxvxu )(').()().()(').( Hay: [ ] ∫ ∫ −= b a b a b a vduvuudv . Cách thực hiện: Bước 1 : Đặt (?)'. ? ( ) ( 0) ( ) du dx u v còn lại thườngchọnC dv cònlại  =  =  ⇒   ∈ = =    ∫ Bước 2 : Thay vào cơng thức tích phân từng từng phần : [ ] ∫ ∫ −= b a b a b a vduvuudv . Bước 3 : Tính [ ] b a vu. và ∫ b a vdu Chú ý: Giả sử cần tính tích phân b a f(x)g(x)dx ∫ ta thực hiện Đặt u f(x), dv g(x)dx = = (hoặc ngược lại) sao cho dễ tìm ngun hàm v(x) và vi phân / du u (x)dx = khơng q phức tạp. Hơn nữa, tích phân b a vdu ∫ phải tính được. Đặc biệt: i/ Nếu gặp b b b ax a a a P(x) sin axdx, P(x) cos axdx, e .P(x)dx ∫ ∫ ∫ với P(x) là đa thức thì đặt u P(x) = . ii/ Nếu gặp b n a P(x).ln (ax b)dx + ∫ thì đặt n u ln (ax b) = + . iii/ Nếu gặp b x a e .sin axdx α ∫ , b x a e .cosaxdx α ∫ thì ta tính hai lần từng phần bằng cách đặt u LG = . Giải tích 12NC Thầy: Lê Văn Ánh http://www.anhlevan.tk 4 anh leâ vaên C. PHÂN LOẠI MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN I. TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC 1. Dạng bậc lẻ với hàm sin. Phương pháp chung: Đặt t = cosx khi đó dt = - sinx.dx, sau đó đưa tích phân ban đầu về tích phân theo biến t. Chú ý: 2 2 2 2n 1 2 n 2 n sin x 1 cos x 1 t . (sin x) (sin x) .sin x (1 t ) .sin x + = − = − = = − Ví dụ 1 (bậc sin lẻ). Tính tích phân 2 2 3 0 I cos x sin xdx π = ∫ . Giải Đặt t cos x dt sin xdx = ⇒ = − Đổi cận: x 0 t 1, x t 0 2 π = ⇒ = = ⇒ = 0 2 2 2 2 2 0 1 I cos x(1 cos x) sin xdx t (1 t )dt π ⇒ = − = − − ∫ ∫ 1 1 3 5 2 4 0 0 t t 2 (t t )dt 3 5 15     = − = − =       ∫ . 2. Dạng bậc lẻ với hàm cos. Phương pháp chung: Đặt t = sinx khi đó dt = cosx.dx, sau đó đưa tích phân ban đầu về tích phân theo biến t. Chú ý: 2 2 2 2n 1 2 n 2 n cos x sin x 1 t . (cos x) (cos x) .cosx (1 t ) .cosx + = = − = = − Ví dụ 2 (bậc cosin lẻ). Tính tích phân 2 5 0 I cos xdx π = ∫ . Giải Đặt t sin x dt cos xdx = ⇒ = Đổi cận: x 0 t 0, x t 1 2 π = ⇒ = = ⇒ = 2 2 5 2 2 0 0 I cos xdx (1 sin x) cos xdx π π ⇒ = = − ∫ ∫ 1 1 3 5 2 2 0 0 2t t 8 (1 t ) dt t 3 5 15     = − = − + =       ∫ . 