CHƯƠNG II: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ TRONG ĐƯỜNG TRỊN BÀI 1: TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GĨC BẤT KỲ NỘI DUNG I/MỞ ĐẦU: AC BC AB Cos α = BC Sin α = C A B AC AB AB cotg α = AC tg α = II/TỶ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC α (00 ≤ α ≤ 1800 ) : Trên hệ toạ độ Oxy cho A(1;0),B(0;1),A’(-1;0) Xét nửa đường tròn đk AA’ qua B gọi nửa đường tròn đơn vị Lấy M nửa đường trịn đơn vị cho góc AOM= α M có toạ độ M(x;y) ĐỊNH NGHĨA: *Tung độ y điểm M gọi sin góc α ,KH:sin α Viết sin α =y *Hoành độ x điểm M gọi cosin α ,KH:cos α , viết cos α =x y y *Tỷ số ( x ≠ 0) gọi tang góc α ,KH:tg α , viết tg α = x x x x *Tỷ số y ( y ≠ 0) gọi cotang góc α ,KH:cotg α , viết cotg α = y Ví dụ: a)Tính sin α , α =300 Đặt · AOM =30 ,Gọi M1,M2 hchiếu M xuống Ox,Oy Xét tam giác MM1O,ta có nửa tam giác có cạnh bên 1,nên MM1=1/2 Vậy sin 300 = OM = M 1M = Tương tự Hs tính Cos 300,tg300,cotg300 II/TỶ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT SỐ GĨC CẦN NHỚ: góc 00 300 450 600 900 1200 1350 1500 180 Trang Sin Cos Tg cotg || 3 3 2 1 || 3 2 2 2 2 − - -1 − 3 -1 3 - -1 − || IV/DẤU CỦA CÁC TỶ SỐ LƯỢNG GIÁC: • sin α ≥ 0, ∀α • • • 00 < α < 900 ⇒ < cos α < 900 < α < 1800 ⇒ −1 < cos α < Các tỷ số tg α cotg α ,nếu khác khơng chúng dấu với cos α CÁC HỆ THỨC GIỮA CÁC TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC NỘI DUNG I.CÁC HỆ THỨC CƠ BẢN: 1.ĐỊNH LÝ:Với góc α ta có: sin α (1) a)Nếu Cos α ≠ tgα = cos α cos α b)Nếu Sin α ≠ c otgα = (2) sin α 2 c)sin α +cos α =1 (3) CM:SGK 2.VD: Cho tgx+cotgx=2.Tính sinx.cosx=? Giải:Tacó: sin x cos x sin x + cos x tgx + cot gx = + = cos x sin x sin x.cos x = sin x.cos x Mà tgx+cotgx=2 nên ta sinx.cosx=1/2 II.CÁC HỆ THỨC KHÁC: 1.ĐỊNH LÝ: Nếu cos α ≠ + tg 2α = cos α (4) Trang 2 Nếu sin α ≠ + cot g α = sin α (5) tg α cotg α =1 (6) CM:SGK 2.VD:Đơn giản biểu thức: 1 A= + − cot g 2α + cos α − cos α − cos α + + cos α = − cot g 2α (1 + cos α )(1 − cos α ) 2 = − cot g 2α = − cot g 2α 2 − cos α sin α 2 = + cot g α − cot g α = Vậy A=2 III.LIÊN HỆ GIỮA TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA HAI GĨC BÙ NHAU: Hai góc α (1800- α ) hai góc bù nhau.Ta có: Sin(1800- α )=sin α Cos (180 - α )=-cos α tg(180 - α ) =-tg α cotg(180 - α ) =-cotg α IV.LIÊN HỆ GIỮA TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA HAI GĨC PHỤ NHAU: Hai góc α (900- α ) hai góc phụ nhau.Ta có: Sin (90 - α )=cos α Cos (90 - α )=sin α tg(90 - α )=cotg α cotg(90 - α )=tg α VD: 1.Tính : A= cos 200 + cos 400 + cos 600 + + cos1600 + cos1800 =Cos(1800-1600)+cos(1800-1400)+…+Cos 1600+cos1800 =-cos1600-cos1400+…+cos1600+cos1800=-1 Vậy A=-1 A+ B C = cos 2.Cho tam giác ABC.CMR: sin 2 A+ B+C = 900 Ta có A+B+C=1800 nên A+ B C ⇒ = 900 − 2 A+ B  C   C ⇒ sin   = sin  90 −  = cos (đpcm) 2    Trang BÀI: TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ NỘI DUNG I/GĨC CỦA HAI VECTƠ: r r uu r uu r ur ur r 1.