Phòng giáo dục & Đào tạo huyện trực ninh === ***=== Đề thi chọn học sinh giỏi huyện Môn Toán lớp 9 Năm học 2006 2007 Thời gian làm bài 120 phút Bài 1( 4,0 điểm) Cho biểu thức: ( ) ( ) ( ) + + = + 3 3 2 2 1 1 x . 1 x 1 x P 2 2 1 x a/ Rút gọn P b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của + = 2 P 1 A P nếu x thoả mãn điều kiện 6x 2 5x + 1 0 Bài 2 (5,0 điểm) Cho hệ phơng trình : 2 2 ( ) 2 ( ) 2 y x y m x x y m + = + = a, Giải hệ phơng trình khi m = 0 b, Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất. Bài 3 (3,0 điểm ) Cho phơng trình : 2 3 4 2( 1) 0x x m + = Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt nhỏ hơn 2. Bài 4 ( 8,0 điểm ) Cho đờng tròn (O;R) đờng kính AB cố định, đờng kính CD thay đổi, AC và AD cắt tuyến của đờng tròn (O) tại B lần lợt tại F và E.Gọi M và N lần lợt là trung điểm của BF, BE . a, Chứng minh tứ giác CDEF là tứ giác nội tiếp. b, Chứng minh trực tâm H của tam giác AMN là trung điểm của OB. c, Khi CD thay đổi thì tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác CDEF chuyển động trên đ- ờng nào. === Hết === Đáp án chấm học sinh giỏi môn Toán 9 Năm học 2006 2007 ================== Bài 1( 4,0 điểm) Cho biểu thức: ( ) ( ) ( ) + + = + 3 3 2 2 1 1 x . 1 x 1 x P 2 2 1 x H ớng dẫn giải. a/ Rút gọn P ĐK: x 1 Ta có ( ) ( ) ( ) + + = + 3 3 2 2 1 1 x . 1 x 1 x P 2 2 1 x = ( ) ( ) ( ) + + + + + = + 2 2 2 1 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x P 2 2 1 x = ( ) ( ) ( ) + + + = + 2 2 2 1 1 x 1 x 1 x 2 1 x 2 2 1 x = ( ) + + 2 2 2 1 x 1 x 1 x 2 = ( ) + + + + + 1 x 2 (1 x)(1 x) 1 x. 1 x 1 x 2 = ( ) + + + 2 ( 1 x 1 x) 1 x 1 x 2 = ( ) ( ) + + + 1 x 1 x 1 x 1 x 2 = = = 2x x 2 b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của + = 2 P 1 A P nếu x thoả mãn điều kiện 6x 2 5x + 1 0 Ta có 6x 2 5x + 1 0 1 1 x 3 2 (*) ( Thoả mãn ĐK để P và A xác định) Từ câu a ta có + = = + = + + 2 x 1 1 1 3 A x x x x 4x 4x 2 Từ (*) x > 0 x tồn tại * Ta có + = ữ 2 1 1 1 x 0 x 2 x. 1 4x 4x 4x (1) Dấu = xảy ra = 1 x 2 ( Thoả mãn ĐK (*) ) Mặt khác từ điều kiện (*) suy ra = 1 3 3 3 2 .2 x 4x 4 2 (2) Dấu = xảy ra x = 1 2 Từ (1) và (2) suy ra + = 3 5 A 1 2 2 Dấu = xảy ra x = 1 2 Vậy A min = 5 2 x = 1 2 Bài 2 ( 5,0 điểm) Cho hệ phơng trình : 2 2 ( ) 2 ( ) 2 y x y m x x y m + = + = a, Giải hệ phơng trình khi m = 0 b, Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất. H ớng dẫn giải. a, Với m = 0 hệ đã cho trở thành. 2 2 2 2 ( ) 0 ( ) (1) ( ) 0 ( ) (2) y x y y x y x x y x x y + = = + + = = + Trừ từng vế 2 phơng trình (1) và (2) ta đợc: y 2 x 2 = 0 (y - x)(y + x) = 0 0 0 y x y x y x y x = = + = = * Với y = x thay vào (1) ta đợc : x 2 2x = 0 0 2 x x = = x = 0 y = 0 x = 2 y = 2 * Với y = - x thay vào (1) ta đợc y 2 = 0 y = 0 y = 0 x= 0 Vậy hệ phơng trình có 2 nghiệm ( 0; 0) ; ( 2; 2) b, Giả sử hệ phơng trình có một nghiệm ( x 0 ;y 0 ) thì (y 0 ;x 0 ) cũng là nghiệm của hệ. Do đó để hệ có nghiệm duy nhất thì x 0 = y 0 . Khi đó x 2 2x -2m = 0 (*) Hệ có nghiệm duy nhất (*) có nghiệm kép 1 ' 1 2 0 2 m m = + = = Với 1 2 m = hệ đã cho trở thành 2 2 ( ) 1 ( ) 1 y x y x x y + = + = giải hệ trên ta có 1 1 x y = = 3 Q K H d I N M F E O D C B A Vậy với 1 2 m = thì hệ đã cho có nghiệm duy nhất là (1;1) Bài 3 (3,0 điểm ) Cho phơng trình : 2 3 4 2( 1) 0x x m + = ( 1) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt nhỏ hơn 2 H ớng dẫn giải. Đặt t = x- 2 x = t + 2 thay vào (1) ta có 3(t + 2 ) 2 - 4(t + 2) + 2(m -1) = 0 3t 2 + 8t + 2(m + 1) = 0 ( 2) Phơng trình đã cho có 2 nghiệm nhỏ hơn 2 (2) có 2 nghiệm cùng âm ' 0 4 6( 1) 0 10 6 0 2( 1) 5 0 0 1 1 3 3 8 0 0 3 > + > > + > > < < > > < m m c m m m a b a Bài 4. ( 8,0 điểm ) Cho đờng tròn (O;R) đờng kính AB cố định, đờng kính CD thay đổi, AC và AD cắt tiếp tuyến của đờng tròn (O) tại B lần lợt tại F và E.Gọi M và N lần lợt là trung điểm của BF, BE . a, Chứng minh tứ giác CDEF là tứ giác nội tiếp. b, Chứng minh trực tâm H của tam giác AMN là trung điểm của OB. c, Khi đờng kính CD thay đổi thì tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác CDEF chuyển động trên đờng nào. H ớng dẫn giải. a,Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp. 4 + Ta có ã ằ ẳ = 1 Sđ AEB (SđAB SđBD) 2 ( Theo Đ/l góc có đỉnh ở bên ngoài đờng tròn ) = ằ 1 SđAD 2 (1) mà ã ằ = 1 SđACD SđAD 2 ( 2) ( Theo Đ/L góc nội tiếp ) Từ (1) và (2) suy ra tứ giác CDEF là tứ giác nội tiếp ( Theo dấu hiệu nhận biết tgnt) b, Chứng minh trực tâm H của tam giác AMN là trung điểm của OB. Từ M kẻ đờng thẳng vuông góc với AN cắt AB tại H suy ra H là trực tâm của tam giác AMN + Cm cho = =: v v BM BH BM.BN BMH BAN BH AB BN AB + C/m cho BM.BN = BE.BF 4 ( vì M, N lần lợt là trung điểm của BF, BE) = 2 AB 4 ( Theo hệ thức lợng trong tam giác vuông AEF) + Từ đó suy ra BH = AB 4 = OB 2 Suy ra H là trung điểm của OB c, Khi đờng kính CD thay đổi thì tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác CDEF chuyển động trên đờng nào. Gọi K là trung điểm của EF, qua O kẻ đờng thẳng vuông góc với CD cắt đờng trung trực của EF tại I, suy ra I là tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác CDEF - Chứng minh cho AOIK là hình bình hành cm AKF cân tại K ã ã KAF KFA= Cm cho ã ã ACD AEF= ( vì tứ giác CDEF là tứ giác nội tiếp ) suy ra ã ã ã ã 0 ACD CAK AFE AEF 90+ = + = ã 0 AQK 90 = AK CD, mà OI CD suy ra AK//OI cm đợc OA// IK ( Vì cùng vuông góc với EF ) Suy ra AOIK là hình bình hành IK = OA = R không đổi - Vì IK = R không đổi, EF cố định nên I thuộc đờng thẳng d song song với EF và cách EF một khoảng bằng R === Hết === 5 . Phòng giáo dục & Đào tạo huyện trực ninh === ***=== Đề thi chọn học sinh giỏi huyện Môn Toán lớp 9 Năm học 2006 2007 Thời gian làm bài 120 phút Bài 1( 4,0 điểm) Cho biểu. ngoại tiếp tứ giác CDEF chuyển động trên đ- ờng nào. === Hết === Đáp án chấm học sinh giỏi môn Toán 9 Năm học 2006 2007 ================== Bài 1( 4,0 điểm) Cho biểu thức: ( ) ( ) ( ) + +. ã ã ACD AEF= ( vì tứ giác CDEF là tứ giác nội tiếp ) suy ra ã ã ã ã 0 ACD CAK AFE AEF 90 + = + = ã 0 AQK 90 = AK CD, mà OI CD suy ra AK//OI cm đợc OA// IK ( Vì cùng vuông góc với EF ) Suy