3. Dạng bậc chẵn với hàm sin và cos. Phương pháp chung: Sử dụng công thức hạ bậc Chú ý: ( ) 2 2 n 2n 2 1 cos2x 1 cos2x cos x ; sin x 2 2 1 sin x.cos x sin 2x ; sin x sin x 2 + − = = = = Giải tích 12NC Thầy: Lê Văn Ánh http://www.anhlevan.tk 5 anh leâ vaên Ví dụ 3 (bậc sin và cosin chẵn). Tính tích phân 2 4 2 0 I cos x sin xdx π = ∫ . Giải 2 2 4 2 2 2 0 0 1 I cos x sin xdx cos x sin 2xdx 4 π π = = ∫ ∫ 2 2 2 0 0 1 1 (1 cos 4x)dx cos 2x sin 2xdx 16 4 π π = − + ∫ ∫ 2 2 2 0 0 1 1 (1 cos 4x)dx sin 2xd(sin 2x) 16 8 π π = − + ∫ ∫ 3 2 0 x 1 sin 2x sin 4x 16 64 24 32 π   π   = − + =       . Ví dụ 4. Tính tích phân 2 0 dx I cos x sin x 1 π = + + ∫ . Giải Đặt: ( ) 2 2 x 1 x 2dt t tg dt tg 1 dx dx 2 2 2 t 1 = ⇒ = + ⇒ = + Đổi cận: x 0 t 0, x t 1 2 π = ⇒ = = ⇒ = 1 2 2 0 2 2 1 2dt I . 1 t 2t 1 t 1 1 t 1 t ⇒ = − + + + + + ∫ 1 1 0 0 dt ln t 1 ln 2 t 1 = = + = + ∫ . 4. Dạng liên kết Ví dụ 5. Tính tích phân 0 xdx I sin x 1 π = + ∫ . Giải Đặt x t dx dt = π − ⇒ = − Đổi cận: x 0 t , x t 0 = ⇒ = π = π ⇒ = ( ) 0 0 ( t)dt t I dt sin( t) 1 sin t 1 sin t 1 π π π − π ⇒ = − = − π − + + + ∫ ∫ 0 0 dt dt I I sin t 1 2 sin t 1 π π π = π − ⇒ = + + ∫ ∫ ( ) ( ) 2 2 0 0 dt dt t t t2 4 cos sin cos 2 4 2 2 π π π π = = π − + ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) 2 0 0 t d t 2 4 tg t 2 2 2 4 cos 2 4 π π π − π π π = = − = π π − ∫ . Vậy I = π . Tổng quát: 0 0 xf(sin x)dx f(sin x)dx 2 π π π = ∫ ∫ . Giải tích 12NC Thầy: Lê Văn Ánh http://www.anhlevan.tk 6 anh leâ vaên Ví dụ 6. Tính tích phân 2 2007 2007 2007 0 sin x I dx sin x cos x π = + ∫ . Giải Đặt x t dx dt 2 π = − ⇒ = − Đổi cận: x 0 t , x t 0 2 2 π π = ⇒ = = ⇒ = ( ) ( ) ( ) 2007 0 2007 2007 2 sin t 2 I dx sin t cos t 2 2 π π − ⇒ = − π π − + − ∫ 2 2007 2007 2007 0 cos t dx J sin t cos t π = = + ∫ (1). Mặt khác 2 0 I J dx 2 π π + = = ∫ (2). Từ (1) và (2) suy ra I 4 π = . Tổng quát: 2 2 n n n n n n 0 0 sin x cos x dx dx , n sin x cos x sin x cos x 4 π π + π = = ∈ + + ∫ ∫ Z . Ví dụ 7. Tính tích phân 6 2 0 sin x I dx sin x 3 cos x π = + ∫ và 6 2 0 cos x J dx sin x 3 cos x π = + ∫ . Giải • ( ) 6 6 2 2 6 0 0 0 sin x 3 cos x I 3J dx (sin x 3 cos x)dx cos x 3 sin x 1 3 (1) sin x 3 cos x π π π − − = = − = − − = − + ∫ ∫ • ( ) 6 6 0 0 dx 1 dx I J dx 2 sin x 3 cos x sin x 3 π π + = = π + + ∫ ∫ Đặt t x dt dx 3 π = + ⇒ = Đổi cận: x 0 t , x t 3 6 2 π π π = ⇒ = = ⇒ = 2 2 2 3 3 1 dt 1 sin tdt I J 2 sin t 2 sin t π π π π ⇒ + = = ∫ ∫ ( ) 2 2 2 3 3 d(cos t) 1 1 1 1 d(cos t) 2 4 cos t 1 cos t 1 cos t 1 π π π π = = − − + − ∫ ∫ 2 3 1 cos t 1 1 ln ln 3 4 cos t 1 4 π π − = = + (2). Từ (1) và (2) 3 1 3 I 3J 1 3 I ln 3 16 4 1 