Châu Thanh Hải ĐHKH Huế, sưu tầm và chọn lọc.  Số 8 Lê Lợi , 37 Thanh Tịnh Vỹ Dạ, Khu D 7 Xóm Hành P. An Tây, 272 Tăng Bạt Hỗ . ĐT054.3931305__054.3811471__0935961321 Giải: a)   .  =    .  (  ) =    .    .  . sin   =    . 2  . 3  . sin 60  =   √   . b) Kẻ ⊥,theo định lý 3 đường vuông góc ta có ⊥→⊥ () ⊥→() ⊥(). Kẻ ⊥→⊥() →=   ; (  )  . Ta có: = √  +   −2..cos= √ 7; (  ) =   √   =   .→ =   √   √  = 3    .→    =    +    =    +    =    →=  √  √  . c) Gọi ,  là tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC, theo sịnh lý hàm sin:   = 2  →  =     . Từ O ta kẻ đường thẳng (  ) ⊥ (  ) → (  ) ∥→() là trục của đường tròn ngoại tiếp ABC.  ÔN TẬP VỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN, MẶT CẦU, MẶT TRỤ TRÒN XOAY. 1. Cho hình chóp SABC có =2,= 3,   = 60  ,⊥ (  ) ,=. a) Tính thể tích hình chóp. b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC). c) Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp. Trong mặt phẳng (SA;d) kẻ đường trung trực của SA cắt (d) tại I. Lúc đó I là tâm mặt cầu ngaọi tiếp hình chóp SABC. Bán kính mặt cầu = = √  +   =       +    =       +     .  =  √   →=     = 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi và   = 60  , hợp với đáy (ABCD) một góc 60  , = = và khoảng cách từ tâm của hình thoi ABC đến SB bằng a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. Cách 2: (trả lời tại lớp) 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A. =  √ 3,= 3. Mặt bên (SAB) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng hợp với đáy một góc 60  . Tính thể tích khối chóp S.ABC và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. ĐS: =  √   √  3a 2a a r 1 (d) A C B S O H K M I (d) R R S.ACD =IG OH=a 60 0 60 0 O B A D C S G G' H M I Gi ả i: Gọi G là hình chiếu của S lên (ABCD) , do SA=SB=SC nên G là trọng tâm tam giác ABC, theo giả thiết suy ra ABC đều. Kẻ OH, GK vuông góc với SB, theo giả thiết ta có:= ,  = 60  →=  √  =  √  →=   =   √  →=  √ 3 =   ;=  √  =   → . =   . (  ) =   .   .   √   =     √ 3. Lưu ý mặt cầu ngoại chóp S.ACD chính là mặt cầu ngoại chóp S.ACDG vì ACD đều nên đường tròn ngoại tiếp ACD cũng chính là đường tròn ngoại tiếp ADCG. Gọi G’ là tâm đường tròn đáy ACD suy ra G’ là trọng tâm. Từ G’ kẻ () ⊥(), (d) là trục đường tròn (ACD). → (  ) ∥. Trong mặt phẳng (;) kẻ đường trung trực của SG cắt (d) tại I. Điểm I chính là tâm mặt cầu ngoại chóp S.ACD hay mặt cầu ngoại chóp S.AGCD, bán kính  =  = √    +     =       +    =      +     =    √ 21 . www.VNMATH.com Châu Thanh Hải ĐHKH Huế, sưu tầm và chọn lọc.  Số 8 Lê Lợi , 37 Thanh Tịnh Vỹ Dạ, Khu D 7 Xóm Hành P. An Tây, 272 Tăng Bạt Hỗ . ĐT054.3931305__054.3811471__0935961321 Giải: a)    .     =   .     =    .  =      .  (  ) =    .   √   =   √   . b) Cách 1: Từ G kẻ đường thẳng song song với AB, lúc đó mặt phẳng đi qua A’B’ và trọng tâm tam giác ABC chính là mặt phẳng (A’B’EF). Gọi I là giao điểm của B’F vớí CC’, theo định lý về 3 giao tuyến thì ta suy ra A’E đi qua I. Ta có ∆  ~∆; mặt khác = 2→= 2  = 2→  = 3. Ta có  .’’ =  .      − . − .     . Mặt khác :  .  .      = ..   .  .  =       =      =   →  . =    .     ;  .      =    .       ì   =      → .’’ =  1 −   −     .      =   .   .3.   √   =   √   . Cách 2:  .’’ =  .  +  .   . Mặt khác :  .   .  = ..  ..  =      =   → .  =    .  =    .     ;  .     .    =   ..    ..  =   =   =   → .    =     .      =     .       →   .  ’  ’  =   .    +   .      =     .       =   .     =    √   . 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, ⊥ (  ) , H là trung điểm của AB. Giả thiết chóp có 3 mặt bên là 3 tam giác vuông. a)  . b) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chópi đáy. ĐS: =  √   . 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, ⊥ (  ) , H là trung điểm của AB. Giả thiết SC nghiêng đều trên mặt đáy và mặt bên (SAB). a)  . b) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp . ĐS: =  √   . 6. Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đáy đều bằng a. a) Tính thể tích khối tứ diện ’’. b) Mặt phẳng đi qua A’B’ và trọng tâm tam giác ABC, cắt AC và BC lần lượt tại E và F. Tính thể tích hình chóp  .’’ . 7. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi M là trung điểm A’B’, N là trung điểm của BC. a) Tính thể tích tứ diện ADMN. b) Mặt phẳng (DMN) chia khối lập phương đã cho thành 2 khối đa diện. Gọi (H) là khối đa diện chứa đỉnh A, (H’) là khối đa diện còn lại. Tính tỉ số  (  ) / (  ) . 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. a a 2a A C B A' C' B' I H G E F a J P B A C D C' A' D' B' I K M N Giải: a)   =   .  =      ; (  )  .  (  ) =    .     =     . b) Gọi các điểm = ∩; =∩  ;= ∩  ;= ∩′′ . Từ định lý Talet và tính chất đồng dạng của 2 tam giác ta suy ra: ==   ;  =   =     ì   =     →  =   =   ;    =   →  .  . = .. .. =      =      =   → . =    . ;  .    . =   .. .. =       =   → .   =    . → (  ) =  1 −   −     . =   .   ..   ..=   .   .   .   .2.=     → (  ) =  ậươ −   =   −     =     →  (  )      =   . www.VNMATH.com Châu Thanh Hải ĐHKH Huế, sưu tầm và chọn lọc.  Số 8 Lê Lợi , 37 Thanh Tịnh Vỹ Dạ, Khu D 7 Xóm Hành P. An Tây, 272 Tăng Bạt Hỗ . ĐT054.3931305__054.3811471__0935961321 Giải: Gọi O là tâm hình vuông ABCD, H là hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC). Ta có (  ) ⊥ (  ) →∈. Mặt khác ∆ đều nên H là trung điểm của AB. a)  . =   . (  ) =   .  √   .  =   √   . b) Từ O kẻ đường thẳng (d) vuông góc với (ABCD), lúc đó (d) là trục đường tròn ngoại tiếp ABCD, suy ra (  ) ∥. Trong tam giác ASB gọi G là trọng tâm của tam giác ASB suy ra G là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ . Từ G kẻ đường thẳng ( ∆ ) ⊥ (  ) → ( ∆ ) ∥→(∆) là trục đường tròn ngoại tiếp ∆. Trong mặt phẳng (  ) ≡(;) gọi = (  ) ∩(∆) → I cách đều S,A,B,C,D hay I chính là tâm mặt cầu cần tìm. Bán kính mặt cầu: == √  +   = √  +   +   =    √     +      +      =     . 9. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có = ,  (    ) ; (  )   = 60  . Gọi G là trọng tâm tam giác A’BC. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a. Mặt khác theo định lý Talet: =    =   ;=  √   ;  =   +   =    . Do đó: =   . .   =   10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN và DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH = √ 3. Tính thể tích khối chóp S.CDNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a. 11. Cho tứ diện ABCD có = = = ;= 2;= 2;=  (I,J là trung điểm của AB và CD). Tính thể tích tứ diện ABCD , Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. R R=IB O A D B C S H G I R A C B A' B' C' A H G I D H G E a a a 3 H D C A B S M N K Giải: Gọi D là trung điểm của BC, ta có:  ⊥  →  ⊥    →     = 60  . Ta có   = .tan   =   ; (  ) =   √   . Do đó:  .      =   . (  ) =   √   . Gọi H là trọng tâm tam giác ABC, suy ra: ∥′→⊥ (  ) . Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC, ta có I là giao điểm của GH với trung trực của AG với trung trực của AG trong mặt phẳng (AGH). Gọi E là trung điểm AG, ta có tứ giác AEHI nội tiếp được đường tròn nên  .  =  .   →  =  =  .   =      . Giải: *Thể tích:  (  ) =  (  ) −  (  ) −  (  ) =   −   .   .   −   .   .=    → . =   . (  ) =   √   . *  ( ; ) =?. Trong hình vuông ABCD ta có ∆=∆ ( −− ) →  =   →  +   = 90  →⊥ . Mặt khác ⊥→⊥ (  ) . Từ H kẻ ⊥→⊥→ ( ; ) = . Áp dụng công thức:    =    +    . Mà .=   →=    =           =  √  → →     =     +     =     →  = 2     →  (  ;  ) =     www.VNMATH.com Châu Thanh Hải ĐHKH Huế, sưu tầm và chọn lọc.  Số 8 Lê Lợi , 37 Thanh Tịnh Vỹ Dạ, Khu D 7 Xóm Hành P. An Tây, 272 Tăng Bạt Hỗ . ĐT054.3931305__054.3811471__0935961321 Giải: Đặt  =  → tan   =     ; tan   =    → tan   = tan (   +   ) =         .   =      ; mà tan  = tan45  = 1→      = 1→4  −3  = 8↔ 4      −8     −3 = 0 ↔   = 1 + √   →= =  1 + √    → . = −   . (  ) =    1 + √    .2  =      1 + √    . Dựng trục đường tròn đáy (d) qua O và vuông góc với (ABCD). Suy ra () ∥, SA, SC cùng nằm trong 1 mặt phẳng với (d). Trong tam giác SAC, kẻ đường trung trực (d’) của SC cắt (d) tại I, lúc đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD, suy ra I cũng chính là tâm đường tròn ngoại tiếp của ∆. Bán kính R của mặt cầu bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆  . Theo định lý hàm sin ta có:  =   =      =  √ 2 . Giải: Kẻ AH vuông góc với (ABC) suy ra H thuộc AC. Từ H kẻ HK vuông góc với AB tại K. Ta suy ra  ≤  →  ′   >  ′   →   <  <   . Ta có  ′   là góc giữa mặt phẳng (    ) và (ABC), theo giả thiết ta suy ra ′  = ,′  = 60  →  =   .sin60  =   ,  =  √   →=  √   .cot→= 2=  √ 3cot→= √  −3  cot  = √1 −3cot  → (  ) →  =? . 12. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông cân tại B, =, tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. ĐS: =  √   . 13. *Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có =2,= . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN và DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và  = . Tính thể tích khối chóp S.CDNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a. ĐS: (;) =       14. Cho hình vuông ABCD cạnh  √ 2. Lấy H thuộc đoạn AC và =   . Vẽ ⊥(), trên Hx lấy S sao cho   = 45  . Tính  . . Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABCD. ĐS: =      1 + √    ,=  √ 2. 82. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông có cạnh huyền = , mặt bên      là hình thoi nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy (ABC) và góc ′  =   . Biết góc giữa mặt phẳng (    ) và (ABC) bằng . a) CMR:   < <   . b) Tính  .      theo a và . 15. Cho ∆ có = 3;= 2;  = 60  trên đường thẳng (∆) vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại A lấy điểm S sao cho = và vẽ ⊥;⊥. a) Tính thể tích của S.AHK, b) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp SAHK. c) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp SABC. d) CMR A, H, K, B, C cùng nằm trên một mặt cầu, tính bán kính mặt cầu này. ĐS: d)=  √   . R 2a 2b IJ=c B A C D J I O x d' d R R (SAC) =R S.ABCD a 2 a 2 45 0 O D A C B S H I a A B C A' C' B' H K Gi ả i:  =  →  ⊥  ;  =  →  ⊥  →  ⊥ (  ) , tương tự ta có  ⊥  ;  ⊥  →  ⊥ (  ) →   =    .  (  ) =   .  .   .  .  =    . Theo trên suy ra Ị là đường trung trực của AB và CD, Gọi O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD suy ra == = , suy ra tâm O thuộc IJ. Đặt = →   =   =   +   =   +   ,ặ ℎá:   =   =   +   =   + ( − )  →  +   =   + ( − )  →=           →  =  = √   +   =     (   +   −   )  − 4   . www.VNMATH.com Châu Thanh Hải ĐHKH Huế, sưu tầm và chọn lọc.  Số 8 Lê Lợi , 37 Thanh Tịnh Vỹ Dạ, Khu D 7 Xóm Hành P. An Tây, 272 Tăng Bạt Hỗ . ĐT054.3931305__054.3811471__0935961321 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật cạnh = ;=  √ 2,=;⊥(). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD, SC; I là giao điểm của BM với AC. a) CMR: () ⊥(). b) Tính   . c) (;). 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh ; là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M , N và P lần lượt là trung điểm của SB, BC, CD. CMR:a) ⊥. b) Tính   . c) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. d) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABO (với O là tâm ABCD). 18. Một hình trụ có bán kính đáy = 53 . Khoảng cách giữa 2 đáy là ℎ=56 . Một thiết diện song song với trục là hình vuông. Tính khoảng cách từ trục đến thiết diện. 19. Một hình trụ có bán kính đáy = 70 . Khoảng cách giữa 2 đáy là ℎ=20 . Một hình vuông không song song với trục có đỉnh lần lượt ở trên 2 đường tròn đáy. Hãy tính diện tích hình vuông đó. 20. Một hình trụ tròn xoay, một hình vuông ABCD cạnh a nội tiếp trong hình trụ có đỉnh lần lượt ở trên 2 đường tròn đáy. Mặt phẳng (ABCD) tạo với đáy của hình trụ góc 45  . Hãy tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ. Giải: (sử dụng hình vẽ bài trên) Gọi OO’ là trục của hình trụ. Vẽ ⊥;′⊥, suy ra E, F là trung điểm của AB và CD. Suy ra ⊥→′  chính là góc giữa mặt phẳng (ABCD) và đáy. Theo giả thiết ta có: ′  = 45  →  =   =  √  =   √  →ℎ=   =  √  → bán kính đáy=   = √  +   =     √    +      =     . Thể tích hình trụ: =   ℎ=   . √   . Diện tích xung quanh hình trụ là: = 2ℎ=   √   . K S B C D A M H N P O O' A' A B B' H h I D O' O A C B E F Giải: a) Gọi H là trung điểm AD, suy ra  ⊥  →  ⊥ (  ) . Giả thiết suy ra Ta có: AN và HB cắt nhau tại trung điểm K mỗi đường, suy ra  ∥  →  ⊥ (  ) →⊥. Mặt khác trong hình vuông ABCD ta dễ chứng minh được ⊥→⊥ (  ) →⊥. (hoặc: ⊥ (  ) →⊥→⊥ ). b)   =   .. (  ) =   .   .   ..=   .  √   .   .   =     √ 3. c)   =     . d)   =  √  . Giải: Gọi thiết diện song song với trục hình trụ là hình vuông ABB’A’, OO’ là trục của hình trụ . Ta có khoảng cách từ O đến (       ) . Kẽ  ⊥  →  ⊥ (      ) →  = (; (     ) . Mà = √  −  = √53  −28  = 45. Vậy khoảng cách giữa trục OO’ đến mặt phẳng thiết diện là 45 cm. Giải: Gọi thiết diện là hình vuông ABCD, OO’ là trục của hình trụ. Vẽ  ⊥  ;  ′  ⊥  , suy ra E, F là trung điểm của AB và CD. Mặt khác  =  →  =    → EF cắt OO’ tại trung điểm I của mỗi đường. Gọi x là cạnh hình vuông, ta có:   =   +   ↔  =    −100. Mặt khác:   =   −  = 4900 −    . Do đó ta có phương trình:    −100 = 4900 −    ↔  = 100 . Vậy diện tích thiết diện là  =   = 10000    . www.VNMATH.com Châu Thanh Hải ĐHKH Huế, sưu tầm và chọn lọc.  