SP TOAN 35A CDSP DAKLAK LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG BẬC HAI I/Phương Pháp : Cho (C) : F(x,y) =ax 2 + 2bxy + cy 2 + 2dx + 2ey + f = 0 với (a,b,c) (0,0,0) Dựa vào những yếu tố đề bài cho ta xây dựng các hệ phương trình 6 ẩn số . giải hệ => phương trình (C) Ví Dụ: Lập phương trình đường cong bậc hai đi qua 5 điểm : (0,0) ; (0,2) ; (-1,0) ; (-2,1) ; (-1,3) . Giải : Gọi phương trình (C) có dạng : ax 2 + 2bxy + cy 2 + 2dx + 2ey + f = 0 Đi qua điểm (0,0) => f=0. Đi qua điểm (0,2) => 4c +4e = 0 => c = -e (1) Đi qua điểm (-1,0) => a – 2d = 0 => a = 2d (2) Đi qua điểm (-2,1) =>4a – 4b + c – 4d + 2e = 0 thế (1),(2) vào => 8d – 4b – e – 4d + 2e = 0 4d – 4b + e = 0 (3) Đi qua điểm (-1,3) => a – 6b + 9c – 2d + 6e = 0 thế (1),(2) vào => 2d – 6b – 9e - 2d + 6e = 0 2b + e = 0  e = - 2b (4) Thế (4) vào (3) ta được 4d – 6b = 0 => b = d . Chọn d = 3 => b = 2 => e = -4 , c = 4 , a = 6 Vậy phương trình (C) có dạng ; 6x 2 + 4xy +4y 2 + 6x – 4y = 0  3x 2 + 2xy + 4y 2 + 3x – 2y = 0 Bài tập : Câu 1 : Lập phương trình tổng quát của tất cả các đường cong bậc hai , có cùng tâm (x 0 ,y 0 ) Giải : Gọi phương trình (C) có dạng : ax 2 + 2bxy + cy 2 + 2dx + 2ey + f = 0 (C) có tâm là (x 0 ,y 0 ) ta sử dụng phương pháp đổi trục tọa độ ta được: a(x’ + x 0 ) 2 + 2b(x’ + x 0 )(y’ + y 0 ) + c(y’ + y 0 ) 2 + 2d( x’ + x 0 ) + 2e( y’ + y 0 ) + f = 0  ax’ 2 + 2bx’y’ + cy’ 2 + 2(ax 0 + by 0 + d)x + 2(by 0 + cy 0 + e)y + ax 0 2 + 2bx 0 y 0 + cy 0 2 + 2dx 0 + 2ey 0 + f = 0 (1) Mặt khác tâm (x 0 ,y 0 ) thoả hệ phương trình và ta đặt ax 0 2 + 2bx 0 y 0 + cy 0 2 + 2dx 0 + 2ey 0 + f = F Nên (1)  ax’ 2 + 2bx’y’ + cy’ 2 + F = 0  a(x – x 0 ) 2 + 2b(x –x 0 )(y – y 0 ) + c(y – y 0 ) 2 + F = 0 Vậy phương trình đường cong bậc hai (C) có tâm (x 0 ,y 0 ) là : a(x – x 0 ) 2 + 2b(x –x 0 )(y – y 0 ) + c(y – y 0 ) 2 + F = 0 Câu 2 : Lập phương trình tổng quát của tất cả những đường cong bậc hai nhận hai đường thẳng ax + by + c = 0 và a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 làm tiệm cận Giải : Vì (C) nhận (d 1 ) ax + by + c = 0 và (d 2 ) a 1 x + b 1 y+ c 1 = 0 làm tiệm cận thì phương của (d 1 ) và (d 2 ) là hai phương tiệm cận của (C) nên với là phương tiệm cận của (C).  (C) có dạng (ax + by)( a 1 x + b 1 y) + 2dx + 2ey + f = 0  a 1 ax 2 + ( ab 1 + a 1 b)xy + b 1 by 2 + 2dx + 2ey + f = 0 (*) Mặt khác tâm I của (C) là nghiệm của hệ :  (I) Vì (d 1 ) và (d 2 ) là đường tiệm cận nên tâm I cũng thỏa hê (II) Thế hệ (II) vào (I) ta được (III) Thế (III) vào (*) ta được a 1 ax 2 + ( ab 1 + a 1 b)xy + b 1 by 2 + (a 1 c + ac 1 )x + (b 1 c + bc 1 )y + f = 0 - 1 - VÕ VĂN TUẤN  a 1 x(ax + by + c) + b 1 y(ax + by + c) + c 1 (ax + by + c) + f – cc 1 = 0 Đặt k = f – cc1 (ax + by + c) (a 1 x + b 1 y) + k = 0 Vậy phương trình tổng quát của tất cả những đường cong bậc hai nhận hai đường thẳng ax + by + c = 0 và a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 làm tiệm cận là : (ax + by + c) (a 1 x + b 1 y) + k = 0 Câu 3 : Lập phương trình hypebol đi qua điểm (1;2) ; (-1;-2) và với điều kiện 1 tiệm cận của nó trùng với trục Ox Giải : Gọi phương trình (C) có dạng : ax 2 + 2bxy + cy 2 + 2dx + 2ey + f = 0 Có 1 phương tiệm cận (1,0) => a + 2b.1.0 + c.0 = 0 => a = 0 y = 0 là tiệm cận nên hệ sau có nghiệm duy nhất đó là tâm I của (C) vì a= 0 Vậy tâm I có tọa độ ( ; 0 ) Phương trình (C) có tâm I là ( ; 0 ) có dạng a(x + ) 2 + by(x + ) + cy 2 + f’ = 0 Mà a = 0 nên (C) cá dạng by(x + ) + cy 2 + f’ = 0 Đi qua điểm (2,1) => 4b + 2e + c + f’ = 0 Đi qua điểm (-1;-2) => 4b – 4e + 4c + f’ = 0 Đi qua điểm => - 4b – 8e + c + f’ = 0 ta chọn f’ = 1 ta được b = , c = 17, e = Vậy (C) có dạng Câu 4 : Một đường cong bậc hai chỉ cắt mỗi trục tọa độ tại tại gốc O . ngoài ra nó đi qua hai điểm (2;1) và (-2:2) . Lập phương trình đường cong đó Giải: Gọi phương trình (C) có dạng : ax 2 + 2bxy + cy 2 + 2dx + 2ey + f = 0 Cắt Ox chỉ tại một điểm => y = 0 => ax 2 + 2dx + f = 0 => a = 0 và d 0 Cắt Oy chỉ tại một điẻm => x = 0 => cy 2 + 2ey + f = 0 => c = 0 và e 0 Vậy (C) 2bxy + 2dx + 2ey + f = 0 Mặt khác (C) đi qua các điểm (0;0) => f = 0 (2;-1) => - 4b + 4d – 2e = 0 (1) (-2;2) => - 8b – 4d + 4e = 0 (2) (1) + (2)  - 12 b + 2e = 0  e = 6b chọn b = 1 => e = 6 => d = 4 Vậy phương trình đường cong bậc hai (C) có dạng : xy + 4x + 6y = 0 Câu 5 : Lập phương trình parabol tiếp xúc với trục Ox tại điểm (3;0) và trục tung tại điểm (0;5) Giải: Gọi phương trình (C) có dạng : ax 2 + 2bxy + cy 2 + 2dx + 2ey + f = 0 Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm (x 0 ,y 0 ) có dạng ax 0 x + b(yx 0 + y 0 x) + cy 0 y +d(x 0 + x) + e(y 0 + y) + f = 0 (1) (ax 0 + by 0 + d)x + (by 0 + cy 0 + e)y +dx 0 + ey 0 + f = 0 Tiếp xúc Ox : y = 0 tại điểm (3;0) => (3a + d) + (3b + e) y + 3d + f = 0 (2) Tiếp xúc Oy : x = 0 tại điểm (0;5) => (5b + d) + (5c + e) y + 5e + f = 0 (3) Mặt khác parabol không có tâm nên b 2 – ac = 0 (4) Giải hệ (2),(3),(4) ta được d = -3a ,f = 9a, Vậy ta có hai parabol Câu 6 : Lập phương trình