1 1 3 I J ln 3 J ln 3 4 16 4  −   − = −   = +     ⇒ ⇔     − + =   = −      . Vậy 3 1 3 1 1 3 I ln 3 , J ln 3 16 4 16 4 − − = + = − . Giải tích 12NC Thầy: Lê Văn Ánh http://www.anhlevan.tk 7 anh leâ vaên Ví dụ 8. Tính tích phân 1 2 0 ln(1 x) I dx 1 x + = + ∫ . Giải Đặt 2 x tgt dx (1 tg t)dt = ⇒ = + Đổi cận: x 0 t 0, x 1 t 4 π = ⇒ = = ⇒ = ( ) 4 4 2 2 0 0 ln(1 tgt) I 1 tg t dt ln(1 tgt)dt 1 tg t π π + ⇒ = + = + + ∫ ∫ . Đặt t u dt du 4 π = − ⇒ = − Đổi cận: t 0 u , t u 0 4 4 π π = ⇒ = = ⇒ = ( ) 0 4 0 4 I ln(1 tgt)dt ln 1 tg u du 4 π π π   ⇒ = + = − + −     ∫ ∫ 4 4 0 0 1 tgu 2 ln 1 du ln du 1 tgu 1 tgu π π −         = + =           + + ∫ ∫ ( ) 4 4 0 0 ln 2du ln 1 tgu du ln 2 I 4 π π π = − + = − ∫ ∫ . Vậy I ln 2 8 π = . Ví dụ 9. Tính tích phân 4 x 4 cos x I dx 2007 1 π π − = + ∫ . Giải Đặt x t dx dt = − ⇒ = − Đổi cận: x t , x t 4 4 4 4 π π π π = − ⇒ = = ⇒ = − 4 4 t t t 4 4 cos( t) 2007 cos t I dt dt 2007 1 1 2007 π π − − π π − − ⇒ = − = + + ∫ ∫ ( ) 4 4 t t t 4 4 (1 2007 ) 1 1 cos tdt 1 cos tdt 1 2007 2007 1 π π π π − − + − = = − + + ∫ ∫ 4 4 4 0 4 4 1 2 cos tdt I I cos tdt cos tdt 2 2 π π π π π − − = − ⇒ = = = ∫ ∫ ∫ . Tổng quát: Với a > 0 , 0 α > , hàm số f(x) chẵn và liên tục trên đoạn [ ] ; −α α thì x 0 f(x) dx f(x)dx a 1 α α −α = + ∫ ∫ . Giải tích 12NC Thầy: Lê Văn Ánh http://www.anhlevan.tk 8 anh leâ vaên Ví dụ 10. Cho hàm số f(x) liên tục trên » và thỏa f( x) 2f(x) cos x − + = . Tính tích phân 2 2 I f(x)dx π π − = ∫ . Giải Đặt 2 2 J f( x)dx π π − = − ∫ , x t dx dt = − ⇒ = − Đổi cận: x t , x t 2 2 2 2 π π π π = − ⇒ = = ⇒ = − [ ] 2 2 2 2 I f( t)dt J 3I J 2I f( x) 2f(x) dx π π π π − − ⇒ = − = ⇒ = + = − + ∫ ∫ 2 2 0 2 cos xdx 2 cos xdx 2 π π π − = = = ∫ ∫ . Vậy 2 I 3 = . * Chú ý: Đôi khi ta phải đổi biến số trước khi lấy tích phân từng phần . Ví dụ 4. Tính tích phân 2 4 0 I cos xdx π = ∫ . Giải Đặt 2 t x x t dx 2tdt = ⇒ = ⇒ = Đổi cận: 2 x 0 t 0, x t 4 2 π π = ⇒ = = ⇒ = ( ) 2 2 0 0 I 2 tcos tdt 2 tsin t cos t 2 π π ⇒ = = + = π − ∫ . Vậy I 2 = π − . Ví dụ 5. Tính tích phân e 1 I sin(ln x)dx = ∫ . Giải Đặt t t t ln x x e dx e dt = ⇒ = ⇒ = Đổi cận: x 1 t 0, x e t 1 = ⇒ = = ⇒ = ( ) 1 1 t t 0 0 sin t cos t e (sin1 cos1)e 1 I e sin tdt 2 2 − − + ⇒ = = = ∫ . Vậy (sin1 cos1)e 1 I 2 − + = . Giải tích 12NC Thầy: Lê Văn Ánh http://www.anhlevan.tk 9 anh leâ vaên II. TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Phương pháp giải toán 1. Dạng 1 Giả sử cần tính tích phân b a I f(x) dx = ∫ , ta thực hiện các bước sau Bước 1. Lập bảng xét dấu (BXD) của hàm số f(x) trên đoạn [a; b], giả sử f(x) có BXD: x a 1 x 2 x b f(x) + 0 − 0 + Bước 2. Tính 1 2 1 2 b x x b a a x x I f(x) dx f(x)dx f(x)dx f(x)dx = = − + ∫ ∫ ∫ ∫ . Ví dụ 1 . Tính tích phân 2 2 3 I x 3x 2 dx − = − + ∫ . Giải Bảng xét dấu x 3 − 1 2 2 x 3x 2 − + + 0 − 0 ( ) ( ) 1 2 2 2 3 1 59 I x 3x 2 dx x 3x 2 dx 2 − = − + − − + = ∫ ∫ . Ví dụ 2. Tính tích phân 2 2 0 I 5 4 cos x 4 sin xdx π = − − ∫ . Giải 2 2 2 0 0 I 4 sin x 4 sin x 1dx 2 sin x 1 dx π π = − + = − ∫ ∫ . Bảng xét dấu x 0 6 π 2 π 2 sin x 1 − − 0 + ( ) ( ) 6 2 0 6 I 2 sin x 1 dx 2 sin x 1 dx 2 3 2 6 π π π π = − − + − = − − ∫ ∫ . 2. Dạng 2 Giả sử cần tính tích phân [ ] b a I f(x) g(x) dx = ± ∫ , ta thực hiện Cách 1. Tách [ ] b b b a a a I f(x) g(x) dx f(x) dx g(x) dx = ± = ± ∫ ∫ ∫ rồi sử dụng dạng 1 ở trên. Cách 2. Bước 1. Lập bảng xét dấu chung của hàm số f(x) và g(x) trên đoạn [a; b]. Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối của f(x) và g(x). Giải tích 12NC Thầy: Lê Văn Ánh http://www.anhlevan.tk 10 anh leâ vaên Ví dụ 1. Tính tích phân ( ) 2 1 I x x 1 dx − = − − ∫ . Giải Cách 1. ( ) 2 2 2 1 1 1 I x x 1 dx x dx x 1 dx − − − = − − = − − ∫ ∫ ∫ 0 2 1 2 1 0 1 1 xdx xdx (x 1)dx (x 1)dx − − = − + + − − − ∫ ∫ ∫ ∫ 0 2 1 2 2 2 2 2 1 0 1 1 x x x x x x 0 2 2 2 2 − −         = − + + − − − =             . Cách 2. Bảng xét dấu x –1 0 1 2 x – 0 + + x – 1 – – 0 + ( ) ( ) ( ) 0 1 2 1 0 1 I x x 1 dx x x 1 dx x x 1 dx − = − + − + + − + − + ∫ ∫ ∫ ( ) 1 2 0 2 1 1 0 x x x x 0 − = − + − + = . Vậy I 0 = . 3. Dạng 3 Để tính các tích phân { } b a I max f(x), g(x) dx = ∫ và { } b a J min f(x), g(x) dx = ∫ , ta thực hiện các bước sau: Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số h(x) f(x) g(x) = − trên đoạn [a; b]. Bước 2. + Nếu h(x) 0 > thì { } max f(x), g(x) f(x) = và { } min f(x), g(x) g(x) = . + Nếu h(x) 0 < thì { } max f(x), g(x) g(x) = và { } min f(x), g(x) f(x) = . Ví dụ 1 . Tính tích phân { } 4 2 0 I max x 1, 4x 2 dx = + − ∫ . Giải Đặt ( ) ( ) 2 2 h(x) x 1 4x 2 x 4x 3 = + − − = − + . Bảng xét dấu x 0 1 3 4 h(x) + 0 – 0 + ( ) ( ) ( ) 1 3 4 2 2 0 1 3 80 I x 1 dx 4x 2 dx x 1 dx 3 = + + − + + = ∫ ∫ ∫ . Vậy 80 I 3 = . [...]