ĐỊNH NGHĨA:Cho hai vectơ a, b khác Từ điểm O ta vẽ OA = a, OB = b Khi số đo góc r r r r AOB gọi số đo góc hai vectơ a, b ,hay gọn :Góc hai vectơ a, b r r Kh: a, b ( ) 2.CHÚ Ý: r r r r a, b =00 ⇔ a hướng b r r r r a, b ⇔ a ngược hướng b =180 r r r r a, b ⇔ a vuông góc b =90 r r r r r a, b a b tuỳ ý ( ) ( ) ( ) ( ) II/TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ: r r r r a b a b 1.ĐỊNH NGHĨA:Tích vơ hướng hai vectơ , số.KH: rr r r r r Tính theo cơng thức: a.b = a b cos a, b rr r r2 a.a a a Tích vơ hướng gọi bình phương vơ hướng KH: r2 r r r r r2 Ta có: a = a.a = a a cos = a ( ) 2.CHÚ Ý: r r r r r r a, b =00 ⇔ a b = a b r r r r r r a, b ⇔ a b =- a b =180 r r r r a, b ⇔ a b =0 =90 3.VÍ DỤ:Chortamrgiác ABC cạnh a uu uu uu uu ur u u ur Tính: AB AC , AC.CB ( ) ( ) ( ) Giải: uu uu uu uu ur ur ur ur uu uu ur ur a2 AB AC = AB AC cos AB, AC = a.a.cos 600 = ( ) Trang uu uu ur ur u u ur uru u uu u u u ur r uu u u u ur r AC.CB = −CA.CB = − CA CB cos CA, CB = ( ) a2 III/CƠNG THỨC HÌNH CHIẾU: r uu ur 1)ĐỊNH NGHĨA: Cho a = AB đường thẳng d.Gọi A’,B’ hình chiếu A B d.Khi r u ur uu r a ' = A ' B ' gọi hình chiếu a d = −a.a.cos 600 = − r r d r r 2.ĐỊNH LÝ:Tích vơ hướng hai vectơ a, b tích vơ hướng a hình chiếu b đường r thẳng chứa a uu r uu r ur ur r CM:Trên đường thẳng chứa vectơ a lấy điểm O,dựng OA = a, OB = b Gọi B’ HC B đường thẳng chứarOA uu uu uu r ur r Khi OB ' hchiếu OB = b đường thẳng chứa a uu uu ur ur AOB = ϕ Ta có OA, OB = · ( ) Th1: ϕ < 90 Th2: ϕ ≥ 900 IV/ CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA TÍCH VƠ HƯỚNG: 1.ĐỊNH LÝ: r r r Với vectơ a, b, c số k ta có: rr rr i )a.b = b.a (Giao hoán) r r r rr rr ii )a b + c = a.b + a.c (Phân phối) r u r rr iii ) k a b = k a.b (Kết hợp) ( ) ( ) ( ) CM:SGK 2.VÍ DỤ: r r a+b 1.CM: r2 r2 rr = a + b + 2a.b r r r r r r r r r r VT = a + b a + b = a a + b + b a + b Giải: r r r r r r r r r2 r2 rr = a.a + a.b + b.a + b.b = a + b + 2a.b ( ) ( )( ) ( ) ( ) 4.Cho tam giác cân đỉnh A đường cao AH.Gọi D hchiếu vng góc H Ac,M trung điểm HD CMR: AM ⊥ BD Giải: Trang A D M B C H u ur u u u u u u u u u u u u u r ur ur ur ur Ta có: AM = AH + AD ; BD = BC + CD u ur u u u u u u u u u u u u ur u r ur ur ur Do đó: AM BD = AH + AD BC + CD uu uu uu uu uu uu u r ur ur ur ur ur = AH CD + AD.BC + AD.CD uu uu uu uu uu uu u r ur ur ur ur ur = AH CD + AD.2 HC + AD.CD uu uu uu uu uu uu ur ur ur ur ur ur = AD.CD + AD.2 DC + AD.CD uu uu uu ur ur ur = AD CD + DC = ( )( ( ) ) ⇒ AM ⊥ BD V/ BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ CỦA TÍCH VƠ HƯỚNG: r r ĐỊNH LÝ: Nếu hệ toạ độ Oxy cho hai vectơ a ( x1 ; y1 ) ; b ( x2 ; y2 ) tích vơ hướng chúng tính theo cơng thức: rr a.b = x1 x2 + y1 y2 CM: r r r a = x1 i + y1 j r r Ta có: r b = x2 i + y2 j rr r r r r Vậy a.b = ( x1 i + y1 j )( x2 i + y2 j ) = x1 x2 + y1 y2 CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC NỘI DUNG I/ĐỊNH LÝ COSIN TRONG TAM GIÁC: A b c B a C Trang 1.