đường cong bậc hai đi qua gốc tọa độ tiếp xúc với đường thẳng 4x + 3y + 2 - 2 - VÕ VĂN TUẤN = 0 tại điểm (1;2) và với đường thẳng x – y – 1 = 0 tại điểm (0;-1) Giải: Gọi phương trình (C) có dạng : ax 2 + 2bxy + cy 2 + 2dx + 2ey + f = 0 Đi qua điểm (0,0) => f=0 Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm (x 0 ,y 0 ) có dạng ax 0 x + b(yx 0 + y 0 x) + cy 0 y +d(x 0 + x) + e(y 0 + y) = 0 (1) (ax 0 + by 0 + d)x + (by 0 + cy 0 + e)y +dx 0 + ey 0 = 0 Tiếp xúc 4x + 3y + 2 = 0 tại điểm (1;2) => (a – 2b + d)x + (b –c + e) y + d – 2e + f = 0 Tiếp xúc x - y -1 = 0 tại điểm (0;-1) => (-b + d)x + ( –c + e) y - e + f = 0 (C) đi qua ( 1,2) => a – 4b + 4c +2d – 4e + f = 0 (5) (C) đi qua ( 0,-1) => c -2e +f = 0 (6) Giải (1),(2),(3),(4),(5),(6) ta được + f = 0 Đi qua điểm (0,0) => f=0. Đi qua điểm A( 0,1) => c + 2e = 0 => c = - 2e (1) Đi qua điểm B( 1,0) => a + 2d = 0 => a = -2d (2) Tâm C của đường cong bậc hai là nghiệm của hệ phương trình (I) thế C(2,-3) (I)  thế (1),(2) vào (I)  Câu 7 : Một đường cong bậc hai đi qua gốc tọa độ và các điểm A(0,1) ; B(1,0) . Ngoài ra biết tâm C(2,-3) . Lập phương trình đường cong đó . Giải : Gọi phương trình (C) có dạng : ax 2 + 2bxy + cy 2 + 2dx + 2ey Chọn e = 2 => d = -5 , c = -4 , a = 10 , b = 5 Vậy phương trình (C) có dạng : 10x 2 + 10y - 4y 2 - 10x + 4y = 0  5x 2 + 5xy - 4y 2 -5x + 5y = 0 Câu 8 : Một đường cong bậc hai đi điểm ( +1 , -1) và thừa nhận các đường thẳng 2x + 3y – 5 = 0 và 5x + 3y – 8 = 0 làm tiệm cận . Lập phương trình đương cong đó . Giải : Đường cong bậc hai thừa nhận các đường thẳng 2x + 3y – 5 = 0 và 5x + 3y – 8 = 0 làm tiệm cận (2x + 3y – 5)(5x + 3y – 8) + k = 0 và đi qua điểm ( 1, -1) => k = - 36 Vậy phương trình (C) có dạng : (2x + 3y – 5)(5x + 3y – 8) – 36 = 0 Câu 9 : Lập phương trình đường cong tiếp xúc với đường thẳng 4x + y + 5 = 0 và thừa nhận các đường thẳng x -1 =0 và 2x – y + 1 = 0 - 3 - VÕ VĂN TUẤN . trình 6 ẩn số . giải hệ => phương trình (C) Ví Dụ: Lập phương trình đường cong bậc hai đi qua 5 điểm : (0,0) ; (0,2) ; (-1,0) ; (-2,1) ; (-1,3) . Giải : Gọi phương trình (C) có dạng : ax 2 . phương trình đường cong bậc hai (C) có tâm (x 0 ,y 0 ) là : a(x – x 0 ) 2 + 2b(x –x 0 )(y – y 0 ) + c(y – y 0 ) 2 + F = 0 Câu 2 : Lập phương trình tổng quát của tất cả những đường cong bậc. dạng Câu 4 : Một đường cong bậc hai chỉ cắt mỗi trục tọa độ tại tại gốc O . ngoài ra nó đi qua hai điểm (2;1) và (-2:2) . Lập phương trình đường cong đó Giải: Gọi phương trình (C) có dạng