... 1 − 1 Có th trình bày như sau: I3 = ∫ (2 x + 1) 3 d (2 x + 1) = 20 1 Ví d 4: Tính I4 = ∫ 0 dx x +1 − x 1 2 Ta có : I4 = ∫ ( x + 1 + x )dx =  3 0 (x + 1)3 + 3 (2 x + 1) 2 3 lê ∫ 4 − x 2 dx 0 Cách1: S d ng phương pháp l y tích phân t ng ph n t Cách 2: = 0 u = 4 − x2 dv = dx t x =2Sint (Vì ây là tích phân d ng 1-b) áp s : 3 + 2Π 3 văn n Ví d 6: Tính ∫ x 2 − a 2 dx m Dùng phương pháp l y tích phân t... J = −1 0 ∫ Ta có: J = −1 0 1 = 2 ∫ ( x + 2)dx x 2 + 2x + 2 ( x + 2)dx x 2 + 2x + 2 (2 x + 2)dx ( 2 x + 2) + 2 0 ∫ x 2 + 2x + 2 −1 0 x + 2x + 2 dx dx +∫ 2 −1 1 2 = x + 2x + 2 2 −1 0 =  x 2 + 2 x + 2 + ln x + 1 + x 2 + 2 x + 2  = 2 − 1 + ln(1 + 2)     −1 dx 3 .Tích phân d ng: ∫ (V i α a ≠ 0 ) (αx + β ) ax 2 + bx + c 1 Cách làm: t αx + β = chuy n tích phân c n tính v tích phân d ng (a) t 1 dx Ví d... tích phân ã cho thành hai tích phân có chung m u là ax 2 + bx + c ,m t tích phân có t là hàm c a tam th c b c hai,m t tích phân có t là h ng s ( Ax + B)dx 2ax + b M dx T c là tách: ∫ = ∫ dx + ∫ ax 2 + bx + c ax 2 + bx + c ax 2 + bx + c ( x + 4)dx Ví d 1:Tính I = ∫ x2 + 2x − 3 http://www.anhlevan.tk 12 o Gi i tích 12NC Ta có: Th y: Lê Văn Ánh 1 2 I= ∫ ( 2 x + 2) + 6  1  (2 x + 2)dx 6dx +∫ ∫ = 2  x... ng cách 2 2 2 1 3 4 π = tgu Ta có áp s là: I = ln − 3 3 3 2 2 anh 8 .Tích phân d ng: ∫ x r (a + bx p ) q dx s (p,q,r là các phân s ) a)N u q ngun t x= t v i s là BCNN c a m u s r và p r +1 b)N u ngun t a + bx p = t s v i s là m u c a phân s q p r +1 c) N u +q ngun t ax − p + b = t s v i s là m u s c a phân s q p dx Ví d 1 : Tính I = ∫ 4 x ( x − 1) 3 lê −3 1   Vi t tích phân c n tính d ng sau: I = ∫... ln(t + 1)dt = 2(t − 1) ln(t − 1) + 2(t + 1) ln(t + 1) − 4t + C V y: ∫ x x.e dx 1+ e Ví d 9: Tính = 2( x − 2) 1 + e x + 4 ln(1 + 1 + e x ) − 2 x + C x ∫ x 2 n +1 dx 1− x2 t t = 1− x2 Ta có: ( x < 1) lê văn n x 2 n +1 dx 1 x 2 n dx 2 k = − ∫ (1 − t 2 ) n dt = − ∫ ∑ ( − 1) k C n t 2 k dt = ∫ 1− x2 2 ∫ 1− x2 k =0 2 k +1 k 2 k +1 n n Cn k k t = − ∑ (− 1) C n + C = ∑ (− 1) k +1 (1 − x 2 ) 2 + C / 2k + 1 2k... (4 x − 1)   4 3 Vì q=-3 ngun nên t x= t ta có dx=4t dt  1   1 1  1 1 4t 3 dt tdt − − I= ∫ 2 = 4∫  + − ln t − 1  + C =4 ∫  dt = 4 − 3 3 3 2 2 t − 1 (t − 1) t −1 t (t − 1) (t − 1)  (t − 1)  2(t − 1)  dx x 5 dx (a − x 2 ) a − x 2 1 2 văn Ví d 2 : Tính J = ∫ − (a > 0) −3 r +1 5 +1 = = 3 ngun nên p 2 ⇒ x 4 = (a − t 2 ) 2 ⇒ −2 xdx = 2tdt ⇒ xdx = −tdt Ta có: J = V yJ= −∫ 5 2 ∫ x (a − x ) 2 dx... http://www.anhlevan.tk 18 3 − 2 0 0 ∫ − dt dt t−2 3 2 Gi i tích 12NC Th y: Lê Văn Ánh 7 − 2 dx ∫ Ví d 3 :Tính L = − x 2 − 3x + 4 Vì c = 4 >0 có th s d ng phép th th hai −3 − x 2 − 3 x + 4 = xt + c = xt + 2 t 0 ∫t Chuy n vi c tính tích phân trên v vi c tính tích phân −1 dt +1 2 10.M t s bài tốn khác: Ngồi các d ng trên thì có nh ng bài có th áp d ng tr c ti p cơng th c tích phân, ho c s d ng m t s phép bi n i ơn gi n.Sau... + c ax 2 + bx + c V i g(x) là a th c , b c g(x)+1 = b c f(x) Tìm các h s c a g(x) và s λ b ng phương pháp h s b t nh ( x 2 + 1)dx Ví d 1: Tính M = ∫ x 2 + 2x + 3 dx ( x 2 + 1)dx = ( Ax + B ) x 2 + 2 x + 3 + λ ∫ Tách : ∫ 2 2 x + 2x + 3 x + 2x + 3 2 λ ( Ax + B)( x + 1) x +1 L y o hàm hai v ta có: = A x 2 + 2 x + 3 + + 2 2 2 x + 2x + 3 x + 2x + 3 x + 2x + 3 1 3 ng nh t h s ta có : A = ; B = − ; λ = 1...Gi i tích 12NC Th y: Lê Văn Ánh 2 Ví d 2 Tính tích phân I = ∫ min { 3 , x 4 − x } dx 0 Gi i t h(x) = 3x − ( 4 − x ) = 3x + x − 4 B ng xét d u x h(x) 1 I= 2 ∫3 0 x dx + ∫ 0 – III TÍCH PHÂN C A M T S 1 .Tích phân d ng: ∫ 2 + 3x 1  x2  2 5 ( 4 − x ) dx = +  4x −  = +    ln 3 0  2 1 ln 3 2 2 anh 1 1 0 V yI= 2 5 + ln 3 2 D NG HÀM VƠ T dx lê ax 2 + bx + c Cách làm: (v i a ≠ 0) Bi n i ax... (t + 1) 2 2  (t + 1) 2  2 x2 = at a dt a  1  ∫ td  t 2 + 1  = 2(t 2 + 1) − 2 ∫ t 3 + 1 (Tích phân này d dàng tính ư c) 2   9.Các phép th Euler: a) t ax 2 + bx + c = ± a x + t N u a >0 b) t ax 2 + bx + c = x.t ± c c) t ax 2 + bx + c = t ( x − x0 ) 1 Ví d 1 :Tính M = anh dx ∫ x 2 + 6x + 5 0 Nêú c>0 N u x0 là nghi m c a TTB2 t x 2 + 6 x + 5 = a x + t = x + t t2 −5 ⇒ x 2 − 6x + 5 = (x + t) 2 ⇔ . 0 > thì { } max f(x), g(x) f(x) = và { } min f(x), g(x) g(x) = . + Nếu h(x) 0 < thì { } max f(x), g(x) g(x) = và { } min f(x), g(x) f(x) = . Ví dụ 1 . Tính tích phân { } 4 2 0 I. Đặt dxxudtxut )( )( ' =⇒= Bước 2: Đổi cận : )( )( aut but ax bx = = ⇒ = = Bước 3 : Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được [ ] ∫ = ∫ = )( )( )( )( ' .)( bu au b a dttfdxxuxufI. II. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN : Cơng thức tích phân từng phần: [ ] ∫ ∫ −= b a b a b a dxxuxvxvxudxxvxu )( &apos ;). ()( ). ()( &apos ;). ( Hay: [ ] ∫ ∫ −= b a b a b a vduvuudv