Nhóm biên sọan lớp 10 Tóan 1 1 2 2 1 3 1 x O C A B M P N Giáo viên hướng dẫn: ĐỖ KIM SƠN Nhóm biên sọan lớp 10 Tóan 2 Trong hoạt động của mình, con người luôn luôn đối mặt với một câu hỏi tìm giá trị cực đại hoặc cực tiểu của một đối tượng hình học nào đó về độ dài, diện tích, bề mặt hoặc thể tích,… Ngay trong tự nhiên, những hình có dạng đều, chúng mang những tính chất rất đặc biệt, trong nó chứa ẩn những tính chất “cực trị” mà các hình khác không có được như tam giác đều, hình vuông, lục giác đều hoặc hình tròn, khối cầu,…. Ngày nay những bài toán cực trị vẫn được quan tâm và nghiên cứu. Những phương pháp giải và các dạng bài tập này trong hình học rất đặc trưng và bắt nguồn từ lý thuyết cơ bản của toán học. Ở ta, những loại sách tổng kết lại những bài toán cực trị trong hình học còn hiếm, nhất là không hệ thống phương pháp giải và đưa ra một cách nhìn mới trong học tập, rất nhiều cuốn bài tập chỉ mang tính chất liệt kê không làm nổi bật những ý tưởng của đề toán và các phương pháp tiếp cận giải toán Thời gian qua, nhờ sự hướng dẫn của giáo viên bộ môn, chúng em xin giới thiệu chuyên đề “Một số phương pháp tìm cực trị trong hình học”. Chuyên đề này chỉ giới thiệu về một số phương pháp tìm cực trị cơ bản thường gặp trong hình học phẳng và hình học vectơ. Trong mỗi phương pháp sẽ có các ví dụ minh họa. Và cuối cùng là phần bài tập tổng hợp với các bài tập giải bằng những phương pháp khác nhau. Trong quá trình biên soạn, sưu tầm và tập hợp các phương pháp cùng những ví dụ, bài tập, tuy chúng em đã cố gắng rất nhiều nhưng thiếu sót là điều khó tránh. Vì vậy, chúng em mong thầy và các bạn thông cảm. Xin chân thành cảm ơn! Nhóm biên tập Phạm Ngọc Xuân Đào Nguyễn Thị Mỹ Huyền Võ Thị Diễm Phí Lê Thị Thu Thảo Nguyễn Hòang Anh Thư Trương Thanh Thư Nhóm biên sọan lớp 10 Tóan 3 Tóm tắt kiến thức : 1) Cực trị hình học : Cho biểu thức f phụ thuộc điểm X biến thiên trên miền D. Ta nói : 0 0 ( ) , : ( ) max ( ) f X M X D X D f X M f X M              0 0 ( ) , : ( ) min ( ) f X m X D X D f X m f X m            2) Phép toán vector: Phép cộng vector: * Quy tắc 3 điểm: AB BC AC   uuur uuur uuur * Quy tắc hình bình hành: nếu ABCD là hình bình hành thì AB AD AC   uuur uuur uuur Phép trừ vector: * Quy tắc: AC AB BC   uuur uuur uuur Tích vector với 1 số: Cho số k ≠ 0 và 0 a  r r . Tích vector a với số k là một vector kí hiệu ka r , cùng hướng vector a nếu k > 0 và ngược hướng vector a nếu k < 0 và có độ dài bằng | || | k a r Tích vô hướng của hai vector : Cho , a b r r khác vector 0 . Ta có : . | |.| |.cos( , ) a b a b a b  r r r r r r Một số kí hiệu dùng trong tài liệu , , a b c : độ dài các cạnh BC, CA, AB của ABC  . , , a b c h h h : độ dài các đường cao xuất phát từ các đỉnh A, B, C của ABC  . , , a b c m m m : độ dài các đường trung tuyến xuất phát từ các đỉnh A, B, C của ABC  . , R r : bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp ABC  . , , a b c r r r : bán kính các đường tròn bàng tiếp góc A, B, C của ABC  . Một số điểm đặc biệt trong tam giác Điểm Lemoine: Nhóm biên sọan