ĐỊNH LÝ:Với tam giác ABC ta có: a2=b2+c2-2bcCosA (1) b2=a2+c2-2acCosB (2) c2=a2+b2-2abCosC (3) CM:u u u u u u ur ur ur Vì: BC = AC − AB Nên : u u2 u u u u u u u u2 ur ur ur ur ur uu uu ur ur BC = ( AC − AB ) = AC + AB − AC AB = AC + AB − AC AB.cos A Vậy ta có đpcm *Các cơng thức cịn lại cm tương tự 2.VD:Cho tam giác ABC ,BC=8,AB=3,AC=7 Lấy D thuộc BC cho BD=5.AD=? Giải: Trong VABC ta có: CosB=1/2 hay B=600(Ap dụng đlý hàm số cosin) Trong VABD ta có: AD2=AB2+BD2-2.AB.BD.cos600=19 Vậy AD= 19 II/ĐỊNH LÝ SIN TRONG TAM GIÁC: 1.ĐỊNH LÝ:Trong VABC ,R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác,ta có: a b c = = = R (4) sin A sin B sin C CM:(SGK) A b c A' O B a C 2.VD: Cho tgiác ABC có b+c=2a.CMR: 2sinA=sinB+sinC Giải: b + c = 2a ⇔ R sin B + R sin C = R sin A ⇔ sin B + sin C = 2sin A III/CÁC CÔNG THỨC VỀ DIỆN TÍCH: Ta có cơng thức tính diện tích sau: Trang 1 aha = bhb = chc (5) 2 1 = ab sin C = ac sin B = bc sin A(6) 2 abc = (7) 4R = pr (8) SVABC = SVABC SVABC SVABC SVABC = p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) ( Herong )(9) Với *R bk đường tròn ngoại tiếp tam giác *r bk đường tròn nội tiếp tam giác *p nửa chu vi tam giác ABC VD: Cho tam giác ABC với a=13,b=14,c=15 1)Tính dtích tam giác ABC 2)r=?,R=? Giải: a+b+c p= = 21 (đvđd) SVABC = p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) = 84 (đvdt) S = (đvđd) p abc abc 65 S= ⇒R= = (đvđd) 4R 4S S=pr ⇒ r = IV/CÔNG THỨC ĐỘ DÀI ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN: Ký hiệu ma,mb,mc độ dài đường trung tuyến kẻ từ A,B,C.Ta có: ĐỊNH LÝ:Trong tam giác ABC ta có: b2 + c2 a ma = − (10) 2 a + c b2 mb = − (11) 2 a + b c2 mc = − (12) CM:Gọi AM=ma u u u u2 ur ur u ur u u u ur u u u u uu r u u ur Ta có:b2+c2= AC + AB = AM + MC + AM + MB ( ) ( ) u ur u u u u u u u r uu r a2 =2AM2+MC2+MB2+ AM MB + MC = 2ma + Từ ta suy đpcm *Các đẳng thức khác cm tương tự ( ) VD:Cho hai điểm A,B cố định.Tìm quỹ tích điểm M thoả đk: MA2+MB2=k2 (k số cho trước) Giải: Giả sử có điểm M thoả đk đề bài.Gọi O trung điểm AB,thì OM trung tuyến tam giác MAB nên: Trang 2 ( MA2 + MB2 ) − AB = k2 − AB 4 = ( 2k − AB ) *Nếu 2k2>AB2 OM= ( 2k − AB2 ) Khi quỹ tích M đtrịn tâm O,bk r= 2 *Nếu 2k2=AB2 OM=0 hay M trùng O *Nếu 2k2 β Tính khoảng cách AB GIẢI: · · Ta có: CAD = α ; CBD = β Từ tam giác vuông CDA ,ta có: CD h AC = = sin α sin α Mà: · ACB = α − β nên ta có: AB AC = sin ( α − β ) sin β AC sin ( α − β ) sin β h sin ( α − β ) Vậy, AB = sin α sin β ⇒ AB = Trang 10 ÔN TẬP HỌC KỲ I NỘI DUNG BÀI TẬP 1: Trong mp Oxy cho A(1;2),B(-2;6),C(9;8) uu uu ur ur a.Tính AB, AC ,từ suy tam giác ABC tgiác vng b.Tìm tâm I bán kính R đtrịn ngoại tiếp tam giác