Số 8 Lê Lợi , 37 Thanh Tịnh Vỹ Dạ, Khu D 7 Xóm Hành P. An Tây, 272 Tăng Bạt Hỗ . ĐT054.3931305__054.3811471__0935961321 Giải: Kẻ A’H vuông góc với (ABCD) vì (      ) ⊥ (  ) và  ′   nhọn suy ra H thuộc cạnh AD. Ta cũng suy ra  ′   là góc giữa AA’ với mặt phẳng (ABCD) → ′  = 60  →  =  √   → =   → là trung điểm của AD Ta có      =  .  =   . =    . =     . (  ) =    √   .  =   √   . Ta kẻ ⊥   →  ⊥ ⊥ →⊥ (      ) → (      ) ⊥ (      ) →⊥ (      ) →  ; (      )  = . Mặt khác   ⊂ (      ) ∥ (      ) ⊃   → (   ;  ) =   (      ) , (      )  =   , (      )  = 2  (  ;  (       )  = 2  =   √ 3 . 21. Một hình trụ tròn xoay, có bán kính đáy R và chiều cao ℎ= √ 3. Cho 2 điểm A, B lần lượt nằm trên 2 đường tròn đáy sao cho góc giữa AB và trục của hình trụ bằng 30  . a) Tính khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ. b) Xác định đường vuông góc chung MN của AB và trục OO’, tìm quĩ tích của N. c) CMR thể tích của tứ diện ABOO’ không đổi. 22. Cho hình nón có đỉnh S, độ dài đường sinh bằng a, góc của đường sinh và đáy bằng . a) Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình nón. b) Một mặt phẳng (P) qua đỉnh S của hình nón và hợp với đáy một góc bằng 60  , mặt phẳng (P) cắt mặt nón theo giao tuyến SA, SB. Tính diện tích tam giác SAB và khoảng cách từ tâm đường tròn đáy đến mặt (P). 23. Cho hình hộp .′′′′, đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=a, AD=b, cạnh bên ′ hợp với đáy (ABCD) một góc bằng 60  , mặt bên (AA’D’D) là hình thoi có góc ′  nhọn và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy (ABCD). Tính thể tích khối tứ diện ′′ và  (   ;  ) . “ Mọi sai sót, xin góp ý để lần sau tốt hơn ” B A A' O' O H N M I 60 0 α A S B O H a b b 60 0 A B C D A' D' C' B' H K Giải: a) Kẽ đường sinh AA’, ta có    ∥    → (  ;    )  =  ′   = 30  . Kẽ  ′  ⊥  ′  →  là trung điểm của A’B. Mà ta có:    ⊥    →    ⊥ (     ) . Tam giác vuông     →    =   .tan′  =  √  √  = . Tam giác vuông   →  = √    −    =  √   . Vì   ∥   →  ∥ (    ) → (   ; ) =  (   ;(  ) ) =  (   ;(  ) ) =   =  √   . b) Kẽ như hình vẽ ta dễ suy ra rằng MN là đoạn vuông góc chung của AB và trục OO’. Quỹ tích của N là đường tròn tâm M trung điểm của OO’ bán kính =  √   , đường tròn này nằm trong mặt phẳng qua M và vuông góc với OO’. c) Sử dụng công thức:    =      .  .  .  (  ;    )  =  Giải: Ta có   =  , gọi I là trung điểm AB thì  ⊥  ;  ⊥  →   =  (  ) ; ( đá  )   = 60  . Ta có: = = cos;ℎ= = sin→=     ℎ=     cos  .sin;   = ..=   cos;= .cos60  =  √   sin→=    =  √   .sin. Mà = 2= 2√  −  =   3  (3cos  −sin  ) =  √   √4cos  −1 →  (  ) =   .=    √4cos  −1.sin. Vẽ OH vuông góc SI cắt SI tại H, vì ⊥ (  ) → (  ) ⊥ (  ) →  ⊥ (  ) , suy ra    ; (  )  =  =  . sin 60  =    . sin  . www.VNMATH.com . trung điểm của BC. a) Tính thể tích tứ diện ADMN. b) Mặt phẳng (DMN) chia khối lập phương đã cho thành 2 khối đa diện. Gọi (H) là khối đa diện chứa đỉnh A, (H’) là khối đa diện còn lại. Tính tỉ. tròn ngoại tiếp ABC.  ÔN TẬP VỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN, MẶT CẦU, MẶT TRỤ TRÒN XOAY.  1. Cho hình chóp SABC có =2,= 3,   = 60  ,⊥ (  ) ,=. a) Tính thể tích hình chóp. b) Tính. hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN và DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH = √ 3. Tính thể tích khối chóp S.CDNM và khoảng