lớp 10 Tóan 4 Định nghĩa: Trên các cạnh BC, CA, AB của ABC  lấy các điểm 1 1 1 , , A B C tương ứng sao cho 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 , , AC BA CB b c a C B a AC b B A c    (các đường 1 1 1 , , AA BB CC là các đường đối trung). Khi đó các đường thẳng 1 1 1 , , AA BB CC đồng quy tại điểm L gọi là điểm Lemoine. Tính chất: Cho ABC  , L là điểm trong tam giác. Gọi H, K, N theo thứ tự là hình chiếu của L trên BC, CA, AB. Khi đó L là điểm Lemoine của ABC  khi và chỉ khi L là trọng tâm của HKN  khi và chỉ khi 2 2 2 0 a LA b LB c LC    uur uuur uuur r Điểm Toricelli: Cho ABC  có các góc đều nhỏ hơn 0 120 . Khi đó tồn tại duy nhất điểm T có tính chất cùng nhìn các cạnh BC, CA, AB dưới các góc 0 120 . Điểm T như vậy gọi là điểm Toricelli của ABC  . Điểm Gergone: Đường tròn nội tiếp ABC  tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại 1 1 1 , , A B C . Khi đó các đường thẳng 1 1 1 , , AA BB CC đồng quy tại điểm J gọi là điểm Gergone. Điểm Naghen: Các đường tròn bàng của ABC  tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại 1 1 1 , , A B C . Khi đó các đường thẳng 1 1 1 , , AA BB CC đồng quy tại điểm N gọi là điểm Naghen. Nhóm biên sọan lớp 10 Tóan 5 Nhóm biên sọan lớp 10 Tóan 6 Phương pháp 1: Vận dụng quan hệ giữa đường xiên và đường vuông góc. Ví dụ 1.1: Cho hình vuông ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA ta lấy theo thứ tự các điểm E, F, G, H sao cho AE= BF= CG= DH. Xác định vị trí của các điểm E, F, G, H sao cho tứ giác EFGH có chu vi nhỏ nhất. Giải: HAE= EBF(c-g-c)  HE= EF. O C A B D E H F G Tương tự ta có: HE= EF= FG= GH nên tứ giác EFGH là hình thoi. HAE= EBF còn suy ra · · AHE BEF  Ta lại có · · · · 0 0 90 ê 90 AHE AEH n nBEF AEH    Do đó: · 0 90 HEF  . Như vậy hình thoi EFGH là hình vuông. Gọi O là giao điểm của AC và EG. Tứ giác AECG có AE= CG, AE// CG nên là hình bình hành, suy ra O là trung điểm của AC và của EG, do đó O là tâm của cà hai hình vuông ABCD và EFGH. HOE vuông cân: 2 2 2. . 2 HE OE HE OE   Chu vi EFGH= 4.HE= 4 2 .OE. Do đó chu vi EFGH nhỏ nhất  OE nhỏ nhất. Kẻ OK AB  . Theo quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên: OE  OK( độ dài OK không đổi) nên OE= OK  E K Do đó min OE= OK Như vậy, chu vi tứ giác EFGH nhỏ nhất khi và chỉ khi E, F, G, H là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Nhận xét về phương pháp giải: trong cách giải trên có các biến đổi tương đương sau: Chu vi EFGH nhỏ nhất  HE nhỏ nhất  OE nhỏ nhất. Quan hệ OE OK (OK không đổi) cho phép ta xác định vị trí của điểm E để OE có độ dài nhỏ nhất . Ví dụ 1.2: Cho đoạn thẳng AB có độ dài 2a. Vẽ về một phía của AB các tia Ax và By vuông góc với AB. Qua trung điểm M của AB có hai đường thẳng thay đổi luôn vuông góc với nhau Nhóm biên sọan lớp 10 Tóan 7 và cắt Ax, By theo thứ tự ở C, D. Xáx định vị trí của các điểm C, D sao cho tam giác MCD có diện tích nhỏ nhất. Giải: Gọi K là giao điểm của CM và DB. MAC= MBK(g-c-g)  MC= MK. DCK có đường cao DM là trung tuyến nên là tam giác cân, suy ra · · HDM MDB  . Kẻ MH CD  . Do M thuộc tia phân giác cùa góc D nên: MH= MB= a. 1 . . 