1 MỘT CÁCH KHAI THÁC BÀI TOÁN SO SÁNH MỘT SỐ VỚI CÁC NGHIỆM CỦA TAM THỨC BẬC HAI Nguyễn Thanh Bình - GV trường CĐSP Yên Bái Bài toán so sánh một số α với các nghiệm của tam thức bậc hai hay gặp trong các đề thi tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng hiện nay và cũng gây không ít khó khăn cho các thí sinh. Hơn nữa từ khi áp dụng chương trình phân ban THPT, trong chương trình Đại số 10 không còn giới thiệu nội dung định lí đảo về đấu của tam thức bậc hai. Do vậy, học sinh càng khó khăn hơn trong việc giải các bài toán này. Trong bài viết này chúng tôi trao đổi với các bạn một kỹ thuật nhỏ để giải quyết tốt các bài toán liên quan đến bài toán trên. Giả sử cho tam thức bậc hai 2 () fxaxbxc =++ có hai nghiệm phân biệt 1212 ,() xxxx < . Đặt 1212 ;. bc SxxPxx aa − =+=== . So sánh một số α với các nghiệm của tam thức bậc hai. Ta xét các bài toán sau: 1. Bài toán 1.Tam thức bậc hai 2 () fxaxbxc =++ có hai nghiệm thoả mãn 12 xx α << . Cách giải: Điều kiện của bài toán tương đương với 12 0xx αα −<<− . Đặt xy α −= , sau đó biến đổi 2 () fxaxbxc =++ về tam thức bậc hai ẩn là y . Vậy để bài toán thoả mãn điều kiện đã cho thì tam thức bậc hai () fy phải có hai nghiệm trái dấu. * Thí dụ 1. Tìm m để phương trình 22 (21)(1)20 mxmxm −+−++= có hai nghiệm 12 , xx sao cho 12 1 xx << . Lời giải. Đặt 22 ()(21)(1)2 fxmxmxm =−+−++ , từ giả thiết 1212 1101 xxxx <<⇔−<<− Đặt 11 xyxy −=⇒=+ . Vậy 22 ()(21)(1)(1)(1)2fymymym=−++−+++ 222 (21)(43)3 mymmymm =−++−++ Để bài toán được thoả mãn thì tam thức bậc hai () fy có hai nghiệm phân biệt trái dấu 2 (21)(3)0 mmm ⇔−+< 3 m ⇔<− hoặc 1 0 2 m << . * Thí dụ 2. Cho hàm số 21 (1) 1 x y x − = + Với giá trị nào của m , đường thẳng m d đi qua A(-2; 2) và có hệ số góc m cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm thuộc hai nhánh. Lời giải. Phương trình của đường thẳng m d : (2)2 ymx =++ Xét phương trình hoành độ giao điểm của m d và đồ thị hàm số (1): 2 2 21 (2)2 1 3230(1) x mx x mxmxmx − =++ + ⇔+++=≠− Để m d cắt đồ thị của hàm số (1) tại hai điểm thuộc hai nhánh thì phương trình trên phải có hai nghiệm phân biệt 12 , xx thỏa mãn 12 1 xx <−< . Đặt 1 xy += , phương trình trên trở thành 2 30 mymy++= , pt này phải có hai nghiệm trái dấu 3.00. mm ⇔<⇔< 2. Bài toán 2. Tam thức bậc hai 2 () fxaxbxc =++ có hai nghiệm thoả mãn 12 xx α << . Cách giải: Điều kiện 12 xx α << 12 0xx αα ⇔<−<− . Đặt xy α −= , dẫn đến một tam thức bậc hai ẩn y là () fy có hai nghiệm dương phân biệt. * Thí dụ 3. Tìm m để phương trình 2 3210 xxm −+−= có hai nghiệm phân biệt 12 , xx thỏa mãn điều kiện 12 1 xx << . Lời giải. Điều kiện 12 1 xx << 12 011 xx ⇔<−<− . Đặt 1 xy −= , phương trình đã cho trở thành 2 230 yym −+−= . Để bài toán thỏa mãn thì phương trình mới phải có hai nghiệm phân biệt đều dương 8130 213 10 38 230 m Sm Pm ∆=−+>   ⇔=>⇔<<   =−>  * Thí dụ 4. Cho hàm số 2 1 (1) 1 mxxm y x −++ = − ( m là tham số) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt Ox tại hai điểm phân biệt và có hoành độ lớn hơn 1. Lời giải. Đồ thị hàm số (1) cắt Ox tại hai điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 1 ⇔ phương trình 2 ()10 fxmxxm =−++= có hai nghiệm phân biệt 12 , xx đều lớn hơn 1, tức là 12 1 xx << . Tương tự thí dụ 3, đặt 1 xy −= , ta được phương trình 2 (21)20 mymym +−+= phải có hai nghiệm phân biệt đều dương 2 0 0 4410 121212 0 12 222 0 1 0 20 2 m m mm mm m S m m P  ≠  ≠   ∆=−−+>   −−−+−+  ⇔⇔<<⇔<<  − =>   << =>     3. Bài toán 3. Tam thức bậc hai 2 () fxaxbxc =++ có hai nghiệm thoả mãn 12 xx α << . Cách giải: Tương tự như bài toán 2. 3 * Thí dụ 5. Cho hàm số 2 23 (1) 1 xxm y x −+ = − ( m là tham số) Tìm m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng ( 3;) +∞ . Lời giải. TXĐ: \{1} R . Hàm số (1) đồng biến trên khoảng ( 3;) +∞ 2 22 243() '03 (1)(1) xxmgx yx xx −+− ⇔==≥∀> −− Xét 2 ()243 gxxxm =−+− có '22 m ∆=− . Nếu '01 m ∆≤⇔≤ , thì ()0 gxx ≥∀ , suy ra '01 yx ≥∀≠ , vậy hàm số (1) đồng biến trên toàn MXĐ, suy ra nó đồng biến trên khoảng ( 3;) +∞ . Nếu '01 m ∆>⇔> thì '03()03 yxgxx ≥∀>⇔≥∀> khi và chỉ khi () gx có hai nghiệm phân biệt 12 , xx thỏa mãn 12 3 xx <≤ 2 ()289 gyyym ⇔=++− ( với 3 yx =− ) có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn hoặc bằng 0. 1 1 4019 9 9 0 2 m m Sm m m P   > >   ⇔=−<⇔⇔<≤  ≤   −  =≥  Đáp số: 9 m ≤ * Thí dụ 6. Cho hàm số 32 1 22(1) 3 yxxmx=−+− ( m là tham số) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (;1) −∞ . Lời giải. TXĐ: R Hàm số (1) đồng biến trên khoảng (;1) −∞ khi và chỉ khi 2 '401 yxxmx =−+≥∀< Xét 2 ()4 gxxxm =−+ có '4 m ∆=− . Nếu '04 m ∆≤⇔≥ thì '0 yx ≥∀ . Do vậy, hàm số (1) đồng biến trên toàn R, vậy nó đồng biến trên khoảng (;1) −∞ . Nếu '04 m ∆>⇔< thì '01 yx ≥∀< khi và chỉ khi () gx có hai nghiệm phân biệt 12 , xx thỏa mãn 12 1 xx ≤< 2 ()(1)4(1) gyyym ⇔=+−++ 2 23 yym =−+− có hai nghiệm phân biệt không âm 4 4 2034 3 30 m m Sm m Pm <  <   ⇔=>⇔⇔≤<  ≥   =−≥  Đáp số: 3 m ≥ . 4 * Bài tập tự luyện. Bài 1. Tìm m để phương trình 22 (4)()20 mxmmxm ++−+= có hai nghiệm 12 , xx thỏa mãn 12 1 xx <−< . Bài 2. Tìm m để phương trình 2 (1)(21)0 mxmxm +−−+= có hai nghiệm 12 , xx thỏa mãn 12 2 xx −≤< . Bài 3. Cho hàm số 2 21 x y x + = + có đồ thị ( C ). Tìm các giá trị của m sao cho đường thẳng :1 m dymxm =+− cắt ( C ) tại hai điểm thuộc cùng một nhánh của ( C). Bài 4. Cho hàm số 2 24 2 xx y x −+ = − có đồ thị ( C). Tìm m để đường thẳng :2 m dymx =+ cắt đồ thị ( C) tại hai điểm phân biệt có hoành độ đều nhỏ hơn 2. Bài 5. Cho hàm số 32 1 (1)(3)4 3 yxmxmx − =+−++− ( m là tham số) Tìm m để hàm số trên đồng biến trên khoảng (0; 3). . 1 MỘT CÁCH KHAI THÁC BÀI TOÁN SO SÁNH MỘT SỐ VỚI CÁC NGHIỆM CỦA TAM THỨC BẬC HAI Nguyễn Thanh Bình - GV trường CĐSP Yên Bái Bài toán so sánh một số α với các nghiệm của tam thức bậc hai. tam thức bậc hai. Ta xét các bài toán sau: 1. Bài toán 1 .Tam thức bậc hai 2 () fxaxbxc =++ có hai nghiệm thoả mãn 12 xx α << . Cách giải: Điều kiện của bài toán tương đương với 12 0xx αα −<<− đến bài toán trên. Giả sử cho tam thức bậc hai 2 () fxaxbxc =++ có hai nghiệm phân biệt 1212 ,() xxxx < . Đặt 1212 ;. bc SxxPxx aa − =+=== . So sánh một số α với các nghiệm của tam thức