ABC c.Tính độ dài cạnh,chu vi,diện tích tam giác ABC d.Tìm toạ độ điểm M Oy để B,M,A thẳng hàng e.Tìm N thuộc Ox để tam giác ANC cân N f.Tìm D để ABCD hình chữ nhật u u r ur u r u u u r g.Tìm toạ độ điểm T thoả TA + 2TB − 3TC = GIẢI: a.Ta tính được: uu ur AB = ( −3; ) uu ur AC = ( 8, ) uu uu ur ur Ta có: AB AC = (−3).8 + 4.6 = Vậy AB ⊥ AC A Chứng tỏ tam giác ABC vng A b.Vì VABC vng A nên tâm I đtrịn ngoại tiếp VABC trung điểm cạnh huyền BC Gọi I(xI,yI) x +x y + yC =7 Ta có: xI = B C = ; yI = B 2 Vậy I(7/2;7) BC 125 5 Bán kính R = = = 2 c AB = 5; AC = 10, BC = 5 SVABC = AB AC = 25 2( dvdt ) PVABC = AB + AC + BC = 15 + 5(dvdd ) d.Vì M thuộc Oy nên M(0;yM) Để B,M,A ur uthẳng hàng u uu ur MB = k MA ⇔ ( −2;6 − yM ) = k ( 1; − yM )  k = −2  −2 = k   ⇒ ⇔ 10 6 − yM = k ( 1; − yM )   yM =  Vậy M(0;10/3) e N ∈ Ox ⇒ N = ( xN , ) Để tam giác ANC cân N NA=NC Trang 11 ⇔ NA2 = NC ⇔ ( − xN ) + 64 = ( − xN ) + 2 140 35 = 16  35  ⇒ N  ;0    uu uu ur ur f.Vì ta có góc A=900 nên để ABDC hcn AB = CD Gọi D(xD,yD) Vậy:(-3;4)=(xD-9;yD-8)  x − = −3  xD = ⇒ D ⇔  yD − =  yD = 12 ⇔ xN = ⇒ D = ( 6;12 ) g.Gọi T(x;y) thoả đẳng thức: ur u r u u r u u u r TA + 2TB − 3TC = 1 − x − − x − 27 + x = ⇔ 2 − y + 12 − y − 24 + y = Khơng tìm T thoả đẳng thức đề BÀI 2: CHỨNG MING RẰNG: a − sin x − tg x = cos x cos x b ( + cos x ) cot g x ( − cos x ) = cos x Giải: − sin x − tg x = +tg 2x-sin 2x-tg 2x cos x =1-sin 2x=cos2x cos x b ( + cos x ) cot g x ( − cos x ) = (1-cos2x) =cos2x sin x a Bài 3: ĐƠN GIẢN: a.A=sin(900-x)+cos(1800-x)+sin 2(1+tg 2x)-tg 2x b.B=cos(900-x)sin(1800-x) − cos x c.C= + tgx.cot gx − sin x Giải: a A=0 b B=sin 2x c C= cos x Bài 4: Trong tam giác ABC Cho a= ,b=2,c= + Trang 12 Tính A,B,ha,R,r,mb tam giác ABC Giải: Theo đlý hàm số cosin ta có: −a + b2 + c CosA= = 2bc Vậy A=600 Tương tự, Cos B= Vậy B=450 a = = Ap dụng đlý sin ta có:R= 2sin A 2 1 3 Ta có:S= b.c sin A = + = + 2 2 ( ) ( 3+ Mà S= a.ha ⇒ = 2S = a ) + +3 S 3+ Ta lại có: S=p.r nên r= = p 3+ + Trung tuyến mb: a2 + c2 b2 mb = − = 4− Nửa chu vi tam giác ABC p = ⇒ mb = − Bài: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG ĐƯỜNG TRỊN NỘI DUNG I/PHƯƠNG TÍCH CỦA MỘT ĐIỂM VỚI MỘT ĐƯỜNG TRÒN: 1.ĐỊNH LÝ:Cho đường tròn (O;R) điểm u ucố u Mr u r u uđịnh.Một đường thẳng thay đổi qua M cắt đường tròn hai điểm A B tích vơ hướng MA.MB số khơng đổi CM: uu ur u ur uu Kẻ đường kính BB’ B’A ⊥ MB nên MA hình chiếu MB ' đường thẳng MB Trang 13 B A M O B' Đặt MO=d u u u u u ur u u ur ur u u ur ⇒ MA.MB = MB '.MB u u u u u u uu u r u r u r ur u u uu u u uu u r ur u r ur = MO + OB ' MO + OB = MO − OB MO + OB u u u u2 ur ur = MO − OB = d − R 2.ĐỊNH NGHĨA: uu uu ur ur Giá trị MA.MB không đổi định lý gọi phương tích điểm M đường trịn O KH: PM /(O ) uu uu ur ur 2 Vậy: PM /( o ) = MA.MB = d − R ( )( ) ( )( ) *CHÚ Ý: PM /(O ) >0 ⇔ M nằm (O) + + PM /(O )