2 MCD S CD MH  x y a a H K D M A B C Do CD AB= 2a và MH= a nên: 2 1 .2 . 2 MCD S a a a   2 . MCD S a CD Ax    Khi đó · · 0 0 45 , 45 AMC BMD  . Vậy 2 MCD S a  . Các điểm C, D được xác định trê Ax, By sao cho AC= BD= a Ví dụ 1.3: Cho tam giác ABC có góc B là góc tù, điểm D di chuyển trên cạnh BC. Xác đ5nh vị trí của điểm D sao cho tổng các khoảng cách từ B và từ C đến đường thẳng Ad có giá trị lớn nhất. Giải: Gọi S là diện tích ABC. Khi D di chuyển trên cạnh BC ta có: ABD ACD S S S   Kẻ , BE AD CF AD   ta có : 1 1 . . . . 2 2 AD BE AD CF S   nên BE+ CF = 2 S AD Do đó BE + CF lớn nhất  AD nhỏ nhất. Nhóm biên sọan lớp 10 Tóan 8 F E H A B C D Đường xiên AD nhỏ nhất  hình chiếu HD nhỏ nhất. Ta có HD  HB ( do · 0 90 ABD  ) và HD = HB khi và chỉ khi DB. Như vậy khi D trùng B thì tổng các khoảng cách từ B và từ C đến AD có giá trị lớn nhất. Ví dụ 1.4: Cho hình bình hành ABCD. Qua A vẽ đường thẳng d không cắt hình bình hành. Gọi B’, C’, D’, lần lượt là hình chiếu vuông góc của các điểm B, C, D trên đường thẳng d. Xác định vị trí của đường thẳng d để tổng BB’ + CC’ + DD’ có giá trị lớn nhất. Giải: Gọi O là giao điểm của AC và BD. O’ là hình chiếu vuông góc của O trên d. ' , ' '/ / ' DD d BB d DD BB     DD’B’B là hình thang. d O' O B' C' D' C A B D Mà ' , ' '/ / ' OO d DD d OO DD    và O là trung điểm BD ( ABCD là hình bình hành) Do đó OO’ là đường trung bình của hình thang DD’B’B ' ' ' ' ' 2. ' 2 BB DD OO BB DD OO       ' , ' '/ / ' OO d CC d OO CC    và O là trung điểm AC.( ABCD là hình bình hành) Do đó OO’ là đường trung bình cùa ACC’ ' ' ' 2. ' 2 CC OO CC OO     , ' A d OO d   nên OO’ OA. Do đó BB’ + CC’ + DD’ = 4.OO’ 4.OA ( không đổi) Dấu “=” xảy ra  O’  A  d vuông góc AC tại A. Nhóm biên sọan lớp 10 Tóan 9 Phương pháp 2: Quan hệ giữa đoạn thẳng và đường gấp khúc Ví dụ 2.1: Cho hình chữ nhật ABCD và điểm E thuộc cạnh AD. Xác định vị trí các điểm: F thuộc cạnh AB, G thuộc cạnh BC, H thuộc cạnh CD sao cho tứ giác EFGH có chu vi nhỏ nhất. Giải: Gọi I, K, M theo thứ tự là trung điểm của EF, EG và GH. AEF vuông tại A có AI là trung tuyến  AI= 1 . 2 EF K I C A B D F H E G Tương tự MC= 1 . 2 GH . IK là đường trung bình của EFG  IK= 1 . 2 FG . Tương tự KM= 1 . 2 EH Do đó: chu vi EFGH= EF + FG + GH +HE= 2(AI + IK + KM + MC) Ta lại có: AI + IK + KM + MC  AC (so sánh độ dài đoạn thẳng và đường gấp khúc) Suy ra: chu vi EFGH  2AC ( không đổi). Chu vi EFGH nhỏ nhất bằng 2AC  A, I, K , M, C thẳng hàng.  Nhận xét về phương pháp giải: bằng cách vẽ trung điểm các cạnh EF, GH, và trung điểm của đường chép EG, ta tính được chu vi của tứ giác EFGH bằng hai lần độ dài đường gấp khúc AIKMC, độ dài đường gấp khúc trên nhỏ nhất khi đường gấp khúc đó trở thành đoạn thẳng AC. Ví dụ 2.2: Cho tam giác ABC nhọn. Dựng một tam giác có chu vi nhỏ nhất nội tiếpABC, tức là có ba đỉnh nằm trên ba cạnh của tam giác ấy. Giải: Cách 1: Xét tam giác MNP nội tiếp ABC một cách tùy ý ( M thuộc AB, N thuộc BC, P thuộc AC). Vẽ E, F sao cho AB là đường trung trực của NE, AC là đường trung trực của NF. Chu vi MNP = NM + MP + PN = EM + MP + PF  EF M Nhóm biên sọan lớp 10 Tóan 10 1 2 A B C M N P E F Ta cần xét khi nào thì EF nhỏ nhất. Ta có · µ µ · 1 2 2 2 2 EAF A A BAC    EAF là tam giác cân có góc ở đỉnh không đổi nên cạnh đáy nhỏ nhất khi và chỉ khi cạnh bên nhỏ nhất. EF nhỏ nhất  AE nhò nhất  AN nhỏ nhất  AN BC  Như vậy chu vi tam giác MNP nhỏ nhất khi N là chân đường cao kẻ từ A, còn M và P là giao điểm cùa EF với AB, AC. Ta có nhận xét rằng khi N là chân đường cao kẻ từ A thì M và P cũng là chân hai đường cao còn lại của tam giác. CM: Xét HMP: AB là đường phân giác của góc EMH, AC là đường phân giác ngoài của góc FPH. Ta có AB, AC gặp nhau tại A nên HA là tia phân giác của góc MHP. Vì AH  HC nên HC là đường phân giác ngoài tại đỉnh H. Theo trên AC là đường phân giàc ngoài tại đỉnh P, HC gặp AC tại C nên MC là tia phân giác góc trong tại đỉnh M. H A B C M P E F MB và MC là các tia phân giác của các góc kề bù nên MB  MC. Tương tự PC  PB Vậy chu vi tam giác MNP nhỏ nhất khi M, N, P là chân ba đường cao của tam giác ABC. Do tam giác ABC nhọn nên M, N, P thuộc biên của tam giác. Cách 2: Lấy M, N, P tùy ý trên AB, BC, CA và nối tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với M, N, P. Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác, S là diện tích tam giác. Khi đó: 1 . . 2 OMBN S OB MN  [...]... nằm ngoài đường tròn đường kính BC 20 Nhóm biên sọan lớp 10 Tóan Phương pháp 5: Ứng dụng diện tích tìm cực trị Ví dụ 5.1: Hãy tìm trong tam giác ABC một điểm M sao cho tích các khoảng cách từ M đến ba cạnh có giá trị lớn nhất Giải: Gọi x, y, z lần lượt là khoảng cách từ m đến ba cạnh BC, AC, AB; ha , hb , hc tương ứng là đường cao xuất pháp từ các đỉnh A, B, C Ta có: S ABC  S MBC  S MCA  S MAB ... trong trường hợp M, N nằm trên A’B’ 14 Nhóm biên sọan lớp 10 Tóan Phương pháp 3: Áp dụng bất đẳng thức trong đường tròn tìm cực trị Ví dụ 3.1:Cho hai điểm A và B nằm trong nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng d, hai điềm M,N thuộc d và dộ dài MN không đổi Xác định vị trí hai điềm M, N để dường gấp khúc AMNB đạt giá trị nhỏ nhất Giải: Dựng hình bình hành BNMB’ BB’= MN = a (không đổi); NB =MB’, B’ cố định... số đo sd BC của (O) 4 dựng trên đoạn thẳng BC 16 Nhóm biên sọan lớp 10 Tóan D A O B C PABC lớn nhất  (AB + DC) max  BD max  BD là đường kính của cung chứa góc nói trên Khi đó · BCD = 900 · Mà · ABC  BDC  ·  ACD = 900 ACB · · · BDC  ACD ( AC = AD) ABC  ·  »  AC  A là trung điểm của cung lớn BC ACB AB » Do đó · 17 Nhóm biên sọan lớp 10 Tóan Phương pháp 4: Áp dụng bất đẳng thức đại số tìm cực. .. tiếp tuyến với nửa đường tròn, gọi D,C Lần lượt là hình chiếu của A; B trên tiếp tuyến ấy Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác ABCD có giá trị lớn nhất Giải: µ Ta có: AD  DC (gt), BC  DC (gt)  AD// BCABCD la hinh thang mà D = 900 nên ABCD là hình thang vuông, OM  DC nên OM // AD và O là trung điểm AB nên OM là đường trung bình của hình thang AD  BC ABCD  OM  2 Do đó S ABCD  AD ...  A là trung điểm của cung lớn BC ACB AB » Do đó · 17 Nhóm biên sọan lớp 10 Tóan Phương pháp 4: Áp dụng bất đẳng thức đại số tìm cực trị Ví dụ 4.1: Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB M là điểm chuyển động trên nửa đường tròn Xác định vị trí M để MA + 3MB đạt giá trị lớn nhất Giải: · AMB  900 (góc nội tíếp chắn nửa đường tròn) Tam giác MAB có ¶  900 nên theo định lý Pitago ta có: M MA2  MB 2... (1  3)( MA2  MB 2 )  4.4 R 2  4 R MA  3.MB  4 R hằng số Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi » 3.MA  MB VMAB là nủa tam giác đều  sd MA  600 Ví dụ 4.2: Cho tam giác ABC cân (AB = AC) Lấy điểm D trên cạnh BC ( D khác B,C ) Gọi r1 , r2 lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABD và ACD Xác định vị trí của D để tích r1r2 đạt giá trị lớn nhất Giải: Gọi O là giao điểm 3 đường phân giác của... Dễ thấy I trùng J và O1 I  O2 J Từ đó KD = DN Vậy D là trung điểm của BC thì tích r1r2 đạt giá trị lớn nhất Lúc đó A, O, D thẳng hàng Ví dụ 4.3: Cho đoạn thẳng BC cố định A là điểm di động sao cho tam giác ABC nhọn AA’ là đường cao và H là trực tâm của tam giác ABC Xác dịnh vị trí A để AA’.A’H đạt giá trị lớn nhất Giải 0 · AA A A Xét A’BH và A’AC có BA ' H  · ' C  90 , ·' BH  ·' AC ( Hai góc... AC , CM  AB Tam giác MNP có chu vi nhò nhất khi và chỉ khi N, P, M là chân các đường cao của tam giác ABC Ví dụ 2.3: Cho tam giác đều ABC và trung điểm M của AB Trước tiên An chọn một điểm N trên BC, tiếp đó Bình chọn một điểm P trên AC Mục tiêu của An là muốn tổng d = MN + NP + PM lớn nhất, còn Bình muốn tổng d nhỏ nhất Hỏi rằng nếu cả hai đều có cách chọn tốt nhất thì N và P là những điểm nào? Giải... (cũng có , , có tổng không đổi, do đó tích ha hb hc ha hb hc x x x 1    nghĩa là x.y.z lớn nhất) khi và chỉ khi: ha hb hc 3 Như vậy, các số Khi đó M là trọng tâm tam giác ABC Ví dụ 5.2: Cho điểm M di chuyển trên đoạn thẳng AB Vẽ các tam giác đều AMC và BMD về một phía của AB Xác định vị trí của M để tổng diện tích hai tam giác đều trên là nhỏ nhất Giải: Cách 1: Gọi K là giao điểm AC và BD Các tam...  M là trung điểm của AB 8 Ví dụ 5.3: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 12 cm, E là trung điểm của CD, điểm F thuộc cạnh BC sao cho CF = 4 cm Các điểm G và H theo thứ tự di chuyển trên các cạnh AB và AD sao cho GH // EF Xác định vị trí của điểm G sao cho tứ giác EFGH có diện tích lớn nhất Tính diện tích lớn nhất đó Giải:Đặt S EFGH  S , BG = x và kí hiệu như hình vẽ AH AG AH 12  x 2(12  x )     . Một số phương pháp tìm cực trị trong hình học . Chuyên đề này chỉ giới thiệu về một số phương pháp tìm cực trị cơ bản thường gặp trong hình học phẳng và hình học vectơ. Trong mỗi phương pháp. chất cực trị mà các hình khác không có được như tam giác đều, hình vuông, lục giác đều hoặc hình tròn, khối cầu,…. Ngày nay những bài toán cực trị vẫn được quan tâm và nghiên cứu. Những phương. phương pháp giải và các dạng bài tập này trong hình học rất đặc trưng và bắt nguồn từ lý thuyết cơ bản của toán học. Ở ta, những loại sách tổng kết lại những bài toán cực trị trong hình học còn